三角函数、解三角形习题精选
三角函数、解三角形习题精选
1．设函数.cos )
cos(2)
2
3cos(
)2cos 1()(2
ααπαπαα++-+=
f
（I ）设ABC A ?∠是的内角，且为钝角，求)(A f 的最小值； （II ）设B A ∠∠,是锐角ABC ?的内角，且,2,1)(,12
7===∠+∠BC A f B A π
求ABC ? 的三个内角的大小和AC 边的长.
2．已知函数()sin
sin(
)22
2
x x f x π
=+
⑴求函数()f x 在[,0π-]上的单调区间； ⑵已知角α满足(0,)2
π
α∈，2(2)4(
2)12
f f π
αα+-=，求()f α的值。
3. 已知.02cos
22sin
=-x x
(1) 求x tan 的值；(2) 求
x
x x
sin 4cos 22cos ??
?
??+π的值。
4.已知函数().
33cos
323cos 3sin 22
-
??? ?
?
-+??? ?
?
-??? ??-=
πππx x x x f
（1） 求()x f 的单调递增区间；
（2） 求()x f 的最大值及取得最大值时相应的x 的值。
5.已知A B C ?的三个内角,,A B C 所对的边分别为a b c 、、
,向量
(4,
1m =-
2(c o s
,c o s 2)2A
n A =
，且7
2
m n ?= .
（1）求角A 的大小； （2
）若a =b c ?取得最大值时A B C ?形状.
6.已知角A 、B 、C 是ABC ?的三个内角，若向量(1cos(),cos )2
A B m A B -=-+u r
，
5(,cos )82A B
n -=r ，且
98m n ?=u r r ． （1）求tan tan A B 的值； （2）求
2
2
2
sin ab C a b c
+-的最大值
7.在锐角△ABC 中，角,,A B C 的对边的长分别为,,,a b c 已知5b =
，sin 4
A =
，
4
ABC S ?=
.
（I ）求c 的值； （II ）求sin C 的值.
8. 已知ABC ?的周
长为1)
，且sin sin B C A +=．
（I ） 求边长a 的值；
（II ） 若3sin ABC S A ?=，求cos A 的值
9.已知向量,)8(sin ),8
cos(2
???
??
+
+
=ππ
x x a ,1),8sin(??? ?
?
+=πx b 函数()12-?=b a x f 1)求函数()x f 的解析式，并求其最小正周期;
2)求函数)(x f 图象的对称中心坐标与对称轴方程. 3)求函数??
?
??
-
=x f y 21
的单调递增区间；
10.函数()sin()(0,0,||)2
f x A x A ωφωφπ=+>><部分图象如图所示．
（Ⅰ）求()f x 的最小正周期及解析式；
（Ⅱ）设()()cos 2g x f x x =-，求函数()g x 在区间 [0,]2x π
∈上的最大值和最小值．
11.已知函数2
3cos sin sin
3)(2
-
+=
x x x x f (R x ∈．
（Ⅰ）求)4
(
π
f 的值；
（Ⅱ）若)2
,
0(π
∈x ，求)(x f 的最大值；
（Ⅲ）在ABC ?中，若B A <，2
1)()(==B f A f ，求
AB
BC 的值．
12.
已知函数2
()22sin f x x x =-.
（Ⅰ）若点(1,P 在角α的终边上，求()f α的值； （Ⅱ）若[,
]6
3
x π
π
∈-，求()f x 的值域.
13.在A B C ?中，角A 、B 、C
所对的边分别为2a b c a b ==、、，，1cos 2
A =-．
（I ） 求角B 的大小；
（Ⅱ）若2()cos 2sin ()f x x c x B =++，求函数()f x 的最小正周期和单增区间．
14.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 分，且满足2cos cos c b B a
A
-=．
（Ⅰ）求角A 的大小；
（Ⅱ）若a =ABC 面积的最大值．
15.
已知πsin()410
A +
=
，ππ
(
,)42
A ∈． （Ⅰ）求cos A 的值； （Ⅱ）求函数5()cos 2sin sin 2
f x x A x =+的值域．
16.已知函数cos 2()sin()
4
x f x x π
=
+
.
（Ⅰ）求函数()f x 的定义域； （Ⅱ）若4()3
f x =
，求s i n 2
x 的值. 17.已知函数()4cos sin()16
f x x x π=+-.（1）求()f x 的最小正周期；
（2）求()f x 在区间[,]64
ππ
-上的最大值和最小值。
18.已知等比数列{}n a 的公比3q =，前3项和3133
S =．
(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式；
(Ⅱ) 若函数()sin(2)(0,0)f x A x A ??π=+><<在6
x π
=
处取得最大值，且最大值
为3a ，求函数()f x 的解析式．
19.设函数f (θ)＝3sin θ ＋cos θ，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点P (x ，y )，且0≤θ≤π。
（Ⅰ）若P 的坐标是(12，3
2
)，求f (θ)的值；
（Ⅱ）若点P (x ，y )为平面区域????
?x ＋y ≥1x ≤1 y ≤1
上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函
数f (θ)的最小值和最大值。
20.1
()2sin(),3
6
f x x x R π
=-
∈已知函数
5(1)(
)4
f π求的值;
106(2),0,
,(3),(32),cos()22135f f π
παβαβπαβ??
∈+=+=+????
设求的值.
21.已知函数()12sin 3
6f
x x π??=- ???，x R ∈．
（1）求()0f 的值；
（2）设10,0,,3,2213f ππαβα???
?∈+=
???????()632,5f βπ+=求()sin αβ+的值．
22.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边为c b a ,, （1）若,cos 2)6sin(A A =+π
求A 的值； （2）若c b A 3,3
1cos ==，求C sin 的值.
23.已知函数73()sin()cos()4
4
f x x x ππ=+
+-
，x ∈R ．
（Ⅰ）求()f x 的最小正周期和最小值； （Ⅱ）已知4cos()5
βα-=
，4cos()5
βα+=-
，02
παβ<<≤
，求证：2[()]20f β-=．
24.已知函数()2cos 2cos 1f x x x x =+-()x ∈R ． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及在区间0,
2π?
?
?
??
?
上的最大值和最小值．
（Ⅱ）若()06
5f x =，0,42x ππ??
∈????
．求0cos 2x 的值．
25.在A B C ?中，
cos cos A C B A B
C
=
．
（Ⅰ）证明：B C =． （Ⅱ）若1cos 3
A =-．求sin 43
B π?
?
+
??
?
的值．
26.已知函数2
π
()2sin 24f x x x ??=+-
???
，ππ,42x ??
∈????
．ks**5u
（Ⅰ）求()f x 的最大值和最小值；
（Ⅱ）若不等式()2f x m -<在ππ,42x ??∈???
?
上恒成立，求实数m 的取值范围
27.已知函数()sin cos ,'()f x x x f x =+是()f x 的导函数． （1）求函数2
()()'()()F x f x f x f x =+的最大值和最小正周期； （2）若()2'()f x f x =，求22
1sin cos sin cos x x x x
+-的值．
参考答案
1．解：（1）2
223
(cos 21)cos()cos sin 2()cos cos 2cos()cos A A A A f A A A A A
ππ+-=+=++
.2
1)4
2sin(2
2)12cos 2(sin 2
1cos
2sin 2
12
+
+
=
++=+=π
A A A A A
∵角A 为钝角，.4
94
24
5,2
ππ
πππ
<
+
<<<∴
A A
)(,2
34
2A f A 时当ππ
=+∴取值最小值，其最小值为
.2
2
1-
（2）由.2
2)4
2sin(,12
1)4
2sin(2
21)(=
+
∴=+
+
=π
π
A A A f 得
524
A A π
π
π∴<+
<
为锐角，4
4
,
.12
5.3
,12
7.4
,4
34
2ππ
ππ
ππ
=
∴=
∴=
+=
=
+
∴C B B A A A 又 在△ABC
中，由正弦定理得：
sin .sin sin sin B C
A C
B C B A C A B
A
=
∴=
=
2.解：1
()sin sin()sin cos sin 222222
x x x x f x x π=+==
⑴函数()f x 在区间[,]2
π
π--单调递减，在区间[,0]2
π
-
单调递增。（6分）
⑵2(2)4(
2)12
f f π
αα+-=
sin 22sin(
2)12
π
αα?+-=
2
2
2sin cos 2(cos sin )1αααα?+-=
22
cos 2sin cos 3sin 0αααα?+-=(cos 3sin )(cos sin )0αααα?+-= ∵(0,
)2
π
α∈
，∴cos sin 0tan 1sin 2
αααα-=?=?=
∴1()sin 2
4
f αα==
。（12分）
3.（1）.3
4tan ,22
tan
-
=∴=x x （2）原式=.4
1tan 11sin
sin cos sin
cos
2
2
2
=
+=--x
x
x x x
x
4.（1）().32sin 2322cos 3322sin ??? ?
?
-=??? ??-+???
?
?
-
=πππx x x x f
令,
2
23
22
2π
ππ
π
π+
≤-
≤-
k x k 则()x f 的单调递增区间为
?
????
?
+-∈125,12ππππk k x
)(Z k ∈
（2）当,
2
23
2π
ππ
+
=-
k x 即()Z k k x
∈+
=12
5ππ时，().2max
=x f
5.解：（1）由2(4,1),(cos ,cos 2)2
A
m n A =-=
24cos cos 22A m n A ?=- 21cos 4(2cos 1)2A A +=?-- 2
2cos 2cos 3A A =-++
又因为77,2cos 322m n A A ?=++= 2所以-2cos 解得1
cos 2
A =…………2分
0,3
A A π
π<<∴=
………………………………………2分
（2）在2222cos ,ABC a b c bc A a ?=+-=中，且
2
2
2
122
b c bc ∴=+-?
22b c bc =+-。…………………2分
2
22,32b c bc bc bc +≥∴≥- ，
即3,bc ≤当且仅当b c b c ==?，取得最大值,…………………2分
又由（Ⅰ）知,,3
3
A B C π
π
=
∴==
故b c ?取得最大值时，A B C ?为等边三角形.2分
6.解：（理）（1）255
cos()cos 882
A B
m n A B -?=-++
9199cos cos sin sin 8
8
8
8
A B A B =
-
+
=
cos cos 9sin sin A B A B ∴=，1tan tan 9
A B =
得……………………5分
（2）tan tan tan()1tan tan A B A B A B
++=-
993(tan tan )8
8
4
A B =+≥
?=…………8分
（∴>=
09
1tan tan B A A,B 均是锐角，即其正切均为正）
2
2
2
sin sin 113tan (11) tan()2cos 2
2
8
ab C C C A B a b c
C
=
==-+≤-
+-分
所求最大值为8
3-
。…………………………………………12分
7.解：（I ）由1sin 2
4
ABC S bc A ?=
=
…………...……..…2分
可得，6c = ………….….4分
（II ）由锐角△ABC
中sin 4
A =
3cos 4
A =
……………….…….....6分
由余弦定理可得：22232cos 253660164
a b c bc A =+-?=+-?
=， ……….….8分
有：4a = …….. ……………….9分
由正弦定理：
sin sin c a C
A
=
， …….. ……..…….10分
即6sin 4sin 48
c A C a
?=
=
= .................12分 8.解：(I)
根据正弦定理，sin sin B C +=
可化为b c +=．
。。。。。。2分
联立方程组1)
a b c b c ?++=+??+=??，解得4a =．所以，边长4a =． 。。。。。。5分
(II)3sin ABC S A ?= ， ∴
1sin 3sin 62
bc A A bc ==，． 。。。。。。7分
又由(I)
可知，b c +=
∴2
2
2
22
()21cos 223
b c a
b c bc a
A bc
bc
+-+--==
=
。。。。。。10分
9. 解:1)()=-?=12b a x f 1)8
(sin 2)8
sin()8
cos(22
-+
++
+π
π
π
x x x
x x x 2sin 242cos )42sin(=??? ?
?
+-+
=ππ
---- 4分
ππ==
∴2
2T ---- 5分
2)令0=y ,即02sin 2=x ,得πk x =2,2
πk x =,Z k ∈
∴对称点为??
?
??0,2π
k ，Z k ∈ ---- 7分 由22sin 2±=x , 22ππ+=∴k x ,4
2π
π+=k x ,Z k ∈
∴对称轴方程是直线4
2π
π+=k x ，Z k ∈ ---- 9分 3) ??
?
?
?-
=x f y 21
=x x sin 2)sin(2-=- 的单调递增区间
x sin ∴递减∴z k k x k ∈+
≤≤+,2
322
2πππ
π ---- 11分
∴??? ??
-
=x f y 21
的单调递增区间是z k k k ∈??
????
++,232,22ππππ -- 12
10.解：（Ⅰ）由图可得1A =，
22362
T πππ=-=，所以T =π． …………2分
所以2ω=．
当6
x π=
时，()1f x =，可得 sin(2)16
?π?
+=，
因为||2
?π<，所以6
?π=
． …………5分
所以()f x 的解析式为()sin(2)6
f x x π=+
． ……………………6分
（Ⅱ）()()cos 2sin(2)cos 26g x f x x x x π
=-=+
-
sin 2cos
cos 2sin cos 26
6
x x x ππ=+-
12cos 22
2
x x =-
sin(2)6
x π=-
． ………………………………10分
因为02x π≤≤
，所以526
6
6
x πππ-≤-≤．
当262
x ππ-=，即3
x π=
时，()g x 有最大值，最大值为1；
当26
6
x ππ-=-，即0x =时，()g x 有最小值，最小值为12
-
．……13分
11.解：（Ⅰ）2
34
cos
4
sin
4
sin
3)4
(
2
-
+=π
π
π
π
f
2
1=． ……………4分
（Ⅱ）2)
2cos 1(3)(x x f -=+
2
32sin 21-
x
x x 2cos 2
32sin 2
1-
=
)3
2sin(π
-
=x ． ……………6分
2
0π
<
23 23 ππ π < - <- ∴x ． ∴当23 2 x π π - = 时，即12 5π=x 时，)(x f 的最大值为1． …………8分 （Ⅲ） )3 2sin()(π- =x x f ， 若x 是三角形的内角，则π< 5323π<π- <π- x ． 令21)(=x f ，得2 1)32sin(= π- x ， ∴6 3 2π=π- x 或6 53 2π= π- x ， 解得4 π=x 或12 7π=x ． ……………10分 由已知，B A ,是△ABC 的内角，B A <且2 1)()(==B f A f ， ∴4 π= A ，12 7π= B ， ∴6 π=--π=B A C ． ……………11分 又由正弦定理，得 22 1226 sin 4sin sin sin = =ππ== C A AB BC ． ……………13分 12.解： （Ⅰ）因为点(1,P 在角α的终边上， 所以sin 2 α=-，1cos 2 α=， ………………2分 所以2 2 ()22sin cos 2sin f αααααα= -=- ………………4分 2 1(2(32 2 2 =- ? -?- =-. ………………5分 （Ⅱ）2 ()22sin f x x x = -2cos 21x x = +- ………………6分 2sin(2)16 x π =+ -， ………………8分 因为[, ]6 3 x π π ∈-，所以6 56 26 ππ π ≤ + ≤- x ， ………………10分 所以1sin(2)12 6 x π - ≤+ ≤， ………………11分 所以()f x 的值域是[2,1]-. ………………13分 13.解：（Ⅰ）sin 2 A = ……………2分 由 sin sin a b A B = 得1sin 2 B = , 6 B π = (5) 分 （Ⅱ） 2c = ………………6分 2 ()cos 22sin ()6 f x x x π =++ =cos 2cos(2)13 x x π -+ + 1cos 2cos 2212 2 x x x =- + +sin(2)16 x π =+ + ………………10分 所以，所求函数的最小正周期为π 由222,26 2 k x k k Z π π π ππ- ≤+ ≤+ ∈ 得,3 6 k x k k Z π π ππ- ≤≤+ ∈ 所以所求函数的单增区间为 [,],3 6 k k k Z π π ππ- + ∈ ……………………………13分 14.解：（Ⅰ）因为2cos cos c b B a A -=， 所以(2)cos cos c b A a B -?=? 由正弦定理，得(2sin sin )cos sin cos C B A A B -?=?． 整理得2sin cos sin cos sin cos C A B A A B ?-?=?． 所以2sin cos sin()sin C A A B C ?=+=． 在△ABC 中，sin 0C ≠． 所以1cos 2 A = ，3 A π∠= ． （Ⅱ）由余弦定理2 2 2 1cos 22 b c a A bc +-= = ，a = 所以22 20220b c bc bc +-=≥- 所以20bc ≤，当且仅当b c =时取“=” ． 所以三角形的面积1sin 2 S bc A = ≤ 所以三角形面积的最大值为． 15.解：（Ⅰ）因为 ππ4 2 A << ，且πsin()410A + = 所以ππ3π2 4 4 A <+< ，πcos()4 10A + =-． 因为ππππππcos cos[()]cos()cos sin()sin 4 4 4 4 4 4 A A A A =+ -=+++ 310 2 10 2 5 =- ? + = ． 所以3cos 5 A =． ……………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得4sin 5A =．新 课 标 第一 网 所以5()cos 2sin sin 2 f x x A x =+ 212sin 2sin x x =-+ 2 132(sin )22 x =-- + ，x ∈R ． 因为sin [1,1]x ∈-，所以，当1sin 2 x =时，()f x 取最大值 32 ； 当sin 1x =-时，()f x 取最小值3-． 所以函数()f x 的值域为3 [3,]2-． ……………………13分 16.解：（Ⅰ）由题意，sin()04 x π+ ≠， ………2分 所以()4 x k k π+ ≠π∈Z ， ………………3分 所以()4 x k k π≠π- ∈Z ， ………………4分 函数()f x 的定义域为{x x ≠,4 k k ππ-∈Z }. ………………5分 （Ⅱ）cos 2cos 2()sin()sin cos cos sin 44 4 x x f x x x x = = πππ+ + ………………7分 2sin cos x x x = + ………………8分 22 sin )sin )sin cos x x x x x x -= =-+. ………………10分 因为4()3 f x =，所 以cos sin 3 x x -= . ………………11分 所以，2sin 21(cos sin )x x x =-- ………………12分 81199 =- = . ………………13分 17.解：（1）()2sin(2)6 f x x π =+，函数()f x 的最小正周期为π； （2）226 6 3 x π π π-≤+≤ ，当26 2 x π π += 即6 x π = 时，函数()f x 取得最大值2； 当26 6 x π π +=- 即6 x π =-时，函数()f x 取得最小值1-； 18.解：(Ⅰ)由3133,3 q S == 得113 a = ，所以2 3n n a -=； (Ⅱ)由(Ⅰ)得33a =，因为函数()f x 最大值为3，所以3A =， 又当6 x π = 时函数()f x 取得最大值，所以sin( )13 π ?+=，因为0?π<<，故6 π ?= ， 所以函数()f x 的解析式为()3sin(2)6 f x x π =+。 19．（Ⅰ）f (θ)＝2；（Ⅱ） θ＝0时f (θ)min ＝1，θ＝π 3时f (θ)min ＝2。 20. . 65165413 55 31312sin sin cos cos )cos(. 5 4sin ],2 [0,,53cos ,5 6cos 2)2 sin(2)23(; 13 12cos ],2 [0,,13 5sin ,13 10sin 2)2 3()2(.24 sin 2)6 12 5sin( 2)4 5( )1(:=? -?= -=+∴= ∴∈=∴==+ =+=∴∈= ∴==+ ==- =βαβαβαβπβββπβπβαπαααπαππππ f f f 解 21.解：（1）(0)2sin()2sin 16 6 f π π =-=-=- （2） 101(3)2sin[(3)]2sin ,13 2326 61(32)2sin[(32)]2sin()2cos 5362 53sin ,cos ,13 5 12cos , 13 4sin 5 5312463sin()sin cos cos sin 13513565 f f π ππ αααππ βπβπββαβαβαβαβαβ=+ =?+-==+=?+-=+=∴== ∴== = = ∴+=+= ?+?= 22. (1)sin()2cos ,sin ,cos 0,tan 06 3 A A A A A A A A π π π+ =∴= ≠= <<∴= （2）在三角形中 ,2 2 2 2 1cos ,3,2cos 8,3 A b c a b c bc A c a = =∴=+-== 由正弦定理得：sin sin c A C = ，而sin 3 A == 1sin 3 C ∴= .（也可以先 推出直角三角形） ( 也能根据余弦定理得到1cos 0sin 3 3 C C C π=< ) 23.（Ⅰ）解析：7733()sin cos cos sin cos cos sin sin 4 4 4 4 f x x x x x ππππ=+++ x x = - 2sin()4 x π=- ，∴()f x 的最小正周期2T π =，最小值min ()2f x =-． （Ⅱ）证明：由已知得4cos cos sin sin 5 αβαβ+=，4cos cos sin sin 5 αβαβ-=- 两式相加得2cos cos 0αβ=，∵02 παβ<<≤，∴cos 0β=，则2 πβ=． ∴22 [()]24sin 20 4f πβ-=-=． 24.（Ⅰ）由( )2 cos 2cos 1f x x x x =+-得 ( ))( )2 2sin cos 2cos 12cos 22sin 26f x x x x x x x π? ?= +-= +=+ ?? ?． 所以函数的最小正周期为22T π π= =．因为0,2x π?? ∈???? ，所以72,666x πππ??+∈????． 所以2,662x π ππ??+ ∈????，即0,6x π?? ∈???? 时，函数()f x 为增函数，而在,62x ππ?? ∈? ??? 时，函数()f x 为减函数，所以2sin 262f ππ??== ???为最大值，72sin 126f ππ?? ===- ? ?? 为最小值． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，()002sin 26f x x π? ? =+ ?? ? ，又由已知()065 f x = ，则 03s i n 265x π? ?+= ?? ?． 因为0,42x ππ?? ∈????，则0272,636x πππ??+∈???? ，因此0cos 206x π??+< ???， 所以04 cos 265x π? ? + =- ?? ?，于是00 cos 2cos 266x x ππ????=+- ???? ???， 00cos 2cos sin 2sin 6666x x ππππ??? ?=+++ ? ????? 4313525210-=-?+?=． 25.（Ⅰ）在A B C ?中，由 cos cos A C B A B C = 及正弦定理得 sin cos sin cos B B C C = ， 于是sin cos cos sin 0B C B C -=，即()sin 0B C -=， 因为0B π<<，0C π<<，则B C ππ-<-<， 因此0B C -=，所以B C =． （Ⅱ）由A B C π++=和（Ⅰ）得2A B π=-， 所以()1cos 2cos 2cos 3 B B A π=--=-= ， 又由B C =知02B π<<，所以sin 23 B = ．sin 42sin 2cos 29 B B B ==． 2 2 7cos 4cos 2sin 29 B B B =-=- ． 所以sin 4sin 4cos cos 4sin 333 18 B B B ππ π ? ? + =+= ?? ?． 26.解：（Ⅰ）π()1cos 221sin 222f x x x x x ????=-+- =+- ?????? ?∵ π12sin 23x ? ?=+- ?? ?． (3) 分 又ππ,42x ?? ∈? ?? ?∵，ππ2π26 3 3 x - ∴ ≤≤ ，即π212sin 233x ? ? +- ?? ? ≤≤， max min ()3,()2 f x f x ==∴．……………………………………………………………7分 （Ⅱ）()2()2()2f x m f x m f x - ∈? ?? ?，……………………………9分 max ()2 m f x >-∴且min ()2m f x <+，14 m < <∴，即m 的取值范围是(1,4)．……14分 27.略 1.已知函数f（x）=sin（ωx）﹣2sin2+m（ω＞0）的最小正周期为3π，当x∈[0，π]时，函数f（x）的最小值为0． （1）求函数f（x）的表达式； （2）在△ABC中，若f（C）=1，且2sin2B=cosB+cos（A﹣C），求sinA的值． 解：（Ⅰ）． 依题意：函数． 所以． ， 所以f（x）的最小值为m．依题意，m=0． ． （Ⅱ）∵，∴ ．． 在Rt△ABC中，∵， ∴． ∵0＜sinA＜1，∴． 2.已知函数（其中ω＞0），若f（x）的一条对称轴离最近的对称中心的距离为． （I）求y=f（x）的单调递增区间； （Ⅱ）在△ABC中角A、B、C的对边分别是a，b，c满足（2b﹣a）cosC=c?cosA，则f（B）恰是f（x）的最大值，试判断△ABC的形状． 【解答】解：（Ⅰ）∵ ， =， ∵f（x）的对称轴离最近的对称中心的距离为， ∴T=π，∴，∴ω=1，∴． ∵得：， ∴函数f（x）单调增区间为； （Ⅱ）∵（2b﹣a）cosC=c?cosA，由正弦定理， 得（2sinB﹣sinA）cosC=sinC?cosA2sinBcosC=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）， ∵sin（A+C）=sin（π﹣B）=sinB＞0，2sinBcosC=sinB， ∴sinB（2cosC﹣1）=0，∴，∵0＜C＜π，∴，∴， ∴．∴， 根据正弦函数的图象可以看出，f（B）无最小值，有最大值y max=1， 此时，即，∴，∴△ABC为等边三角形． 3.已知函数f（x）=sinωx+cos（ωx+）+cos（ωx﹣）﹣1（ω＞0），x∈R，且函数的最小正周期为π： （1）求函数f（x）的解析式； （2）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若f（B）=0，?=，且a+c=4，试求b的值． 【解答】解：（1）f（x）=sinωx+cos（ωx+）+cos（ωx﹣）﹣1 ==． ∵T=，∴ω=2． 则f（x）=2sin（2x）﹣1； （2）由f（B）==0，得． ∴或，k∈Z． ∵B是三角形内角，∴B=． 而=ac?cosB=，∴ac=3． 三角函数及解三角形练习题 一．解答题（共16小题） 1．在△ABC中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，求C的大小． 2．已知3sinθtanθ=8，且0＜θ＜π． （Ⅰ）求cosθ； （Ⅱ）求函数f（x）=6cosxcos（x﹣θ）在[0，]上的值域． 3．已知是函数f（x）=2cos2x+asin2x+1的一个零点． （Ⅰ）数a的值； （Ⅱ）求f（x）的单调递增区间． 4．已知函数f（x）=sin（2x+）+sin2x． （1）求函数f（x）的最小正周期； （2）若函数g（x）对任意x∈R，有g（x）=f（x+），求函数g（x）在[﹣，]上的值域． 5．已知函数f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值； （2）求f（x）的单调递增区间． 6．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）的图象关于直线x=对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π． （Ⅰ）求ω和φ的值； （Ⅱ）若f（）=（＜α＜），求cos（α+）的值． 7．已知向量=（cosx，sinx），=（3，﹣），x∈[0，π]． （1）若∥，求x的值； （2）记f（x）=，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值． 8．已知函数的部分图象如图所示． （1）求函数f（x）的解析式； （2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若（2a﹣c）cosB=bcosC，求的取值围． 9．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示，M 为最高点，该图象与y轴交于点F（0，），与x轴交于点B，C，且△MBC的面积为π． （Ⅰ）求函数f（x）的解析式； （Ⅱ）若f（α﹣）=，求cos2α的值． 10．已知函数． （Ⅰ）求f（x）的最大值及相应的x值； （Ⅱ）设函数，如图，点P，M，N分别是函数y=g（x）图象的零值点、最高点和最低点，求cos∠MPN的值． 11．设函数f（x）=sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣），其中0＜ω＜3，已知f （）=0． 三角函数高考试题精选 一.选择题（共１８小题） 1.(２0１7?山东)函数y＝ｓin2ｘ+cos2x的最小正周期为( ) A． B.?C．πD.２π 2．(201７?天津）设函数f(x）＝２sｉn(ωx+φ），x∈R,其中ω＞0，|φ|＜π．若ｆ(）=2,f(）=0，且f（x)的最小正周期大于２π,则（) Ａ．ω=，φ=Ｂ.ω=，φ=﹣ C．ω＝，φ=﹣Ｄ．ω=,φ= 3．（2０１７?新课标Ⅱ）函数f（x)=ｓin（２x+）的最小正周期为(）A.4πＢ.2π?C.π?D． 4．（2017?新课标Ⅲ)设函数f(x)=cos(x+），则下列结论错误的是（）A．ｆ（x）的一个周期为﹣２π B．y=f(x）的图象关于直线x=对称 C．ｆ(x+π)的一个零点为x= Ｄ．f（ｘ)在(，π）单调递减 ５.（2017?新课标Ⅰ)已知曲线C ：y=cosx,Ｃ2：y＝sin(2ｘ＋），则下面结论 １ 正确的是（) A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2 Ｂ.把Ｃ 上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变，再把得到的曲线向左平１ 移个单位长度,得到曲线C2 C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2 Ｄ．把Ｃ1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变,再把得到的曲线向左 平移个单位长度，得到曲线C2 6．(20１7?新课标Ⅲ)函数f（x)=siｎ(x+)＋ｃｏs(x﹣)的最大值为（）A．?B.１?C.Ｄ. 7.(2016?上海)设a∈Ｒ，b∈[0，２π），若对任意实数x都有sin(3x﹣)=ｓin(ax+b),则满足条件的有序实数对（a,b)的对数为( ） A．１ B.2 C．3?D.4 8.（2０16?新课标Ⅲ)若tａnα=,则cos2α+２sin2α＝（） A.? B.C．1 D． 9.(2016?新课标Ⅲ)若tanθ=﹣,则coｓ2θ=（) A.﹣Ｂ.﹣Ｃ.D． 10.（20１６?浙江)设函数f（x）＝sｉn2x＋bsinx+c,则f（ｘ）的最小正周期() A．与b有关,且与c有关Ｂ.与b有关，但与c无关 C.与ｂ无关,且与ｃ无关? D.与ｂ无关，但与c有关 １１．（2016?新课标Ⅱ)若将函数y=2ｓiｎ2ｘ的图象向左平移个单位长度,则平移后的图象的对称轴为（） A．ｘ=﹣(k∈Z)?B.x=+（k∈Z)?C.x=﹣(ｋ∈Ｚ）Ｄ．x=+（k∈Ｚ） １2.(2０16?新课标Ⅰ）已知函数f(x）＝sin（ωｘ+φ)(ω＞0，｜φ|≤)，x=﹣ 为f(x）的零点，ｘ=为y=f(x)图象的对称轴，且ｆ(x)在(,)上单调，则ω的最大值为( ) Ａ.11 B．9 C．7 D．５ 13．(２01６?四川)为了得到函数ｙ=ｓin(2ｘ﹣)的图象,只需把函数y＝sin2x 的图象上所有的点(） A.向左平行移动个单位长度?Ｂ．向右平行移动个单位长度 三角函数、解三角形 1.弧长公式：r l α= 扇形面积公式：22 121r lr S α== 2.同角三角函数的基本关系式： 平方关系：1cos sin 2 2 =+αα 商数关系：sin tan cos α αα = 3.三角函数的诱导公式: 诱导公式（把角写成απ ±2 k 形式，利用口诀：奇变偶不变，符号看象限） 公式一()()()?????=?+=?+=?+απααπααπαtan 2tan cos 2cos sin 2sin k k k 公式二()()()?????=+=+=+ααπααπααπtan tan cos -cos -sin sin 公式三()()()?? ? ??=-=-=-ααααααtan -tan cos cos -sin sin 公式四()()()?????=-=-=-ααπααπααπtan -tan cos -cos sin sin 公式五???????=??? ??-=??? ??-ααπααπsin 2cos cos 2sin 公式六???????=??? ??+=?? ? ??+ααπααπsin -2 cos cos 2sin 4.两角和与差的正弦、余弦、正切公式： βαβαβαcos sin cos sin )sin(+=+ βαβαβαcos sin cos sin )sin(-=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+= + β αβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=- 5.二倍角公式: a a a cos sin 22sin = 1cos 2sin 21sin cos 2cos 2222-=-=-=a a a a a a a a 2tan 1tan 22tan -= 6.辅助角公式: sin cos a b αα+ )α?+( 其中sin tan b a ???= = = ). 比如： x x y cos 3sin += ) cos ) 3(13sin ) 3(11( )3(12 2 2 2 22x x ++ ++= )cos 23sin 21(2x x += )3 sin cos 3cos (sin 2ππx x +=)3sin(2π+=x 7.正弦定理： 2sin sin sin a b c R C ===A B (R 为△ABC 外接圆的半径） 8.余弦定理：2 2 2 2cos a b c bc =+-A ，2 2 2 2cos b a c ac =+-B ，2 2 2 2cos c a b ab C =+- 推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac +-B =，222 cos 2a b c C ab +-=． 学思堂教育个性化教程教案 数学科教学设计 学生姓名教师姓名刘梦凯班主任日期时间段年级课时教学内容 教学目标 重点 难点 教学过程 命题点二解三角形 难度：高、中、低命题指数：☆☆☆☆☆ 1.(2015·安徽高考)在△ABC中，AB＝6，∠A＝75°，∠B＝45°，则 AC＝________. 2．(2015·广东高考改编)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b， c.若a＝2，c＝2 3，c os A＝ 3 2 且b＜c，则b＝________. 3．(2015·北京高考)在△ABC中，a＝3，b＝6，∠A＝ 2π 3 ，则∠B＝ ________. 4．(2015·福建高考)若△ABC中，A C＝3，A＝45°，C＝75°，则 BC＝________. 5．(2015·全国卷Ⅰ)已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边， sin2B＝2sin A sin C. (1)若a＝b，求cos B；[来源:学科网ZXXK] (2)设B＝90°，且a＝2，求△ABC的面积． 教 学 效 果 分 析 教学过程 6．(2015·山东高考)△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 已知cos B＝ 3 3 ，sin(A＋B)＝ 6 9 ，ac＝23，求sin A和c的值． 7．(2015·全国卷Ⅱ)△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD＝ 2DC. (1)求 sin B sin C ； (2)若∠BAC＝60°，求∠B. 8．(2015·浙江高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b， c，已知tan ? ? ?? ? π 4 ＋A＝2. (1)求 sin 2A sin 2A＋cos2A 的值； (2)若B＝ π 4 ，a＝3，求△ABC的面积．[来源:学科 教 学 效 果 分 析 三角函数与解三角形 一、选择题 （2016·7）若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移 12 π个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ） A ．()26k x k Z ππ =-∈ B ．()26k x k Z ππ =+∈ C ．()212 k x k Z ππ =-∈ D ．()212 k x k Z ππ =+∈ （2016·9）若3 cos( )45 π α-=，则sin 2α =（ ） A ． 725 B ．15 C ．1 5 - D ．7 25 - （2014·4）钝角三角形ABC 的面积是12 ，AB =1，BC ，则AC =（ ） A ．5 B C ．2 D ．1 （2012·9）已知0>ω，函数)4sin()(π ω+ =x x f 在),2(ππ 单调递减，则ω的取值范围是（） A. 15 [,]24 B. 13[,]24 C. 1(0,]2 D. (0,2] （2011·5）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y =2x 上，则cos2θ =（ ） A ．45 - B ．35 - C ．35 D ．45 （2011·11）设函数()sin()cos()(0,||)2 f x x x π ω?ω?ω?=+++>< 的最小正周期为π，且()()f x f x -=， 则（ ） A ．()f x 在(0,)2π 单调递减 B ．()f x 在3(,)44 ππ 单调递减 C ．()f x 在(0,)2π 单调递增 D ．()f x 在3(,)44 ππ 单调递增 二、填空题 （2017·14）函数()23sin 4f x x x =- （0,2x π?? ∈???? ）的最大值是 ． （2016·13）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos 4 5 A = ，1cos 53C =，a = 1，则b = . （2014·14）函数()sin(2)2sin cos()f x x x ???=+-+的最大值为_________. （2013·15）设θ为第二象限角，若1 tan()42 πθ+=，则sin cos θθ+=_________. （2011·16）在△ABC 中，60,B AC ==o 2AB BC +的最大值为 . 三、解答题 初三三角函数试题精选 一．选择题（共10小题） 1．（2016?安顺）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（） A．2 B．C．D． 2．（2016?乐山）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，则下列结论不正确的是（） A．B．C．D． 3．（2016?攀枝花）如图，点D（0，3），O（0，0），C（4，0）在⊙A上，BD是⊙A的一条弦，则sin∠OBD=（） A．B．C．D． 4．（2016?西宁）如图，在△ABC中，∠B=90°，tan∠C=，AB=6cm．动点P从点A开始 沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，在运动过程中，△PBQ的最大面积是（） A．18cm2B．12cm2C．9cm2 D．3cm2 5．（2016?绵阳）如图，△ABC中AB=AC=4，∠C=72°，D是AB中点，点E在AC上，DE⊥AB，则cosA的值为（） A．B．C．D． 6．（2016?福州）如图，以圆O为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A，B两点，P是上一点（不与A，B重合），连接OP，设∠POB=α，则点P的坐标是（） A．（sinα，sinα） B．（cosα，cosα）C．（cosα，sinα） D．（sinα，cosα） 7．（2016?重庆）如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i=1：，则大楼AB的高度约为（）（精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45） A．30.6 B．32.1 C．37.9 D．39.4 8．（2016?苏州）如图，长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为（） A．2m B．2m C．（2﹣2）m D．（2﹣2）m 课程标题三角函数与解三角形 求三角函数得定义域实质就就就是解三角不等式(组)、一般可用三角函数得图象或三角函数线确定三角不等式得解、列三角不等式,既要考虑分式得分母不能为零；偶次方根被开方数大于等于零;对数得真数大于零及底数大于零且不等于1，又要考虑三角函数本身得定义域; 求三角函数得值域得常用方法:１、化为求得值域; ，引入辅助角,化为求解方法同类型。 ２、化为关于(或)得二次函数式; ,设，化为二次函数在上得最值求之; 周期问题一般将函数式化为(其中为三角函数，)、 ) ②y=taｎx图象得对称中心(，0) （二)主要方法: 1、函数得单调增区间可由 解出,单调减区间可由解出; 周期 2、函数得单调减区间可由 解出,单调增区间呢。(自己导出）周期 ３、函数得单调增区间可由 解出。(无增区间，重点掌握) 周期 课堂练习: 1.已知函数得定义域为，值域为，求常数得值 (化为求得值域)、 2、函数得单调递减区间就就是 ３、函数得单调增区间为 2、函数,、 (Ⅰ）求函数得最小正周期;(Ⅱ)求函数在区间上得最小值与最大值、(化为求得值域)、 3、函数得一个单调增区间就就是 ???? 4、若函数,则就就是 最小正周期为得奇函数最小正周期为得奇函数 最小正周期为得偶函数最小正周期为得偶函数 5、函数得最大值 6、当函数得最大值为时,求得值、 7、函数得最大值就就是 8、已知函数,、 (1)求得最大值与最小值;(2)f(x）得最小正周期。 (3)若不等式在上恒成立,求实数得取值范围、 解三角形 正弦定理:, 余弦定理: 推论:正余弦定理得边角互换功能 ① ,， ②，， ③== ④ (4)面积公式:S=ab*siｎC=bc＊siｎA＝cａ＊sinB 课堂练习: １、在中，角得对边分别为,已知,则（ ) Ａ、1 ?Ｂ.2 Ｃ、???D、 2、在△ABＣ中，AB=3，BＣ=，AC=4,则边AＣ上得高为( ) Ａ、Ｂ、 C、Ｄ、 ３、在ΔＡＢC中,已知a=,b=,Ｂ=45°,求角A,角C得大小及边ｃ得长度。 4、得内角A、B、C得对边分别为a、ｂ、c,若a、b、c成等比数列，且,则（) A、 B、 C、D、 【填空题】 5、在中,分别就就是、、所对得边。若,，,则___＿＿___＿_ 6、在锐角△ABＣ中,边长a=1,b=2,则边长c得取值范围就就是_＿____＿、 7、已知锐角得面积为,,则角得大小为( ) ?Ａ、75°?Ｂ、60° ?C、４5°Ｄ、30° 8、在△中，若，则等于、 9、在中,已知，则得大小为 ( ) ??? 【解答题】 １0、在中,分别就就是三个内角得对边、若,,求得面积、 11、如图,就就是等边三角形，就就是等腰直角三角形,∠=，交于,、 ?（1)求∠得得值; （2)求、 12、在中,角A、B、Ｃ所对得边分别为ａ,ｂ,ｃ,且满足 必修四三角函数与解三角形综合测试题 （本试卷满分150分，考试时间120分） 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.若点P 在3 2π的终边上，且OP=2，则点P 的坐标（ ） A ．)3,1( B ．)1,3(- C ．)3,1(-- D ．)3,1(- 2.已知=-=-ααααcos sin ,4 5cos sin 则（ ） A ．47 B ．169- C ．329- D ．32 9 3.下列函数中，最小正周期为 2 π的是（ ） A ．)32sin(π-=x y B ．)32tan(π-=x y C ．)62cos(π+=x y D ．)6 4tan(π+=x y 4.等于则)2cos(),,0(,31cos θππθθ+∈=（ ） A ．924- B ．924 C ．9 7- D ．97 5．函数y ＝sin （π4 －2x )的单调增区间是 （ ） A.［kπ－3π8 ，kπ＋π8 ］(k ∈Z ) B.［kπ＋π8 ，kπ＋5π8 ］(k ∈Z ) C.［kπ－π8 ，kπ＋3π8 ］(k ∈Z ) D.［kπ＋3π8 ，kπ＋7π8 ］(k ∈Z ) 6.将函数x y 4sin =的图象向左平移12 π个单位，得到)4sin(?+=x y 的图象，则?等于( ) A ．12π- B ．3π- C ．3 π D ．12π 7.οοοο50tan 70tan 350tan 70tan -+的值等于( ) A ．3 B ．33 C ．33- D ．3- 8．在△ABC 中，sinA ＞sinB 是A ＞B 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 9.ABC ?中，π= A ，BC ＝3，则ABC ?的周长为（ ） 2018-2019学年高三一模理分类---三角函数和解三角形 海淀（理） (15)（本小题满分13分） 已知函数()cos()cos 4 f x x x a π =-+ (Ⅱ)求a 的值； (Ⅱ)求函数()f x 的单调递增区间． 文）已知函数()cos()cos 4 f x x x a π =-+的图象经过点(O,l)，部分图象如图所示． (I)求a 的值； (Ⅱ)求图中0x 的值，并直接写出函数()f x 的单调递增区间． 朝阳 （理）15．（本小题满分13分） 在ABC △中，a ，120A ∠=?，ABC △b c <． （Ⅰ）求b 的值； （Ⅱ）求cos 2B 的值． （文）15.（本小题满分13分） 已知函数2 ()cos cos f x x x x =. （Ⅰ）求( )3 f π 的值及()f x 的最小正周期； （Ⅱ）若函数()f x 在区间[0,]m 上单调递增，求实数m 的最大值． 石景山 （文 理）15. （本小题13分） 在ABC △中，角A B C ， ，的对边分别为a b c ，， ，b=3c =，1 cos 3 B=-． （Ⅰ）求sin C 的值； （Ⅱ）求ABC △的面积． 丰台 （理）15．（本小题13分） 已知函数2()cos(2)2sin ()3f x x x a a π =--+∈R ，且()03 f π=. （Ⅰ）求a 的值； （Ⅱ）若()f x 在区间[0,]m 上是单调函数，求m 的最大值. 延庆 （理）15.（本小题满分13分） 如图，在ABC ?中，点D 在BC 边上，cos ADB ∠=，3cos =5 C ∠，7AC =． sin CA D ∠（求Ⅰ）的值； （Ⅱ）若10BD =， 求AD 的长及ABD ?的面积． 怀柔 15．（本小题满分13分） 在 中，角，，所的对边分别是a ，b ，c ， ， ． （Ⅰ）求边c 的值； （Ⅱ）若，求 的面积． 门头沟 A D B C 三角函数题解 1.（2003上海春，15）把曲线y cos x +2y －1=0先沿x 轴向右平移 2 π个单位，再沿y 轴向 下平移1个单位，得到的曲线方程是（ ） A.（1－y ）sin x +2y －3=0 B.（y －1）sin x +2y －3=0 C.（y +1）sin x +2y +1=0 D.－(y +1)sin x +2y +1=0 2.（2002春北京、，5）若角α满足条件sin2α＜0，cos α－sin α＜0，则α在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.（2002上海春，14）在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sinC ，则△ABC 的形状一定是（ ） A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 4.（2002京皖春文，9）函数y =2sin x 的单调增区间是（ ） A.［2k π－ 2 π，2k π＋ 2 π］（k ∈Z ） B.［2k π＋ 2 π ，2k π＋ 23π］（k ∈Z ） C.［2k π－π，2k π］（k ∈Z ） D.［2k π，2k π＋π］（k ∈Z ） 5.（2002全国文5，理4）在（0，2π），使sin x ＞cos x 成立的x 取值范围为（ ） A.（ 4π ， 2 π ）∪（π， 45π） B.（ 4 π，π） C.（ 4π ， 4 5π ） D.（ 4 π，π）∪（ 45π，2 3π） 6.（2002北京，11）已知f （x ）是定义在（0，3）上的函数，f （x ）的图象如图4—1所示，那么不等式f （x ）cos x ＜0的解集是（ ） A.（0，1）∪（2，3） B.（1， 2 π ）∪（ 2 π，3） 图4—1 高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳 1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)； 2、三角形三边关系：a+b>c; a-b 三角函数的概念、诱导公式与三角恒等变换 6.（2019浙江18）设函数()sin ,f x x x =∈R . （1）已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求θ的值； （2）求函数22[()][()]124 y f x f x ππ =+ ++ 的值域. 解析（1）因为()sin()f x x θθ+=+是偶函数，所以，对任意实数x 都有 sin()sin()x x θθ+=-+， 即sin cos cos sin sin cos cos sin x x x x θθθθ+=-+， 故2sin cos 0x θ=， 所以cos 0θ=． 又[0,2π)θ∈，因此π2θ= 或3π2 ． （2）2 2 22ππππsin sin 124124y f x f x x x ? ???????????=+++=+++ ? ? ? ???????????? ????? ππ1cos 21cos 213621cos 2sin 222222x x x x ??? ?-+-+ ? ? ??????=+=-- ? ??? π123x ? ?=+ ?? ?． 因此，函数的值域是[1- +． 27．（2018江苏）已知,αβ为锐角，4 tan 3 α= ，cos()5αβ+=-． (1)求cos2α的值； (2)求tan()αβ-的值． 【解析】(1)因为4tan 3α= ，sin tan cos ααα=，所以4 sin cos 3 αα=． 因为22sin cos 1αα+=，所以29 cos 25 α= ， 因此，27cos22cos 125 αα=-=- ． (2)因为,αβ为锐角，所以(0,π)αβ+∈． 又因为cos()αβ+=，所以sin()αβ+=， 因此tan()2αβ+=-． 因为4tan 3α=，所以22tan 24 tan 21tan 7 ααα==--， 因此，tan 2tan()2 tan()tan[2()]1+tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-+． 28．（2018浙江）已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过 点3 4(,)55 P --． (1)求sin()απ+的值； (2)若角β满足5 sin()13 αβ+= ，求cos β的值． 【解析】(1)由角α的终边过点34(,)55P --得4 sin 5α=-， 所以4 sin()sin 5απα+=-=． (2)由角α的终边过点34(,)55P --得3 cos 5 α=-， 由5sin()13αβ+=得12 cos()13 αβ+=±． 由()βαβα=+-得cos cos()cos sin()sin βαβααβα=+++， 所以56cos 65β=-或16 cos 65 β=-． 29．（2017浙江）已知函数22 ()sin cos cos f x x x x x =--()x ∈R ． （Ⅰ）求2( )3 f π 的值； （Ⅱ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间． 【解析】（Ⅰ）由2sin 32π=，21 cos 32 π=-， 解三角形3 一、选择题 1．在ABC ?中，6=a ， 30=B ， 120=C ，则ABC ?的面积是（ ） A ．9 B ．18 C ．39 D ．318 2．在ABC ?中，若 b B a A cos sin =，则B 的值为（ ） A ． 30 B ． 45 C ． 60 D ． 90 3．在ABC ?中，若B a b sin 2=，则这个三角形中角A 的值是（ ） A ． 30或 60 B ． 45或 60 C ． 60或 120 D ． 30或 150 4．在ABC ?中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（ ） A ．10=b ， 45=A ， 70=C B ．60=a ，48=c ， 60=B C ．7=a ，5=b ， 80=A D ．14=a ，16=b ， 45=A 5．已知三角形的两边长分别为4,5，它们夹角的余弦是方程02322 =-+x x 的根，则第三边长是（ ） A ．20 B ．21 C ．22 D ．61 二、填空题 1．在ABC ?中，若6:2:1::=c b a ，则最大角的余弦值等于_________________． 2．在ABC ?中，5=a ， 105=B ， 15=C ，则此三角形的最大边的长为____________． 3．在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,2 22_________。 4．在△ABC 中，若====a C B b 则,135,30,20 _________。 5．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C=7∶8∶13，则C=_____________。 6．若A 、B 是锐角三角形的两内角，则B A tan tan _____1（填>或<） 7．若在△ABC 中，∠A=,3,1,600==ABC S b 则C B A c b a sin sin sin ++++=_______。 1. 任意角的三角函数的定义： 设〉是任意一个角，p （x, y ）是〉的终 边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是「“x 2r 2.o , 位置无关。 2. 三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦） + L i + —— L + _ - + ------ ■ —— + - ■ sin ： cos ： tan ： 3. 同角三角函数的基本关系式: 4. 三角函数的诱导公式 k 二.一 诱导公式（把角写成2 …形式，利用口诀：奇变偶不变，符 （2）商数关 系： tan-E 屮一、 cos 。（用于切化弦） （1）平方关 系: 2 2 2 sin 工 cos ■■ -1,1 tan : 1 cos 2: ※平方关系一般为隐含条件，直接运用。注意“ 1”的代换 si …y,cos 」 那么 r 三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点 5. 特殊角的三角函数值 度 0s 30c A 45“ A 60“ 90 120c A 135“ 150s 180c 270° 360 弧 31 JI JI 2n 3兀 5兀 JI 3兀 2兀 度 6 4 3 2 3 4 6 2 si n 。 0 1 竝 迈 1 旦 1 0 1 2 2 2 2 2 2 cosa 亦 1 1 念 力 1 2 _1 1 2 2 2 2 2 号看象限） sin （2k .亠 x ） = sin x cos （2k ■亠 x ） = cosx ［）tan （2k ，亠 x ）二 tanx sin （ -x ） - - sin x cos （-x ） =cosx H ）tan （-x ） - - tanx m ） |sin （，亠 x ） = -sin x cos （m ） = - cosx tan （二 x ） IV ） Sin （兀 _x ） =sin x cos （兀—x ） = —cosx tan （兀一 sin （— -〉）= cos ..z sin （二：）=cos ： V ） -?） = sin : 2020年高考数学三角函数与解三角形大题精做例题一：在△ ABC中，内角A , B , C所对的边分别为a , b , c，已知m n cosC,cos A，且m n . (1)求角A的大小； (2 )若b c 5 , △ ABC的面积为3，求a . n,AB 4 , BC .17，点D 在AC 边上，且cos (1 )求BD的长； (2)求△ BCD的面积. 例题三：△ ABC的内角A , B , C的对边分别为a , b , c，已知a 2c cosB bcosA 0 .a,c 2b , 例题二：如图，在厶ABC中, (1 )求B ; (2)若b 3 , △ ABC的周长为3 2 3，求△ ABC的面积. 例题四：已知函数f x cos2 x 2 3 sin xcosx sin2 x . (1)求函数y f x的最小正周期以及单调递增区间； (2)已知△ ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若fC 1，c 2，sinC sin B A 2sin 2A，求△ ABC 的面积. 例题一：【答案】(1) A -; (2) a .13 . 3 【解析】(1)由m n ，可得 m n 0 ,艮卩2b cos A acosC ccosA , 即 2sin B cos A sin AcosC sin C cosA ，即 2sin BcosA sin A C , ?/ sin A C sin n B sin B , / ? 2sin B cosA sin B ，即 sin B 2cos A 1 0 , ?/ 0 B n, ? sin B 0 , ? cosA 1 2 ?/ 0 A n, ? A n . 3 (2) 由S A ABC J /3，可得 S A ABC 1 - bcsin A 3 , ? bc 4 , 2 又b c 5 , 由余弦定理得 2 .2 a b 2 2 c 2bccosA b c 3bc 13 ? a 13 . 例题二：【答案】(1) 3; ( 2) 4 2 . 【解析】(1)在△ ABD 中, ■/ cos ADB 1 ,? sin ADB 3 22 3 ， BD AB ABsi n BAD 4 2 -Z 3 由正弦疋理一 ,? BD sin BAD sin ADB ' sin ADB 2 2 3 (2) ?/ ADB CDB n, 1 cos ADB -. 3 2 1 得 17 9 CD 2 2 3CD -,解得 CD 4或 CD 2 (舍). 3 2 例题三：【答案】(1) B 2 n; (2) S\ABC ??? △ BCD 的面积S -BD CD sin CDB 2 22 3 3.3 4 二 cos CDB cos n ADB 二 sin CDB sin n ADB sin ADB CDB 在厶BCD 中，由余弦定理 BC 2 3 2 BD 2 2 CD 2 2BD CD cos CDB ， 任意角的三角函数 一、选择题 1．以下四个命题中，正确的是( ) A ．在定义域内，只有终边相同的角的三角函数值才相等 B ．｛α｜α＝k π＋6 π，k ∈Z ｝≠｛β｜β＝-k π＋6 π ，k ∈Z ｝ C ．若α是第二象限的角，则sin2α＜0 D ．第四象限的角可表示为｛α｜2k π＋2 3π＜α＜2k π，k ∈Z ｝ 2．若角α的终边过点(-3，-2)，则( ) A ．sin α tan α＞0 B ．cos α tan α＞0 C ．sin α cos α＞0 D ．sin α cot α＞0 3．角α的终边上有一点P (a ，a )，a ∈R ，且a ≠0，则sin α的值是( ) A ． 2 2 B ．- 2 2 C ．± 2 2 D ．1 4.α是第二象限角，其终边上一点P （x ，5），且cos α＝42 x ，则sin α的值为 （ ） A ．410 B ．46 C ．42 D ．－410 5.使lg （cos θ·tan θ）有意义的角θ是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第一或第二象限角 D ．第一、二象限角或终边在y 轴上 6.设角α是第二象限角，且|cos 2α|＝－cos 2α，则角2α 是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 7．点P 是角α终边上的一点，且 ，则b 的值是（ ） A 3 B －３ C ±3 D 5 8.在△ABC 中，若最大的一个角的正弦值是 ，则△ABC 是（ ） A 锐角三角形 B 钝角三角形 C 直角三角形 D 等边三角形 9．若α是第四象限角，则 是（ ） A 第二象限角 B 第三象限角 C 第一或第三象限角 D 第二或第四象限角 10．已知sin α=4 5 ，且α为第二象限角，那么tan α的值等于 （ ） 1. 任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异 于原点），它与原点的距离是 0r =>，那么 sin ,cos y x r r αα= =， () tan ,0y x x α=≠ 三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。 2.三角函数在各象限的符号： （一全二正弦，三切四余弦） ＋ ＋ － ＋ － ＋ － － － ＋ ＋ － sin α cos α tan α 3. 同角三角函数的基本关系式： （1）平方关系： 22221sin cos 1,1tan cos αααα+=+= （2）商数关系： sin tan cos α αα= （用于切化弦） ※平方关系一般为隐含条件，直接运用。注意“1”的代换 4.三角函数的诱导公式 诱导公式（把角写成α π±2k 形式，利用口诀：奇变偶不变，符号看象限） Ⅰ）?????=+=+=+x x k x x k x x k tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(πππ Ⅱ）?????-=-=--=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin( Ⅲ） ?????=+-=+-=+x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅳ）?????-=--=-=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅴ）???????=-=-ααπααπsin )2cos(cos )2sin( Ⅵ）???????-=+=+ααπααπsin )2cos(cos )2sin( 题型练3大题专项(一) 三角函数、解三角形综合问题 1.(优质试题浙江,18)已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P. (1)求sin(α+π)的值; (2)若角β满足sin(α+β)=,求cos β的值. 2.(优质试题北京,理15)在△ABC中,a=7,b=8,cos B=-. (1)求A; (2)求AC边上的高. 3.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为. (1)求sin B sin C; (2)若6cos B cos C=1,a=3,求△ABC的周长. 4.已知函数f(x)=4tan x sin cos. (1)求f(x)的定义域与最小正周期; (2)讨论f(x)在区间上的单调性. 5.已知函数f(x)=a cos2a sin ωx-a(ω>0,a>0)在一个周期内的图象如图所示,其中点A为图象上的最高点,点B,C为图象与x轴的两个相邻交点,且△ABC是边长为4的正三角形. (1)求ω与a的值; (2)若f(x0)=,且x0∈,求f(x0+1)的值. 6.在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=,n=(sin x,cos x),x∈. (1)若m⊥n,求tan x的值; (2)若m与n的夹角为,求x的值. 题型练3大题专项(一) 三角函数、解三角形综合问题 1.解(1)由角α的终边过点P, 得sin α=-,所以sin(α+π)=-sin α= (2)由角α的终边过点P,得cos α=-, 由sin(α+β)=,得cos(α+β)=± 由β=(α+β)-α,得cos β=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α,所以cos β=-或cos β= 2.解(1)在△ABC中,∵cos B=-,∴B, ∴sin B= 由正弦定理,得, ∴sin A= ∵B,∴A,∴A= (2)在△ABC中,sin C=sin(A+B)=sin A cos B+sin B cos A= 如图所示,在△ABC中,过点B作BD⊥AC于点D. ∵sin C=,∴h=BC·sin C=7, ∴AC边上的高为 3.解(1)由题设得ac sin B=,即c sin B= 由正弦定理得sin C sin B= 故sin B sin C= (2)由题设及(1)得cos B cos C-sin B sin C=-, 即cos(B+C)=- 所以B+C=,故A= 由题设得bc sin A=,即bc=8. 由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c= 故△ABC的周长为3+三角函数解三角形综合
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