高中数学平面向量基本概念

平面向量基本概念

一．考试内容：

向量.向量的加法与减法.实数与向量的积.平面向量的坐标表示.线段的定比分点.平面向量的数量积.平面两点间的距离.平移.

二．考试要求：

(1)理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念.

(2)掌握向量的加法和减法.

(3)掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件.

(4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算.

(5)掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件.

(6)掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用.掌握平移公式.

【注意】向量是数学的重要概念之一，它给平面解析几何奠定了必要的基础，同时也为物理学提供了工具，这部分内容与实际结合比较密切.在高考中的考查主要集中在两个方面：①向量的基本概念和基本运算；②向量作为工具的应用.

三．基础知识:

1.实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，那么(1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a;

(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa;

(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.

2.向量的数量积的运算律：

(1) a·b= b·a（交换律）;

(2)（λa）·b= λ（a·b）=λa·b= a·（λb）;

(3)（a+b）·c= a·c +b·c.

切记：两向量不能相除(相约)；向量的“乘法”不满足结合律，

3.平面向量基本定理

如果e

1、e

2

是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有

一对实数λ

1、λ

2

，使得a=λ

1

e

1

+λ

2

e

2

．不共线的向量e

1

、e

2

叫做表示这一平面内所有向量的

一组基底．

4.向量平行的坐标表示

设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0， 则a P b(b ≠0)12210x y x y ?-=.

5.a 与b 的数量积(或内积)a ·b =|a ||b |cos θ．

6. a ·b 的几何意义

数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 7.平面向量的坐标运算

(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a+b=1212(,)x x y y ++. (2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a-b=1212(,)x x y y --. (3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,

则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--u u u r u u u r u u u r

. (4)设a =(,),x y R λ∈，则λa=(,)x y λλ.

(5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b=1212()x x y y +. 8.两向量的夹角公式

cos θ=

(a =11(,)x y ,b =22(,)x y ).

9.平面两点间的距离公式(A 11(,)x y ，B 22(,)x y ).

,A B d =||AB =u u u r 10.向量的平行与垂直

设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0， 则A ||b ?b =λa 12210x y x y ?-=. a ⊥b(a ≠0)?a ·b=012120x x y y ?+=. 11.线段的定比分公式

设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12P P 的分点,λ是实数，且12PP PP λ=u u u r u u u r

，则

12

1211x x x y y y λλ

λλ

+?=??+?+?=?+?

?121OP OP OP λλ+=+u u u r u u u r u u u r ?

12

(1)OP tOP t OP =+-u u u r u u u r u u u r （1

1t λ=+）. 12.三角形的重心坐标公式

△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是

123123

(

,)33

x x x y y y G ++++. 13.点的平移公式

''''

x x h x x h y y k y y k

??=+=-?????=+=-????''

OP OP PP ?=+u u u r u u u r u u u r 注:图形F 上的任意一点P(x ，y)在平移后图形'

F 上的对应点为'

'

'

(,)P x y ，且'PP u u u r

的坐标为

(,)h k .

14.“按向量平移”的几个结论 （1）点(,)P x y 按向量a =(,)h k 平移后得 到点'(,)P x h y k ++.

(2) 函数()y f x =的图象C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的函数解析式为

()y f x h k =-+.

(3) 图象'C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象C ,若C 的解析式()y f x =,则'C 的函数解析式为

()y f x h k =+-.

(4)曲线C :(,)0f x y =按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的方程为(,)0f x h y k --=. (5) 向量m =(,)x y 按向量a =(,)h k 平移后得到的向量仍然为m =(,)x y .

注意：（1）函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？（2）向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！

15. 三角形五“心”向量形式的充要条件

设O 为ABC ?所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则

（1）O 为ABC ?的外心222

OA OB OC ?==u u u r u u u r u u u r .

（2）O 为ABC ?的重心0OA OB OC ?++=u u u r u u u r u u u r r

.

（3）O 为ABC ?的垂心

OA OB OB OC OC OA ??=?=?u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .

（4）O 为ABC ?的内心0aOA bOB cOC ?++=uu u r uuu r uuu r r

. （5）O 为ABC ?的A ∠的旁心

aOA bOB cOC ?=+u u u r u u u r u u u r . 四．基本概念 1、向量有关概念： （1）向量的概念

向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。 （2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；

（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB u u u r

共线的单位向量是||

AB AB ±u u u r u u u r )；

（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； （5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：∥，规定零向量和任何向量平行。

提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；

③平行向量无传递性！（因为有0r

)； ④三点A B C 、、共线? AB AC u u u r u u u r

、

共线； （6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是－a 。 2、向量的表示方法：

（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后； （2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，，等；

（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，

j 为基底，则平面内的任一向量a 可表示为

(),a xi y j x y =+=r r r

，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。

3. 实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度和方向规定如下：

()()1,2a a λλ=r r

当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同，当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反，当λ＝0时，0a λ=r r

，注意：λa ≠0。

4、平面向量的数量积：

（1）两个向量的夹角：对于非零向量a ，b ，作,OA a OB b ==u u u r r u u u r r

，AOB θ∠=()0θπ≤≤称为

向量a ，b 的夹角，当θ＝0时，a ，b 同向，当θ＝π时，a ，b 反向，当θ＝2

π

时，a ，b 垂直。

当θ为锐角时，a ?b ＞0，且 a b r r 、

不同向，0a b ?>r r

是θ为锐角的必要非充分条件；当θ为钝角时，a ?b ＜0，且 a b r r 、

不反向，0a b ?

是θ为钝角的必要非充分条件； （2）b 在a 上的投影为||cos b θr

，它是一个实数，但不一定大于0。

6、向量的运算：

系xOy 中，60xOy ∠=o ，平面上任一点P 关于斜坐

如图，在平面斜坐标

标系的斜坐标是这样定义的：若12OP xe ye =+u u u r u r u u r ，其中12,e e u r u u r

分别为与x 轴、y 轴同方向的单位向量，则P 点斜坐标为(,)x y 。 7.线段的定比分点：

λ的符号与分点P 的位置之间的关系：

当P 点在线段 P 1P 2上时?λ>0；当P 点在线段 P 1P 2的延长线上时?λ<－1；当P 点在线段P 2P 1的延长线上时10λ?-<<；若点P 分有向线段

12PP u u u u r 所成的比为λ，则点P 分有向线段21P P u u u u r

所成的比为

1λ

。