信息分析方法__指数平滑法

第四节 指数平滑法

指数平滑法是在移动平均法基础上发展而来的一种时间序列分析预测法，它是通过计算指数平滑值，配合一定的时间序列预测模型，对现象的未来进行预测。它既可用于市场趋势变动预测，也可用于市场季节变动预测。在市场趋势变动预测中，根据平滑次数不同，指数平滑法又可分为一次指数平滑法、二次指数平滑法、三次指数平滑法。

一、 一次指数平滑法

一次指数平滑法，是指根据本期观察和上期一次指数平滑值，计算其加权平均值，并将其作为下期预测值的方法。它仅适用于各期数据大体呈水平趋势变动的时间序列的分析预测，并且仅能向下作一期预测。 (一) 平滑公式和预测模型

设时间序列各期观察值为Y 1、Y 2，…，Y n ,则一次指数平滑公式为

(1)

1-t t (1)

t

)S -(1Y S αα+= (7-16)

式中：(1)t

S 为第t 期的一次指数平滑值；α为平滑系数，且0＜α＜1；Y t 为第t 期的观察值。 将第t 期的一次指数平滑值(1)

t S 作为第t+1期的预测值1

t Y ?+，即 )1(1?t

t S Y =+ (7-17) 为进一步说明指数平滑法的实质，现将(7-16)式展开。 由于

(1)

1-t t (1)

t

)S -(1Y S αα+=

(1)

2-t 1-t (1)

1-t )S -(1Y S αα+=

… …

(1)

01(1)

1

)S -(1Y S αα+=

所以 (1)1-t t 1

t )S -(1Y Y ?αα+=+ ])S -(1Y )[-(1Y (1)

2-t 1-t t αααα++=

(1)

0t 11

-t 1-t t S )-(1Y )

-(1)Y -(1Y αααααα++++=

(1)

0t 1

j -t j S )-(1Y )-(1ααα++=∑-=t j (7-18)

由于0＜α＜1,当t →∞时，(1-α)t →0,于是将(7-27)式改写为

∑∞

=+=0j -t j 1

t Y )-(1Y ?j αα (7-19) 由于∑-==1

j

1)-(1t j αα，各期权数由近及远依指数规律变化，且又具有平滑数据功能，

指数平滑法由此而得名。

(二)平滑系数α的选择

平滑系数的选择，既是指数平滑法的灵活性所在，又是运用指数平滑法的难点之一，迄今仍没有从理论上完全解决，它的确定带有一定的经验性。

由(7-19)式知，平滑系数α反映了历史各期数据对预测值影响作用大小。α值愈大，各期历史数据的影响作用由近及远愈迅速衰减；α值愈小，各期历史数据的影响作用由近及远愈缓慢减弱。

由(7-19)推知(1)1

-t t S Y ?=，则有

t

t 1t Y ?)-(1Y Y ?αα+=+ (7-20) 或者 )Y ?-(Y Y ? Y ?t

t t 1t α+=+ (7-21) 从(7-20)可以看出，第t+1期的预测值等于第t 期的观察值与预测值的加权平均数。α值的 大小反映了第t 期观察值和预测值在第t+1期预测值中所占的比重。α值愈大，第t

期的观察值所占比重愈大，同期的预测值所占比重愈小，反之亦然。换言之，α值的大小，体现了预测模型对时间序列实际观察值的反应速度。α值愈大，预测模型灵敏度愈高，愈能跟上实际观察值的变化。

从(7-21)可以看出，第t+1期的预测值等于第t 期的预测值加上该期的修正预测误差。α值决定修正预测误差的幅度。α值愈大，修正幅度愈大；α值愈小，修正幅度愈小。

基于上述分析，平滑系数可根据时间序列数据的波动状况作如下选择： 第一，若时间序列数据不规则波动较大，α宜取较大值(如0.6～0.9)，以加大近期数据的比重，提高修正误差的幅度，使预测模型能迅速跟上实际观察值的变化。

第二，若时间序列数据不规则变动较小，α宜取较小值(如0.1～0.3)，使各期数据权数由近 及远缓慢变小，减小修正误差的幅度，预测模型不易受不规则变动的影响。 在实际应用中，对于特定的时间序列，往往同时选用n 个不同的α值进行试算，最终选择使均方误差(MSE)较小的哪个α值用于预测。

㈢平滑初始值)

1(0S 的确定

在次指数平滑法中，只有首先确定了一次指数平滑初始值(1)

0S 后，才能计算第一期的

一次指数平滑值(1)1S 和递推计算第t 期的一次指数平滑值(1)t S 。但由(7-18)式知，(1)

0S 的系数是(1-α)t

，由于1-α＜0,当时间序列项数n 较少(即t 值较小)时，(1)

0S 对第t+1期的预测值影响较大；当时间序列项数n 较多(即t 值很大)时，(1)

0S 对第t+ 1期的预测值影响很小。因此，一次指数平滑初始值(1)

0S 通常可采用如下方法加以确定：

1(1)

S Y = (n ≥30)

3

Y Y Y S 3

21(1)

0++=

(n ＜30)

㈣指数平滑法的EViews软件实现

指数平滑的操作有三种方式可供选择：

一是，利用命令smooth。即在主窗口命令行输入

Smooth y

表示对时间序列y进行指数平滑。

二是，在主窗口点击Quick/Series Statistic/Exponential Smoothing。

三是，在序列对象窗口中点击Procs/Exponential Smoothing；

上述三种方式都会得到相同的对话窗口。在这个对话窗口中有一系列的选项，包括：平滑方法（Smoothing Method）；平滑后生成的序列名称（Smoothed Series）；平滑系数（Smoothing Parameter）；样本范围（Estimation Sample）；季节波动的周期（Cycle of Seasonal）。

对话窗口的左上部分是平滑方法（Smoothing Method），包括：

Single 一次指数平滑

Double 二次指数平滑

Holtel-Winters-No seasonal 霍特-温特斯无季节模型（即线性平滑模型）Holtel-Wintesr-Additive 霍特-温特斯季节迭加模型

Holtel-Wintesr-Multiplicative 霍特-温特斯季节乘法模型

对话窗口的左下部分是平滑系数（Smoothing Parameter）。包括：Alpha(α),Beta(β)和Gamma(γ)。平滑系数可以由用户指定，也可以由系统自动确定。如果由用户指定，可以在这三个系数后的对话框中，将E改为需要的数。注意，若选用Single或Double方法只需输入Alpha(α)的值；选用Holtel-Winter-No seasonal方法要输入Alpha(α)和Beta(β)

的值；选用Holtel-Winter-Additive 和Holtel-Winter-Multiplicative方法，需输入三个平滑系数的值。如果平滑系数由系统自动确定，则不需要输入任何数字。

平滑生成序列（Smoothed Series）的名称可以由用户命名，也可以由系统指定。系统自动指定的名称为在原序列名（如y）之后加SM(即ySM)指数平滑法可以由EViews软件来实现，下面将并通过例题予以说明。

【例9】某地区A商品近年来的销售量数据见表7-11第（2）栏，试用一次指数平滑法预测其2006年的销售量。

表7-11 某地区A商品销售量一次指数平滑值计算表单位：百件

解：第一步，选取α值，现分别取α=0.3、0.6、0.9进行试算。

第二步，确定初始值。由于n=8＜30,因此，将序列最初三项数据的简单算术平均

数作为初始值，即

3

1131

105811433

Y Y Y S 3

21(1)

0++=

++=

=1110 .67

第三步，按(4-18)和(4-19)式计算各期一次指数平滑值和预测值，有关计算结果列入表4-8之中。

第四步，计算不同α值下的均方误差，比较确定适宜的α值。 α=0.3时 8

22027.73)Y ?-(Y N

1

MSE n

1

t 2t

t ==

∑=≈2753.47

α=0.6时 830304.52

MSE =≈3788.07 α=0.9时 8

43985.55

MSE =

≈5498.19

计算结果表明，α=0.3时，MSE 较小，故选取α=0.3用于分析预测。 第五步，进行预测。2006年该地区A 商品的销售量预测值(t=9)为

(1)8

9S Y ?==1125.32(百件) 利用EViews 软件计算。在建立工作文件、输入销售量数据后，再在主窗口命令行输入

Smooth y

在Smoothing Method 中选用Single,在Smoothing Parameter 中的Alpha 输入不同的3.0=α，运算结果见表7-12。

表7-12 一次指数平滑法EViews 运算结果

Original Series: Y （原序列Y ）

Forecast Series: YSM （预测序列即平滑后得序列YSM ） Parameters: Alpha （平滑系数α） 0.3000 Sum of Squared Residuals （残差平方和）

22532.22

End of Period Levels: （样本末期） Mean （截距）

1124.547

1124.547，保留和初始平滑值的确定不同所引起）。 二、布朗(Brown)二次指数平滑法

布朗二次指数平滑法是在对时间序列作一次指数平滑后，对所形成的一次指数值序列再进行一次指数平滑。它不是将第t 期的二次指数平滑值直接用于第t+1期的预测，而是根据一次指数平滑与实际观察值滞后误差、二次指数平滑值与一次指数平滑值滞后误差的变动规律，建立起线性趋势预测模型进行外推预测。布朗二次指数平滑法适用于各期数据大体呈线性上升或下降的时间序列的预测。

(一)平滑公式和预测模型

二次指数平滑值的计算公式为：

(2)

1-t )

1((2)

t

)S -(1S S αα+=t

(7-22)

其中：(2)

t S 为第t 期的二次指数平滑值；)

1(S t 为第t 期的 一次指数平滑值；α为平滑系数。

经过二次指数平滑后的时间序列，若从第t 期开始具有明显的线性变动趋势，可根据S t (1)

和S t (2)

建立如下趋势分析预测方程：

T b a Y ?t t T

t +=+ (7-23) 其中：T

t Y ?+为第t+T 期的预测值；T 为以第t 期为始点的向前预测期数；a t 为趋势直线的截距；b t 为趋势直线的斜率。

布朗曾证明，当t t

t b S Y α

α

-=

-1)

1(；t t

t

b S S α

α

-=

-1)

2()

1(时，参数估计公式为

??

?

??=

=)S -S (-1b S -S 2(2)

t (1)t t (2)

t

(1)t

ααt a (7-24) 由(7-24)式可以看出，线性趋势分析预测模型(7-23)中的截距和斜率不是固定不变的，

随着新的观察值的出现而不断调整。

(二) 平滑初始值(1)

0S 、(2)

0S 的确定

由于平滑初始值(1)

0S 、(2)

0S 对未来的分析预测值的影响不是很大，在市场预测实践中，

(1)

0S 、(2)

0S 通常按如下方式近似确定：

3

)

Y -(Y Y S S 141(2)

0(1)0-== (n ＜30)

1(2)

(1)

Y S S == (n ≥30) (7-25)

有关二次指数平滑法的计算步骤和EViews 软件应用，将通过例题予以说明。

【例10】某地区1998～2005年的人口数据如表7-13，运用二次指数平滑法预测该地区2006 年底的人口数。

解：取α=0.4, 3

)

Y -(Y Y S S 141(2)

0(1)0-

===112938.3。计算(1)

t S 和(2)t

S ,列表于表7-13之中。2005年的(1)

8S =121747.3, (2)

8S =119927.4代入(7-44)式，得到

8a =2×121747.3-119927.4=123567.2 119927.4)

-(121747.30.4

-10.4b 8=

=1213.27

于是，所求t=8时的趋势预测模型为：

1213.27T 123567.2Y ?T

8+=+ 预测2006年底该镇人口数，则8+T=9,T=1

9

Y ?=123567.2+1213.27×1=124780(人) 若利用EViews 软件计算，在进入指数平滑窗口后中，选择Double ，Alpha(α)之后输入

0.4，点击OK ，得到运算结果，见表7-13。

表7-13 二次指数平滑计算结果 Original Series: Y （原序列Y ）

Forecast Series: YSM （预测序列即平滑后得序列YSM ） Parameters: Alpha （平滑系数α）

0.4000

Sum of Squared Residuals （残差平方和） 73807.47 Root Mean Squared Error （均方根误差） 96.05173 End of Period Levels: （样本末期）

Mean （截距t a ） 123677.6

Trend （斜率t b ）

1309.641

T y

T 6.13096.123677?8+=+ 运用EViews 软件计算的结果与前面的计算结果略有差异，主要是由于初始平滑的确定

不同所引起。而运用它们进行预测所得结果则十分接近。利用EViews 软件得到的模型预测2004年底人口数，则

12498716.13096.123677??189≈?+==+y y

（人） 三、霍特(Holt)双参数线性指数平滑法

霍特双参数线性指数平滑法是使用两个参数(即平滑系数)分别对原时间序列的数据水平和序列的趋势增量进行平滑，以此为基础建立线性趋势模型进行预测。霍特双参数线性指数平滑法由两个平滑公式和一个预测模型所组成。即

平滑公式 a t =αY t +(1-α)(a t-1+b t-1)

b t =β(a t -a t-1)+(1-β)b t-1 (7-26)

预测模型

T b a Y ?t t T

t +=+ (7-27) 上式中：a t 为序列第t 期水平的指数平滑值，并作为线性趋势预测模型的截距；b t 为序列趋势增量的指数平滑值，并作为线性趋势预测模型的斜率；α、β为平滑系数，且0＜α

＜1,0＜β＜1；其他符号意义同前。

在霍特双参数线性指数平滑性中，平滑系数α、β的值，应根据序列各期数据增量的波动情况，选用不同的α、β值进行多次试算，最终选择使均方误差、估计标准误差或者最近几期相对误差绝对值较小的那组α、β值进行预测；对于序列水平的平滑初始值a 0和趋势增量的平滑初始值b 0，通常按如下方法确定，即令

3

Y -Y 3

)

Y -(Y )Y -(Y )Y -(Y b 1

43423120=++=

a 0=Y 1-

b 0

下面举例说明霍特双参数线性指数平滑法的应用。

【例11】某地区1998～2005年农村用电量数据见表7-14第(2)栏，试预测2004 年该地区农村用电量。

霍特双参数线性指数平滑法数据计算表

表7-14 单位：百千瓦时

此可以应用霍特双参数线性指数平滑法预测。

取α=0.5,β=0.7,

3

)

Y -(Y )Y -(Y )Y -(Y b 3423120++=

=133.43

a 0=Y 1-

b 0=844.5-133.43=711.07 利用(7-26)式计算a t 、b t 。例如： a 1=αY 1+(1-α)(a 0+b 0)

=0.5×844.5+0.5×(711.07+133.43)=844.5 b 1=β(a 1-a 0)+(1-β)b 0

=0.7×(844.5-711.07)+0.3×133.43=133.43 a 2=0.5×963.2+0.5×(844.5+133.43)=970.57 b 2=0.7×(970.57-844.5)+0.3×133.43=128.28 其余类推，计算结果分别列于表7-14第(3)、(4)栏。 当t=8时，a 8=1992.36 b 8=181.6 于是，建立线性趋势预测模型为 181.6T 1992.36Y ? T

8+=+ 预测2006年该地区农村用电量，则8+T=9,T=1,

9

Y ?=1992.36+181.6×1≈2173.96(百千瓦时) 霍特双参数线性指数平滑法适用于大体呈线性上升或下降趋势变动的时间序列。由于这种方法使用了两个平滑系数，与布朗单参数线性指数平滑法(即二次指数平滑法)相比较，它更具有灵活性；并且只要两个平滑系数选取得当，能够获得较好的预测效果，其预测精确程度一般高于二次指数平滑法。但霍特双参数线性指数平滑法也有其不足，那就是选取两个适宜的平滑系数值时，计算工作量大，需要进行多次试算。

霍特双参数线性指数平滑法也可以借助于EViews 软件来实现。在平滑方法中选择Holtel-Winter-No seasonal （ 霍特-温特斯无季节模型）；输入平滑系数Alpha(α)和Beta(β)的值（在上例中α=0.5,β=0.7）；点击OK 后，可迅速得到模型参数估计结果（见表7-15）。

表7-15 霍特双参数线性指数平滑法计算结果

Original Series: Y

Parameters: Alpha

0.5000

Beta

0.7000 Sum of Squared Residuals 14357.97 End of Period Levels:

Mean 1989.965

Trend

180.4921

T y

T 49.18097.1989?8+=+ 运用EViews 软件计算的结果与前面的计算结果略有差异，主要是由于初始平滑的确定不同所引起。而运用它们进行预测所得结果则十分接近。利用EViews 软件得到的模型预测值为

46.2170149.18097.1989??189≈?+==+y y

(百千瓦时) 四、布朗三次指数平滑法

布朗三次指数平滑法是在二次指数平滑后的时间序列基础上再作一次平滑，求得各期的三次指数平滑值，并根据一次、二次、三次指数平滑值的滞后误差规律，建立二次抛物线趋势预测模型，对现象未来进行外推预测的一种方法。

三次指数平滑值的计算公式为：

(3)

1-t (2)

t

(3)

t

)S -(1S S α+= (7-28)

上式中：(3)

t S 为第t 期的三次指数平滑值；其它符号意义同前。

由于经过三次平滑后，(1)

0S 、(2)

0S 、(3)

0S 对未来预测值影响较小，因此在市场预测实践中，为便于计算则按下列方式近似确定，即

当n ＜30时，令

()

3

)

Y -(Y Y S

S

14130

(2)0

(1)0

-

===S

当n ≥30时，令(1)

0S =(2)

0S =(3)

0S =Y 1 三次指数平滑的预测模型为：

2?T c T b a Y t t t T

t ++=+ (7-29) 其中 ????

?

??????+=-+-=+=)S 2S -S ()-2(1]S )34()S 4-2(5-S )56[()-2(1b S 3S -S 3(3)

t (2)t (1)t 2

2(3)t (2)t (1)t 2

t (3)

t (2)t (1)t αααααααt t c a (7-30)

五、指数平滑法的特点

指数平滑法是一种预测思想较为科学的时间序列预测法，目前在市场预测中得到普遍运用。与其他时间序列分析预测法相比较，它具有以下特点：

第一，在建立预测模型时对历史各期数据进行合理加权，近期权数大，远期权数小，各期权数由近及远按等比级数衰减。这与社会经济现象变化的实际相符合，它克服了普通最小平方法和各种简单平均预测法的不足。

第二，它利用全部历史数据建模，避免了移动平均法仅利用部分数据信息的局限性，能够更好地弱化不规则变动因素的影响，揭示现象的变化规律。

第三，它采用的是可变权数，可以根据时间序列数据的不规则波动情况，调整平滑系数，力求均方误差或近期相对误差达到较小。从而克服了各种固定权数加权平法的不足。

第四，不断延伸的预测中，它所需保存的数据最小，只需保留第t期的指数平滑值、平滑系数即可，而其他预测法则需要保留全部历史数据信息。

第五，它可以及时吸收新的数据信息，对原有的预测模型和预测结果进行简单修正。它所建立的是以第t期为始点的预测模型，一旦拥有第t+1期的实际值，就可以很快地计算出第t+1期的指数平滑值，建立起以第t+1期为始点的预测模型，它避免了其它预测方法一旦吸收新的数据则需要全部重新计算的不足，从而可以大大减少计算工作量，节约预测时间和费用。

第六，即适宜的平滑系数和初始值不易确定，往往需要多次试算。在手工计算状态下，计算工作量偏大，但在目前计算手段日趋现代化的今天，这已不是主要问题。