2020-2021学年高中数学第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念学案新人教A版必修4
2.1 平面向量的实际背景及基本概念
[A 级 基础巩固]
一、选择题
1.关于向量的概念,下列命题中正确的是( ) A .若两个向量相等,则它们的起点和终点分别重合 B .模相等的两个平行向量是相等向量 C .若a 和b 都是单位向量,则a =b D .两个相等向量的模相等
解析:A 项,两个向量如果相等,则它们的模和方向相同,起点和终点不一定重合,故错误;B 项,模相等的两个平行向量有可能方向相反,故错误;C 项,两个向量相等不仅要求模相等还要求方向相同,单位向量的模相等,方向不一定相同,故错误;D 项,如果向量相等,则它们的模和方向均相同,故正确.
答案:D
2.数轴上点A ,B 分别对应-1,2,则向量AB →
的长度是( ) A .-1 B .2 C .1 D .3 解析:|AB →
|=2-(-1)=3. 答案:D
3.如图所示,在⊙O 中,向量OB →、OC →、AO →
是( )
A .有相同起点的向量
B .共线向量
C .模相等的向量
D .相等的向量 答案:C
4.如图,等腰梯形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点P ,点E ,F 分别在两腰AD ,BC 上,EF 过点P ,且EF ∥AB ,则( )
A.AD →=BC →
B.AC →=BD →
C.PE →=PF →
D.EP →=PF →
解析:由平面几何知识知,AD →与BC →方向不同,故AD →≠BC →;AC →与BD →方向不同,故AC →≠BD →;PE →与PF →的模相等而方向相反,故PE →≠PF →;EP →与PF →的模相等且方向相同,所以EP →=PF →.
答案:D
5.若|AB →|=|AD →|且BA →=CD →
,则四边形ABCD 的形状为( ) A .平行四边形 B .矩形 C .菱形
D .等腰梯形
解析:由BA →=CD →知四边形为平行四边形;由|AB →|=|AD →
|知四边形
ABCD 为菱形.
答案:C 二、填空题 6.有下列说法:
①向量AB →和向量BA →
长度相等; ②向量BC →
是有向线段; ③向量0=0
④向量AB →大于向量CD →; ⑤单位向量都相等.
其中,正确的说法是________(填序号). 解析:
序号 正误 原因
①
√
|AB →|=|BA →
|=AB
② ×
向量可以用有向线段表示,但不能把二者等同起来
③ × 0是一个向量,而0是一个数量 ④ × 向量不能比较大小
⑤ × 单位向量的模均为1,但方向不确定
答案:①
7.如图,已知正方形ABCD 的边长为2,O 为其中心,则|OA →|=________.
解析:因为正方形的对角线长为22,所以|OA →|= 2. 答案:2
8.如果在一个边长为5的正△ABC 中,一个向量所对应的有向线段为AD →
(其中D 在边BC 上运动),则向量AD →
长度的最小值为________.
解析:结合图形进行判断求解(图略),根据题意,在正△ABC 中,有向线段AD 长度最小时,AD 应与边BC 垂直,有向线段AD 长度的最小值为正△ABC 的高,为53
2
.
答案:532
三、解答题
9.如图所示,四边形ABEF 和BCDE 均是边长为1的正方形,在以A ,B ,C ,D ,E ,F 为起点和终点的向量中,
(1)写出与AF →,AE →
相等的向量; (2)写出与AD →
模相等的向量.
解:(1)与AF →
相等的向量有BE →,CD →,与AE →相等的向量为BD →
. (2)与AD →模相等的向量有DA →,CF →,FC →.
10.如图所示,O 是正六边形ABCDEF 的中心.
(1)与OA →
的模相等的向量有多少个?
(2)是否存在与OA →
长度相等、方向相反的向量?若存在,有几个? (3)与OA →
共线的向量有哪些?
解:(1)与OA →
的模相等的线段是六条边和六条半径(如OB ),而每一条线段可以有两个向量,所以这样的向量共有23个.
(2)存在.由正六边形的性质可知BC ∥AO ∥EF ,所以与OA →
的长度相等、方向相反的向量是AO →,OD →,FE →,BC →
,共4个.
(3)由(2)知,BC ∥OA ∥EF ,OD ,AD 与OA 在同一条直线上,所以与OA →共线的向量有BC →,CB →,EF →,FE →,AO →,OD →,DO →,AD →,DA →
,共9个向量.
B 级 能力提升
1.已知点O 固定,且|OA →
|=2,则A 点构成的图形是( ) A .一个点 B .一条直线 C .一个圆 D .不能确定
解析:因为|OA →
|=2,
所以终点A 到起点O 的距离为2. 又因为O 点固定,
所以A 点的轨迹是以O 为圆心,2为半径的圆. 答案:C
2.给出下列四个条件:①a =b ;②|a |=|b |;③a 与b 方向相反;④|a |=0或|b |=0,其中能使a ∥b 成立的条件是________(填
序号).
解析:因为a 与b 为相等向量,所以a ∥b ,即①能够使a ∥b 成立;由于|a |=|b |并没有确定a 与b 的方向,即②不能够使a ∥b 成立;因为a 与b 方向相反时,a ∥b ,即③能够使a ∥b 成立;因为零向量与任意向量共线,所以|a |=0或|b |=0时,a ∥b 能够成立.故使a ∥b 成立的条件是①③④.
答案:①③④
3.如图,两人分别从A 村出发,其中一人沿北偏东60°方向行走了1 km 到了B 村,另一人沿北偏西30
°方向行走了 3 km 到了C 村,问B 、C 两村相距多远,B 村在C 村的什么方向上?
解:由题可知|AB →|=1,|AC →
|=3, ∠CAB =90°,则|BC →
|=2. 又tan ∠ACB =|AB →
||AC →|
=13=3
3,
所以∠ACB =30°,故B ,C 两村间的距离为2 km ,B 村在C 村的南偏东60°的方向上.
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2021年高中数学-平面向量专题
第一部分:平面向量的概念及线性运算 欧阳光明(2021.03.07) 一.基础知识自主学习 1.向量的有关概念 名称定义备注 向量既有又有的量;向量的大小叫做向量 的(或称) 平面向量是自由向量 零向量长度为的向量;其方向是任意的记作0 单位向量长度等于的 向量 非零向量a的单位向量为± a |a| 平行向量方向或的非零向量 0与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量 相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等,不能比 较大小 相反向量长度且方向的向量0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何 意义) 运算律 加法求两个向量和的运算(1)交换律: a+b=b+a. (2)结合律: (a+b)+c=a+(b+c). 减法求a与b的相反向量-b 的和的运算叫做a与b 的差 法则 a-b=a+(-b) 数乘求实数λ与向量a的积的 运算 (1)|λa|=|λ||a|. (2)当λ>0时,λa的方向与a的方向; 当λ<0时,λa的方向与a的方向;当λ =0时,λa=0. λ(μa)=λμa; (λ+μ)a=λa+μa; λ(a+b)=λa+λb. 向量a(a≠0)与b共线的条件是存在唯一一个实数λ,使得b=λa. 二.难点正本疑点清源 1.向量的两要素 向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时,与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线
段都表示同一向量.或者说长度相等、方向相同的向量是相等的.向量只有相等或不等,而没有谁大谁小之说,即向量不能比较大小. 2.向量平行与直线平行的区别 向量平行包括向量共线(或重合)的情况,而直线平行不包括共线的情况.因而要利用向量平行证明向量所在直线平行,必须说明这两条直线不重合. 三.基础自测 1.化简OP →-QP →+MS →-MQ → 的结果等于________. 2.下列命题:①平行向量一定相等;②不相等的向量一定不平行;③平行于同一个向量的两个向量是共线向量; ④相等向量一定共线.其中不正确命题的序号是_______. 3.在△ABC 中,AB →=c ,AC →=b.若点D 满足BD →=2DC →,则AD → =________(用b 、c 表示). 4.如图,向量a -b 等于() A .-4e1-2e2 B .-2e1-4e2 C .e1-3e2 D .3e1-e2 5.已知向量a ,b ,且AB →=a +2b ,BC →=-5a +6b ,CD → =7a -2b ,则一定共线的三点是 () A .A 、B 、DB .A 、B 、C C .B 、C 、DD .A 、C 、D 四.题型分类深度剖析 题型一 平面向量的有关概念 例1 给出下列命题: ①若|a|=|b|,则a =b ;②若A ,B ,C ,D 是不共线的四点,则AB →=DC → 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件;③若a =b ,b =c ,则a =c ;④a =b 的充要条件是|a|=|b|且a ∥b ;⑤若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c.其中正确的序号是________. 变式训练1 判断下列命题是否正确,不正确的请说明理由. (1)若向量a 与b 同向,且|a|=|b|,则a>b ; (2)若|a|=|b|,则a 与b 的长度相等且方向相同或相反; (3)若|a|=|b|,且a 与b 方向相同,则a =b ; (4)由于零向量的方向不确定,故零向量不与任意向量平行; (5)若向量a 与向量b 平行,则向量a 与b 的方向相同或相反; (6)若向量AB →与向量CD → 是共线向量,则A ,B ,C ,D 四点在一条直线上; (7)起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等向量; (8)任一向量与它的相反向量不相等 题型二 平面向量的线性运算 例2 如图,以向量OA →=a ,OB →=b 为边作?OADB ,BM →=13BC →,CN →=13 CD →,用a 、b 表示OM →、ON →、MN → . 变式训练2 △ABC 中,AD →=23 AB →,DE ∥BC 交AC 于E ,BC 边上的中线AM 交DE 于N.设AB →=a ,AC → =b ,用a 、b 表示向 量AE →、BC →、DE →、DN →、AM →、AN →. 题型三 平面向量的共线问题 例3 设e1,e2是两个不共线向量,已知AB →=2e1-8e2,CB →=e1+3e2,CD → =2e1-e2. (1)求证:A 、B 、D 三点共线; (2)若BF → =3e1-ke2,且B 、D 、F 三点共线,求k 的值.
高中数学平面向量知识点总结
高中数学必修4之平面向量 知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念: ①向量:既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示,或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示,如:AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ,a ;坐标表示法),(y x yj xi a 向 量的大小即向量的模(长度),记作|AB u u u r |即向量的大小,记作|a | 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小. ②零向量:长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的, 0 与任意向量平行零向量a =0 |a |=0 由于0r 的方向是任意的,且规定0r 平行于任何向量,故在有关向量平行(共线) 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件.(注意与0的区别) ③单位向量:模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量 |0a |=1 ④平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直 线上方向相同或相反的向量,称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即自 由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量 数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以任意选取,现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义,要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的. ⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合,记为b a 大 小相等,方向相同 ),(),(2211y x y x 2 12 1y y x x 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b u u u r u u u r r r ,则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r (1)a a a 00;(2)向量加法满足交换律与结合律; 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”: (1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量 (2) 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,用三角形法
高中数学竞赛基础平面几何知识点总结
高中数学竞赛平面几何知识点基础 1、相似三角形的判定及性质 相似三角形的判定: (1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似; (2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似(简叙为:两边对应成比例且夹角相等,两个三角形相似.); (3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似(简叙为:三边对应成比例,两个三角形相似.); (4)如果两个三角形的两个角分别对应相等(或三个角分别对应相等),则有两个三角形相似(简叙为两角对应相等,两个三角形相似.). 直角三角形相似的判定定理: (1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似; (2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似. 常见模型: 相似三角形的性质: (1)相似三角形对应角相等 (2)相似三角形对应边的比值相等,都等于相似比 (3)相似三角形对应边上的高、角平分线、中线的比值都等于相似比 (4)相似三角形的周长比等于相似比 (5)相似三角形的面积比等于相似比的平方 2、内、外角平分线定理及其逆定理 内角平分线定理及其逆定理: 三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。如图所示,若AM平分∠BAC,则 该命题有逆定理: 如果三角形一边上的某个点与这条边所成的两条线段与这 条边的对角的两边对应成比例,那么该点与对角顶点的连
线是三角形的一条角平分线 外角平分线定理: 三角形任一外角平分线外分对边成两线段,这两条线段和夹相应的内角的两边成比例。 如图所示,AD平分△ABC的外角∠CAE,则 其逆定理也成立:若D是△ABC的BC边延长线上的一点, 且满足,则AD是∠A的外角的平分线 内外角平分线定理相结合: 如图所示,AD平分∠BAC,AE平分∠BAC的外角 ∠CAE,则 3、射影定理 在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BD是斜边AC上的高,则有射 影定理如下: BD2=AD·CD AB2=AC·AD BC2=CD·AC 对于一般三角形: 在△ABC中,设∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,则有 a=bcosC+ccosB b=ccosA+acosC c=acosB+bcosA 4、旋转相似 当一对相似三角形有公共定点且其边不重合时,则会产生另 一对相似三角形,寻找方法:连接对应点,找对应点连线和 一组对应边所成的三角形,可以得到一组角相等和一组对应 边成比例,如图中若△ABC∽△AED,则△ACD∽△ABE 5、张角定理 在△ABC中D为BC边上一点,则 sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD 6、圆内有关角度的定理 圆周角定理及其推论: (1)圆周角定理指的是一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半 (2)同弧所对的圆周角相等 (3)直径所对的圆周角是直角,直角所对的弦是直径
高中数学必修4知识点总结:第二章 平面向量
高中数学必修4知识点总结 第二章 平面向量 16、向量:既有大小,又有方向的量. 数量:只有大小,没有方向的量. 有向线段的三要素:起点、方向、长度. 零向量:长度为0的向量. 单位向量:长度等于1个单位的向量. 平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行. 相等向量:长度相等且方向相同的向量. 17、向量加法运算: ⑴三角形法则的特点:首尾相连. ⑵平行四边形法则的特点:共起点. ⑶三角形不等式:a b a b a b -≤+≤+ . ⑷运算性质:①交换律:a b b a +=+ ; ②结合律:()() a b c a b c ++=++ ;③00a a a +=+= . ⑸坐标运算:设()11,a x y = ,()22,b x y = ,则()1212,a b x x y y +=++ . 18、向量减法运算: ⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量. ⑵坐标运算:设()11,a x y = ,()22,b x y = ,则()1212,a b x x y y -=-- . 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ,()22,x y ,则()1 212 ,x x y y A B=-- . 19、向量数乘运算: ⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作a λ . ①a a λλ= ; ②当0λ>时,a λ 的方向与a 的方向相同;当0λ<时,a λ 的方向与a 的方向相反;当0λ=时,0a λ= . ⑵运算律:①()()a a λμλμ= ;②()a a a λμλμ+=+ ;③() a b a b λλλ+=+ . ⑶坐标运算:设(),a x y = ,则()(),,a x y x y λλλλ== . 20、向量共线定理:向量() 0a a ≠ 与b 共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使b a λ= . 设()11,a x y = ,()22,b x y = ,其中0b ≠ ,则当且仅当12210x y x y -=时,向量a 、() 0b b ≠ 共线. 21、平面向量基本定理:如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a ,有且只有一对实数1λ、2λ,使1122a e e λλ=+ .(不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基 b a C B A a b C C -=A -AB =B
高中数学《平面的基本性质》教案
§1.2.1平面的基本性质 一、教学目标: 1、知识与技能 (1)借助生活中的实物,学生对平面产生感性的认识; (2)掌握平面的表示法,认识水平放置的直观图; (3)掌握平面的基本性质及作用; (4)培养学生的空间想象能力。 2、过程与方法 通过师生的共同讨论,学生经历平面的感性认识。 3、情感与价值 使用学生认识到我们所处的世界是一个三维空间,进而增强了学习的兴趣。 二、教学重点、难点 重点:(1)平面的概念及表示; (2)平面的基本性质,注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言。 难点:平面基本性质的掌握与运用。 三、学法与教学用具 (1)学法:学生通过阅读教材,联系身边的实物思考、交流,师生共同讨论等,从而较好地完成本节课的教学目标。 (2)教学用具:投影仪、投影片、正(长)方形模型、三角板 四、授课类型:新授课 五、教学过程 (一)创设引入情景 生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等等,都给我们以平面的印象。你们能举出更多例子吗? 平面的含义是什么呢? (二)建立模型 1、平面含义 以上实物都给我们以平面的印象,几何里所说的平面,就是从这样的一些物体中抽象出来的,但是,几何里的平面是无限延展的。 2、平面的画法及表示 在平面几何中,怎样画直线?一条直线平移就得到了一个平面。我们通常把一个“水平 放置的平面画成一个平行四边形,锐角画成450 ,且横边画成邻边的2倍长”。(如图): 平面通常用希腊字母α、β、γ等表示,如平面α、平面β等,也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示,如平面AC 、平面ABCD 等。 如果几个平面画在一起,当一个平面的一部分被另一个平面遮住时,应画成虚线或不画(打出投影片) D C B A α β β