心脏电场的电偶极子模型

心脏的电偶极子模型和心电图

姓名刘开元学号PB11206017 论文摘要:

心电图在现代医学对心脏的诊疗中占有重要地位,本文综述了心电仿真中一个重要的因素-心脏电兴奋源的模型，简要分析了心脏视为偶极子模型的电磁学原理和建立方法、应用、发展和不足,并重点分析了电偶极子模型为基础的单级导通技术的电磁学基础。

论文目录:

1.心肌细胞的细胞膜电位

2.心脏单电偶极子模型的分析

3.心电图的单级导通技术

4.心脏电偶极子模型的进一步思考和可能的完善

引言:

在心电图的测量中,最为关键的莫过于对心脏电模型的构建.现在的主流模型--单电偶极子模型是如何由心脏的结构抽象而来?有何优点和缺陷?如何进一步的改进和分析?本文将简单讨论该模型的电磁学基础和以此为基础的单极导通技术.

一.心肌细胞的细胞膜电位

为了探究心脏的电偶极子模型,我们有必要先简单分析一下心肌细胞的细胞膜电位.

心肌细胞生物电产生的基础是心肌细胞跨膜电位取决于离子的跨膜电-化学梯度和膜对离子的选择性通透。

心室肌细胞跨膜电位及其产生机理：

[1] 静息电位：心室肌细胞在静息时，细胞膜处于内正外负的极化状态，其主要由K+外流形成。

[2] 动作电位：心室肌动作电位的全过程包括除极过程的0期和复极过程的1、2、3、4等四个时期。

0期：心室肌细胞兴奋时，膜内电位由静息状态时的-90mV上升到+30mV左右，构成了动作电位的上升支，称为除极过程（0期）。它主要由Na+内流形成。

1期：在复极初期，心室肌细胞内电位由+30mV迅速下降到0mV左右，主要由K+外流形成。

2期：1期复极到0mV左右，此时的膜电位下降非常缓慢它主要由Ca2+内流和K+外流共同形成。

3期：此期心室肌细胞膜复极速度加快，膜电位由0mV左右快速下降到-90mV，历时约100~150ms。主要由K+的外向离子流（Ik1和Ik、Ik也称Ix）形成。

4期：4期是3期复极完毕，膜电位基本上稳定于静息电位水平，心肌细胞已处于静息状态，故又称静息期。

在心脏中细胞的兴奋是不等同的,如下图所示:

心脏的收缩从窦房结开始,每一心动周期中，由窦房结产生的兴奋，依次传向心房和心室.通过心肌细胞间的润盘结构,窦房结的收缩会向周围的细胞传导从而诱发全心脏的收缩.从传导的次序不同,由上图可以看出心脏的电位变化是不同时的.正是这些差别产生了人体表面的电势变化.

从上述内容可以看出，在心肌细胞受到刺激以及其后恢复原状的过程中，将形成一个变化的电偶极矩，在其周围产生电场，并引起空间电势的变化。

二.心脏单电偶极子模型的分析

人体中大量具有导电性的体液与电解质，是一个容积导体。

静止状态下一部分细胞兴奋发生除极变化，和其附近尚未兴奋的细胞膜外存在的阳离子，形成电位差，在心肌纤维上出现了电偶。

心脏激动的传导(除极波的扩展) 如一系列的电偶向前移动。

根据电磁场理论，电偶极子在容积导体中可以产生电位分布，且容积导体中某点电位的强度与它和电偶间的距离有关。

心电场可以看作“准电场”，可以用电磁理论求解静电场的方法求解心电场。

我们可以看出窦房结和心房在心跳开始阶段的电势要高于心室,而后变化.于是出于简化,我们可以把心脏分为心房区和心室区两部分,在简化的心跳周期中,发生周期性变化:

1.心跳初期,心房区和窦房结电势迅速升高,心房电势高于心室区

2.而后心房区电势下降,心室区电势上升

3.心房区电势回到稳定电位,心室区高于心房区

4.心房区,心室区均回到稳定电位

如下图所示

除去静息电位电位时期,心脏均可近视视作电偶极子.不过其偶极矩P随时间不是定值.

经试验测定体表电势分布如下图所示,和电偶极子的电势分布有很高的相似性.

电偶极子的电势图

可以看出电偶极子假设具有合理性.于是通过电偶极子简化模型,我们将可以对体表电位进行有效的测算.

三.心电图的单极导通技术

人体组织可以视作为容积导体，心肌细胞兴奋时，心电偶形成心电场，使人体体表各点均具有一定的电位. 用心电图机记录下随心动周期而变化的电位差波形即为心电图。

若每个心肌组织的电偶极矩记为dP,那么根据电偶极子的电场公式体腔电势V 可以表示为:

那么如下图(右)构建测量电路:

可以等价简化为上图(左)的电路.在实验中发现，当人的皮肤涂上导电膏后，右上肢、左上肢和左下肢之间的平均电阻分别为 1.5k Ω、2k Ω、2.5k Ω。如果将这三个肢体连成一点作为参考电极点，在心脏电活动过程中，这一点的电位并不正好为零.

由于肢体电阻并不相同,通过串联不同阻值的R 使每条支路总电阻均为R0.由于每个相距120度,根据电偶极子电势公式有:

2cos cos r P k r dP k V θθ?=?=∑

由于R,L,F三点以导线连接于T点,所以电势平均值为

U = (U R + U L +U F )/3

= kp/3r2[cos(θ)+ cos(θ+120)+ cos(θ+240)]

= kp/3r2[cos(θ)- cos(θ)]

= 0

这个体电势为0的点称为中心电端,这样在每一个心动周期的每一瞬间，中心电端的电位都为零。那么如果我们将电信号放大器的负输入端接到中心电端，正输入端分别接到人体胸部的某些特定点,从而测得两点间的电势差,就可以测得心脏电位在体表分布的变化,即可获得心电图.

虽然在之前的分析中我们指出心脏的电偶极矩随时间会发生变化,但是只要电偶极子模型成立,均能保证T点电势恒定为0,心电图测量的一切原理依然有效.

当然根据麦克斯韦电磁理论,心脏电场不断变化应当辐射电磁波,不过在心电图环境其影响可以忽略.

四.心脏电偶极子模型的进一步思考和可能的完善

然而上述模型仍然十分简单而不精确,主要有如下的一些问题:

1.心脏的电场和四肢距离有限,使用电偶极子公式的误差很大.

2.心脏电位变化的周期并不确定而是随生理周期有变化

3.在每一组织内电位的变化也是有先后变化的

下面讨论几种更为复杂的模型思路

1.多偶极子模型

心脏电位变化并不十分规律,分为心房区心室区两区的模型还是过于简单.对于每一个兴奋区域,其实都可以单独视作一个电偶极子.则心脏可以视作电偶极子簇的电位叠加.

当然如果能通过电磁成像技术获得电荷分布图,也可以通过对体电流的

积分来计算电势分布.

2.体腔作为电介质的不均匀性

身体各部位的电介质的阻值,介电数均有区别.如果要精确计算,需要对每一介质节目积分测算.

心电偶在某一时刻的电偶极矩就是所有心肌细胞在该时刻的电偶极矩的矢量和，称为瞬时心电向量。

瞬时心电向量是一个在方向、大小上都随时间作周期性变化的矢量。我们对其箭头的坐标按时间、空间的顺序加以描记、连接成轨迹，则此轨迹称为空间心电向量环。它是瞬时心电向量的箭头随时空变动的三维空间曲线（箭尾收在一点），描述了瞬时心电向量随时空变化的规律。如图。空间心电向量环在某一平面上的投影称为平面心电向量环。

通过测得瞬时心电向量的空间分布可以给出更为精确的分析.

3.心电仿真模型的区域模拟

为了更精确的反应心脏结构,可以对心脏进行细分为小块,从而分块计算.

可以基于人体心脏的CT 切片，划分为许多形状规则的心肌块。 o P （t ） X Y Z x y z

心室肌分割为50 ×50×50的三维阵列

心房肌分割为50×50×30的三维阵列

每个心肌单元具有和单个细胞大致相同的电生理特性，通过给每个心肌单元赋予不同数值来代表不同的心肌类型。每个心肌单元的空间坐标用(i,j,k)表示。

这样通过相关技术测量出个部分的近似电位分布,在加上实时的测量/计算辅助,可以构建出较为精确的心脏模型.

参考资料:

(1). 电磁学与电动力学胡友秋,程福臻,叶邦角科学出版社2008

(2). 心肌细胞电生理学刘泰逢人民工业出版社2007

(3). 心脏电生理与心电仿真杨晓利2011

(4). 心脏电兴奋源的发展杨中服

(5). 刘金秋.计算机模拟心脏电生理的研究进展.中国心脏起搏与心电生理杂志，2001

(6). 百度百科

(7)

电偶极子的电场讨论

电偶极子的电场讨论姓名：乔霞芳 (09物理教育专业准考证号：412410100009 ) 【摘要】：电偶极子是继点电荷之后最简单而且重要的带电系统。凡是有电荷的地方，四周就存在着电场，即任何电荷都在自己周围的空间激发电场。这里将从点电荷到电偶极子，通过对其中垂面和延长线上的电场强度、及其空间任意一点电场分布的求解，讨论电偶极子的静态电场。【关键词】：电场电场强度电偶极子电势电视梯度一、电场为了能够形象的描述电场，正确、定量的讨论电场，先对电场进行适量了解。就它有什么样的性质，用什么定量的描述它，又用什么来给人以形象的概念进行讨论。 1.电场强度电场的一个重要性质是它对电荷施加作用力，我们就以这个性质来定量地描述电场。我们知道，电场本身的性质由电场强度来反映，即E =F/q 。它是一个矢量，现在以点电荷所产生的电场中各点的电场强度来说明其方向和大小是如何确定的。如图1-1所示，O 点有一点电荷q ，我们任取一场点P ，记OP=r 。设想把一个正试探电荷q 0 放在P 点，根据库伦定律，它受的力为：F=kqq 0r 1/r 2 (r 1是沿OP 方向的单位向量），又由电场强度的定义式可得P 的场强为E =F/q 0=kq r 1/r 2 ，这表明若q>0,E 沿r 1方向；若q<0，E 沿-r 方向。E 与r 2 成反比，当r →无穷大时，E →0。电场力是矢量，它服从矢量叠加原理。那么，电场强度矢量是不是也服从呢？如果以F 1、F 2、…、F k 分别表示点电荷q 1、q 2、…、q k 单独存在时电场施予空间同一点上试探电荷q 0的力，则它们同时存在时，电场施予该点试探电荷的力为F 1、F 2、…、F k 的矢量和，即图1-1

用matlab数值分析电偶极子的等电势图和电场线图

合肥学院创新课程设计报告题目：用matlab分析电偶极子的等电势图和电场线系别：电子信息与电气工程系专业：通信工程专业班级： 1 4 姓名：导师：成绩： 2013 年《通信技术综合创新课程设计》任务书

目录电偶极子的等电势图和电场 (4) 一电偶极子原理以及相关知识 (4) 1.1 电偶极子定义 (4) 1.2 电偶极子原理 (4) 二演示程序 (7) 2.1电偶极子电势在matlab中的模拟 (7) 2.2电偶极子电场在matlab中的模拟 (9) 三结束语 (10) 四参考文献 (11)

电偶极子的等电势图和电场一电偶极子原理以及相关知识 1.1 电偶极子定义一个实体，它在距离充分大于本身几何尺寸的一切点处产生的电场强度都和一对等值异号的分开的点电荷所产生的电场强度相同。电偶极子（electric dipole）是两个相距很近的等量异号点电荷组成的系统。电偶极子的特征用电偶极距P＝lq描述，其中l是两点电荷之间的距离，l和P的方向规定由－q指向＋q。电偶极子在外电场中受力矩作用而旋转，使其电偶极矩转向外电场方向。电偶极矩就是电偶极子在单位外电场下可能受到的最大力矩，故简称电矩。如果外电场不均匀，除受力矩外，电偶极子还要受到平移作用。电偶极子产生的电场是构成它的正、负点电荷产生的电场之和。 1.2 电偶极子原理两个点电荷q和-q间的距离为L。此电偶极子在场点 P 处产生的电位等于两个点电荷在该点的电位之和，即（1）图（1）表示中心位于坐标系原点上的一个电偶极子，它的轴线与Z轴重合，其中与分别是q和-q到 P 点的距离。

电偶极子电势电场matlab模拟

利用matlab 绘制电偶极子在3维空间电势、电场的分布电偶极子（electric dipole ）是两个相距很近的等量异号点电荷组成的系统，具体模型如图1所示，两点电荷+q 和-q 相距为d ，且r >>d 。本文主要对电偶极子在空间中产生的电势，电场分布进行计算机模拟。图1 电偶极子 1 电偶极子的电势、电场计算应用叠加原理，得场中任意点P 的点位为 012114q φπεr r ??=- ??? 应用关系式=-E φ?，可以求得位于原点的电偶极子在离它r 远处产生的电场强度。 2 电偶极子电势、电场分布在matlab 中的模拟电势分布模拟，源程序如下： q=1; d=2; e0=8.854187817*10.^-12; x=-3:0.1:3; y=-3:0.1:3; [x,y]=meshgrid(x,y); z=q.*(1./sqrt((y-1).^2+x.^2)-1./sqrt((y+1).^2+x.^2))./(4*pi*e0); mesh(x,y,z); 运行结果如下：

电场分布，源程序如下： q=1; d=2; e0=8.854187817*10.^-12; x=-3:0.1:3; y=-3:0.1:3; [x,y]=meshgrid(x,y); z=q.*(1./sqrt((y-1).^2+x.^2+0.01)-1./sqrt((y+1).^2+x.^2+0.01))./(4*pi*e0); contour(x,y,z); [px,py]=gradient(z); hold on streamslice(x,y,px,py,'k') 运行结果如下：

心脏电场的电偶极子模型

心脏的电偶极子模型和心电图姓名刘开元学号PB11206017 论文摘要: 心电图在现代医学对心脏的诊疗中占有重要地位,本文综述了心电仿真中一个重要的因素-心脏电兴奋源的模型，简要分析了心脏视为偶极子模型的电磁学原理和建立方法、应用、发展和不足,并重点分析了电偶极子模型为基础的单级导通技术的电磁学基础。论文目录: 1.心肌细胞的细胞膜电位 2.心脏单电偶极子模型的分析 3.心电图的单级导通技术 4.心脏电偶极子模型的进一步思考和可能的完善引言: 在心电图的测量中,最为关键的莫过于对心脏电模型的构建.现在的主流模型--单电偶极子模型是如何由心脏的结构抽象而来?有何优点和缺陷?如何进一步的改进和分析?本文将简单讨论该模型的电磁学基础和以此为基础的单极导通技术. 一.心肌细胞的细胞膜电位为了探究心脏的电偶极子模型,我们有必要先简单分析一下心肌细胞的细胞膜电位. 心肌细胞生物电产生的基础是心肌细胞跨膜电位取决于离子的跨膜电-化学梯度和膜对离子的选择性通透。

心室肌细胞跨膜电位及其产生机理： [1] 静息电位：心室肌细胞在静息时，细胞膜处于内正外负的极化状态，其主要由K+外流形成。 [2] 动作电位：心室肌动作电位的全过程包括除极过程的0期和复极过程的1、2、3、4等四个时期。 0期：心室肌细胞兴奋时，膜内电位由静息状态时的-90mV上升到+30mV左右，构成了动作电位的上升支，称为除极过程（0期）。它主要由Na+内流形成。 1期：在复极初期，心室肌细胞内电位由+30mV迅速下降到0mV左右，主要由K+外流形成。 2期：1期复极到0mV左右，此时的膜电位下降非常缓慢它主要由Ca2+内流和K+外流共同形成。 3期：此期心室肌细胞膜复极速度加快，膜电位由0mV左右快速下降到-90mV，历时约100~150ms。主要由K+的外向离子流（Ik1和Ik、Ik也称Ix）形成。 4期：4期是3期复极完毕，膜电位基本上稳定于静息电位水平，心肌细胞已处于静息状态，故又称静息期。在心脏中细胞的兴奋是不等同的,如下图所示: 心脏的收缩从窦房结开始,每一心动周期中，由窦房结产生的兴奋，依次传向心房和心室.通过心肌细胞间的润盘结构,窦房结的收缩会向周围的细胞传导从而诱发全心脏的收缩.从传导的次序不同,由上图可以看出心脏的电位变化是不同时的.正是这些差别产生了人体表面的电势变化. 从上述内容可以看出，在心肌细胞受到刺激以及其后恢复原状的过程中，将形成一个变化的电偶极矩，在其周围产生电场，并引起空间电势的变化。

电偶极子

§2.7 电偶极子一、电偶极子及其电偶极矩 1．电偶极子——两个相距很近的等量异号点电荷所组成的带电系统。在原子物理学、电介质理论和无线电理论中，电偶极子是很重要的模型。原子中带正电的原子核和带负电的电子。电介质中有一类电介质分子的正、负电荷中心不重合，形成电偶极子，称为有极分子；另一类电介质分子的正、负电荷中心重合，称为无极分子，但在外电场作用下会相对位移，也形成电偶极子。应用有偶极子天线，以及天线的辐射等现象,可以用振荡偶极子 t j e e p ω来表示，研究从稳恒到 X 光频电磁场作用下电介质的色散和吸收，等等具有广泛地应用。将偶极子概念加以推广，可有多极子，其中最重要的是四极子。电偶极子的特征：点电荷的电荷量(+q 、-q)，两个点电荷的距离---电偶极子的轴线l :从电偶极子的负电荷到正电荷的一个矢径表示表示。可集成为一个特征量----电偶极矩来表征电偶极子整体电性质，即用电偶极矩表示电偶极子的大小和空间取向： 2. 电偶极子的电偶极矩——电偶极子中的一个电荷的电量与轴线的乘积，简称电矩。记为： l q p = 或l q p e = （相对于磁矩m p ） (1) p 是矢量，它是表征电偶极子整体电性质的重要物理量，大小：等于乘积，方向：规定由－q 指向＋q ，单位：库·米（）---国际制单位德拜(debye)-----微观物理学中常用的单位为；1德拜＝3.336×10-30C ·m ，它相当于典型分子内部核间距离的十分之一(约2×10-11m)同一个电子的电荷e =1.6×10-19C 的乘积。电偶极子在外电场中受力矩作用而旋转，使其电偶极矩转向外电场方向。电偶极矩就是电偶极子在单位外电场下可能受到的最大力矩，故

自由电偶极子空间各点的电势-聂中治

自由电偶极子空间各点的电势摘要:给出一种用分离变量法求解均匀介质球内外放有点电荷或自由偶极子等类问题电势的新方法。关键词:电偶极子；分离变量法；拉普拉斯方程；唯一性定理；电势。 Abstract :Give an a kind of the new method that solve static electricity a problem with separation variable the way. Key words :separate variable the way ;laplace equation ;unique axioms ;potentiality 前言：分离变量法（文献[1]）是求解静电场边值问题的基本方法,由于应用广泛,题型变化多,不容易掌握。尤其对于用分离变量法求均匀介质球内外放有点电荷或自由电偶极子这类问题的电势时,虽然大多教材中的给出了解析,但大多解法相同且不好理解。我在此演示一种求解这类问题的新思路,不仅概念清楚,容易接受,而且较为简便,且得出和题解中完全相同的结果。以下针对例题说明：题目：半径为R 的均匀介质球(电容率为1ε) 中心置一自由电偶极子(其电偶极矩为p) ,球外充满了另一种介质(电容率为2ε) ,求空间各点的电势。此题比较典型,文献[3]和文献[4]中均有详细求解,其基本思想是:空间各点的电势是由电偶极子的电势和球面上极化电荷所产生电势的叠加,前者可分析得出3 14r r p πε?，后者满足拉普拉斯方程, 以球心为原点, p 的方向为极轴方向, 建立球坐标系,由对称性可得球内外电势表达式为： =1φ314r r p πε?+∑∞=0 )(cos n n n n P r a θ， r ≤R (1) =2φ314r r p πε?+∑∞=+01 )(cos n n n n P r b θ， r ≥R (2) 根据边值关系,确定系数,可得: θεεπεεεπεθθφcos )2(2_)(4cos ),(321121211r R p r p r +-+=, r ≤R (3) 221221121212)2(4cos 3cos )2(2_)(4cos ),(r p r p r p r εεπθθεεπεεεπεθθφ+=+-+= , r ≥R (4)

电偶极子的电场与电势

计算机模拟电偶极子电场中的电势及场强分布 1 引言在物理中课程中，电磁场理论理论性强、概念抽象、场图较为复杂。传统教学中，单纯的理论推导无法使学生深刻理解电磁场中的许多概念，从而影响整个课程的学习。电偶极子的电场是一种对于人体生物电研究有着重要基础意义的典型电场，原子、分子、心肌细胞等的电性质都可以等效为电偶极子来描述。利用Matbal可模拟出电磁场中的物理量，以图形化的方式显示其分布及其计算结果，得到富有感染力的图形及计算结果。 2 理论推导电偶极子是由两个相距很近的等量异号点电荷+q与-q 所组成的带电系统，从电偶极子的负电荷作一矢径到正电荷，称为电偶极子的轴线。以电偶极子中心为原点，电场中任意一点a 的位矢为, 与之间的夹角为θ，r l 。根据电势叠加原理，a 点的总电势应为[1]： U=U++U- [1] 1/4πε0·qlcosθr2=1/4πε0·pcosθr2 U+ 与U- 分别为正、负电荷在a 点产生的电势，p为电偶极子的电偶极矩，=q ，表征电偶极子的整体电性质。上式子说明电偶极子电场中电势的分布与方位有关。以电偶极子轴线的中垂面为零势面将整个电场分为正、负两个对称的区域，正电荷所在一侧为正电势区，负电荷所在一侧为负电势区。在球坐标系中，电偶极子的电场中的场强为： Er=1/4πε0·2pcosθr3 Eθ=1/4πε0·psinθr3 特殊地，在电偶极子轴线延长线上，θ=0 或π ，Eθ=0 ，E=Er=1/4πε0·2pr3 在电偶极子的中垂面上，θ=π2 ，Er=0 ，E=Eθ=1/4πε0·pr3

3.1主程序 clear;clc;q=2e-6;k=9e9;a=2.0;b=0;x=-6:0.6:6;y=x; [X,Y]=meshgrid(x,y); rp=sqrt((X-a).^2+(Y-b).^2); rm=sqrt((X+a).^2+(Y+b).^2); V=q*k*(1./rp-1./rm); [Ex,Ey]=gradient(-V); AE=sqrt(Ex.^2+Ey.^2); Ex=Ex./AE;Ey=Ey./AE; cv=linspace(min(min(V)),max(max(V)),51); contour(X,Y,V,cv,'r-') %axis('square') title('\fontname{宋体}、fontsize{11} 电偶极子的电场线与等势线'),hold on quiver(X,Y,Ex,Ey,0.6,'g') plot(a,b,'bo',a,b,'g+') plot(-a,-b,'bo',-a,-b,'bo',-a,-b,'w-') xlabel('x');ylabel('y'),hold off 3.2 模拟图像

matlab结题报告(电偶极子的辐射场)

————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：

电偶极子的辐射场背景与意义：对于一个带电体来说，如果正负电荷呈电偶分布，正、负电荷的重心不重合，那么讨论这种带电体的电场时，可以把它模拟成两个相距很近的等量异号的点电荷+q 和?q ，这样的带电系统称为电偶极子。实际生活中电偶极子的例子随处可见，例如，在研究电解质极化时，采用重心模型描述后电解质分子可等效为电偶极子；在电磁波的发射和吸收中电子做周期性运动形成振荡电偶极子；生物体所有的功能和活动都以生物电的形式涉及到电偶极子的电场等，当天线长度l 远小于波长时，它的辐射就是电偶极辐射。因此，研究电偶极子在空间激发的电场问题具有重要意义。我们主要讨论宏观电荷系统在其线度远小于波长情形下的辐射问题。基本内容介绍： 1. 计算辐射场的一般公式 A B ??= (1) B k ic E ??= （2）其中 (3) 若电流J 是一定频率的交变电流，有 (4) 代入（3）式得，（5）式中为波数。令有 ')'(π4μ)(0dV r e x J x A V ikr ?= （6） 2. 失势的展开在失势公式（6）中，存在三个线度：电荷分布区域的线度l ，它决定积分区的大小；波长以及电荷到场点的距离r 。我们研究分布于一个小区域的电流所产生的辐射。所谓小区域是指它的线度远小于波长以及观察距离r ，即 λ<

关于电偶极子matlab的资料

电偶极子定义：一个实体，它在距离充分大于本身几何尺寸的一切点处产生的电场强度都和一对等值异号的分开的点电荷所产生的电场强度相同。电偶极子（electric dipole）是两个相距很近的等量异号点电荷组成的系统。电偶极子的特征用电偶极距P＝lq描述，其中l是两点电荷之间的距离， l和P的方向规定由－q指向＋q。电偶极子在外电场中受力矩作用而旋转，使其电偶极矩转向外电场方向。电偶极矩就是电偶极子在单位外电场下可能受到的最大力矩，故简称电矩。如果外电场不均匀，除受力矩外，电偶极子还要受到平移作用。电偶极子产生的电场是构成它的正、负点电荷产生的电场之和。主要内容公式1 相距为l的一对等量异号点电荷+q和-q，并且它们到观察点P的距离r>>l。通常的媒质分子在外电场的作用下可以形成这种电偶极子。电偶极子的特征用电偶极矩（或电矩）p＝lq表示，l和p的方向规定由-q指向+q。电矩p的国际制单位为C·m（库·米）。微观物理学中常用的单位为德拜(debye)；1德拜＝3.336×10-30C·m，它相当于典型分子内部核间距离的十分之一(约2×10-11m)同一个电子的电荷e=1.6×10-19C的乘积。电偶极子产生的电场公式2

＋q和－q分别在观察点P(r)产生的电位的代数和即电偶极子产生的电位。公式1中墷只对P点的坐标变量运算。在P点的电场强度为（公式2）。外电场中的电偶极子若电偶极子＋q和－q所在点的外电场的电位为V1和V2,则偶极子的位能W=qV1-qV2=q(l·墷)V＝p·墷V＝-p·E o,式中E o为点偶极子所在的外电场强度。偶极子在外电场中受到平移力 F＝-墷W＝墷(p·E o)＝(p·墷)E o。公式3 如果外电场均匀，E o为常量，则F＝0。偶极子在外电场作用下受到的力矩T＝-дW／дθ＝pE osinθ或T＝p×E o，它使电矩p同外电场强度E o的夹角减小。如果p同E o平行，则力矩T＝0。并可看到p的量值也就是电偶极子在单位外电场(E o=1)下可电偶极子能受到的最大力矩，故称电矩。如果点偶极子p1 处于另一偶极子p2 产生的电场E2(r)中，则p1的位能即相互作用能为（公式3）。

关于二维电n极子电势分布的一种试探性观点

关于二维电2n 极子电势分布的一种试探性观点孟雨 2011级物理工程学院物理三班摘述：我们书中仅给出了二维电偶极子的电势分布规律，然而其他电极子呢？它们之间是否有潜在的规律呢？先仅对二维电2n 极子的个别例子进行简单计算，寻找其中规律，以期找到描述规律的通式。以下我们将对几个电极子进行求解，下面几个例子中各点电荷间距均为L,其中涉及的夹角θ）【π2,0∈，且r>>L.下面将不再重复。一电偶极子的电势分布如右图所示：易知：）（则其中 202220210212222212 0104/cos )4/cos /(cos *4/)/1/1(*4/cos *2/)sin ()2/cos (cos *2/)sin ()2/cos (/1*4/2;/1*4/1r qL L r L q r r q U U U L r r L r r L r r L r r r q U r q U πεθθθπεπεθθθθ θθπεπε≈-=-=+=+≈++=-≈+-=-== 二电四极子的电势分布

如右图所示：则）（42310/1/1/1/1*4/r r r r q U P --+=πε 其中 ) sin (cos *2/)2/sin ()2/cos () sin (cos *2/)2/sin ()2/cos () sin (cos *2/)sin (cos 2/)sin (cos )2/-sin ()2/cos (223222222221θθθθθθθθθθθθθθθθ++≈+++=-+≈-++=+-≈+-≈++-=+-=L r L r L r r L r L r L r r L r rL r L rL r L r L r r )sin (cos *2/)2/sin ()2/cos (224θθθθ--≈++-=L r L r L r r 则： θπεθθθθθθθθθθθθθ2sin */*4//2sin )] 16/2sin )4//((2sin *2/1[2/1/1/1/1)) 2sin 1(*4//(2)) sin (cos *2//(1))sin (cos *2//(1/1/1) 4/)2sin 1(/(2)) sin (cos 2//(1))sin (cos *2//(1/1/13203 2242222423122422231r L q Up r L L L r L r r r r r L r r L r L r r r L r r L r L r r r =≈--=--+--=--+-+=++-=++++-=+故故三电六极子的电势分布如右图所示：

电偶极子的场及辐射

收稿日期：2003-06-14 作者简介：吕宽州（1963-），男，河南扶沟人，郑州经济管理干部学院讲师。文章编号：1004-3918（2003）05-0512-03 电偶极子的场及辐射吕宽州1，姜俊2 （1.郑州经济管理干部学院，河南郑州450053；2.河南省科学院，河南郑州450002）摘要：采用了镜像法等方法对电偶极子及其产生的静电场、电磁场及辐射等做了较系统和深入的分析、研究，使分析方便、简化，推出的结论有一定实际指导意义。关键词：电偶极子；电场；磁场；辐射中图分类号：0442 文献标识码：A 在很多文献上，缺乏对电偶极子及其产生的静电场、电磁场及辐射等较系统和深入的分析、研究。本文参考有关文献给出或分析、推出了重要结论，部分内容采用了镜像法，使分析更方便。 !电偶极子及其产生的静电场电偶极子由一对正、负点电荷组成，电量为l ，相距为l ，如图1所示。其电偶极矩p =l l ，l 的方向由~ l 指向+l ，在T 处产生的电场的电势为：#（r ）= l 4L e 0T +_ l 4L e 0T _ 当T !l 时， #（r ）=l l cOs 64L e 0T 2=p ?e r 4L e 0T 2（1）电场强度为： E =_"@=e r P cOs 62L e 0T 3+e !P si n 6 4L e 0T 3 （2）以上结果表明，电偶极子的电势及电场强度的大小分别与距离的平方、三次方成反比，既存在于近区，且与方位角有关，这些特点都与点电荷的电场显著不同。图2 绘出了电偶极子的电力线与等位面。 0ct .2003

!电偶极子产生的电磁场及辐射当P =P 0e -j G t 时，为谐振电偶极子，P 0为常矢，则在近区，即l H T 时，主要地一方面将感应如上所述的静电场，另一方面，相当于I =j G C 、长为l 的电流元还将产生一稳恒磁场，其规律可用毕萨定律描述，且电场与磁场的相位相差为90 ，即电场能量与磁场能量相互转换，而平均波印亭矢量为零，故不产生辐射。这里主要讨论远区，即T H l 、T H X 时的辐射场。由文献［2］知，矢量磁位A （r ）= H 04K T e j aT P （3）若电偶极子位于球坐标原点，并以p 方向为极轴，则磁感应强度由B =U >A 得：B =14K E 0c 3T e j aT P ?? >e r =P ?? 4K E 0c 3T e j aT si n !e !（4）而电场强度： E =c B >e r =P ?? 4K E 0c 2T e j aT si n !e "（5）可见B 沿纬线振荡，磁力线是围绕极轴的圆周，E 沿经线振荡，电力线是经面上的闭合曲线。电偶极子辐射平均能流密度为： s =12 R e （ E 。>H ）=c 2H 0B 2e r =P ?? 2 32K 2E 0 c 3T 2si n 2G e r （6）由上式知，在G =90 的平面上辐射最强，而沿电偶极矩轴线方向没有辐射，既具有方向性。把s 对球面积分即得辐射功率： P =f s R 2 d O =P ?? 2 32K 2E 0 c 3f si n 2G d O =14K E 0P ?? 23c 3（7）由上式知，若保持电偶极矩振幅不变，则辐射正比于频率的四次方，频率越高，辐射功率越大。而辐射功率与距离T 无关，说明电磁场可以传播到无限远，既近区以感应的静电场和稳恒磁场为主，远区以电偶极子辐射场为主（忽略磁偶极子及电四极子的较弱辐射）。 "无限大导体平面附近电偶极子的辐射在工程上，讨论导体平面或近似导体平面附近电偶极子的辐射具有实际意义，这里以理想的无限大导体平面为例进行讨论。如图3所示，p 表示电偶极矩p 在导体中的镜像，在a H X 时，可不考虑推迟效应，p 与 T e j （aT ~G t ） 210cos O e Z 故远处产生的电磁场为： B =U >A =~G 2 H 010cos O 2K Tc e j （aT ~G t ） si n G e ! E =c B >e r =~G 2H 010cos O 2K T e j （aT ~G t ） si n G e " 平均能流密度： s =c 2H 0B 2 e r =G 4120cos 2O 8K 2E 0c 3T 2si n 2G e r — 3 15—2003年10月电偶极子的场及辐射