矩阵论B卷及答案上海交通大学
上海交通大学《矩阵论》 B 卷
姓名： 班级： 学号： 一、 单项选择题(每题3分，共15分)（答案AAAAB ）
1. 设1
()k
k A f A k ∞
==∑收敛，则A 可以取为
A. 0091??
??--?? B. 0091??
??-??
C. 1011??
??-?? D. 100.11??
????
注：A 的特征值为0，-1，而1k
k x k
∞
=∑的收敛区间为[1,1)-
2. 设M 是n 阶实数矩阵，若M 的n 个盖尔圆彼此分离，则M A. 可以对角化 B. 不能对角化 C. 幂收敛 D. 幂发散 注：由定理M 有n 个不同特征值，故可以对角化
3. 设211112121M --??
??=--??
??--??
的，则M 不存在 A. QR 分解 B. 满秩分解 C. 奇异值分解 D. 谱分解 注：M 的秩为2故无QR 分解 4. 设，则A = A.
21402003
1-?? ? ? ??
?
B.
1
1401006
1-?? ? ? ??
?
C.
2
2402003
1-?? ? ? ??
?
D.
20
4020061-??
? ? ???
注：'
()At At
e Ae =，故()
'
A At t A Ae Ae
e ====
5. 设3阶矩阵A 满足多项式222(4)(3)A E A E O --=, 且其最小多项式m (x )满足条件(1)(3)1m m ==,则A 可以相似于
A. 200130002M ??
??=??
??-??
B. 20002002M ????=??????
C. 2
001
2002M ??-?
?=-????-?
? D. 200030013M -??
??=??????
注：B 中矩阵的最小多项式为()2
2x - 二、填空题(每题3分，共15分) 1． 设
220A A -=，则cos 2A ＝ [ E+()2cos11A - ]。
2．已知n n
A C ?∈,并且()1A ρ<,则矩阵幂级数
k
k kA ∞
=∑=［
()
2
A
E A - ］。
3．设矩
阵
1111A ?=??
，则A 的谱半径()A ρ＝
［
3 ］。 4. 设
(,)m n
Hom R R σ∈，则dim(Im )dim(ker )σσ⊥⊥+=n 5． 设5阶复数矩阵A 的特征多项式为22()(1)(2)f λλλλ=-+,则
2|A +E |= [ 20 ].
注：把E 写成1或I 均可；
()
A
E A -也可有其它等价形式如
()()()
22
2
,,
E
E
E A A A E A E A
E A -----
--等 三、（8分）利用初等变换求1BA -，其中
450231271A ????=????-??
， 4 5 0 2 3 1 2 7 92 3 7B ??
???
?=??
??-??
。 答案：1
BA - = 1 0 0 0 1 04 9 0141 8 33??
??????-??
??-????
（各数值均可取近似值如13算成25）
解法一、解答中只要是使用列初等变换的思想即得4分，初等变
换的用法正确但答案较离谱给6分，有清淅的步骤但结果错误较大给7分，明显简单数值计算错误或答案完全正确给8分；
解法二、使用行初等变换求出1A -再计算1BA -，答案无明显错误给
满分，否则只给2分。
四、 （10分）设V 是由函数22,,,x x x x e xe x e e 的线性组合生成的线性
空间，定义V 的一个线性算子如()'T f f =. 求T 的Jordan 标准形及Jordan 基。 证明：1。由定义
()()
1 1 0 00 1
2 02222,,,,,,0 0 1 00 0 0 2x x x x x x x x T e xe x e e e xe x e e ??
??
?
?=??????
=()
22,,,x
x x x e xe x e e
A ， （2分）
2．计算出A 的特征值为1，3； （2分） 3．用最小多项式或初等因子或零度判断Jordan 块形状（2分） 4． 给出A 的Jordan 标准形
1 1 0 00 1 1 00 0 1 00 0 0 2????????????
； （2分） 5．写出过渡矩阵与基变换正确公式； （1分） 6．给出Jordan 基。 （1分） 注：Jordan 基不唯一如，2221,,,2
x x x e xe x e e ；2221,,,2
x x x x x x e e xe e xe x e e +++等均算正确（不严格要求基变换为正交变换） 五、 （10分)设
1 1 20 1 11 3 4A ??
??=??
????， 求A 的四个相关子空间：(),(),(),()T T N A R A R A N A . 解法一、
1．求出Hermite 标准形； （2分） 2．求出每个子空间给（2分）共8分； 解法二、
直接由定义求子空间给分方式：算出任意一个给4分，其余每算出一个给2分。
注：计算过程中的错误如不影响子空间的维数最多可扣1分；如计算错误影响到空间维数但步骤正确扣两分。
六、 8分）求矩阵0.9 0.01 0.120.01 0.8 0.130.01 0.02 0.4A ??
??=??
????
的孤立盖尔圆盘（即对矩阵作适当的相似变换后求得的盖尔圆盘是孤立的）。 解法一、
1．只要有分离盖尔圆的想法即可得；（2分）2．选择正确的相似过渡矩阵；（2分）3．算出三个分离的盖尔圆。（4分）解法二、
直接计算A的列盖尔圆并指出他们是分离的给满分（8分）。注：仅求出A的行或列盖尔圆但没进一步处理给（2分）
七、（8分）已知正交矩阵
2 1 3
1
1 2 2
3
2 2 1
-
??
??
??
??
-
??
表示一个旋转，求其旋转
轴与旋转角。
1．指出特征值1，（2分）2．求出1对应的特征向量（1，1，0）并指出其为旋转轴，
（2分）3．指出旋转角度和另两个共轭特征值关系，
或指出旋转角与矩阵迹的关系；（2分）4．求出旋转角1
arccos
3
，（2分）注：思想正确但没算1的特征向量或算错特征向量至多扣一分；
旋转角的各种表示均可（如）；全题中的计算错误总共至多扣一分。
八、（8分）设
100
101,
010
A
??
??
=??
??
??
求证：E
A
A
A n
n
3
2
2-
+
=-.
证法一、
1．算出特征多项式()()()2
11f λλλ=-+， （2分） 2．指出()0f A =， （2分） 3．使用定理“两个矩阵函数相等当且仅当函数在A 的谱上数
值相等”正确证明结论， （4分） 注：第3步中没有验证函数在1λ=处的导数值扣两分。 解法二、
1．算出特征多项式()()()2
11f λλλ=-+， （2分） 2．指出()0f A =， （2分） 3．使用归纳法或直接从多项式221n n λλλ----分解出因子
()()()2
11f λλλ=-+从而证明结论。 （4分）
解法三、
1．直接计算出3230A A A E --+=， （4分） 2．使用归纳法或直接从多项式221n n λλλ----分解出因子
()()()2
11f λλλ=-+从而证明结论。 （4分）
解法四、
1．求出A 的Jordan 标准形； （4分） 2．用Jordan 标准形计算出结论。 （4分）
注：把A 当作可相似于对角阵从而计算出结论视其是计算错误所致还是思想错误所致而给分，前者至多扣一分，后者给4 分。
九、 （8分）对下面矩阵A 求矩阵函数At e ：
2 2 31 1 11
3 1-????????-??
。 解法一、
1．求出特征值多项式并指出其为最小多项式， （2分） 2．设()2012g a a a λλλ=++， （2分）
3．列出线性方程组012
20123012
2439t t t
e a a a e a a a e a a a -?=++?
=-+??=++?，其 （2分）
4．算出()At e g A = （2分） 注：过程全且计算出012,,a a a 给满分（不管计算正确与否），未计算扣一分。 解法二、
1．求出特征值多项式并指出其为最小多项式， （2分） 2．算出A 的相似对角形及过渡矩阵， (2分) 3．用书上定理写出At e ， (2分) 注：有步骤但未具体计算出过渡阵扣2分，算出过渡阵但未算出其逆扣1分。
十、 （10分）证明矩阵范数12||||, ||||||||A A A ∞和分别是向量范数12, l l l ∞
和导出的算子范数。 只需证三个范数之一即可。 一、
1．111||||max ||n
ij j n
i A a ≤≤==∑， （2分）
2．11
1
1
1
||||||(||||)n n n n
ij j j ij i j j i AX a x x a =====≤∑∑∑∑
11
1
||max ||n n j ij j n
j i x a ≤≤==≤∑∑=111
||||max ||n
ij j n
i X a ≤≤=∑， （2分）
3．1
101
||||||||sup
||||X AX A X ≠≤， （2分）
4．设j 是使1 中的最大值达到的列，令()
0,,0,1,0,,0T
j X = 第个
，则
1
11
||||||||||||AX A X =。
（2分） 二、三、类似略。
注：证明中只要涉及到这些点即给分而不考虑证明的组织，而且4这一条并不要求有明确构造（有这种想法即可）
矩阵论解题步骤-期末考试题
1. 广义逆（必考类型） 假设s x n 矩阵A 的广义逆为G ，且A 可以满秩分解为A = BC ，A 的秩r(A) = r ，则B 为s x r 矩阵，C 为r x n 矩阵。则G 可表示为： H 1 1 C (CC )(B B)B H H H G --= 例题： 步骤：显然，A 要分解为BC ，必须知道A 的秩，故先对A 进行行化简成最简式 ，r(A)=2，故A 满秩分解为A=（3x2） （2x4）=BC.根据A 的最简式来决定B 和C ，B 由A 最简式中只有1的原列组成，C 由A 的最简式的非零首元行组成。 B = ， C = ，H 11C (CC )(B B)B H H H A --+=，通过计算即可 得到A 的广义逆。（若B 、C 中有单位矩阵，那么A 的广义逆表达式可去掉矩阵） 性质： 2. 证明r(ABC)r(B)r(AB)+r(BC)+>=
比较重要的性质 (1) ABX=0与BX=0同解 r(AB)=r(B) (2) r(A)=r(H A A ) (3) r(A+B)<=r(A)+r(B) (4) r(AB)<=min[r(A),r(B)] (5) r(AB)>=r(A)+r(B)-n ，其中A=s x n ，B=n x t 步骤： 设r(B)=r ，B 的满秩分解为B=HK ，所以ABC=AHKC ， r(ABC)=r(AHKC)>=r(AH)+r(KC)-r （性质（5）） AB=AHK ，故r(AB)<=r(AH)，同理得r(BC)<=r(KC)，（性质（4）） 从而r(ABC)>=r(AB)+r(BC)-r(B)，原式得证 知识点： A ． 秩为r 的s x n 矩阵A 必可分解为A=BC ，其中B=s x r ，C=r x n 。该分解称为A 的 满秩分解。 3. nxn 2n n 2V {X |AX ,X C }n X ==∈，证明：12=V n C V ⊕ 证明包含两部分，1）证明12V V ⊕是直和 等价于 证明1 2V {0}V = 2）证明12V n C V ?⊕，12V n C V ?⊕ 步骤：
2016矩阵论试题
第 1 页 共 6 页 （A 卷） 学院 系 专业班级 姓名 学号 (密封线外不要写姓名、学号、班级、密封线内不准答题，违者按零分计) …………………………………………密…………………………封……………………………………线………………………………… 考试方式：闭卷 太原理工大学 矩阵分析 试卷（A ） 适用专业：2016级硕士研究生 考试日期：2017.1.09 时间：120 分钟 共 8页 一、填空选择题（每小题3分，共30分） 1-5题为填空题： 1. 已知??? ? ? ??--=304021101A ，则1||||A =。 2. 设线性变换1T ，2T 在基n ααα ,,21下的矩阵分别为A ，B ，则线性变换212T T +在基n ααα ,,21下的矩阵为_____________. 3．在3R 中，基T )2,1,3(1--=α，T )1,1,1(2-=α，T )1,3,2(3-=α到基T )1,1,1(1=β， T )3,2,1(2=β，T )1,0,2(3=β的过度矩阵为A = 4. 设矩阵??? ? ? ??--=304021101A ，则 5432333A A A A A -++-= . 5．??? ? ? ? ?-=λλλλλ0010 01)(2A 的Smith 标准形为 6-10题为单项选择题： 6．设A 是正规矩阵，则下列说法不正确的是 （ ）. (A) A 一定可以对角化； （B ）?=H A A A 的特征值全为实数； (C) 若E AA H =，则 1=A ； （D ）?-=H A A A 的特征值全为零或纯虚数。 7．设矩阵A 的谱半径1)( 南京航空航天大学2012级硕士研究生 二、(20分)设三阶矩阵，，. ????? ??--=201034011A ????? ??=300130013B ???? ? ??=3003003a a C (1) 求的行列式因子、不变因子、初等因子及Jordan 标准形； A (2) 利用矩阵的知识，判断矩阵和是否相似，并说明理由. λB C 解答: (1)的行列式因子为;…(3分)A 2121)1)(2()(,1)()(--===λλλλλD D D 不变因子为; …………………(3分)2121)1)(2()(,1)()(--===λλλλλd d d 初等因子为;……………………(2分) 2)1(,2--λλJordan 标准形为. ……………………(2分) 200011001J ?? ?= ? ??? (2) 不相似,理由是2阶行列式因子不同; …………………(5分) 0,a = 相似,理由是各阶行列式因子相同. …………………(5分) 0,a ≠共 6 页 第 4 页 三、(20分)已知线性方程组不相容. ?? ???=+=+++=++1,12,1434321421x x x x x x x x x (1) 求系数矩阵的满秩分解； A (2) 求广义逆矩阵； +A (3) 求该线性方程组的极小最小二乘解. 解答:(1) 矩阵,的满秩分解为 ???? ? ??=110021111011A A . …………………(5分)10110111001101A ??????=?????????? (2) . ……………………(10分)51-451-41-52715033A +?? ? ?= ? ??? (3) 方程组的极小最小二乘解为. …………(5分)2214156x ?? ? ?= ? ??? 共 6 页 第 5 页 Solution Key to Some Exercises in Chapter 3 #5. Determine the kernel and range of each of the following linear transformations on 2P (a) (())'()p x xp x σ= (b) (())()'()p x p x p x σ=- (c) (())(0)(1)p x p x p σ=+ Solution (a) Let ()p x ax b =+. (())p x ax σ=. (())0p x σ= if and only if 0ax = if and only if 0a =. Thus, ker(){|}b b R σ=∈ The range of σis 2()P σ={|}ax a R ∈ (b) Let ()p x ax b =+. (())p x ax b a σ=+-. (())0p x σ= if and only if 0ax b a +-= if and only if 0a =and 0b =. Thus, ker(){0}σ= The range of σis 2()P σ=2{|,}P ax b a a b R +-∈= (c) Let ()p x ax b =+. (())p x bx a b σ=++. (())0p x σ= if and only if 0bx a b ++= if and only if 0a =and 0b =. Thus, ker(){0}σ= The range of σis 2()P σ=2{|,}P bx a b a b R ++∈= 备注: 映射的核以及映射的像都是集合,应该以集合的记号来表达或者用文字来叙述. #7. Let be the linear mapping that maps 2P into 2R defined by 10()(())(0)p x dx p x p σ?? ?= ??? ? Find a matrix A such that ()x A ασαββ??+= ??? . Solution 1(1)1σ??= ??? 1/2()0x σ?? = ??? 11/211/2()101 0x ασαβαββ????????+=+= ? ? ??????????? Hence, 11/210A ??= ??? #10. Let σ be the transformation on 3P defined by (())'()"()p x xp x p x σ=+ a) Find the matrix A representing σ with respect to 2[1,,]x x b) Find the matrix B representing σ with respect to 2[1,,1]x x + c) Find the matrix S such that 1B S AS -= d) If 2012()(1)p x a a x a x =+++, calculate (())n p x σ. Solution (a) (1)0σ=南航矩阵论2013研究生试卷及答案
南航双语矩阵论 matrix theory第三章部分题解
2016矩阵论试题A20170109 (1)