不等式与不等式组专题复习

不等式与不等式组专题复习

(一)不等式

考点1：不等式的定义

知识点：

1.不等式：用符号“＜”“＞”“≤ ”“≥”表示大小关系的式子叫做不等式。

（像2≠2这样用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式。）

2.常见不等式的基本语言有：

①x是正数，则x＞0；②x是负数，则x＜0；③x是非负数，则x≥0；

④x是非正数，则x≤0；⑤x大于y ，则x－y＞0；⑥x小于y，则x－y＜0；

⑦x不小于y，则x ≥ y；⑧x不大于y，则x ≤ y 。

例1.下列式子哪些是不等式？哪些不是不等式？为什么？

-2＜5 3>6 42y≤0 2b ≠c

53=8 8+4<7

考点2：不等式的解集

1.不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

2.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。

例1.判断下列数中哪些是不等式 的解:

76 , 73 , 79 , 80, 74.9 , 75, 75.1, 90 , 60

—————————————————————————————————— 变式练习：

1.下列说法正确的是( )

A. 3是21>5的解

B. 3是21>5的唯一解

C. 3不是21>5的解

D. 3是21>5的解集 2.在下列表示的不等式的解集中，不包括-5的是 （ ） ≤ 4 ≥ -5 ≤ -6 ≥ -7 考点3：不等式解集在数轴上的表示方法

503

2

x

1.用数轴表示不等式的解集的步骤: ①画数轴; ②定边界点; ③

定方向.

2.用数轴表示不等式的解集,应记住下面的规律:

大于向右画,小于向左画;有等号(≥ ,≤)画实心点, 无等号(>,<)画空心圆.

例1.图中表示的是不等式的解集，其中错误的是（ ） A 、x ≥－2 B 、x ＜1 C 、x ≠0 D 、x ＜0

变式练习：

1.不等式2 x 在数轴上表示正确的是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ． 2.写出数轴上所表示的解集：

010-1-2

1） 2）

所表示的解集为x 所表示的解集为x

考点4：不等式的性质 知识点：

1、不等式的性质1：不等式的两边加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变，用式子表示：如果a>b ，那么a ±c>b ±c ．

2、不等式的性质2：不等式的两边乘以(或除以)同一正数，不等号的方向不变，用式子表示：如果 a > b ，c>0，那么 > 或 > ．

3、不等式的性质3：不等式两边乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变，用式子表示：a>b ，c<0，那么， < 或 < ． 例1.用a ＞b ，用“＜”或“＞”填空：

⑴ a ＋2 b ＋2 ⑵ 3a 3b ⑶ －2a －2b ⑷ a －b 0 ⑸ －a －4 －b －4 ⑹ a －2 b －2； 变式练习：

1.不等式 2

1

> 1 的解集是 （ ）

0 2 1 3 4 5 6 0 2 1 3 4 5 6

A.x>-

21 >-2 <-2 < -2

1 2.在二元一次方程1

2 8中，当 y<0 时，x 的取值范围是 （ ） A. x < 3

2 B. x >- 3

2 C. x > 3

2 D. x <-

3

2 3.设2()a a b c -+-，2()a a ab ac --+，则P 与Q 的关系是( )

A. B. P ＞Q C. P ＜Q D. 互为相反数

4.不等式 2x> 3 - x 解集为

5..若关于x 的方程 – 1 = 2x 的解为正实数，则k 的取值范围是

6.解下列不等式，并将其解集在数轴上表示出来： (1) x - 3 ≤-2x + 3 ; （2）213-y ≥ 6

5

10+y - 1

7.已知不等式5x -2 < 6x +1的最小正整数解是方程 3x - 2

3

= 6的解，求 a 的值。

（二）一元一次不等式

考点1：一元一次不等式的定义

知识点：

1.一元一次不等式：不等式的左、右两边都是整式，只有一个未

知数，并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫做一元

一次不等式。

例1.下列不等式中，属于一元一次不等式的是( )

1<2 A.4＞1 B.324＜4 C.

x

D.43＜27

变式练习：

1.不等式＞3的解集是( )

＞-3 ＜-3 ＜3 ＞3

考点2：解一元一次不等式

知识点：解一元一次不等式的一般步骤：

(1)去分母(根据不等式的性质2）；

(2)去括号（根据去括号法则）；

(3)移项(根据不等式的性质1 )；

(4)合并(根据合并同类项的法则)；

(5)系数化为1(根据不等式的性质2或性质3).

例1.不等式1>24的解集是( )

<5 >5 <1 >1变式练习：

1.一元一次不等式1≥0的解集在数轴上表示正确的是( )

2.解不等式2(1)-3＜1，并把它的解集在数轴上表示出来.

3.不等式4-3x≥26的非负整数解有( )

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

4.如果关于x的不等式(1)x>1的解集为x<1,那么a的取值范围

是( )

>0 <0 >-1 <-1

考点3：一元一次不等式的应用

知识点：列不等式解应用题的一般步骤：

(1)审题：弄清题意及题目中的数量关系；(2)设未知数,可直接设也可间接设；(3)列出不等式；(4)解不等式,并验证解的正确性；(5)写出答案.

例1.某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5 %，则至多可打（）

A.6折

B.7折

C.8折

D.9折

变式练习：

1.某射箭运动员在一次比赛中前6次射击共击中52环，如果他要打破89环(10次射击，每次射击最高中10环)的记录，则他第7次射击不能少于( )

A.6环

B.7环

C.8环

D.9环

2.有3人携带会议材料乘坐电梯，这3人的体重共210 .毎捆材料重20 .电梯最大负荷为1 050 ，则该电梯在此3人乘坐的情

况下最多能搭载捆材料.

3.某商店5月1日举行促销优惠活动，当天到该商店购买商品有两种方案.方案一：用168元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折优惠；方案二：若不购买会员卡，则购买商店内任何商品，一律按商品价格的9.5折优惠.已知小敏5月1日前不是该商店的会员.

(1)若小敏不购买会员卡，所购买商品的价格为120元时，实际应支付多少元？

(2)请帮小敏算一算，所购买商品的价格在什么范围内时，采用方案一更合算？

（三）一元一次不等式组

考点1：一元一次不等式组及其解集

知识点：

1.含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组.

（判断一个不等式组是一元一次不等式组需满足两个条件：①组成不等式组的每一个不等式必须是一元一次不等式，且未知数相同;②不等式组中不等式的个数至少是2个，也就是说，可以是2个、3个、4个或更多.）

2.不等式组的解集：一般地，几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集，解不等式组就是求它的解集 设 a > b

图1 图2

图3 图4 总结：同大取大；同小取小；大小小大中间找，大大小小解不了 例1.不等式组?

?

?≤-<+51

48x x x 的解集是 （ ）

A. x ≤ 5 3 < x ≤ 5 C. 3 < x ≤ 5 < -3

例2.不等式组的解集在数轴上可表示为（ ）

A 、

B 、

C 、

D 、

变式练习： 1.不等式组?

?

?>-<-030

2x x 的正整数解是（ ） A.0和1 B.2和3 C.1和3 D.1和2

2.在平面直角坐标系中，若点P （m - 3 ，1）在第二象限，则m 的取值范围是 （ ）

A.-1 < m < 3 > 3 < - 1 > -1

3.不等式组??

?+>+<+1

1

59m x x x 的解集是 x > 2 ,则m 的取值范围是 （ ）

A.m ≤ 2 ≥ 2 ≤ 1 > 1

4.在平面直角坐标系中，若点P ()421--x x ，

在第四象限，则x 的取值范围是（ ）

A ．1>x

B ．2

C ．21<

D ．无解

5.解不等式组，并把解集在数轴上表示出来

（1） ???+<->-2241x x x (2) ???

??>≤--x x x x 221

-58)23（

6.若关于x

的不等式组?????

++>++>++.3)14453;

03

12a x a x x x （

恰有三个整数解，求实数a 的取值范围.

考点2：一元一次不等式组的应用 知识点：

列不等式解应用题的基本步骤：①审题；②设未知数；③列不等式；④解不等式；⑤检验并写出答案．

例1.一种灭虫药粉30，含药率是 ，现在要用含药率较高的同种灭虫药粉50和它混合，使混合后含药率大于30%而小于35%，则所用药粉的含药率x 的范围是（ ） A ．15%

C ．39%

D ．23%

变式练习：

1.韩日“世界杯”期间，重庆球迷一行56人从旅馆乘出租车到球场为中国队加油，现有A、B两个出租车队，A队比B队少3

辆车，若全部安排乘A队的车，每辆坐5人，车不够，每辆坐6人，有的车未满；若全部安排B队的车，每辆车4人，车不够，每辆坐5人，?有的车未满，则A队有出租车（）

A．11辆B．10辆C．9辆D．8辆

2.把价格为每千克20元的甲种糖果8千克和价格为每千克18元的乙种糖果若干

千克混合，要使总价不超过400元，且糖果不少于15千克，所混合的乙种糖果最多是多少？最少是多少？

3.某商店需要购进甲、乙两种商品共160件，其进价的售价如下表（注：获利= 售价 - 进价）

若商店计划销售完这批商品后，能获得1100元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件？

若商店计划投入资金少于4300元，且销售完这批商品后获利多于1260元，请问有哪几种购货方案？并直接写出其中获利最大

的购货方案。

《不等式与不等式组》单元测试卷一、填空题（共14小题，每题2分，共28分）

1．“

x

的一半与2的差不大于1-”所对应的不等式

是 ．

2．不等号填空：若a

a - ；a

1 b

1；12-a 12-b ． 3．当a 时，1+a 大于2． 4．直接写出下列不等式（组）的解集：

①42φ-x ； ②105πx - ；③

??

?-2

1

πφx x ． 5．当x 时，代数式52+x 的值不大于零．

6．若x <１，则22+-x ０（用“>”“=”或“<”号填空）． 7．不等式x 27->１，的正整数解是 ． 8．不等式03φ+-x 的最大整数解是 ． 9．某种品牌的八宝粥，外包装标明：净含量为330g ±10g ，表明

了这罐八宝粥的净含量x 的范围是 ． 10．不等式x ->10-a 的解集为x <３，则a ．

11．若a >b >c ，则不等式组x a x b x c ?????

f f p 的解集是 ．

12．若不等式组的解集是－１<

x

<１，则)1)(1(++b a 的值

为 ．

13．一罐饮料净重约为３００g ，罐上注有“蛋白质含量6

.0

φ”

其中蛋白质的含量为

g

14．

若不等

式组

?

?

?3

φφ

x a x

的解

集为

x

>

３，则

a

的取

值范围

是 ．

二、选择题（共4小题，每题3分，共12分）

15．不等式260x ->的解集在数轴上表示正确的是（ ）

16．不等式86+x >83+x 的解集为（ ） A ．x >

2

1 B ．x <0 C ．x >0

D ．x <2

1

17．不等式2+x <6的正整数解有（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3 个

D ．4个

18．下图所表示的不等式组的解集为（ ）

A ．

x 3

φ B ．32ππx - C ． 2-φx

D ．32φφx -

三、解答题（共60分）

19．（5分）134155-+x x φ 20．（5分）≤

6

4

3-x

21．（5分） 22．（5分）?????

-++≤--)

12(2313

4122x x x x x φ

23．（6分）代数式2

1

31--

x 的值不大于的值，求x 的范围

-2

24．（6分）方程组???

-=+=-3

23

a y x y x 的解为负数，求a 的范围.

25．（6分）某次数学测验，共16个选择题，评分标准为：；

对一题给6分，错一题扣2分，不答不给分．某个学生有1题未答，他想自己的分数不低于70分，他至少要对多少题？

26．（6分）已知，x 满足，化简52++-x x ．

27．（8分）国庆节期间，电器市场火爆．某商店需要购进一批电视机和洗衣机，根据市场调查，决定电视机进货量不少于洗衣机的进货量的一半．电视机与洗衣机的进价和售价如下表：

计划购进电视机和洗衣机共100台，商店最多可筹集资金161 800元．

（1）请你帮助商店算一算有多少种进货方案？（不考虑除进价之外的其它费用）

（2）哪种进货方案待商店销售购进的电视机与洗衣机完毕后获得利润最多？并求出最多利润．（利润＝售价－进价）

28．（8分）2010年我市某县筹备20周年县庆，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A B

，两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个A种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个B种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆．

（1）某校九年级（1）班课外活动小组承接了这个园艺造型