华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(上册)(课后习题 不定积分)【圣才出品】

第8章　不定积分

§1　不定积分概念与基本积分公式

1．验证下列等式，并与（

3）、（

4）两式相比照

（

1）

（

2）

（3）式为

（4）式为

解：（1）因为，所以它是对f（x）先求导再积分，等于f（x

）＋C，（3）式是对f（x）先积分再求导，则等于

（2）因为，由（1）可知它是对f（x）先微分后积分，则等于f（x）＋C；而（4）式是对f（x）先积分后微分，则等于f（x）dx．

2．求一曲线y＝f（x），使得在曲线上每一点（x,y）处的切线斜率为2x，且通过点（2，5

）．

解：由题意，有f'（x）＝2x，即

又由于y＝f（x）过点（2，5），即5＝4＋C，故C＝1．因而所求的曲线为y＝f（

x）＝x2＋1．

3．验证是|x|在（－∞,＋∞）上的一个原函数．

证明：因为

所以

而当x ＝0时，有即y'（0）＝0．因而

即是在R 上的一个原函

数．4．据理说明为什么每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数?

解：设x 0为f （x ）在区间I 上的第一类间断点，则分两种情况讨论．

（1）若x 0为可去间断点．

反证法：若f （x ）在区间I

上有原函数F （x ），则在

内由拉格朗日中值定理有

，ξ在x 0和x 之间．而这与x 0为可去间断点是矛盾的，故F （x ）不存在．

（2）若x 0为跳跃间断点．

反证法：若f

（x ）在区间I 上有原函数F （x ），则亦有

成立．而

这与x0为跳跃间断点矛盾，故原函数仍不存在．5．求下列不定积分：

解：

6．求下列不定积分：

解：（1）当x≥0时，当x＜0时，

由于在上连续，故其原函数必在连续可微．因此

即，因此所以

（2）当时，

由于在上连续，故其原函数必在上连续可微．因此，

即，因此所以

7．设，求f（x）．

解：令，则

即

8．举例说明含有第二类间断点的函数可能有原函数，也可能没有原函数．

解：

x＝0是此函数的第二类间断点，但它有原函数

另外，狄利克雷函数D（x），其定义域R上每一点都是第二类间断点，但D（x）无原函数．

§2　换元积分法与分部积分法

1．应用换元积分法求下列不定积分：