立体几何垂直证明题常见模型与方法

立体几何垂直证明题常见模型及方法

证明空间线面垂直需注意以下几点：

①由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路。

②立体几何论证题的解答中，利用题设条件的性质适当添加辅助线（或面）是解题的常用方法之一。

③明确何时应用判定定理，何时应用性质定理，用定理时要先申明条件再由定理得出相应结论。

垂直转化：线线垂直 线面垂直 面面垂直；

基础篇

类型一：线线垂直证明（共面垂直、异面垂直）

（1） 共面垂直：实际上是平面内的两条直线的垂直 （只需要同学们掌握以下几种模

型）

○1 等腰（等边）三角形中的中线

○

2 菱形（正方形）的对角线互相垂直 ○3勾股定理中的三角形 ○4 1:1:2 的直角梯形中 ○5 利用相似或全等证明直角。

例：在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为底面ABCD 的中心，E 为1CC ,求证：1A O OE ⊥

（2） 异面垂直 （利用线面垂直来证明，高考中的意图） 例1 在正四面体ABCD 中，求证AC BD ⊥

变式 1 如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形，已知

60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB ．

证明：AD PB ⊥；

变式2 如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点F 是BC 的中点，将△AED,△DCF 分别沿,DE DF 折起，使,A C 两点重合于'

A . 求证:'A D EF ⊥；

变式3如图，在三棱锥P ABC -中，⊿PAB 是等边三角形，∠P AC =∠PBC =90 o证明：AB ⊥PC

类型二：线面垂直证明

方法○1 利用线面垂直的判断定理

例2：在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为底面ABCD 的中心，E 为1CC ,求证：

1A O BDE ⊥平面

变式1：在正方体1111ABCD A B C D -中，,求证：1

1AC BDC ⊥平面 变式2：如图：直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中， AC =BC =AA 1=2，∠ACB =90?.E 为BB 1

的中点，D 点在AB 上且DE = 3 . 求证：CD ⊥平面A 1ABB 1；

B

E

'A

D

F

G

变式3：如图，在四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，

变式4 如图，在底面为直角梯形的四棱锥P ABCD -中，

AD BC ∥，90ABC ∠=°，PA ⊥平面ABCD ．3PA =，2AD =，AB =6BC =

C

类型3：面面垂直的证明。(本质上是证明线面垂直)

2AD DE AB ==，F 为CD 的中点.

(1) 求证：//AF 平面BCE ； (2) 求证：平面BCE ⊥平面CDE ； 例

2 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，

60AB AD AC CD ABC ⊥⊥∠=，，°，PA AB BC ==，E 是PC 的中点．

（1）证明CD AE ⊥； （2）证明PD ⊥平面ABE ；

变式1已知直四棱柱ABCD —A ′B ′C ′D ′的底面是菱形，?=∠60ABC ，E 、F 分别是棱CC ′与BB ′上的点，且EC=BC =2FB =2． （1）求证：平面AEF ⊥平面AA ′C ′C ；

A

B C

D

E

F

A

B

C

D

P

E

举一反三

1.设M 表示平面，a 、b 表示直线，给出下列四个命题：

①

M b M a b a ⊥????⊥// ②b a M b M a //????⊥⊥ ③????⊥⊥b a M a b ∥M ④??

??⊥b a M a //b ⊥M .

其中正确的命题是 ( )

A.①②

B.①②③

C.②③④

D.①②④ 2.下列命题中正确的是 ( )

A.若一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面

B.若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面

C.若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线

D.若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面 3.如图所示，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点.现在沿DE 、DF 及EF 把△ADE 、△CDF 和△BEF 折起，使A 、B 、C 三点重合，重合后的点记为P .那么，在四面体P —DEF 中，必有 ( )

A.DP ⊥平面PEF

B.DM ⊥平面PEF

C.PM ⊥平面DEF

D.PF ⊥平面DEF 4.设a 、b 是异面直线，下列命题正确的是 ( )

A.过不在a 、b 上的一点P 一定可以作一条直线和a 、b 都相交

B.过不在a 、b 上的一点P 一定可以作一个平面和a 、b 都垂直

C.过a 一定可以作一个平面与b 垂直

D.过a 一定可以作一个平面与b 平行

5.如果直线l ,m 与平面α,β,γ满足:l =β∩γ,l ∥α,m ?α和m ⊥γ,那么必有 ( ) A.α⊥γ且l ⊥m B.α⊥γ且m ∥β C.m ∥β且l ⊥m D.α∥β且α⊥γ

6.AB 是圆的直径，C 是圆周上一点，PC 垂直于圆所在平面，若BC =1,AC =2,PC =1，则P 到AB 的距离为 ( )

A.1

B.2

C.

552 D.5

5

3 7.有三个命题：

①垂直于同一个平面的两条直线平行；

②过平面α的一条斜线l 有且仅有一个平面与α垂直；

③异面直线a 、b 不垂直，那么过a 的任一个平面与b 都不垂直 其中正确命题的个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3

8.d 是异面直线a 、b 的公垂线，平面α、β满足a ⊥α，b ⊥β，则下面正确的结论是 ( )

A.α与β必相交且交线m ∥d 或m 与d 重合

第3题图

B.

α与β必相交且交线m ∥d 但m 与d 不重合 C.α与β必相交且交线

m 与d 一定不平行 D.α与β不一定相交

9.设l 、m 为直线，α为平面，且l ⊥α，给出下列命题

① 若m ⊥α，则m ∥l ；②若m ⊥l ，则m ∥α；③若m ∥α，则m ⊥l ；④若m ∥l ，

则m ⊥α， 其中真命题．．．的序号是 ( ) A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④

10.已知直线l ⊥平面α，直线m 平面β，给出下列四个命题：

①若α∥β，则l ⊥m ；②若α⊥β，则l ∥m ；③若l ∥m ，则α⊥β；④若l ⊥m ，则α∥β.

其中正确的命题是 ( )

A.③与④

B.①与③

C.②与④

D.①与②

二、思维激活

11.如图所示，△ABC 是直角三角形，AB 是斜边，三个顶点在平面α的同侧，它们在α内的射影分别为A ′，B ′，C ′，如果△A ′B ′C ′是正三角形，且AA ′＝3cm ，BB ′＝5cm ，CC ′＝4cm ，则△A ′B ′C ′的面积是 .

12.如图所示,在直四棱柱A 1B 1C 1D 1—ABCD 中,当底面四边形ABCD 满足条件 时,有A 1C ⊥B 1D 1(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形)

13.如图所示，在三棱锥V —ABC 中，当三条侧棱VA 、VB 、VC 之间满足条件 时，有VC ⊥AB .(注：填上你认为正确的一种条件即可)

三、能力提高

14.如图所示,三棱锥V -ABC 中,AH ⊥侧面VBC ,且H 是△VBC 的垂心，BE 是VC 边上的高.

(1)求证:VC ⊥AB ;

(2)若二面角E —AB —C 的大小为30°,求VC 与平面ABC 所成角的大小. 第11题图 第12题图 第13题图

15.如图所示，P A

⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点. (1)求证：MN ∥平面P AD . (2)求证：MN ⊥CD .

(3)若∠PDA ＝45°，求证：MN ⊥平面PCD .

16.如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，∠BAD ＝60°，AB ＝4，AD ＝2，侧棱PB ＝15，PD ＝3.

(1)求证：BD ⊥平面P AD .

(2)若PD 与底面ABCD 成60°的角，试求二面角P —BC —A 的大小.

17.已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ACB =90°,∠BAC =30°,BC =1，AA 1=6，M 是CC 1的中点，求证：AB 1⊥A 1M ．

18.如图所示，正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′的棱长为a ，M 是AD 的中点，N 是BD ′上一点，且D ′N ∶NB ＝1∶2，MC 与BD 交于P .

(1)求证：NP ⊥平面ABCD .

(2)求平面PNC 与平面CC ′D ′D 所成的角. (3)求点C 到平面D ′MB 的距离.

第15题图

第16题图

第18题图

第4课 线面垂直习题解答

1.A 两平行中有一条与平面垂直，则另一条也与该平面垂直，垂直于同一平面的两直线平行.

2.C 由线面垂直的性质定理可知.

3.A 折后DP ⊥PE ,DP ⊥PF ，PE ⊥PF .

4.D 过a 上任一点作直线b ′∥b ,则a ，b ′确定的平面与直线b 平行.

5.A 依题意,m ⊥γ且m ?α,则必有α⊥γ,又因为l =β∩γ则有l ?γ,而m ⊥γ则l ⊥m ,故选A.

6.D

过P 作PD ⊥AB 于D ，连CD ，则CD ⊥AB ，AB =

522=+BC AC ，

5

2

=?=

AB BC AC CD ， ∴PD =5

5

354122=+

=+CD PC . 7.D 由定理及性质知三个命题均正确.

8.A 显然α与β不平行.

9.D 垂直于同一平面的两直线平行，两条平行线中一条与平面垂直，则另一条也与该平面垂直.

10.B ∵α∥β，l ⊥α，∴l ⊥m

11.

2

3cm 2

设正三角A ′B ′C ′的边长为a . ∴AC 2=a 2+1,BC 2=a 2+1,AB ２

=a 2+4， 又AC 2+BC 2=AB 2，∴a 2=2．

S △A ′B ′C ′=

2

3

432=

?a cm 2． 12.在直四棱柱A 1B 1C 1D 1—ABCD 中当底面四边形ABCD 满足条件AC ⊥BD (或任何能推导出这个条件的其它条件，例如ABCD 是正方形，菱形等)时,有A 1C ⊥B 1D 1(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形).

点评：本题为探索性题目，由此题开辟了填空题有探索性题的新题型，此题实质考查了三垂线定理但答案不惟一,要求思维应灵活.

13.VC ⊥VA ，VC ⊥AB . 由VC ⊥VA ，VC ⊥AB 知VC ⊥平面VAB . 14.(1)证明:∵H 为△VBC 的垂心,

∴VC ⊥BE ,又AH ⊥平面VBC ,

∴BE 为斜线AB 在平面VBC 上的射影,∴AB ⊥VC . (2)解:由(1)知VC ⊥AB ,VC ⊥BE ,

∴VC ⊥平面ABE ,在平面ABE 上,作ED ⊥AB ,又AB ⊥VC , ∴AB ⊥面DEC .

∴AB ⊥CD ,∴∠EDC 为二面角E —AB —C 的平面角， ∴∠EDC =30°,∵AB ⊥平面VCD , ∴VC 在底面ABC 上的射影为CD .

∴∠VCD 为VC 与底面ABC 所成角,又VC ⊥AB ,VC ⊥BE , ∴VC ⊥面ABE ,∴VC ⊥DE ,

∴∠CED =90°,故∠ECD=60°,

∴VC 与面ABC 所成角为60°.

15.证明：(1)如图所示，取PD 的中点E ，连结AE ，EN ， 则有EN ∥CD ∥AB ∥AM ，EN ＝

21CD ＝2

1

AB ＝AM ，故AMNE 为平行四边形. ∴MN ∥AE .

∵AE 平面P AD ，MN 平面P AD ，∴MN ∥平面P AD . (2)∵P A ⊥平面ABCD ， ∴P A ⊥AB .

又AD ⊥AB ，∴AB ⊥平面P AD . ∴AB ⊥AE ，即AB ⊥MN . 又CD ∥AB ，∴MN ⊥CD .

(3)∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥AD . 又∠PDA ＝45°，E 为PD 的中点.

∴AE ⊥PD ，即MN ⊥PD .又MN ⊥CD ， ∴MN ⊥平面PCD .

16.如图(1)证：由已知AB ＝4，AD ＝２，∠BAD ＝60°， 故BD 2＝AD 2+AB 2-2AD ·AB cos60°＝4+16-2×2×4×2

1

＝12. 又AB 2＝AD 2+BD 2，

∴△ABD 是直角三角形，∠ADB ＝90°，

即AD ⊥BD .在△PDB 中，PD ＝3，PB ＝15，BD ＝12， ∴PB 2＝PD 2+BD 2，故得

PD ⊥BD .又PD ∩AD ＝D ，

∴BD ⊥平面P AD .

(2)由BD ⊥平面P AD ，BD 平面ABCD . ∴平面P AD ⊥平面ABCD .作PE ⊥AD 于E ， 又PE 平面P AD ，

∴PE ⊥平面ABCD ，∴∠PDE 是PD 与底面ABCD 所成的角. ∴∠PDE ＝60°，∴PE ＝PD sin60°＝2

3233=?. 作EF ⊥BC 于F ，连PF ，则PF ⊥BF ， ∴∠PFE 是二面角P —BC —A 的平面角. 又EF ＝BD ＝12，在Rt △PEF 中，

第15题图解

第16题图解

tan ∠PFE ＝4

3

3223

=

=EF PE . 故二面角P —BC —A 的大小为arctan

4

3

. 17.连结AC 1，∵

1

11

1

22

63A C CC MC AC

=

==. ∴Rt △ACC 1∽Rt △MC 1A 1， ∴∠AC 1C =∠MA 1C 1，

∴∠A 1MC 1+∠AC 1C =∠A 1MC 1+∠MA 1C 1=90°. ∴A 1M ⊥AC 1,又ABC -A 1B 1C 1为直三棱柱，

∴CC 1⊥B 1C 1，又B 1C 1⊥A 1C 1，∴B 1C 1⊥平面AC 1M . 由三垂线定理知AB 1⊥A 1M .

点评：要证AB 1⊥A 1M ，因B 1C 1⊥平面AC 1，由三垂线定理可转化成证AC 1⊥A 1M ，而AC 1⊥A 1M 一定会成立． 18.(1)证明：在正方形ABCD 中， ∵△MPD ∽△CPB ，且MD ＝

2

1

BC ， ∴DP ∶PB ＝MD ∶BC ＝1∶2. 又已知D ′N ∶NB ＝1∶2，

由平行截割定理的逆定理得NP ∥DD ′，又DD ′⊥平面ABCD ， ∴NP ⊥平面ABCD .

(2)∵NP ∥DD ′∥CC ′，

∴NP 、CC ′在同一平面内，CC ′为平面NPC 与平面CC ′D ′D 所成二面角的棱. 又由CC ′⊥平面ABCD ，得CC ′⊥CD ，CC ′⊥CM ， ∴∠MCD 为该二面角的平面角. 在Rt △MCD 中可知 ∠MCD ＝arctan

2

1

，即为所求二面角的大小. (3)由已知棱长为a 可得，等腰△MBC 面积S 1＝22a ，等腰△MBD ′面积S 2＝2

4

6a ，设所

求距离为h ，即为三棱锥C —D ′MB 的高.

∵三棱锥D ′—BCM 体积为h S D D S 213

1

31='?，

∴.3

6

21a S a S h =?=

空间中的计算

基础技能篇 类型一：点到面的距离

方法1：直接法—把点在面上的射影查出来，然后在直角三角形中计算 例1：在正四面体ABCD 中，边长为a ，求点A 到面BCD 的距离。

变式1 在正四棱锥V-ABCD 中，底面ABCD 边长为a,侧棱长为b.求顶点V 到底面ABCD 的距离。

变式2在正四棱锥V-ABCD 中，底面ABCD 边长为a,侧棱长为b.求顶点A 到底面VCD 的距离。

方法2：等体积法求距离---在同一个三棱锥中利用体积不变原理，通过转换不同的底和高来达到目的。

例2 已知在三棱锥V —ABC 中，V A,VB,VC 两两垂直，V A=VB=3，VC=4，求

点V 到面ABC 的距离。

变式1：如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面1AEC F 所截而得到的，其

中14,2,3,1AB BC CC BE ====． （1）求BF 的长；

（2）求点C 到平面1AEC F 的距离．

_ A

_ B _ D

_ C _ O

_ A _ B

_ D

_ C

_ O

变式2 如图，在四棱锥ABCD O -中，底面ABCD 是四边长为1的菱形，4

π=

∠ABC ,

⊥OA 面ABCD , 2=OA ,．求点B 到平面OCD 的距离．

变式3在正四面体ABCD 中，边长为a ，求它的内切求的半径。 类型二：其它种类的距离的计算（点到线，点到点 ）

例 3 如图，在四棱锥ABCD O -中，底面ABCD 是四边长为1的菱形，4

=

∠ABC ,

⊥OA 面ABCD , 2=OA ,M 为OC 的中点，求AM 和点A 到直线OC 的距离．

举一反三

1．正三棱锥P-ABC 高为2，侧棱与底面所成角为45，则点A 到侧面PBC 的距离是

A ．54

B ．56

C ．6

D ．64 2．如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为1，高为8，一质点自A 点 出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周．．到达1A 点的最短路线的长为 A ．10 B ．20 C ．30 D ．40 二、填空题：

3．太阳光照射高为3m 的竹竿时，它在水平地面上的射影 为1m ，同时，照射地面上一圆球时，如图所示，其影子 的长度AB 等于33cm,则该球的体积为_________．

4．若一个正三棱柱的三视图如下图所示，则这个正三棱柱的高和底面边长分别为___ ．

主视图

俯视图

2

32

左视图

三、解答题：

5．已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧棱长和底面边长均为1，M 是底面BC 边上的中点，N 是侧棱CC 1上的点，且CN ＝2C 1N ．求点B 1到平面AMN 的距离．

6．一个多面体的直观图及三视图如图所示：（其中M 、N 分别是AF 、BC 的中点）. （1）求证：MN ∥平面CDEF ； （2）求多面体A —CDEF 的体积．

7．一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中M 、N 分别是AB 、AC 的中点，G 是DF 上的一动点. （1）求证：;AC GN ⊥

（2）当FG=GD 时，在棱AD 上确定一点P ，使得GP//平面FMC,并给出证明．

8．如图，已知正四棱锥ABCD S -,设E 为AB 的中点，F 为SC 的中点，M 为CD 边上

的点．

（1）求证：//EF 平面SAD ；

（2）试确定点M 的位置，使得平面⊥EFM 底面ABCD ．

9一个多面体的直观图、主视图、左视图、俯视图如图所示，M 、N 分别为B A 1、11C B 的中点． a a a 俯视图

左视图 主视图G E

F N M

D

C

B A B

A

C B M N

a

a

a

a

a

a

a

2主视图

左视图

俯视图

S C F D

A E O

（1） 求证：//MN 平面11A ACC ；

（2） 求证： MN 平面BC A 1．（3）求点A 到面ANM 的距离 10正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面边长为2

2，侧棱长为4. E ，F 分别为棱

AB ，BC 的中点，EF ∩BD =G .

（Ⅰ）求证：平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1； （Ⅱ）求点D 1到平面B 1EF 的距离d ； （Ⅲ）求三棱锥B 1—EFD 1的体积V .

11.在三棱锥S —ABC 中，∠SAB =∠SAC =∠ACB =90°，且AC =BC =5，SB =5

5.（如图9—21）

（Ⅰ）证明：SC ⊥BC ；

（Ⅱ）求侧面SBC 与底面ABC 所成二面角的大小； （Ⅲ）求三棱锥的体积V S －AB C .

图9—21