高二数学平面向量数量积2

平面向量数量积

第三节平面向量数量积及应用重点： 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． 2.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算． 3.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． 4.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．难点： 1.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算． 2 .会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．教学过程： 1．平面向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos__θ叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos__θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝0. (2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积． 2．平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角． (1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2. (2)模：|a|＝a·a＝x21＋y21.学-科网 (3)夹角：cos θ＝a·b |a||b|＝ x1x2＋y1y2 x21＋y21·x22＋y22 . (4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0. (5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)?|x1x2＋y1y2|≤ x21＋y21·x22＋y22. 3．平面向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a(交换律)． (2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．

平面向量数量积教学反思

平面向量数量积教学反思一、本节课的设想与基本流程：本节课主要是研究向量与向量的内积的问题，也就是向量的数量积。因为之前刚学习了向量的线性运算，所以我就直接从向量的线性运算引入了数量积这一概念，请同学来回答数量积的概念，在此过程中特别强调了夹角的概念，强调要共起点。这是学生容易出问题的地方，因此后面安排的例题就特意考察了这一问题；另外还强调了两个向量的数量积不是一个向量，而是一个数量，这也是它与之前的线性运算的区别；接下来，通过分析平面向量数量积的定义，体会平面向量的数量积的几何意义，从而使学生从代数和几何两个方面对数量积的“质变”特征有了更加充分的认识。二、我的体会：通过本节课的教学，我有以下几点体会：（1）让学生经历数学知识的形成与应用过程高中数学教学应体现知识的来龙去脉，创设问题情景，建立数学模型，让学生经历数学知识的形成与应用，可以更好的理解数学概念、结论的形成过程，体会蕴含在其中的思想方法，增强学好数学的愿望和信心。对于抽象数学概念的教学，要关注概念的实际背景与形成过程，帮助学生克服机械记忆概念的学习方式。（2）鼓励学生自主探索、自主学习教师是学生学习的引导者、组织者，教师在教学中的作用必须以确定学生主体地位为前提，教学过程中要发扬民主，要鼓励学生质疑，提倡独立思考、动手实践、自主探索、阅读自学等学习方式。对于教学中问题情境的设计、教学过程的展开、练习的安排等，要尽可能地让所有学生都能主动参与，提出各自解决问题的方案，并引导学生在与他人的交流中选择合适的策略，使学生切实体会到自主探索数学的规律和问题解决是学好数学的有效途径。（3）注重学生数学思维的培养本节通过特殊到一般进行观察归纳、合情推理，探求定义、性质和几何意义。在整个探求过程中，充分利用“旧知识”及“旧知识形成过程”，并利用它探求新知识。这样的过程，既是学生获得新知识的过程，更是培养学生能力的过程。我感觉不足的有：（1）教师应该如何准确的提出问题在教学中，教师提出的问题要具体、准确，而不应该模棱两可。（2）教师如何把握“收”与“放”的问题何时放手让学生思考，何时教师引导学生，何时教师讲授，这是个值得思考的问题。（3）教师要点拨到位在学生出现问题后，教师要及时点评加以总结，要重视思维的提升，提高学生的数学能力和素质。（4）课堂语言还需要进一步提炼。在教学中，提出的问题，分析引导的话应具体，明确，不能让学生不知道如何回答，当然有些问题我也考虑过该如何问，只是没有找到更合适的提问方法，这方面的能力有待加强。以上就是本人的教学反思，只有不断地反思，不断地总结才能在今后的教学中取得更好的教学效果，尽快地提高自身的教学水平。

高中数学必修四之知识讲解_平面向量的数量积_基础

平面向量的数量积【学习目标】 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义； 2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系； 3.掌握数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的运算； 4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；【要点梳理】要点一：平面向量的数量积 1. 平面向量数量积(内积)的定义已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角是θ，则数量cos a b θ叫a 与b 的数量积，记作a b ?，即有 ()cos 0a b a b θθπ?=≤≤.并规定0与任何向量的数量积为0. 2.一向量在另一向量方向上的投影：cos b θ叫做向量b 在a 方向上的投影. 要点诠释： 1. 两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 (1)两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos θ的符号所决定. (2)两个向量的数量积称为内积，写成a b ?；今后要学到两个向量的外积a b ?，而a b ?是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替. (3)在实数中，若0a ≠，且0a b ?=，则0b =；但是在数量积中，若0a ≠，且0a b ?=，不能推出 0b =.因为其中cos θ有可能为0. 2. 投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ=0?时投影为b ；当θ=180?时投影为b -. 要点二：平面向量数量积的几何意义数量积a b ?表示a 的长度||a 与b 在a 方向上的投影cos b θ的乘积，这是a b ?的几何意义．图（1）（2）（3）所示分别是两向量,a b 夹角为锐角、钝角、直角时向量b 在向量a 方向上的投影的情形，其中 1||cos OB b θ=，它的意义是，向量b 在向量a 方向上的投影是向量1OB 的数量，即11|| a OB OB a =? ．事实上，当θ为锐角时，由于cos 0θ>，所以10OB >；当θ为钝角时，由于cos 0θ<，所以10OB <；当090θ=时，由于cos 0θ=，所以10OB =，此时O 与1B 重合；当0 0θ=时，由于cos 1θ=，所以

平面向量的数量积及其应用

06—平面向量的数量积及其应用突破点(一) 平面向量的数量积 1．向量的夹角；2平面向量数量积的运算 1.第一步，根据共线、垂直等条件计算出这两个向量的坐标，求解过程要注意方程思想的应用；第二步，根据数量积的坐标公式进行运算即可． 2．根据定义计算数量积的两种思路 (1)若两个向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，需要通过平移使它们的起点重合，然后再计算． (2)根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出要求数量积的两个向量，然后再根据平面向量数量积的定义和性质进行计算求解． [典例] (1)设向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)，如果向量a ＋2b 与2a －b 平行，那么a 与b 的数量积等于( ) A ．－72 B ．－12 (2)在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°.点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE ＝23BC ，DF ＝16 DC ，则AE ·AF 的值为________． [解析] (1)a ＋2b ＝(－1,2)＋2(m,1)＝(－1＋2m,4)，2a －b ＝2(－1,2)－(m,1)＝(－2－m,3)，由题意得3(－1＋2m )－4(－2－m )＝0，则m ＝－12，所以b ＝? ????－12，1，所以a ·b ＝－1×? ?? ??－12＋2×1＝52. (2)取BA ，BC 为一组基底，则AE ＝BE －BA ＝23 BC －BA ，AF ＝AB ＋BC ＋CF ＝－BA ＋BC ＋512BA ＝－712BA ＋BC ，∴AE ·AF ＝? ????23 BC －BA ·? ????－712 BA ＋BC ＝712 |BA |2－2518BA ·BC ＋23|BC |2＝712×4－2518×2×1×12＋23＝2918. [答案] (1)D (2)2918 [易错提醒] (1)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补．(2)两向量a ，b 的数量积a ·b 与代数中a ，b 的乘积写法不同，不能漏掉其中的“·”．突破点(二) 平面向量数量积的应用的关系平面向量的垂直问题 1.第一，计算出这两个向量的坐标；第二，根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可． 2．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数． [例1] (1)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB ＝2a ，AC ＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( ) A ．|b |＝1 B ．a ⊥b C ．a ·b ＝1 D ．(4a ＋b )⊥BC (2)已知向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( ) A ．－92 B ．0 C ．3 [解析] (1)在△ABC 中，由BC ＝AC －AB ＝2a ＋b －2a ＝b ，得|b |＝2，A 错误．又AB ＝2a 且|AB |＝2，所以|a |＝1，所以a ·b ＝|a ||b |cos 120°＝－1，B ，C 错误．所以(4a ＋b )·BC ＝(4a ＋b )·b ＝4a ·b ＋|b |2 ＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a ＋b )⊥BC ，D 正确，故选D. (2)∵(2a －3b )⊥c ，∴(2a －3b )·c ＝0.∵a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，∴2a －3b ＝(2k －3，－ 6)．

求解平面向量数量积的三种方法

龙源期刊网 https://www.360docs.net/doc/5c2907791.html, 求解平面向量数量积的三种方法作者：谢伟杰来源：《读写算》2018年第34期摘要梅州市高一数学质量抽测题第11题是一道关于平面向量数量积的考题，这道考题引起了笔者的注意。此题很好地考察了学生对数量积概念的理解，也能很好地考察学生对求解平面向量数量积的方法是否掌握到位。关键词平面向量数量积；解法中图分类号：O241.7 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2018） 34-0211-01 做题中的“少运算”是建立在对基本概念理解的基础之上的，学生只有对相关的概念、性质有深刻的理解，而不是纯粹的记公式或套方法，才能在做题中真正实现“多思考，少运算”。教师在教学中，要帮助学生去认识相关知识点的核心及实质，而不是认为学生只要能记住相关的公式或会套用某类方法解题就行，否则，在具体的问题情境中，学生极容易在公式与计算中迷失，从而找不到解决问题的有效途径。一、原题呈现已知是边长为的等边三角形，点，分别是边，的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（）二、解法展示与对比解法一：如图1，解法二：如图2，以点为坐标原点，为轴正方向，建立如图所示的直角坐标系。则，，解法三：如图3，点在上的投影为点，作點在上的投影，则在是的投影为，由向量数量积的含义可知，易得与相似，所以，又，所以，即 . 故作为选择题，解法三有明显的优点，即我们只需将在上的投影作出，对图中线段的长度作大致估计，就可迅速判断只有选项才是合理的。笔者认为这样并不是投机取巧，恰恰相反，在考场上会做这样的思考，并采取此策略的学生，说明该生对数量积的概念有更深刻的理解，并有更好的思维能力。这与高考命题中所提倡的“多思考，少运算”的理念也是一致的。

平面向量的数量积知识点整理

平面向量的数量积一、平面向量数量积的含义 1. 平面向量数量积的运算 1.已知2,5,(1)||a b a b ==若; (2) a b ⊥;(3) a b 与的夹角为030,分别求. 2.△ABC 中，3||=?→?AB ，4||=?→?AC ，5||=?→ ?BC ，则=?_________ 3.在ABC ?中，已知7=AB ，5=BC ，6=AC ，则________ 2.夹角问题 1.已知|a |=4,|b|=3, a ·b=6，求a 与b 夹角 2.已知,a b 是两个非零向量，且a b a b ==-，则与的夹角为____ 3.已知3||=→a ，5||=→b ，且12=?→→b a ，则向量→a 在向量→b 上的投影为_____ 4.若1,2,a b c a b ===+,且c a ⊥,则向量a 与向量b 的夹角为 5.已知向量、不共线，且||||=，则+与-的夹角为 __________ 6.在ABC ?中=，= ，=，则下列推导正确的是__ _ ① 若0

平面向量的数量积习题(精品绝对好)

平面向量的数量积(20131119)作业姓名成绩 A 组专项基础训练一、选择题(每小题5分，共20分) 1． (2012·辽宁)已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )，若a ·b ＝1，则x 等于 ( ) A ．－1 B ．－1 2 C.12 D ．1 2． (2012·重庆)设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |等于( ) A. 5 B.10 C ．2 5 D ．10 3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( ) A.???? 79，73 B.????－73，－79 C.????73，79 D.????－79 ，－7 3 4．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则AB →·AC → 等于 ( ) A ．－3 2 B ．－23 C.23 D.3 2 二、填空题(每小题5分，共15分) 5．已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________. 6．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC →＝________. 7．已知a ＝(2，－1)，b ＝(λ，3)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是__________．三、解答题(共22分) 8． (10分)已知a ＝(1,2)，b ＝(－2，n ) (n >1)，a 与b 的夹角是45°. (1)求b ； (2)若c 与b 同向，且a 与c －a 垂直，求c . 9． (12分)设两个向量e 1、e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1、e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．

平面向量的数量积

平面向量的数量积一．选择题： 1.在ABC ?中，AB=3，AC=2，BC=10，则AB AC ?= ( ) A ．23- B ．3 2 - C ．32 D ．23 2.已知平面向量a =（1，－3），b =（4，－2），a b λ+与a 垂直，则λ是（） A. －1 B. 1 C. －2 D. 2 3．若,a b 是非零向量且满足(2)a b a -⊥，(2)b a b -⊥ ，则a 与b 的夹角是（） A ． 6π B ．3π C ．32π D ．65π 4、若向量a =),sin ,(cos θθb =(1，－1)，则|2a b -|的取值范围是( ) (A)]22,22[+ - (B)]2,0[ (C)]2,0[ (D)[1,3] 5.（选）已知a b c ，，为ABC △的三个内角A B C ，，的对边，向量 1)(cos sin )A A =-=，，m n ．若⊥m n ，且cos cos sin a B b A c C +=，则角A B ，的大小分别为（） A ．ππ 63 ， B ． 2ππ36 ， C ．ππ36， D ．ππ33 ，二．填空题： 1、如图，半圆的直径6AB =，O 为圆心，C 为半圆上不同于A B 、的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则()PA PB PC +?的最小值是__________． 2．已知)1,2(=a 与)2,1(=b ，要使b t a +最小，则实数t 的值为___________。 3.（选）已知a 是平面内的单位向量，若向量b 满足()0b a b -=，则||b 的取值范围是。三．解答题； 1． △ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，向量m =(2sinB ，2-cos2B)， 2(2sin (),1)42 B n π=+ ,m ⊥n , (I) 求角B 的大小； O P C B A 第13题图

平面向量的数量积的求法

平面向量的数量积的求法一、知识储备 1．向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 就是向量a 与b 的夹角，向量夹角的范围是：[0，π]． 2．平面向量的数量积 3.平面向量数量积的性质设a ，b 都是非零向量，e 是单位向量，θ为a 与b (或e )的夹角．则 (1)e ·a ＝a ·e ＝|a |cos θ.(2)a ⊥b ?a ·b ＝0. (3)当a 与b 同向时，a ·b ＝|a ||b |；当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a ||b |.特别地，a ·a ＝|a |2或|a |(4)cos θ＝a ·b |a ||b | .(5)|a ·b |≤|a ||b |. 4．平面向量数量积满足的运算律 (1)a·b ＝b·a ；(2)(λa )·b ＝λ(a·b )＝a ·(λb )(λ为实数)；(3)(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c . 5．平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，由此得到： (1)若a ＝(x ，y )，则|a |2＝x 2＋y 2或|a |＝x 2＋y 2. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点间的距离|AB |＝|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. (3)设两个非零向量a ，b ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ?x 1x 2＋y 1y 2＝0. [方法与技巧] 1．计算数量积的五种方法：定义法、坐标运算、数量积的几何意义、基向量法、极化公式法，解题要灵活选用恰当的方法，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用． 2．求向量模的常用方法：利用公式|a |2＝a 2，将模的运算转化为向量的数量积的运算． 3．利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧．

平面向量数量积运算的解题方法与策略

平面向量数量积运算的解题方法与策略平面向量数量积运算一直是高考热点内容，它在处理线段长度、垂直等问题的方式方法上尤为有突出的表现,而正确理解数量积的定义和几何意义是求解的关键，同时平面向量数量积的运算结果是实数而不是向量,因此要注意数量积运算和实数运算律的差异,本文仅举数例谈谈求解向量数量积运算的方法和策略。 1.利用数量积运算公式求解在数量积运算律中，有两个形似实数的完全平方和(差)公式在解题中的应用较为广泛,即(a ＋b ) ２＝a ２＋２a 2b ＋b ２，（a －b ）２＝a ２－２a 2b ＋b ２上述两公式以及(a ＋b )(a －b )＝a ２－b ２这一类似于实数平方差的公式在解题过程中可以直接应用. 例1 已知｜a ｜＝２，｜b ｜＝５，a 2b ＝－３，求｜a ＋b ｜，｜a －b ｜. 解析：∵｜a ＋b ｜２＝（a ＋b ）２＝a ２＋２a 2b ＋b ２＝２２＋２3（－３）＋５２＝２３ ∴｜a ＋b ｜＝23，∵（｜a －b ｜）２＝（a －b ）２＝a ２－2a 2b ＋b ２＝2２－23（－3） 3５２＝35， ∴｜a －b ｜＝35．例2 已知｜a ｜＝8，｜b ｜＝10，｜a ＋b ｜＝16，求a 与b 的夹角θ(精确到１°). 解析：∵（｜a ＋b ｜）２＝（a ＋b ）２＝a ２＋2a 2b ＋b ２＝｜a ｜２＋2｜a ｜2｜b ｜ｃｏｓθ＋｜b ｜２ ∴１６２＝８２＋２3８3１０ｃｏｓθ＋１０２， ∴ｃｏｓθ＝ 40 23 ，∴θ≈５５° 例3 已知a ＝（3，4），b ＝（4，3），求x ,y 的值使(xa +yb )⊥a ，且｜xa +yb ｜=1. 分析：这里两个条件互相制约，注意体现方程组思想. 解：由a ＝（3，4），b ＝（4，3），有xa +yb =(3x +4y ,4x +3y ) 又（xa +yb ）⊥a ?(xa +yb )2a ＝０?3(3x +4y )+4(4x +3y )=0 即25x +24y ＝０ ① 又｜xa +yb ｜=1?｜xa +yb ｜２＝１?（３x +4y ）２＋（４x +3y ）２＝１整理得：25x ２＋48xy +25y ２＝１即x (25x +24y )+24xy +25y ２＝１ ② 由①②有24xy +25y ２＝１ ③ 将①变形代入③可得：y =± 7 5 再代回①得：??? ????=-=???????-==7535 24753524y x y x 和

(完整版)平面向量数量积运算专题(附答案)

平面向量数量积运算题型一平面向量数量积的基本运算例1 (1)(2014·天津)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝λDF .若AE →·AF → ＝1，则λ的值为________. (2)已知圆O 的半径为1，P A ，PB 为该圆的两条切线，A ，B 为切点，那么P A →·PB → 的最小值为( ) A.－4＋ 2 B.－3＋2 C.－4＋2 2 D.－3＋22 变式训练1 (2015·湖北)已知向量OA →⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →·OB → ＝________. 题型二利用平面向量数量积求两向量夹角例2 (1)(2015·重庆)若非零向量a ，b 满足|a |＝22 3 |b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( ) A.π4 B.π2 C.3π4 D.π (2)若平面向量a 与平面向量b 的夹角等于π 3，|a |＝2，|b |＝3，则2a －b 与a ＋2b 的夹角的余弦值等于( ) A.126 B.－126 C.112 D.－1 12 变式训练2 (2014·课标全国Ⅰ)已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB → 与 AC → 的夹角为________.

题型三利用数量积求向量的模例3 (1)已知平面向量a 和b ，|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为120°，则|2a ＋b |等于( ) A.2 B.4 C.2 5 D.6 (2)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB → |的最小值为________. 变式训练3 (2015·浙江)已知e 1，e 2是平面单位向量，且e 1·e 2＝1 2.若平面向量b 满足b ·e 1＝b ·e 2 ＝1，则|b |＝________. 高考题型精练 1.(2015·山东)已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD →·CD → 等于( ) A.－3 2a 2 B.－34a 2 C.3 4 a 2 D.3 2 a 2 2.(2014·浙江)记max{x ，y }＝????? x ，x ≥y ，y ，x

“三法”解决平面向量数量积问题

“三法”解决平面向量数量积问题 L ——> > ［典例］已知在△ ABC 中，AB = 4 ,AC = 6, BC =■ 7,其外接圆的圆心为 0,则AO -BC 偲路点拨］本题如果直接利用向量数量积的定义求解，计算复杂，过程较长?我们可以从以下三种思路着手： (1) 利用数量积的几何意义，及数形结合思想，可以巧妙解决该题； (2) 选择——t ,——？为基底，利用向量基本定理，将——6 ?——？转化到两个基底之间的运算, 问题自然就能顺利解决. ⑶设D 是边BC 的中点，根据题意可知 0D 丄BC ,因此方便建立平面直角坐标系，利用坐标运算解答问题. ［方法演示］法一：投影法如图，作0D 丄BC ,垂足为D ，贝U D 是线段BC 的中点. 作AE 丄BC ,垂足为E. 则——0在——6 的方向上的投影为 -- 6 --------- 6 ---- 6 |AO | c os 〈 AO , BC 〉= |ED ——> |, 所以——0 -B 0 =|——°| |——°| cos 〈——0 ,——？> = |ED ——o | |——°|. 在厶 ABC 中，AB = 4, AC = 6, BC = 7, AB 2+ BC 2- AC 2 __ 13 2AB BC =- 8.7. 所以 cos/ ABE = cos( —/ ABC) = 13 , 8寸7 所以 BE = AB cos/ ABE =_13. 2^7 所以 |ED ——o |= BE + BD = 13 +；7 207 2 因为 |1B C |= 7, -- 6 -- 6 ---------------- 6 所以 AO - BC = |ED ——-61 | BC |= 10. 由余弦定理，得 cos/ ABC =

微专题9平面向量数量积的常见求法答案

微专题9 例题答案：(1)135°；(2)194 ；(3)60°. 解析：(1)cos θ＝a ·b |a ||b |＝－54212×9＝－22 ，∵0°＜θ＜180°，∴θ＝135°. (2)由题意a ·b ＝|a ||b |cos120°＝4×2×)2 1(-＝－4，∵(a ＋k b )⊥(5a ＋b )， ∴(a ＋k b )·(5a ＋b )＝0，即5a 2＋(5k ＋1)a ·b ＋k b 2＝0， ∴5|a |2＋(5k ＋1)·(－4)＋k |b |2＝0，∴5×16－(20k ＋4)＋4k ＝0，∴k ＝194 . (3)因为a ＋3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直，∴? ??（a ＋3b ）·（7a －5b ）＝0，（a －4b ）·（7a －2b ）＝0， ? ?7a 2＋16a · b －15b 2＝0①，7a 2－30a · b ＋8b 2＝0 ②， ①－②得：2a ·b ＝b 2③，将③代入①得a 2＝b 2即|a |＝|b |.∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝12b 2|b |2＝12 .又∵0°＜θ＜180°， ∴θ＝60°. 变式联想变式1 答案：)21,7(--∪),2 1(+∞-. 解析：因为向量k a ＋b ，a －2b 的夹角为钝角，所以(k a ＋b )·(a －2b )＜0且排除k a ＋b ，a －2b 共线反向． (k a ＋b )·(a －2b )＝k a 2－2b 2＋(1－2k )a ·b ＝4k －32＋4(1－2k )＜0，所以k ＞－7. 设k a ＋b ＝λ(a －2b )，所以λ＝k ＝－12.所以实数λ的取值范围是)21,7(--∪),2 1(+∞-.. 变式2 答案：2. 解析：由题意可知AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋13BC →＝AB →＋13AD →，AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋1λDC →＝AD →＋1λ AB →，又AE →· AF →＝1，所以)31(+·)1(λ +＝1，即 )311(λ+AB →·AD →＋1λAB →2＋13AD →2＝1，即)311(λ+×2×2×)21(-＋1λ ×4＋13×4＝1，解之得λ＝2.

6.3.2 平面向量数量积的坐标表示(精讲)(原卷版)

6.3.2 平面向量数量积的坐标表示（精讲）

考法一数量积的坐标运算【例1】（1）（2020·全国高一）向量()2,3a =-，()2,1b =，则a b ?=（） A ．1 B ．1- C ．7 D ．0 （2）（2020·全国高一）已知向量(1,3)a =，(b =-，则a 与b 的夹角是（） A ． 6 π B ． 4 π C ． 3 π D ． 2 π （3）（2020·全国）已知()2,1a =，()11 b =-,，则a 在b 上的投影的数量为（） A ． 2 B ． C ．5 - D （4）（2020·天津和平区·耀华中学高一期末）已知向量(1,2)a =-，(3,1)b m =+，若a b ⊥，则m 等于（） A ．7- B ．5 C ．5 2 - D ． 12 （5）（2020·黑龙江双鸭山市·双鸭山一中）设平面向量()2,1a =-，()1,b λ=，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围______. 【一隅三反】

1．（2020·银川市·宁夏大学附属中学高一期末）向量()()2112a b =-=-，，，，则() 2a b a +?=（） A ．1 B ．1- C ．6- D ．6 2．（2020·广东高一期末）向量()1,2a =-，()2,1b =，则（） A ．//a b B ．a b ⊥ C ．a 与b 的夹角为60° D ．a 与b 的夹角为30 3．（2020·湖北省汉川市第一高级中学高一期末）已知向量(0,23),(1,3)a b ==，则向量a 在b 上的投影为（） A ．3 B C ． D ．3- 4．（2020·北京高一期末）已知向量()4,2a =，()1,b m =-，若a b ⊥，那么m 的值为（） A ． 1 2 B ．12 - C ．2 D ．2- 5．（2020·沙坪坝区·重庆八中高一期末）已知(2,3)a =-，a 与b 的夹角为60?，则a 在b 方向上的投影为（） A B ． 72 C ．27 D 6．（2020·湖南郴州市·高一月考）若向量()2,1a =-，()1,1b =，则向量a b +与a b -的夹角的余弦值为（） A B ．C D ． 7．（2020·河北唐山市·唐山一中高一月考）平面向量()1,2a =，()4,2b =，c ma b =+（m R ∈），且 c 与a 的夹角与c 与b 的夹角互补，则m =（） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2 8．（2020·宝山区·上海交大附中高一期末）已知向量()5,5a =，(),1b λ=，若a b +与a b -的夹角是锐角，则实数λ的取值范围为______；考法二巧建坐标解数量积【例2】（2020·四川高一期末）如图，边长为1的等边△ABC 中，AD 为边BC 上的高，P 为线段AD 上的动

(完整版)解决平面向量数量积问题的几种常见方法

解决平面向量数量积问题平面向量的数量积是向量的一种重要运算，也是高中数学的一个重要概念，在数学、物理等学科中应用十分广泛．在高考试卷中备受青睐，命题方式灵活多样，试题内容活泼、新颖，是一个稳定的高频考点．解决这类问题有三种基本方法：投影法、基底法和坐标法．“三法”的准确定位应是并举！即不应人为地、凭主观划分它们的优劣，而应具体问题具体分析． [典例] 已知在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝6，BC ＝7，其外接圆的圆心为O ，则AO ―→·BC ―→ ＝________. [思路点拨] 本题如果直接利用向量数量积的定义求解，计算复杂，过程较长．我们可以从以下三种思路着手： (1)利用数量积的几何意义，及数形结合思想，可以巧妙解决该题； (2)选择BA ―→，BC ―→为基底，利用向量基本定理，将AO ―→·BC ―→转化到两个基底之间的运算，问题自然就能顺利解决． (3)设D 是边BC 的中点，根据题意可知OD ⊥BC ，因此方便建立平面直角坐标系，利用坐标运算解答问题． [方法演示] 法一：投影法如图，作OD ⊥BC ，垂足为D ，则D 是线段BC 的中点．作AE ⊥BC ，垂足为E . 则AO ―→在BC ―→ 的方向上的投影为 |AO ―→|·cos 〈AO ―→，BC ―→〉＝|ED ―→|，所以AO ―→·BC ―→＝|AO ―→|·|BC ―→|·cos 〈AO ―→，BC ―→〉＝|ED ―→|·|BC ―→|. 在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝6，BC ＝7，由余弦定理，得cos ∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝－1387. 所以cos ∠ABE ＝cos(π－∠ABC )＝13 87，所以BE ＝AB ·cos ∠ABE ＝13 27 .

《平面向量的数量积》教学设计及反思

《平面向量的数量积》教学设计及反思交口第一中学赵云鹏平面向量的数量积是继向量的线性运算之后的又一重要运算，也是高中数学的一个重要概念，它是沟通代数、几何与三角函数的一种重要工具，在每年高考中也是重点考查的内容。向量作为一种运算工具，其知识体系是从实际的物理问题中抽象出来的，它在解决几何问题中的三点共线、垂直、求夹角和线段长度、确定定比分点坐标以及平移等问题中显示出了它的易理解和易操作的特点。一、总体设想：本节课的设计有两条暗线：一是围绕物理中物体做功，引入数量积的概念和几何意义；二是围绕数量积的概念通过变形和限定衍生出新知识――垂直的判断、求夹角和线段长度的公式。教学方案可从三方面加以设计：一是数量积的概念；二是几何意义和运算律；三是两个向量的模与夹角的计算。二、教学目标： 1.了解向量的数量积的抽象根源。 2.了解平面的数量积的概念、向量的夹角 3.数量积与向量投影的关系及数量积的几何意义 4.理解掌握向量的数量积的性质和运算律，并能进行相关的判断和计算三、重、难点：【重点】1.平面向量数量积的概念和性质 2.平面向量数量积的运算律的探究和应用

【难点】平面向量数量积的应用四、课时安排： 2课时五、教学方案及其设计意图： 1．平面向量数量积的物理背景平面向量的数量积，其源自对受力物体在其运动方向上做功等物理问题的抽象。首先说明放置在水平面上的物体受力F的作用在水平方向上的位移是s，此问题中出现了两个矢量，即数学中所谓的向量，这时物体力F 的所做的功为Wθ ? F，这里的θ是矢量F和s的夹角，也即是两个 =s cos ? 向量夹角的定义基础，在定义两个向量的夹角时，要使学生明确“把向量的起点放在同一点上”这一重要条件，并理解向量夹角的范围。这给我们一个启示：功是否是两个向量某种运算的结果呢？以此为基础引出了两非零向量a, b的数量积的概念。 2．平面向量数量积（内积）的定义已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cosθ叫ａ与ｂ的数量积，记作a?b，即有a?b = |a||b|cosθ，（０≤θ≤π）. 并规定0与任何向量的数量积为0. 零向量的方向是任意的，它与任意向量的夹角是不确定的，按数量积的定义a?b = |a||b|cosθ无法得到，因此另外进行了规定。 3. 两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作＝ａ，＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）

第3讲平面向量的数量积及应用举例

第3讲平面向量的数量积及应用举例一、知识梳理 1．向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB → ＝b ，则∠AOB ＝θ叫做向量a 与b 的夹角． (2)范围：向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°． [注意] 当a 与b 同向时，θ＝0°；a 与b 反向时，θ＝180°；a 与b 垂直时，θ＝90°. 2．平面向量的数量积定义设两个非零向量a ，b 的夹角为θ，则数量|a||b |·cos_θ叫做a 与b 的数量积，记作a·b 投影 |a |cos_θ叫做向量a 在b 方向上的投影， |b |cos_θ叫做向量b 在a 方向上的投影几何意义数量积a·b 等于a 的长度|a|与b 在a 的方向上的投影|b |cos_θ的乘积 [注意] 投影和两向量的数量积都是数量，不是向量． 3．向量数量积的运算律 (1)a·b ＝b·a . (2)(λa )·b ＝λ(a·b )＝a ·(λb )． (3)(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c . 4．平面向量数量积的坐标运算及有关结论已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ，a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. 结论几何表示坐标表示模 |a |＝a·a |a|＝x 21＋y 2 1 夹角 cos θ＝a·b |a||b| cos θ＝ x 1x 2＋y 1y 2 x 21＋y 21x 22＋y 22 a ⊥ b 的充要条件 a·b ＝0 x 1x 2＋y 1y 2＝0 (1)两向量a 与b 为锐角?a ·b ＞0且a 与b 不共线． (2)两向量a 与b 为钝角?a ·b ＜0且a 与b 不共线． (3)(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2.

2020高考数学专项训练《9 平面向量数量积的常见求法》(有答案)

专题9平面向量数量积的常见求法例题：(1)设|a |＝12，|b |＝9，a ·b ＝－542，求a 与b 的夹角θ； (2)已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝4，|b |＝2.如果向量a ＋k b 与5a ＋b 垂直，求实数k 的值； (3)已知a ，b 都是非零向量，且a ＋3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直，求a ，b 的夹角的大小．变式1已知|a |＝2，|b |＝4，向量a ，b 的夹角为 π3 ，若向量k a ＋b ，a －2b 的夹角为钝角，求实数k 的取值范围．变式2已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上， BC ＝3BE ，DC ＝λDF ，若AE →·AF →＝1，则λ的值为________________．串讲1已知圆O ：x 2＋y 2＝4，直线l ：x －3y ＋3＝0与圆O 交于A ，B 两点，求OA →·OB →的值．

串讲2已知椭圆O ：x 24＋y 23 ＝1，直线l ：y ＝x －1与圆O 交于A ，B 两点，求OA →·OB →的值． (2018·南京三模)在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，D 为BC 上一点．若AB →·AD →＝5，AC →·AD →＝－23 ，则AC →·AB →的值为________________．在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝2，AC ＝1，D 是边BC 上一点，DC ＝2DB ，求AD →·BC →. 答案：－83 .解法1AD →·BC →＝(AB →＋BD →)·(AC →－AB →)＝(AB →＋13 BC →)·(AC →－AB →)＝13[|AC →|2＋AB →·AC →－2|AB →|2]＝13[1＋2×1×cos 120°－2×4]＝－83 .6分解法2如图以A 为坐标原点，AC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，C(1，0)，B(－1，3)，BC →＝(2，－3)，2分,由BD →＝13 BC →，设D(x ，y)，