高中数学平面向量教案一
第五章 平面向量
第一教时
教材:向量
目的:要求学生掌握向量的意义、表示方法以及有关概念,并能作一个向量与已
知向量相等,根据图形判定向量是否平行、共线、相等。
过程:
一、开场白:课本P93(略)
实例:老鼠由A 向西北逃窜,猫在B 处向东追去,
问:猫能否追到老鼠?(画图)
结论:猫的速度再快也没用,因为方向错了。 二、 提出课题:平面向量
1. 意义:既有大小又有方向的量叫向量。例:力、速度、加速度、冲量等
注意:1?数量与向量的区别:
数量只有大小,是一个代数量,可以进行代数运算、比较大
小;
向量有方向,大小,双重性,不能比较大小。
2?从19世纪末到20世纪初,向量就成为一套优良通性的数学
体系,用以研究空间性质。
2. 向量的表示方法: 1?几何表示法:点—射线 有向线段——具有一定方向的线段 有向线段的三要素:起点、方向、长度
记作(注意起讫)
2?字母表示法:可表示为(印刷时用黑体字)
P95 例 用1cm 表示5n mail (海里)
3. 模的概念:向量 记作:|| 模是可以比较大小的
4. 两个特殊的向量:
1?零向量——长度(模)为0的向量,记作。的方向是任意的。 注意与0的区别
2?单位向量——长度(模)为1个单位长度的向量叫做单位向量。 例:温度有零上零下之分,“温度”是否向量?
答:不是。因为零上零下也只是大小之分。
例:与是否同一向量?
A B
A(起点)
B (终点) a
答:不是同一向量。
例:有几个单位向量?单位向量的大小是否相等?单位向量是否都相等? 答:有无数个单位向量,单位向量大小相等,单位向量不一定相等。 三、 向量间的关系:
1. 平行向量:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。
记作:∥∥
规定:与任一向量平行
2. 相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 记作:=
规定:=
任两相等的非零向量都可用一有向线段表示,与起点无关。 3. 共线向量:任一组平行向量都可移到同一条直线上 ,
所以平行向量也叫共线向量。
OA =a OB =b OC =c
例:(P95)略
变式一:与向量长度相等的向量有多少个?(11个)
变式二:是否存在与向量长度相等、方向相反的向量?(存在)
变式三:与向量共线的向量有哪些?(,,)
四、 小结:
五、 作业:P96 练习 习题5.1
a b c
第二教时
教材:向量的加法
目的:要求学生掌握向量加法的意义,并能运用三角形法则和平行四边形法则作
几个向量的和向量。能表述向量加法的交换律和结合律,并运用它进行向量计算。
过程:
六、复习:向量的定义以及有关概念
强调:1?向量是既有大小又有方向的量。长度相等、方向相同的向量相等。 2?正因为如此,我们研究的向量是与起点无关的自由向量,即任何
向量可以在不改变它的方向和大小的前提下,移到任何位置。 七、 提出课题:向量是否能进行运算?
5. 某人从A 到B ,再从B 按原方向到C ,
则两次的位移和:AC BC AB =+ 6. 若上题改为从A 到B ,再从B 按反方向到C ,
则两次的位移和:=+
7. 某车从A 到B ,再从B 改变方向到C ,
则两次的位移和:=+
8. 船速为,水速为,
则两速度和:AC BC AB
=+
提出课题:向量的加法 三、1.定义:求两个向量的和的运算,叫做向量的加法。
注意:;两个向量的和仍旧是向量(简称和向量)
2.三角形法则:
强调: 1?“向量平移”(自由向量):使前一个向量的终点为后一个向量的起
点
2?可以推广到n 个向量连加
3?=+=+
4?不共线向量都可以采用这种法则——三角形法则
3.例一、已知向量、,求作向量+
A B C
A B C
A B C A A A B B B C C O
A a a b b
b a +b a +b a a b b b a a
作法:在平面内取一点,
作a OA = b AB =
则+=
4.加法的交换律和平行四边形法则
上题中b +a 的结果与a +b 是否相同 验证结果相同
从而得到:1?向量加法的平行四边形法则
2?向量加法的交换律:a +b =b +a
9. 向量加法的结合律:(a +b ) +c =a + (b +c ) 证:如图:使=, =, =
则(+) +==+ + (+) ==+ ∴(a +b ) +c =a + (b +c ) 从而,多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行。
四、例二(P98—99)略
五、小结:1?向量加法的几何法则
2?交换律和结合律
3?注意:|+| > || + ||不一定成立,因为共线向量不然。
六、作业:P99—100 练习 P102 习题5.2 1—3
A
B C D a
c a +b+c b a +b
b+c
第三教时
教材:向量的减法
目的:要求学生掌握向量减法的意义与几何运算,并清楚向量减法与加法的关系。 过程:
八、复习:向量加法的法则:三角形法则与平行四边形法则 向量加法的运算定律: 例:在四边形中,=++BA BA CB CD 解:CD AD BA CB BA BA CB =++=++
九、 提出课题:向量的减法 1. 用“相反向量”定义向量的减法
1?“相反向量”的定义:与a 长度相同、方向相反的向量。记作 -a 2?规定:零向量的相反向量仍是零向量。-(-a ) = a
任一向量与它的相反向量的和是零向量。a + (-a ) = 0 如果a 、b 互为相反向量,则a = -b , b = -a , a + b = 0 3?向量减法的定义:向量a 加上的b 相反向量,叫做a 与b 的差。 即:a - b = a + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法。
2. 用加法的逆运算定义向量的减法:
向量的减法是向量加法的逆运算:
若b + x = a ,则x 叫做a 与b 的差,记作a - b
3. 求作差向量:已知向量a 、b ,求作向量
∵(a -b ) + b = a + (-b ) + b = a + 0 = a
作法:在平面内取一点O , 作= a , AB = b
则BA = a - b 即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量。 注意:1?AB 表示a - b 。强调:差向量“箭头”指向被减数 2?用“相反向量”定义法作差向量,a - b = a + (-b ) 显然,此法作图较繁,但最后作图可统一。
4. a ∥b ∥c a - b = a + (-b ) a - b
O A B a B’ b -b b B a + (-b ) a b A B
O
a b B a
b a -b
a -
b B B’ a -b
a a b
b O A O B a -b B
A O -b
十、例题:
例一、(P101 例三)已知向量a 、b 、c 、d ,求作向量a -b 、c -d 。 解:在平面上取一点O ,作OA = a , OB = b , OC = c , OD = d , 作, DC , 则= a -b , DC = c -d
例二、平行四边形中,,用表示向量,
解:由平行四边形法则得:
AC = a + b, = - = a -b
变式一:当a , b 满足什么条件时,a +b 与a -b 垂直?(|a | = |b |) 变式二:当a , b 满足什么条件时,|a +b | = |a -b |?(a , b 互相垂直) 变式三:a +b 与a -b 可能是相当向量吗?(不可能,∵
十一、 小结:向量减法的定义、作图法|
十二、 作业: P102 练习 P103 习题5.2 4—8
A B C b a d c D
O
2021年高中数学-平面向量专题
第一部分:平面向量的概念及线性运算 欧阳光明(2021.03.07) 一.基础知识自主学习 1.向量的有关概念 名称定义备注 向量既有又有的量;向量的大小叫做向量 的(或称) 平面向量是自由向量 零向量长度为的向量;其方向是任意的记作0 单位向量长度等于的 向量 非零向量a的单位向量为± a |a| 平行向量方向或的非零向量 0与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量 相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等,不能比 较大小 相反向量长度且方向的向量0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何 意义) 运算律 加法求两个向量和的运算(1)交换律: a+b=b+a. (2)结合律: (a+b)+c=a+(b+c). 减法求a与b的相反向量-b 的和的运算叫做a与b 的差 法则 a-b=a+(-b) 数乘求实数λ与向量a的积的 运算 (1)|λa|=|λ||a|. (2)当λ>0时,λa的方向与a的方向; 当λ<0时,λa的方向与a的方向;当λ =0时,λa=0. λ(μa)=λμa; (λ+μ)a=λa+μa; λ(a+b)=λa+λb. 向量a(a≠0)与b共线的条件是存在唯一一个实数λ,使得b=λa. 二.难点正本疑点清源 1.向量的两要素 向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时,与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线
段都表示同一向量.或者说长度相等、方向相同的向量是相等的.向量只有相等或不等,而没有谁大谁小之说,即向量不能比较大小. 2.向量平行与直线平行的区别 向量平行包括向量共线(或重合)的情况,而直线平行不包括共线的情况.因而要利用向量平行证明向量所在直线平行,必须说明这两条直线不重合. 三.基础自测 1.化简OP →-QP →+MS →-MQ → 的结果等于________. 2.下列命题:①平行向量一定相等;②不相等的向量一定不平行;③平行于同一个向量的两个向量是共线向量; ④相等向量一定共线.其中不正确命题的序号是_______. 3.在△ABC 中,AB →=c ,AC →=b.若点D 满足BD →=2DC →,则AD → =________(用b 、c 表示). 4.如图,向量a -b 等于() A .-4e1-2e2 B .-2e1-4e2 C .e1-3e2 D .3e1-e2 5.已知向量a ,b ,且AB →=a +2b ,BC →=-5a +6b ,CD → =7a -2b ,则一定共线的三点是 () A .A 、B 、DB .A 、B 、C C .B 、C 、DD .A 、C 、D 四.题型分类深度剖析 题型一 平面向量的有关概念 例1 给出下列命题: ①若|a|=|b|,则a =b ;②若A ,B ,C ,D 是不共线的四点,则AB →=DC → 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件;③若a =b ,b =c ,则a =c ;④a =b 的充要条件是|a|=|b|且a ∥b ;⑤若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c.其中正确的序号是________. 变式训练1 判断下列命题是否正确,不正确的请说明理由. (1)若向量a 与b 同向,且|a|=|b|,则a>b ; (2)若|a|=|b|,则a 与b 的长度相等且方向相同或相反; (3)若|a|=|b|,且a 与b 方向相同,则a =b ; (4)由于零向量的方向不确定,故零向量不与任意向量平行; (5)若向量a 与向量b 平行,则向量a 与b 的方向相同或相反; (6)若向量AB →与向量CD → 是共线向量,则A ,B ,C ,D 四点在一条直线上; (7)起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等向量; (8)任一向量与它的相反向量不相等 题型二 平面向量的线性运算 例2 如图,以向量OA →=a ,OB →=b 为边作?OADB ,BM →=13BC →,CN →=13 CD →,用a 、b 表示OM →、ON →、MN → . 变式训练2 △ABC 中,AD →=23 AB →,DE ∥BC 交AC 于E ,BC 边上的中线AM 交DE 于N.设AB →=a ,AC → =b ,用a 、b 表示向 量AE →、BC →、DE →、DN →、AM →、AN →. 题型三 平面向量的共线问题 例3 设e1,e2是两个不共线向量,已知AB →=2e1-8e2,CB →=e1+3e2,CD → =2e1-e2. (1)求证:A 、B 、D 三点共线; (2)若BF → =3e1-ke2,且B 、D 、F 三点共线,求k 的值.
高中数学数列专题大题训练
高中数学数列专题大题组卷 一.选择题(共9小题) 1.等差数列{a n}的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为()A.130 B.170 C.210 D.260 2.已知各项均为正数的等比数列{a n},a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6=()A.B.7 C.6 D. 3.数列{a n}的前n项和为S n,若a1=1,a n+1=3S n(n≥1),则a6=() A.3×44B.3×44+1 C.44D.44+1 4.已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0,a2=﹣,则{a n}的前10项和等于()A.﹣6(1﹣3﹣10)B.C.3(1﹣3﹣10)D.3(1+3﹣10)5.等比数列{a n}的前n项和为S n,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=()A.B.C.D. 6.已知等差数列{a n}满足a2+a4=4,a3+a5=10,则它的前10项的和S10=()A.138 B.135 C.95 D.23 7.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S m﹣1=﹣2,S m=0,S m+1=3,则m=()A.3 B.4 C.5 D.6 8.等差数列{a n}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则{a n}的前n项和S n=() A.n(n+1)B.n(n﹣1)C.D. 9.设{a n}是等差数列,下列结论中正确的是() A.若a1+a2>0,则a2+a3>0 B.若a1+a3<0,则a1+a2<0 C.若0<a 1<a2,则a2D.若a1<0,则(a2﹣a1)(a2﹣a3)>0 二.解答题(共14小题) 10.设数列{a n}(n=1,2,3,…)的前n项和S n满足S n=2a n﹣a1,且a1,a2+1,a3成等差数列.
高中数学平面向量知识点总结
高中数学必修4之平面向量 知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念: ①向量:既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示,或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示,如:AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ,a ;坐标表示法),(y x yj xi a 向 量的大小即向量的模(长度),记作|AB u u u r |即向量的大小,记作|a | 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小. ②零向量:长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的, 0 与任意向量平行零向量a =0 |a |=0 由于0r 的方向是任意的,且规定0r 平行于任何向量,故在有关向量平行(共线) 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件.(注意与0的区别) ③单位向量:模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量 |0a |=1 ④平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直 线上方向相同或相反的向量,称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即自 由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量 数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以任意选取,现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义,要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的. ⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合,记为b a 大 小相等,方向相同 ),(),(2211y x y x 2 12 1y y x x 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b u u u r u u u r r r ,则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r (1)a a a 00;(2)向量加法满足交换律与结合律; 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”: (1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量 (2) 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,用三角形法