高中立体几何证明垂直的专题训练

高中立体几何证明垂直的专题训练

深圳龙岗区东升学校—— 罗虎胜

立体几何中证明线面垂直或面面垂直都可转化为 线线垂直，而证明线线垂直一般有以下的一些方法： （1） 通过“平移”。

（2） 利用等腰三角形底边上的中线的性质。 （3） 利用勾股定理。

（4） 利用三角形全等或三角行相似。 (5) 利用直径所对的圆周角是直角，等等。

(1) 通过“平移”,根据若αα平面则平面且⊥⊥a b b a ,,//

1．在四棱锥P-ABCD 中，△PBC 为正三角形，AB ⊥平面PBC ，AB ∥CD ，AB=

2

1

DC ，中点为PD E .求证：AE ⊥平面PDC.

分析：取PC 的中点F ，易证AE//BF ，易证

B F ⊥平面PDC

2．如图，四棱锥P －ABCD ABCD ，∠PDA=45°，点E 为棱AB 的中点． 求证：平面PCE ⊥平面PCD ；

分析：取PC 的中点G ，易证EG//AF ，又易证A F 于是E G ⊥平面PCD,则平面PCE ⊥平面PCD

3

、如图所示，在四棱锥P ABCD -中，

（第2题图）

AB PAD ⊥平面,//AB CD ,PD AD =,E 是PB 的中点，F 是CD 上的点，且

1

2

DF AB =

,PH 为PAD ?中AD 边上的高。 （1）证明：PH ABCD ⊥平面；

（2）若121PH AD FC ===，，，求三棱锥E BCF -的体积； （3）证明：EF PAB ⊥平面.

分析：要证EF PAB ⊥平面，只要把FE 平移到DG ，也即是取AP 的中点G ，易证EF//GD, 易证D G ⊥平面PAB

4.如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形

,,2,BA AD CD AD CD AB PA ⊥⊥=⊥底面ABCD ,

E 为PC 的中点, P A ＝AD 。 证明: BE PDC ⊥平面;

分析：取PD 的中点F ，易证AF//BE, 易证A F ⊥平面PDC

（2）利用等腰三角形底边上的中线的性质

5、在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=，AP BP AB ==，

PC AC ⊥． （Ⅰ）求证：PC AB ⊥；

（Ⅱ）求二面角B AP C --的大小；

6、如图，在三棱锥P ABC -中，⊿PAB 是等边三角形，∠P AC =∠PBC =90 o

A

C

B

P

证明：AB ⊥PC

因为PAB ?是等边三角形，90PAC PBC ∠=∠=?, 所以Rt PBC Rt PAC ???,可得AC BC =。 如图，取AB 中点D ，连结PD ,CD , 则PD AB ⊥,CD AB ⊥, 所以AB ⊥平面PDC , 所以AB PC ⊥。

（3）利用勾股定理

7、如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为1的正方形，,1, 2.PA CD PA PD ⊥==

求证:PA ⊥平面ABCD ；

8、如图1，在直角梯形ABCD 中，CD AB //，AD AB ⊥，且12

1

==

=CD AD AB ． 现以AD 为一边向形外作正方形ADEF ，然后沿边AD 将正方形ADEF 翻折，使平面

ADEF 与平面ABCD 垂直，M 为ED 的中点，如图2． （1）求证：AM ∥平面BEC ；

（2）求证：⊥BC 平面BDE ； 9、如图，

四

_ D

_ C

_ B

_ A

_ P

M A

F

B

C

D

E

M

E

D

C

C

A

D

B

O

E

面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点， 2, 2.CA CB CD BD AB AD ====== （1）求证：AO ⊥平面BCD ；

（2）求异面直线AB 与CD 所成角的大小；

（1）证明：连结OC ,,.BO DO AB AD AO BD ==∴⊥ ,,.BO DO BC CD CO BD ==∴⊥

在AOC ?中，由已知可得1, 3.AO CO == 而2,AC =

222,AO CO AC ∴+=90,o AOC ∴∠=即.AO OC ⊥

,BD OC O = AO ∴⊥平面BCD

10、如图，四棱锥S ABCD -中，BC

AB ⊥,BC CD ⊥，侧面SAB 为等边三角形，

2,1AB BC CD SD ====．

（Ⅰ）证明：SD SAB ⊥平面;

（Ⅱ）求AB 与平面SBC 所成角的大小．

解法一：

（I ）取AB 中点E ，连结DE ，则四边形BCDE 为

矩形，DE=CB=2，连结SE ，则, 3.SE AB SE ⊥=

又SD=1，故222

ED SE SD =+，

所以DSE ∠为直角。 由,,AB DE AB SE DE

SE E ⊥⊥=，

得AB ⊥平面SDE ，所以AB SD ⊥。 SD 与两条相交直线AB 、SE 都垂直。 所以SD ⊥平面SAB 。

（4）利用三角形全等或三角行相似

11．正方体ABCD—A1B1C1D1中O为正方形ABCD的中心，M为BB1的中点，求证：D1O⊥平面MAC.

分析：法一：取AB的中点E，连A1E,OE,易证△AB M≌A1AE,

于是A M⊥A1E,又∵O E⊥平面ABB1A1∴OE⊥AM,

∴AM⊥平面OEA1D1∴AM⊥D1O

法二：连OM,易证△D1D O∽OBM,于是D1O⊥OM

12．如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，

D为CC1中点. 求证：AB1⊥平面A1BD；

分析：取BC的中点E，连AE,B1E,易证△DC B≌△EBB1，

从而B D⊥EB1

13、.如图，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，

过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E，交B1C于点F，

求证：A1C⊥平面BDE；

（5）利用直径所对的圆周角是直角

14、如图，AB 是圆O 的直径，C 是圆周上一点，P A ⊥平面ABC . （1）求证：平面P AC ⊥平面PBC ；

（2）若D 也是圆周上一点，且与C 分居直径AB 的两侧，试写出图中所有互

相垂直的各对平面.

O A

C B

P

.

15、如图，在圆锥PO 中，已知PO =2，⊙O 的直径2AB =,C 是狐AB 的中点，D 为

AC 的中点．证明：平面POD ⊥平面PAC ;

16、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ．以BD 的中点O 为球心、BD 为直径的球面交PD 于点M ．

求证：平面ABM ⊥平面PCD ； ．

证：依题设，Ｍ在以ＢＤ为直径的球面上，则ＢＭ⊥ＰＤ. 因为ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，则ＰＡ⊥ＡＢ，又ＡＢ⊥ＡＤ， 所以ＡＢ⊥平面ＰＡＤ，则ＡＢ⊥ＰＤ，因此有ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，所以平面ＡＢＭ⊥平面ＰＣＤ.

O

A

P

B

M