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立体几何垂直证明题常见模型及方法

证明空间线面垂直需注意以下几点：

①由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路。

②立体几何论证题的解答中，利用题设条件的性质适当添加辅助线（或面）是解题的常用方法之一。

③明确何时应用判定定理，何时应用性质定理，用定理时要先申明条件再由定理得出相应结论。

垂直转化：线线垂直线面垂直面面垂直；

基础篇

类型一：线线垂直证明（共面垂直、异面垂直）

（ 1）共面垂直：实际上是平面内的两条直线的垂直（只需要同学们掌握以下几种模型）

○1 等腰（等边）三角形中的中线

2菱形（正方形）的对角线互相垂直○

3勾股定理中的三角形

○

○41:1:2的直角梯形中○5利用相似或全等证明直角。

例：在正方体ABCD A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，E为 CC1,求证： A1O OE

（2）异面垂直（利用线面垂直来证明，高考中的意图）

例 1 在正四面体 ABCD中，求证 AC BD

变式 1 如图，在四棱锥P ABCD

中，底面

ABCD

是矩形，已知

AB 3, AD 2, PA 2, PD 2 2, PAB 60 ．证明： AD PB ；

变式 2 如图，在边长为

2 的正方形 ABCD 中，点 E 是 AB 的中点，点 F 是 BC 的中点，

将 △ AED, △ DCF 分别沿 DE , DF 折起，使 A,C 两点重合于 A '

.

A '

求证 : A '

D

EF ；

E

D

B

G

F

变式 3 如图，在三棱锥

P ABC 中，⊿ PAB 是等边三角形，∠

PAC=∠ PBC=90 o 证明： AB ⊥ PC

类型二：线面垂直证明

方法 ○1 利用线面垂直的判断定理

例 2：在正方体 ABCD

A 1

B 1

C 1

D 1 中， O 为底面 ABCD 的中心，

E 为 CC 1 ,求证：

A 1O 平面 BDE

变式 1：在正方体 ABCD

A 1

B 1

C 1

D 1 中， ,求证： AC 1 平面 BDC 1

变式 2：如图：直三棱柱 ABC － A 1B 1C 1 中， AC=BC=AA 1=2，∠ ACB=90 .E 为 BB 1

的中点， D 点在 AB 上且 DE= 3 .

求证： CD ⊥平面 A 1ABB 1；

变式 3 ：如图，在四面体ABCD 中，O、E 分别是BD、BC 的中点，

CA CB CD BD 2, AB AD 2.

A 求证：AO 平面 BCD ；

D

O

B

E

C 变式 4 如图，在底面为直角梯形的四棱锥P ABC

D 中，

AD ∥ BC，ABC 90°， PA 平面 ABCD ． PA 3， AD 2， AB 2 3，BC 6

1 求证：BD 平面 PAC

P

A D

E

○

利用面面垂直的性质定理B C

2

例 3：在三棱锥 P-ABC 中，PA 底面 ABC ,面 PAC 面 PBC ，求证： BC 面PAC 。

方法点拨：此种情形，条件中含有面面垂直。

变式 1, 在四棱锥P ABCD ，底面ABCD是正方形，侧面PAB是等腰三角形，且

面 PAB底面ABCD,求证：BC面PAB

变式 2：

类型 3：面面垂直的证明。(本质上是证明线面垂直 )

例 1 如图，已知AB 平面 ACD ，DE 平面 ACD，△ ACD 为等边三角形，

B

AD DE 2AB， F 为CD的中点.

E

(1) 求证： AF // 平面 BCE ； A

(2) 求证：平面 BCE 平面 CDE ；

C D

F

例 2 如图，在四棱锥P A B C

PA 底面

ABCD

中，，

AB AD，AC CD， ABC 60°

AB BC， E是 PC的中点．

， PA

（ 1）证明CD AE ；（2）证明 PD 平面 ABE ；

P

E

变式 1 已知直四棱柱ABCD —A′B′ C′ D′的底面是菱形，棱 CC′与 BB′上的点，且 EC=BC =2FB=2 ．

（ 1）求证：平面 AEF⊥平面 AA′C′C；

A D

C

B

ABC 60 ，E、F分别是

举一反三

1.设 M 表示平面， a 、 b 表示直线，给出下列四个命题：

a //

b a M a M

a // M ①

b M

②

b a // b ③

b

b ∥ M ④

b ⊥ M.

a M

M

a a b

其中正确的命题是 (

)

A. ①②

B.①②③

C.②③④

D.①②④

2.下列命题中正确的是

(

)

A. 若一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面

B.若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面

C.若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线

D.若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面 3.如图所示，在正方形 ABCD 中， E 、 F 分别是 AB 、 BC 的中点 .现在沿 DE 、 DF 及 EF

把△ ADE 、△ CDF 和△ BEF 折起，使 A 、 B 、C 三点重合，重合后的点记为

P.那么，在四面

体 P — DEF 中，必有

(

)

A. DP ⊥平面 PEF

B.DM ⊥平面 PEF

C.PM ⊥平面 DEF

D. PF ⊥平面 DEF

4.设 a 、 b 是异面直线，下列命题正确的是 (

)

A. 过不在 a 、 b 上的一点 P 一定可以作一条直线和 a 、 b 都相交

B.过不在 a 、 b 上的一点 P 一定可以作一个平面和 a 、 b 都垂直

C.过 a 一定可以作一个平面与 b 垂直 第 3题图

D.过 a 一定可以作一个平面与

b 平行

5.如果直线 l,m 与平面 α,β ,γ 满足 :l=β ∩γ ,l ∥α ,m α 和 m ⊥ γ ,那么必有()

A. α ⊥ γ且 l ⊥m

B. α ⊥γ 且 m ∥ β

C.m ∥ β 且 l ⊥ m

D.α ∥ β 且 α ⊥ γ 6.AB 是圆的直径， C 是圆周上一点， PC 垂直于圆所在平面，若 BC=1,AC=2,PC=1，则 P 到 AB 的距离为

()

A.1

B.2

2 5

3 5

C.

D.

5

5

7.有三个命题：

①垂直于同一个平面的两条直线平行；

②过平面 α 的一条斜线 l 有且仅有一个平面与 α垂直；③异面直线 a 、b 不垂直，那么过 a 的任一个平面与 b 都不垂直 其中正确命题的个数为

( )

A.0

B.1

C.2

D.3

8.d 是异面直线 a 、 b 的公垂线，平面 α 、β 满足 a ⊥ α， b ⊥ β，则下面正确的结论是 (

)

A. α 与 β必相交且交线 m ∥ d 或 m 与 d 重合

B.α 与 β 必相交且交线 m ∥ d 但 m 与 d 不重合

C.α 与 β 必相交且交线 m 与 d 一定不平行

D.α 与 β不一定相交

9.设 l 、 m 为直线， α 为平面，且 l ⊥α ，给出下列命题

① 若 m ⊥ α，则 m ∥ l ；②若 m ⊥ l ，则 m ∥α ；③若 m ∥α ，则 m ⊥ l ；④若 m ∥l ，则

m ⊥ α ，

其中真命题 的序号是

(

)

A. ①②③

B.①②④

C.②③④

D. ①③④

10.已知直线l⊥平面α，直线 m平面β，给出下列四个命题：

①若α∥ β，则 l ⊥m；②若α ⊥ β，则 l ∥ m；③若 l ∥ m，则α⊥ β；④若 l ⊥m，则α∥ β .

其中正确的命题是()

A. ③与④

B.①与③

C.②与④

D. ①与②

二、思维激活

11.如图所示，△ ABC 是直角三角形， AB 是斜边，三个顶点在平面α的同侧，它们在α内的射影分别为 A′， B′， C′，如果△ A′ B′ C′是正三角形，且 AA′＝ 3cm， BB′＝

5cm， CC′＝ 4cm，则△ A′ B′ C′的面积是.

第 11题图第13题图

第 12 题图

12.如图所示 ,在直四棱柱 A1B1C1D 1— ABCD 中 ,当底面四边形ABCD 满足条件时 , 有 A1C⊥B1D 1(注 :填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形 )

13.如图所示，在三棱锥 V—ABC 中，当三条侧棱 VA、VB、VC 之间满足条件时，有 VC⊥ AB.(注：填上你认为正确的一种条件即可)

三、能力提高

14.如图所示 ,三棱锥 V-ABC 中 ,AH⊥侧面 VBC,且 H 是△ VBC 的垂心， BE 是 VC 边上的

高 .

(1)求证 :VC⊥ AB;

(2)若二面角E— AB— C 的大小为30° ,求 VC 与平面 ABC

所成角的大小.

第 14题图

15.如图所示， PA⊥矩形 ABCD 所在平面， M、N 分别是 AB、 PC 的中点 .

(1)求证： MN ∥平面 PAD .

(2)求证： MN ⊥ CD .

(3)若∠ PDA＝ 45°，求证： MN ⊥平面 PCD.

第15题图

16.如图所示，在四棱锥P— ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，∠BAD ＝ 60°， AB ＝4，AD＝2，侧棱 PB＝15 ，PD＝ 3 .

(1)求证： BD ⊥平面 PAD .

(2)若 PD 与底面 ABCD 成 60°的角，试求二面角P— BC— A 的大小 .

第16题图

17.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB =90° ,∠BAC=30 °,BC=1，AA1= 6 ，M是CC1 的中点，求证：AB1⊥ A1M．

18.如图所示，正方体 ABCD — A′B′ C′ D′的棱长为 a，M 是 AD 的中点， N 是 BD ′上一点，且 D′ N∶NB ＝1∶ 2， MC 与 BD 交于 P.

(1)求证： NP⊥平面 ABCD .

(2)求平面 PNC 与平面 CC′ D′ D 所成的角 .

(3)求点 C 到平面 D ′ MB 的距离 .

第 18题图

第 4 课

线面垂直习题解答

1.A 两平行中有一条与平面垂直，则另一条也与该平面垂直，垂直于同一平面的两直线平

行 .

2.C 由线面垂直的性质定理可知 .

3.A 折后 DP ⊥ PE,DP ⊥ PF ， PE ⊥ PF.

4.D 过 a 上任一点作直线 b ′∥ b,则 a ， b ′确定的平面与直线 b 平行 .

5.A

,m ⊥ γ且 m α ,则必有 α ⊥ γ ,又因为 l=β ∩ γ则有 l γ ,而 m ⊥ γ 则 l ⊥ m,

故选 A.

6.D

P 作 PD ⊥AB 于 D ，连 CD ，则 CD ⊥AB ，AB=

2

2

，

ACBC 5

AC BC

2 CD

，

AB

5

∴PD= PC

2

CD

2

4 3 5

1

.

5 5

7.D 由定理及性质知三个命题均正确

.

8.A 显然 α 与 β不平行 .

9.D 垂直于同一平面的两直线平行，两条平行线中一条与平面垂直，则另一条也与该平面

垂直 .

10.B ∵ α ∥ β， l ⊥α ，∴ l ⊥ m

11.

3

cm 2 设正三角 A ′B ′ C ′的边长为 a.

2

∴ AC 2=a 2 +1,BC 2=a 2+1,AB ２=a 2+4，又 AC 2 +BC 2=AB 2，∴ a 2=2．

S △A ′B ′ C ′=

3 a 2 3

cm 2．

4

2

12.在直四棱柱 A 1 B 1C 1D 1— ABCD 中当底面四边形 ABCD 满足条件 AC ⊥ BD(或任何能推导出

这个条件的其它条件，例如

ABCD 是正方形，菱形等 )时 ,有 A 1C ⊥ B 1D 1 (注 :填上你认为正确

的一种条件即可 ,不必考虑所有可能的情形 ).

点评：本题为探索性题目， 由此题开辟了填空题有探索性题的新题型，

此题实质考查了

三垂线定理但答案不惟一

,要求思维应灵活 .

13.VC ⊥ VA ， VC ⊥ AB. 由 VC ⊥VA ， VC ⊥ AB 知 VC ⊥平面 VAB. 14.(1) 证明 :∵ H 为△ VBC 的垂心 ,

∴ VC ⊥ BE,又 AH ⊥平面 VBC ,

∴ BE 为斜线 AB 在平面 VBC 上的射影 ,∴AB ⊥VC . (2) 解 :由 (1) 知 VC ⊥ AB,VC ⊥ BE,

∴ VC ⊥平面 ABE,在平面 ABE 上 ,作 ED ⊥AB,又 AB ⊥VC , ∴ AB ⊥面 DEC .

∴ AB ⊥ CD ,∴∠ EDC 为二面角 E —AB — C 的平面角， ∴∠ EDC=30 ° ,∵AB ⊥平面 VCD ,

∴ VC 在底面 ABC 上的射影为 CD .

∴∠ VCD 为 VC 与底面 ABC 所成角 ,又 VC ⊥ AB,VC ⊥ BE, ∴ VC ⊥面 ABE ,∴VC ⊥ DE, ∴∠ CED=90 ° ,故∠ ECD=60 °,

∴ VC 与面 ABC 所成角为 60°.

15.证明： (1) 如图所示，取 PD 的中点 E ，连结 AE ， EN ，

则有 EN ∥ CD ∥AB ∥AM ， EN ＝ 1 CD ＝ 1

AB ＝AM ，故 AMNE 为平行四边形 .

2

2

∴ MN ∥ AE.

∵ AE 平面 PAD ， MN 平面 PAD ，∴ MN ∥平面 PAD.

(2) ∵ PA ⊥平面

ABCD ， ∴ PA ⊥ AB.

又 AD ⊥ AB ，∴ AB ⊥平面 PAD. ∴ AB ⊥ AE ，即 AB ⊥ MN .

又 CD ∥ AB ，∴ MN ⊥ CD .

第 15 题图解

(3) ∵ PA ⊥平面 ABCD ，∴ PA ⊥AD . 又∠ PDA ＝45°， E 为 PD 的中点 .

∴ AE ⊥ PD ，即 MN ⊥ PD.又 MN ⊥ CD ，

∴ MN ⊥平面 PCD .

16.如图 (1)证：由已知 AB ＝ 4，AD ＝２，∠ BAD ＝ 60°，

2

2

2

· ABcos60°＝ 4+16-2 × 2× 4× 1 ＝ 12.

故 BD ＝ AD +AB -2AD 2

又 AB 2 ＝AD 2+BD 2，

∴△ ABD 是直角三角形，∠ ADB ＝ 90°，

即 AD ⊥BD.在△ PDB 中， PD ＝

3 ，PB ＝ 15 ，BD ＝ 12 ，

∴ PB 2＝ PD 2+BD 2，故得 PD ⊥ BD .又 PD ∩ AD ＝ D ，

∴ BD ⊥平面 PAD .

(2) 由 BD ⊥平面 PAD ， BD 平面 ABCD . ∴平面 PAD ⊥平面 ABCD .作 PE ⊥ AD 于 E ， 又 PE 平面 PAD ，

第 16 题图解

∴ PE ⊥平面 ABCD ，∴∠ PDE 是 PD 与底面 ABCD 所成的角 .

∴∠ PDE ＝60°，∴ PE ＝PD sin60°＝

3 3

3

.

2

2

作 EF ⊥ BC 于 F ，连 PF ，则 PF ⊥ BF ， ∴∠ PFE 是二面角 P — BC — A 的平面角 .

又 EF ＝ BD ＝ 12 ，在 Rt △PEF 中，

3

PE 2 3 tan ∠PFE ＝

2 3

.

EF

4

故二面角 P — BC — A 的大小为 arctan

3

.

4

17.连结 AC 1，∵

AC 3 2

CC 1 .

MC 1

6 C 1 A 1

2

∴ Rt △ ACC 1∽Rt △ MC

1A 1， ∴∠ AC 1C=∠ MA 1C 1，

∴∠ A 1MC 1+∠ AC 1C=∠ A 1MC 1+∠MA 1C 1=90° .

∴ A 1M ⊥ AC 1,又 ABC-A 1B 1C 1 为直三棱柱，

∴ CC 1⊥ B 1C 1，又 B 1C 1⊥ A 1C 1，∴ B 1C 1⊥平面 AC 1M.

由三垂线定理知 AB 1⊥ A 1M.

点评： 要证 AB 1 ⊥A 1 M ，因 B 1C 1⊥平面 AC 1，由三垂线定理可转化成证 AC 1⊥A 1M ，而

⊥

一定会成立．

AC 1 A 1M

18.(1) 证明：在正方形 ABCD 中，

∵△ MPD ∽△ CPB ，且 MD ＝

1

BC ，

2

∴ DP ∶ PB ＝ MD ∶ BC ＝ 1∶ 2. 又已知 D ′N ∶ NB ＝ 1∶ 2， 由平行截割定理的逆定理得 NP ∥DD ′，又 DD ′⊥平面 ABCD ，

∴ NP ⊥平面 ABCD . (2) ∵ NP ∥DD ′∥ CC ′，

∴ NP 、 CC ′在同一平面内， CC ′为平面 NPC 与平面 CC ′ D ′ D 所成二面角的棱 .

又由 CC ′⊥平面 ABCD ，得 CC ′⊥ CD ， CC ′⊥ CM ， ∴∠ MCD 为该二面角的平面角 .

在 Rt △ MCD 中可知

∠ MCD ＝ arctan 1

，即为所求二面角的大小 .

2

(3) 由已知棱长为 a 可得，等腰△ MBC 面积 S 1＝ a 2

，等腰△ MBD ′面积 S 2＝ 6 a 2 ，设所

2

4

求距离为 h ，即为三棱锥

C —

D ′MB 的高 .

∵三棱锥 D ′— BCM 体积为 1 S DD

1

S h ，

1

2

3

3

S 1 a 6

a.

∴ h

S 2

3

空间中的计算

基础技能篇

类型一：点到面的距离

方法 1：直接法—把点在面上的射影查出来，然后在直角三角形中计

算例 1：在正四面体 ABCD 中，边长为 a，求点 A 到面 BCD 的距离。

变式 1 在正四棱锥 V-ABCD 中，底面 ABCD 边长为 a,侧棱长为 b.求顶点 V 到底面ABCD 的距离。

变式 2 在正四棱锥 V-ABCD 中，底面 ABCD 边长为 a,侧棱长为 b.求顶点 A 到底面VCD 的距离。

方法 2：等体积法求距离 --- 在同一个三棱锥中利用体积不变原理，通过转换不同

的底和高来达到目的。

例 2 已知在三棱锥 V —ABC 中， VA,VB,VC 两两垂直， VA=VB=3 ，VC=4，求点V 到面 ABC 的距离。

变式 1：如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEC1F 所截而得到的，其

中 AB 4, BC 2,CC1 3, BE 1．

（1）求BF的长；

（2）求点C到平面AEC1F的距离．

ABC , 变式 2 如图，在四棱锥 O ABCD 中，底面ABCD是四边长为 1 的菱形，

O 4 OA 面 ABCD , OA 2 ,．求点B到平面OCD的距离．

C B

变式 3 在正四面体 ABCD 中，边长为 a，求它的内切求的半径。

类型二：其它种类的距离的计算（点到线，点到点）

例 3 如图，在四棱锥O ABCD 中，底面ABCD是四边长为 1 的菱形，ABC, OA

4 面 ABCD, OA 2 ,M 为 OC 的中点，求 AM 和点 A 到直线 OC 的距离．

O

A

B

C

举一反三

1．正三棱锥P-ABC高为 2，侧棱与底面所成角为45 ，则点A到侧面PBC的距离是A．45B ． 6 5 C．6D．46

2．如图，已知正三棱柱ABC A1 B1C1的底面边长为1，高为8，一质点自 A 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周．．到达 A1点的最短路线的长为

A． 10B．20 C ．30D．40

二、填空题：

3．太阳光照射高为 3 m的竹竿时，它在水平地面上的射影

为 1m，同时，照射地面上一圆球时，如图所示，其影子

的长度 AB等于3 3 cm,则该球的体积为_________．

4．若一个正三棱柱的三视图如下图所示，则这个正三棱柱的高和底面边长分别为___

2

2 3

主视图

左视图俯视图D ．

三、解答题：

5．已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长和底面边长均为 1，M是底面 BC边上的中点， N 是侧棱CC1上的点，且 CN＝ 2C1N．求点 B1到平面 AMN的距离．

12

（1）求证： MN ∥平面 CDEF ；

（2）求多面体 A— CDEF 的体积．

7．一个多面体的直观图和三视图如图所

示，其中 M 、N 分别是 AB 、AC 的中点，

G 是 DF 上的一动点 .

（1）求证：GNAC;

（2）当 FG=GD 时，在棱 AD 上确定一点 P，使得 GP//平面 FMC, 并给出证明．

F E

a G

D C

a N

a

A M B

8．如图，已知正四棱锥S ABCD ,设E为AB的中点，F为 SC 的中点，M为 CD 边上的点．S

（ 1）求证：EF //平面SAD；

F （ 2）试确定点M的位置，使得平面EFM 底面 ABCD ．

D

C

O

A E B

9 一个多面体的直观图、主视图、左视图、俯视图如图所示，M 、N 分别为 A1B 、B C 的

1 1

中点．

a a

A C a

B N

a a a

M 2a

A C 主视图左视图俯视图

（1）求证：B MN //平面ACC1A1；

（ 2）求证：MN平面A1BC．（3）求点A到面ANM的距离

10 正四棱柱ABCD — A1B1C1D1中，底面边长为 2 2 ，侧棱长为 4.E，F 分别为棱AB，BC 的中点， EF∩ BD=G.

（Ⅰ）求证：平面B1EF ⊥平面 BDD 1B1；

（Ⅱ）求点D1到平面 B1EF 的距离 d；

（Ⅲ）求三棱锥B1— EFD 1的体积 V.

11.在三棱锥S— ABC 中，∠ SAB=∠SAC=∠ ACB=90°，且 AC=BC=5，SB=5 5 .（如图

9— 21）

（Ⅰ）证明：SC⊥ BC；

（Ⅱ）求侧面SBC 与底面 ABC 所成二面角的大小；

（Ⅲ）求三棱锥的体积

V S－ABC.

图 9—21