高中数学平面向量及其运算
第3讲 平面向量及其运算
高考定位 平面向量这部分内容在高考中的要求大部分都为B 级,只有平面向量的应用为A 级要求,平面向量的数量积为C 级要求.主要考查:(1)平面向量的基本定理及基本运算,多以熟知的平面图形为背景进行考查,填空题难度中档;(2)平面向量的数量积,以填空题为主,难度低;(3)向量作为工具,还常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何等结合,以解答题形式出现.
真 题 感 悟
1.(2018·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中,A 为直线l :y =2x 上在第一象限内的点,B (5,0),以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若AB →·CD →=0,则点A 的横坐标为________.
解析 因为AB →·CD →=0,所以AB ⊥CD ,又点C 为AB 的中点,所以∠BAD =45°.设直线l 的倾斜角为θ,直线AB 的斜率为k ,则tan θ=2,k =tan ? ????
θ+π4=-3.
又B (5,0),所以直线AB 的方程为y =-3(x -5),又A 为直线l :y =2x 上在第一象限内的点,联立直线
AB
与直线
l
的方程,得
所以点A 的横坐标为3. 答案 3
2.(2017·江苏卷)如图,在同一个平面内,向量OA →,OB →,OC →的模分别为1,1,2,
OA →与OC →的夹角为α,且tan α=7,OB →与OC →的夹角为45°.若OC →=mOA →+nOB →(m ,n ∈R ),则m +n =________.
解析 如图,设OD →=mOA →,DC →=nOB →
,
则在△ODC 中有OD =m ,DC =n ,OC =2,∠OCD =45°,由tan α=7,得 cos α=210, 又由余弦定理知
①+②得4-2n -2
5m =0,即m =10-5n ,代入①得12n 2-49n +49=0,解得n =74或n =73,当n =73时,m =10-5×73=-53<0(不合题意,舍去),当n =7
4时,m =10-5×74=54,故m +n =54+7
4=3. 答案 3
3.(2016·江苏卷)如图,在△ABC 中,D 是BC 的中点,E ,F 是AD 上的两个三等分点,BA →·CA →=4,BF →·CF →=-1,则BE →·CE
→的值是________.
解析 设AB →=a ,AC →=b ,则BA →·CA →=(-a )·(-b )=a ·b =4. 又∵D 为BC 中点,E ,F 为AD 的两个三等分点,
则AD →=12(AB →+AC →)=1
2a +12b ,
AF
→=23AD →=13a +13b ,AE →=13AD →=16a +16b , BF
→=BA →+AF →=-a +13a +13b =-23a +13b , CF
→=CA →+AF →=-b +13a +13b =13a -23
b ,
则BF →·CF →=? ????-23a +13b ·? ????13a -23b =-29a 2-29b 2+59a ·b =-29(a 2+b 2
)+
59×4=-1. 可得a 2+b 2=292.又BE →=BA →+AE →=-a +16a +16b =-56a +1
6b , CE
→=CA →+AE →=-b +16a +16b =16a -56
b , 则BE →·CE →=? ????-56a +16b ·? ????16a -56b =-536(a 2+b 2)+2636a ·b =-536×292+2636×4=
78. 答案 7
8
考 点 整 合
1.平面向量的两个重要定理
(1)向量共线定理:向量a (a ≠0)与b 共线当且仅当存在唯一实数λ,使b =λa . (2)平面向量基本定理:如果e 1,e 2是同一平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量a ,有且只有一对实数λ1,λ2,使a =λ1e 1+λ2e 2,其中e 1,e 2是一组基底.
2.平面向量的两个充要条件
若两个非零向量a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则 (1)a ∥b a =λb x 1y 2-x 2y 1=0. (2)a ⊥b a ·b =
x 1x 2+y 1y 2=0.
3.平面向量的三个性质
(1)若a =(x ,y ),则|a |=a ·a =x 2+y 2. (2)若A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则 |AB |=(x 2-x 1)2+(y 2-y 1)2.
(3)若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),θ为a 与b 的夹角,
则cos θ=a ·b
|a ||b |=
x 1x 2+y 1y 2x 21+y 21x 22+y 22
. 4.平面向量的三个锦囊
(1)向量共线的充要条件:O 为平面上一点,则A ,B ,P 三点共线的充要条件是OP →
=λ1OA →+λ2OB →(其中λ1+λ2
=1). (2)三角形中线向量公式:若P 为△OAB 的边AB 的中点,则向量OP →与向量OA →,OB
→的关系是OP →=12
(OA →+OB →).
(3)三角形重心坐标的求法:G 为△ABC 的重心GA
→+GB →+GC →=
G ? ??
??
x A +x B +x C 3,
y A +y B +y C 3.
热点一 平面向量的线性运算
【例1】 (1)(2018·南京三模)在△ABC 中,∠ABC =120°,BA =2,BC =3,D ,E 是线段AC 的三等分点,则BD →·BE
→的值为________.
(2)已知菱形ABCD 的边长为2,∠BAD =120°,点E ,F 分别在边BC ,DC 上,BC =3BE ,DC =λDF .若AE →·AF
→=1,则λ的值为________. 解析 (1)由题意得BD →·BE →=(BA →+AD →)·(BC →+CE →)=? ????BA →+13AC →·
? ????BC →+13CA → =??????BA →+13(BC →-BA →)·
??????BC →+13(BA →-BC →)=? ????13BC →+23BA →·? ????
23BC →+13BA → =29BC →2+59BC →·BA →+29BA →2=29×9+59×2×3×cos 120°+29×4=119. (2)法一 如图,
AE →=AB →+BE →=AB →+13BC →,AF →=AD →+DF →=AD →+1λDC →=BC →+1λAB →,所以AE →·AF
→=? ????AB →+13BC →·? ????BC →+1λAB →=? ?
???1+13λAB →·BC →+1λAB →2+13BC →2=? ??
??1+13λ×2×2×cos
120°+4λ+43=1,解得λ=2.
法二 建立如图所示平面直角坐标系.
由题意知:
A (0,1),C (0,-1),
B (-3,0),D (3,0). 由B
C =3BE ,DC =λDF ,
可求点E ,F 的坐标分别为E ? ????-233,-13,F ? ????3? ?
???1-1λ,-1λ, ∴AE →·AF →=? ????-233,-43·? ????3? ????1-1λ,-1λ-1=-2? ????1-1λ+43? ????1+1λ=1, 解得λ=2. 答案 (1)11
9 (2)2
探究提高 用平面向量基本定理解决此类问题的关键是先选择一组基底,并运用平面向量的基本定理将条件和结论表示成基底的线性组合,再通过对比已知等式求解.
【训练1】 (1)在△ABC 中,∠A =60°,AB =3,AC =2,若BD →=2DC →,AE →=λAC →-AB →(λ∈R ),且AD →·AE
→=-4,则λ的值为________. (2)(2015·北京卷)在△ABC 中,点M ,N 满足AM →=2MC →,BN →=NC →.若MN →=xAB →+yAC
→,则x =__________;y =__________.
解析 (1)AB →·AC →=3×2×cos 60°=3,AD →=13AB →+23AC →,则AD →·AE
→=
? ????13AB →+23AC →·(λAC →-AB →)=λ-23AB →·AC →-13AB →2+2λ3AC →2=λ-23×3-13×32
+2λ3×22=113λ-5=-4,解得λ=311.
(2)MN →=MC →+CN →=13AC →+12CB →=13AC →+12(AB →-AC →)=12AB →-16AC →
,∴x =12,y =-16. 答案 (1)311 (2)12 -16 热点二 平面向量的坐标运算
【例2】 (1)(2018·江苏冲刺卷)已知向量a =(2,1),b =(0,-1).若(a +λb )⊥a ,则实数λ=________.
(2)(2018·全国Ⅲ卷)已知向量a =(1,2),b =(2,-2),c =(1,λ).若c ∥(2a +b ),则λ=________.
解析 (1)由题意可得a +λb =(2,1-λ),则(a +λb )·a =(2,1-λ)·(2,1)=5-λ=0,解得λ=5.
(2)2a +b =(4,2),因为c =(1,λ),且c ∥(2a +b ),所以1×2=4λ,即λ=12. 答案 (1)5 (2)1
2
探究提高 若向量以坐标形式呈现时,则用向量的坐标形式运算;若向量不是以坐标形式呈现,则可建系将之转化为坐标形式,再用向量的坐标运算求解更简捷. 【训练2】 (1)已知向量BA →=? ????1
2,32,BC →=? ????32,12,则∠ABC =________.
(2)(2018·常州期末)已知平面向量a =(4x
,2x
),b =?
?
???1,2x -22x ,x ∈R ,若a ⊥b ,
则|a -b |=________.
解析 (1)|BA →|=1,|BC →
|=1,cos ∠ABC =BA →·BC →
|BA →|·|BC →|=32,则∠ABC =30°.
(2)因为a ⊥b ,所以4x
+2x
×2x -2
2x =4x +2x -2=0,解得2x =-2(舍)或2x =1,
故a =(1,1),b =(1,-1),故a -b =(0,2),故|a -b |=2. 答案 (1)30° (2)2 热点三 平面向量的数量积
【例3】 (1)(2018·苏州自主学习)已知平面向量a =(2,1),a ·b =10,若|a +b |=52,则|b |的值是________.
(2)在等腰梯形ABCD 中,已知AB ∥DC ,AB =2,BC =1,∠ABC =60°,动点E
和F 分别在线段BC 和DC 上,且BE →=λBC →,DF →=19λDC →,则AE →·AF →
的最小值为________.
解析 (1)因为50=|a +b |2=|a |2+|b |2+2a ·b =5+20+|b |2,所以|b |=5.
(2)法一 在梯形ABCD 中,AB =2,BC =1,∠ABC =60°,可得DC =1,AE →=AB →+λBC →,AF →=AD →+19λDC →,∴AE →·AF →=(AB →+λBC →)·(AD →+19λDC →)=AB →·AD
→+AB →·19λDC →+λBC →·AD →+λBC →·
19λDC →=2×1×cos 60°+2×19λ+λ×1×cos 60°+λ·
19λ×cos 120°=29λ+λ2+17
18≥2
29λ·λ2+1718=2918,当且仅当29λ=λ2,即λ=23时,取得最小值为2918.
法二 以点A 为坐标原点,AB 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系,则B (2,0),C ? ????32,32,D ? ????12,32.又BE →=λBC
→,DF →=19λDC →,
则E ? ????2-12λ,32λ,F ? ??
??
12+19λ,32,λ>0,
所以AE →·AF
→=? ????2-12λ? ????12+19λ+34λ=1718+29λ+12λ≥1718
+229λ·12λ=29
18,λ>0,
当且仅当29λ=12λ,即λ=23时取等号,故AE →·AF →
的最小值为2918. 答案 (1)5 (2)2918
探究提高 (1)①数量积的计算通常有三种方法:数量积的定义、坐标运算、数量积的几何意义,特别要注意向量坐标法的运用;②可以利用数量积求向量的模和夹角,向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算;③在用|a |=a 2求向量的模时,一定要把求出的a 2进行开方.
(2)求解几何图形中的数量积问题,通过对向量的分解转化成已知向量的数量积计算是基本方法,但是如果建立合理的平面直角坐标系,把数量积的计算转化成坐标运算也是一种较为简捷的方法.
【训练3】 (1)(2017·南京、盐城模拟)如图,在矩形ABCD 中,AB =2,BC =2,点E 为BC 的中点,点F 在边CD 上,若AB →·AF →=2,则AE →·BF
→的值是________.
(2)(2018·南通、泰州调研)已知矩形ABCD 的边AB =2,AD =1.点P ,Q 分别在边BC ,CD 上,且∠P AQ =π4,则AP →·AQ
→的最小值为________. 解析 (1)法一 以A 为原点,AB 所在直线为x 轴,AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系(以射线AB ,AD 的方向分别为x 轴、y 轴的正方向),则B (2,0),E (2,1).设F (x ,2),则AF →=(x ,2),又AB →=(2,0),∴AB →·AF →=2x =2,∴x =1,∴F (1,2),∴AE →·BF
→= 2. 法二 ∵AB →·AF →=|AB →||AF →|cos ∠BAF =2,|AB →|=2,∴|AF →|cos ∠BAF =1,即|DF →|=1,∴|CF →|=2-1,∴AE →·BF →=(AB →+BE →)·(BC →+CF →)=AB →·BC →+AB →·CF →+BE →·BC →+BE →·CF →=AB →·CF →+BE →·BC
→=2×(2-1)×(-1)+1×2×1= 2. (2)法一(坐标法) 以A 为坐标原点,AB 所在直线为x 轴,AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系,则A (0,0),B (2,0),D (0,1).
设∠P AB =θ,则AP
→=(2,2tan θ),AQ →=? ??
??tan ? ????π4-θ,1,0≤tan θ≤12. 因为AP →·AQ →=(2,2tan θ)·? ????tan ? ????π4-θ,1=2tan ? ????π4-θ+2tan θ=2(1-tan θ)1+tan θ+
2tan θ=
41+tan θ+2tan θ-2=4
1+tan θ
+2(tan θ+1)-4≥42-4,当且仅当tan θ
=2-1时,“=”成立,所以AP →·AQ
→的最小值为42-4.
法二(基底法) 设BP =x ,DQ =y ,由已知得,tan ∠P AB =x
2,tan ∠QAD =y , 由已知得∠P AB +∠QAD =π
4,所以tan ∠P AB +tan ∠QAD 1-tan ∠P AB tan ∠QAD =1,
所以x +2y 2=1-xy
2,x +2y =2-xy ≥2x ·2y ,
解得0<xy ≤6-42,当且仅当x =2y 时,“=”成立.
AP →·AQ →
=22·(4+x 2)(1+y 2)=22·(xy )2+(x +2y )2-4xy +4 =2
2·(xy )2+(2-xy )2-4xy +4=(xy )2-4xy +4=2-xy ≥42-4. 答案 (1)2 (2)42-4 热点四 平面向量的综合应用
【例4】 (1)在△ABC 中,已知向量AB →与AC →满足? ?????AB →|AB →|+AC →|AC →|·BC →=0,且AB →|AB →|·AC →|AC →|
=1
2
,则△ABC 的形状为________三角形.
解析 (1)AB →|AB →|,AC →|AC →|分别为平行于AB →,AC →
的单位向量,由平行四边形法则可知
AB →|AB →|+AC →|AC →|
为∠BAC 的平分线.因为? ?????AB →|AB →|+AC →|AC →|·BC
→=0,所以∠BAC 的平分线垂直于BC ,所以AB =AC .又AB →|AB →|·AC →|AC →
|=????????AB
→|AB →|·?????
???AC →|AC →|·cos ∠BAC =12,
所以cos ∠BAC =12,又0<∠BAC <π,故∠BAC =π
3,所以△ABC 为等边三角形. (2)因为OA →=(x ,1),OB →=(2,y ),所以OA →·OB →=2x +y ,令z =2x +y ,依题意,
不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示(含边界),观察图象可知,当目标
函数z =2x +y 过点C (1,1)时,z max =2×1+1=3,目标函数z =2x +y 过点F (a ,a )时,z min =2a +a =3a ,所以3=8×3a ,解得a =1
8. 答案 (1)等边 (2)1
8
探究提高 向量作为工具在平面几何、解析几何、解三角形中都有着重要的应用,尤其与三角函数的联系较为紧密,适当选择建系处理有时也是不错的选择. 【训练4】 设O 为坐标原点,C 为圆(x -2)2+y 2=3的圆心,且圆上有一点M (x ,y )满足OM →·CM
→=0,则y x
=________. 解析 ∵OM →·CM →=0,∴OM ⊥CM ,∴OM 是圆的切线,设OM 的方程为y =kx ,
由|2k |1+k 2=3,得k =±3,即y x =±3.
答案 ±3
1.平面向量的数量积的运算有两种形式:
(1)依据模和夹角计算,要注意确定这两个向量的夹角,如夹角不易求或者不可求,可通过选择易求夹角和模的基底进行转化;
(2)利用坐标来计算,向量的平行和垂直都可以转化为坐标满足的等式,从而应用方程思想解决问题,化形为数,使向量问题数量化.
2.根据平行四边形法则,对于非零向量a ,b ,当|a +b |=|a -b |时,平行四边形的两条对角线长度相等,此时平行四边形是矩形,条件|a +b |=|a -b |等价于向量a ,b 互相垂直.
3.两个向量夹角的范围是[0,π],在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或π的情况,如已知两个向量的夹角为钝角时,不单纯就是其数量积小于零,还要求不能反向共线.
一、填空题
1.(2018·北京卷)设向量a =(1,0),b =(-1,m ).若a ⊥(m a -b ),则m =________. 解析 由题意得,m a -b =(m +1,-m ),根据向量垂直的充要条件可得1×(m +1)+0×(-m )=0,所以m =-1.
答案 -1
2.已知A ,B ,C 为圆O 上的三点,若AO
→=12(AB →+AC →),则AB →与AC →的夹角为
________.
解析 由AO →=12(AB →+AC →),可得O 为BC 的中点,故BC 为圆O 的直径,所以AB
→
与AC →的夹角为90°. 答案 90°
3.(2018·南京、盐城二模)如图,在平行四边形ABCD 中,AC ,BD 相交于点O ,E 为线段AO 的中点,若BE
→=λBA →+μBD →(λ,μ∈R ),则λ+μ=________.
解析 因为O ,E 分别是AC ,AO 的中点,所以BE
→=BA →+AE →=BA →+14AC →
=BA
→+14(BC →-BA →)=34BA →+14BC →.又BE →=λBA →+μBD →=λBA →+μ(BC →+CD →)=(λ+μ)BA
→+μBC →,故λ+μ=34.
答案 34
4.已知O 是平面上的一定点,A ,B ,C 是平面上不共线的三个动点,若动点P 满足OP
→=OA →+λ(AB →+AC →),λ∈(0,+∞),则点P 的轨迹一定通过△ABC 的________(填重心、垂心、内心或外心).
解析 由已知,得OP
→-OA →=λ(AB →+AC →),即AP →=λ(AB →+AC →),根据平行四边形法则,设△ABC 中BC 边的中点为D ,知AB →+AC →=2AD →,
所以点P 的轨迹必过△ABC 的重心.故填重心. 答案 重心
5.(2017·苏、锡、常、镇调研)在△ABC 中,已知AB =1,AC =2,∠A =60°,若点P 满足AP →=AB →+λAC →,且BP →·CP
→=1,则实数λ的值为________. 解析 由AB =1,AC =2,∠A =60°,得BC 2=AB 2+AC 2-2AB ·AC ·cos A =3,
即BC = 3.又AC 2=AB 2+BC 2,所以∠B =90°.以点A 为坐标原点,AB →,BC →
的方向分别为x 轴,y 轴的正方向建立平面直角坐标系,则B (1,0),C (1,3).由AP →=AB →+λAC →,得P (1+λ,3λ),则BP →·CP →=(λ,3λ)·(λ,3λ-3)=λ2+3λ(λ-1)=1,即4λ2
-3λ-1=0,解得λ=-1
4或λ=1.
答案 -1
4或1
6.(2014·江苏卷)如图,在平行四边形ABCD 中,已知AB =8,AD =5,CP →=3PD →,
AP →·BP →=2,则AB →·AD
→的值是________.
解析 由题图可得,AP
→=AD →+DP →=AD →+14AB → ,BP
→=BC →+CP →=BC →+34CD →=AD →-34
AB →. ∴AP →·BP →=? ????AD →+14AB →·? ????AD →-34AB →=AD →2-12AD →·AB →-316AB →2=2,
故有2=25-12AD →·AB →-316×64,解得AD →·AB →=22.
答案 22
7.(2018·苏北四市一模)如图,在△ABC 中,AB =AC ,BC =2,AD
→=DC →,AE →=12EB →.若BD →·AC →=-12
,则CE →·AB
→=________.
解析 建立如图所示的直角坐标系,且设A (0,a ),a >0,则BD →·AC →=? ????32,a 2·(1,-a )=32-a 22=-12,解得a =2,所以CE →=? ??
??-43,43,AB →=(-1,-2),
所以CE →·AB
→=-43. 答案 -4
3
8.(2018·天津卷改编)如图,在平面四边形ABCD 中,AB ⊥BC ,AD ⊥CD ,∠BAD =120°,AB =AD =1.若点E 为边CD 上的动点,则AE →·BE
→的最小值为
________.
解析 以A 为坐标原点,AB 所在直线为x 轴,建立如图的平面直角坐标系,
因为在平面四边形ABCD 中,AB =AD =1,∠BAD =120°,所以A (0,0),B (1,0),D ? ????-12,32.设C (1,m ),E (x ,y ),所以DC → =? ????32,m -32,AD →=? ????-12,32,
因为AD ⊥CD ,所以? ????32,m -32·
? ????-12,32=0,则32×(-12)+32? ????
m -32=0,解得m =3,即C (1,3).因为E 在CD 上,所以3
2≤y ≤3,由k CE =k CD ,得
3-y 1-x =3-3
2
1+12,即x =3y -2,因为AE →=(x ,y ),BE →=(x -1,y ),所以AE →·BE
→=(x ,
y )·(x -1,y )=x 2-x +y 2=(3y -2)2-3y +2+y 2=4y 2-53y +6,令f (y )=4y 2-53y +6,y ∈??????32,3.因为函数f (y )=4y 2-53y +6在??????
32
,
538上单调递
减,在? ????538,3上单调递增,所以f (y )min
=4×? ????538 2
-53×538+6=2116.所以AE →·BE
→的最小值为2116.
答案 2116 二、解答题
9.(2016·常州期末)如图,在直角梯形ABCD 中,AB ∥CD ,∠DAB =90°,AD =AB =4,CD =1,动点P 在边BC 上,且满足AP →=mAB →+nAD →(m ,n 均为正实数),求1m +1
n 的最小值.
解 如图,建立平面直角坐标系,得A (0,0),B (4,0),D (0,4),C (1,4),
则AB
→=(4,0),AD →=(0,4).设AP →=(x ,y ),则BC 所在直线为4x +3y =16. 由AP
→=mAB →+nAD →,即(x ,y )=m (4,0)+n (0,4),得x =4m ,y =4n (m ,n >0), 所以16m +12n =16,即m +3
4n =1,
那么1m +1n =? ????1m +1n ? ?
???m +34n =74+3n 4m +m n ≥74+2
3n 4m ·m n =7
4+3=7+434(当且
仅当3n 2=4m 2时取等号).
10.(2017·镇江模拟)已知向量m =(cos α,-1),n =(2,sin α),其中α∈? ?
???0,π2,
且m ⊥n .
(1)求cos 2α的值;
(2)若sin(α-β)=1010,且β∈? ?
?
??0,π2,求角β的值.
解 (1)由m ⊥n ,得2cos α-sin α=0,sin α=2cos α, 代入cos 2α+sin 2α=1,得5cos 2α=1,
又α∈? ?
???0,π2,则cos α=55,cos 2α=2cos 2α-1=-35.
(2)由α∈? ????0,π2,β∈? ????0,π2,得α-β∈? ??
??-π2,π2.
因为sin(α-β)=1010,所以cos(α-β)=31010,而sin α=1-cos 2α=25
5, 则sin β=sin[α-(α-β)]=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β) =255×31010-55×1010=22. 因为β∈? ?
?
??0,π2,所以β=π4.
11.已知向量a =? ????cos 3x 2,sin 3x 2,b =? ????cos x 2,-sin x 2,且x ∈???
???0,π2.
(1)求a ·b 及|a +b |;
(2)若f (x )=a ·b -2λ|a +b |的最小值是-3
2,求λ的值. 解 (1)a ·b =cos 3x 2cos x 2-sin 3x 2sin x 2=cos 2x , |a +b |=? ?
???cos 3x 2+cos x 22+? ??
??sin 3x 2-sin x 22 =
2+2? ?
?
??cos 3x 2cos x 2-sin 3x 2sin x 2=2+2cos 2x =2cos 2x ,
因为x ∈??????0,π2,所以cos x ≥0,所以|a +b |=2cos x . (2)由(1),可得f (x )=a ·b -2λ|a +b |=cos 2x -4λcos x , 即f (x )=2cos 2x -1-4λcos x =2(cos x -λ)2-1-2λ2. 因为x ∈???
?
??0,π2,所以0≤cos x ≤1.
①当λ<0时,当且仅当cos x =0时,f (x )取得最小值-1,这与已知矛盾; ②当0≤λ≤1时,当且仅当cos x =λ时,f (x )取得最小值-1-2λ2, 由已知得-1-2λ2=-32,解得λ=1
2;
③当λ>1时,当且仅当cos x =1时,f (x )取得最小值1-4λ,由已知得1-4λ=
3
2,解得λ=5
8,这与λ>1相矛盾.综上所述λ=
1
2.
-
2021年高中数学-平面向量专题
第一部分:平面向量的概念及线性运算 欧阳光明(2021.03.07) 一.基础知识自主学习 1.向量的有关概念 名称定义备注 向量既有又有的量;向量的大小叫做向量 的(或称) 平面向量是自由向量 零向量长度为的向量;其方向是任意的记作0 单位向量长度等于的 向量 非零向量a的单位向量为± a |a| 平行向量方向或的非零向量 0与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量 相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等,不能比 较大小 相反向量长度且方向的向量0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何 意义) 运算律 加法求两个向量和的运算(1)交换律: a+b=b+a. (2)结合律: (a+b)+c=a+(b+c). 减法求a与b的相反向量-b 的和的运算叫做a与b 的差 法则 a-b=a+(-b) 数乘求实数λ与向量a的积的 运算 (1)|λa|=|λ||a|. (2)当λ>0时,λa的方向与a的方向; 当λ<0时,λa的方向与a的方向;当λ =0时,λa=0. λ(μa)=λμa; (λ+μ)a=λa+μa; λ(a+b)=λa+λb. 向量a(a≠0)与b共线的条件是存在唯一一个实数λ,使得b=λa. 二.难点正本疑点清源 1.向量的两要素 向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时,与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线
段都表示同一向量.或者说长度相等、方向相同的向量是相等的.向量只有相等或不等,而没有谁大谁小之说,即向量不能比较大小. 2.向量平行与直线平行的区别 向量平行包括向量共线(或重合)的情况,而直线平行不包括共线的情况.因而要利用向量平行证明向量所在直线平行,必须说明这两条直线不重合. 三.基础自测 1.化简OP →-QP →+MS →-MQ → 的结果等于________. 2.下列命题:①平行向量一定相等;②不相等的向量一定不平行;③平行于同一个向量的两个向量是共线向量; ④相等向量一定共线.其中不正确命题的序号是_______. 3.在△ABC 中,AB →=c ,AC →=b.若点D 满足BD →=2DC →,则AD → =________(用b 、c 表示). 4.如图,向量a -b 等于() A .-4e1-2e2 B .-2e1-4e2 C .e1-3e2 D .3e1-e2 5.已知向量a ,b ,且AB →=a +2b ,BC →=-5a +6b ,CD → =7a -2b ,则一定共线的三点是 () A .A 、B 、DB .A 、B 、C C .B 、C 、DD .A 、C 、D 四.题型分类深度剖析 题型一 平面向量的有关概念 例1 给出下列命题: ①若|a|=|b|,则a =b ;②若A ,B ,C ,D 是不共线的四点,则AB →=DC → 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件;③若a =b ,b =c ,则a =c ;④a =b 的充要条件是|a|=|b|且a ∥b ;⑤若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c.其中正确的序号是________. 变式训练1 判断下列命题是否正确,不正确的请说明理由. (1)若向量a 与b 同向,且|a|=|b|,则a>b ; (2)若|a|=|b|,则a 与b 的长度相等且方向相同或相反; (3)若|a|=|b|,且a 与b 方向相同,则a =b ; (4)由于零向量的方向不确定,故零向量不与任意向量平行; (5)若向量a 与向量b 平行,则向量a 与b 的方向相同或相反; (6)若向量AB →与向量CD → 是共线向量,则A ,B ,C ,D 四点在一条直线上; (7)起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等向量; (8)任一向量与它的相反向量不相等 题型二 平面向量的线性运算 例2 如图,以向量OA →=a ,OB →=b 为边作?OADB ,BM →=13BC →,CN →=13 CD →,用a 、b 表示OM →、ON →、MN → . 变式训练2 △ABC 中,AD →=23 AB →,DE ∥BC 交AC 于E ,BC 边上的中线AM 交DE 于N.设AB →=a ,AC → =b ,用a 、b 表示向 量AE →、BC →、DE →、DN →、AM →、AN →. 题型三 平面向量的共线问题 例3 设e1,e2是两个不共线向量,已知AB →=2e1-8e2,CB →=e1+3e2,CD → =2e1-e2. (1)求证:A 、B 、D 三点共线; (2)若BF → =3e1-ke2,且B 、D 、F 三点共线,求k 的值.
高中数学数列专题大题训练
高中数学数列专题大题组卷 一.选择题(共9小题) 1.等差数列{a n}的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为()A.130 B.170 C.210 D.260 2.已知各项均为正数的等比数列{a n},a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6=()A.B.7 C.6 D. 3.数列{a n}的前n项和为S n,若a1=1,a n+1=3S n(n≥1),则a6=() A.3×44B.3×44+1 C.44D.44+1 4.已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0,a2=﹣,则{a n}的前10项和等于()A.﹣6(1﹣3﹣10)B.C.3(1﹣3﹣10)D.3(1+3﹣10)5.等比数列{a n}的前n项和为S n,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=()A.B.C.D. 6.已知等差数列{a n}满足a2+a4=4,a3+a5=10,则它的前10项的和S10=()A.138 B.135 C.95 D.23 7.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S m﹣1=﹣2,S m=0,S m+1=3,则m=()A.3 B.4 C.5 D.6 8.等差数列{a n}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则{a n}的前n项和S n=() A.n(n+1)B.n(n﹣1)C.D. 9.设{a n}是等差数列,下列结论中正确的是() A.若a1+a2>0,则a2+a3>0 B.若a1+a3<0,则a1+a2<0 C.若0<a 1<a2,则a2D.若a1<0,则(a2﹣a1)(a2﹣a3)>0 二.解答题(共14小题) 10.设数列{a n}(n=1,2,3,…)的前n项和S n满足S n=2a n﹣a1,且a1,a2+1,a3成等差数列.
高中数学平面向量知识点总结
高中数学必修4之平面向量 知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念: ①向量:既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示,或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示,如:AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ,a ;坐标表示法),(y x yj xi a 向 量的大小即向量的模(长度),记作|AB u u u r |即向量的大小,记作|a | 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小. ②零向量:长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的, 0 与任意向量平行零向量a =0 |a |=0 由于0r 的方向是任意的,且规定0r 平行于任何向量,故在有关向量平行(共线) 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件.(注意与0的区别) ③单位向量:模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量 |0a |=1 ④平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直 线上方向相同或相反的向量,称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即自 由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量 数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以任意选取,现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义,要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的. ⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合,记为b a 大 小相等,方向相同 ),(),(2211y x y x 2 12 1y y x x 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b u u u r u u u r r r ,则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r (1)a a a 00;(2)向量加法满足交换律与结合律; 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”: (1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量 (2) 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,用三角形法
高中数学必修4平面向量知识点总结与典型例题归纳
平面向量 【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】 1.向量:既有大小又有方向的量。记作:AB 或a 。 2.向量的模:向量的大小(或长度),记作:||AB 或||a 。 3.单位向量:长度为1的向量。若e 是单位向量,则||1e =。 4.零向量:长度为0的向量。记作:0。【0方向是任意的,且与任意向量平行】 5.平行向量(共线向量):方向相同或相反的向量。 6.相等向量:长度和方向都相同的向量。 7.相反向量:长度相等,方向相反的向量。AB BA =-。 8.三角形法则: AB BC AC +=;AB BC CD DE AE +++=;AB AC CB -=(指向被减数) 9.平行四边形法则: 以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +,a b -。 10.共线定理://a b a b λ=?。当0λ>时,a b 与同向;当0λ<时,a b 与反向。 11.基底:任意不共线的两个向量称为一组基底。 12.向量的模:若(,)a x y =,则2||a x y =+,22||a a =,2||()a b a b +=+ 13.数量积与夹角公式:||||cos a b a b θ?=?; cos ||||a b a b θ?= ? 14.平行与垂直:1221//a b a b x y x y λ?=?=;121200a b a b x x y y ⊥??=?+= 题型1.基本概念判断正误: (1)共线向量就是在同一条直线上的向量。 (2)若两个向量不相等,则它们的终点不可能是同一点。 (3)与已知向量共线的单位向量是唯一的。 (4)四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD =。 (5)若AB CD =,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形。 (6)若a 与b 共线, b 与c 共线,则a 与c 共线。 (7)若ma mb =,则a b =。