理论力学(14.7)--虚位移原理-思考题答案
第十四章 虚位移原理
答 案
14-1
(1)若认为B处虚位移正确，则A，C处虚位移有错：A处位移应垂直于
O1A向左上方，C处虚位移应垂直向下。若认为C处虚位移正确，则B，A处虚位移有错：B处虚位移应反向，A处虚位移应垂直于O1A向右下方。C处虚位移可沿力的作用线，A处虚位移不能沿力的作用线。
(2)三处虚位移均有错，此种情况下虚位移均不能沿力的作用线。杆
AB，DE若运动应作定轴转动，B，D点的虚位移应垂直于杆AB，DE；杆BC，DE作平面运动，应按刚体平面运动的方法确定点C虚位移。
14-2
（1）可用几何法，虚速度法与坐标（解析）法；对此例几何法与虚速度法比坐标（解析）法简单，几何法与虚速度法难易程度相同。
（2）可用几何法，虚速度法与坐标（解析）法。几何法与虚速度法相似，比较简单。用坐标法也不难，但要注意δθ的正负号。
（3）同（2）
（4）用几何法或虚速度法比较简单，可以用坐标法，但比较难。
（5）同（4）
14-3
（1）不需要。
（2）需要。内力投影，取矩之和为零，但内力作功之和可以不为零。
14-4
弹性力作功可用坐标法计算，也可用弹性力作功公式略去高阶小量计算；摩擦力在此虚位移中作正功。
14-5
在平面力系所在的刚体平面内建立一任意的平面直角坐标系，在此刚体平面内任选一点作为基点，写出此平面图形的运动方程。设任一力 的作用点为（x i， y i），且把此坐标以平面图形运动方程表示，设此点产生虚位移，把力
投影到坐标轴上，且写出此点直角坐标的变分，用解析法形式的虚位移表达式，把力的投影与直角坐标变分代入，运算整理之后便可得。
也可以在平面力系所在的刚体平面内任选一点O（简化中心），把平面力系向此点简化得一主矢与主矩，把主矢以 表示，分别给刚体以虚位移
，由虚位移原理也可得平衡方程。
理论力学：虚位移原理及分析力学基础
13．虚位移原理及分析力学基础 自由质点系：运动状态（轨迹、速度等）只取决于作用力和运动的起始条件的质点系。 非自由质点系：运动状态受到某些预先给定的限制（运动的起始条件也要满足这些限制条件）的质点系。 约束：非自由质点系所受到的预先给定的限制。 约束方程：用解析表达式表示的限制条件。 几何约束：只限制质点或质点系在空间位置的约束。 运动约束：对于质点或质点系不仅有位移方面的限制，还有速度或角速度方面的限制的约束。 定常约束：约束方程中不显含时间的约束。 非定常约束：约束方程中显含时间的约束。 完整约束：约束方程不包含质点速度，或者包含质点速度但是它可以积分，转换为有限形式的约束。 非完整约束：约束方程包含质点速度、且不可积分不能转换为有限形式的约束。 双面约束：不仅能限制质点在某一方向的运动，还能限制其在相反方向的运动的约束。 单面约束：只能限制质点沿某一方向运动的约束。 自由度数：在具有完整约束的质点系中，唯一地确定系统在空间的位形或构形的独立坐标的数目数。 广义坐标：用来确定质点系位置的独立参数。 虚位移：在给定位置上，质点或质点系在约束所容许的条件下可能发生的任何无限小位移，称为质点或质点系的虚位移。 虚功：作用于质点上的力在该质点的虚位移中所作的元功，用δW 表示。若用F ，δr 分别代表力和虚位移，则虚功的表达式为F W δδ=?F r 。 理想约束：约束力虚功之和等于零的约束。
虚位移原理：具有理想约束的质点系，在给定位置保持平衡的必要和充分条件是,所有作用于该质点系上的主动力在任何虚位移中所作的虚功之和等于零。 作用于质点系上的主动力对应于广义坐标q h 的广义力： 1 n i Qh i i h r F F q ? ? = =? ∑。 平衡稳定性：在保守系统中，(1)受到微小的扰动而偏离平衡位置后，它能返回到原平衡位置，这种平衡状态称为稳定平衡；(2)受到微小的扰动后，再也不能回到原平衡位置，这种平衡状态称为不稳定平衡；(3)不论在哪个位置，总是平衡的，这种平衡状态称为随遇平衡。 动力学普遍方程：在具有理想约束的质点系中，在任一瞬时，作用于各质点上的主动力和虚加的惯性力在任意虚位移上所作虚功之和等于零。
理论力学(周衍柏第二版)思考题习题答案
第一章 质点力学 矿山升降机作加速度运动时，其变加速度可用下式表示：? ? ? ? ?-=T t c a 2sin 1π 式中c 及T 为常数，试求运动开始t 秒后升降机的速度及其所走过的路程。已知升降机的初速度为零。 解 ：由题可知，变加速度表示为 ?? ? ? ? -=T t c a 2sin 1π 由加速度的微分形式我们可知dt dv a = 代入得 dt T t c dv ??? ??-=2sin 1π 对等式两边同时积分 dt T t c dv t v ???? ? ?? -=00 2sin 1π 可得 ：D T t c T ct v ++=2cos 2ππ（D 为 常数） 代入初始条件：0=t 时，0=v ， 故c T D π 2-= 即????? ???? ??-+=12cos 2T t T t c v ππ 又因为dt ds v = 所以 =ds dt T t T t c ????? ???? ??-+12cos 2ππ 对等式两边同时积分，可得： ????????? ??-+=t T t T T t c s 2sin 222 12πππ 直线FM 在一给定的椭圆平面内以匀角速 ω绕其焦点F 转动。求此直线与椭圆的焦 点M 的速度。已知以焦点为坐标原点的椭 圆的极坐标方程为() θ cos 112 e e a r +-= 式中a 为椭圆的半长轴，e 为偏心率，常数。 解：以焦点F 为坐标原点 题1.8.1图 则M 点坐标 ?? ?==θθ sin cos r y r x 对y x ,两式分别求导 ?????+=-=θθθθθθcos sin sin cos &&&&&&r r y r r x 故 ()() 2 2 222cos sin sin cos θθθθθθ&&&&&&r r r r y x v ++-=+=222ωr r +=& 如图所示的椭圆的极坐标表示法为 () θ cos 112e e a r +-= 对r 求导可得（利用ωθ=&） 又因为 ()() 2 21cos 111e a e e a r -+-=θ 即 ()re r e a --=2 1cos θ 所以
理论力学思考题答案.
理论力学思考题答案 1-1 （1）若F 1=F 2表示力，则一般只说明两个力大小相等，方向相同。 （2）若F 1=F 2表示力，则一般只说明两个力大小相等，方向是否相同，难以判定。 （3）说明两个力大小、方向、作用效果均相同。 1-2 前者为两个矢量相加，后者为两个代数量相加。 1-3 （1）B 处应为拉力，A 处力的方向不对。 （2）C 、B 处力方向不对，A 处力的指向反了。 （3）A 处力的方向不对，本题不属于三力汇交问题。 （4）A 、B 处力的方向不对。 1-4 不能。因为在B 点加和力F 等值反向的力会形成力偶。 1-5 不能平衡。沿着AB 的方向。 1-6 略。 1-7 提示：单独画销钉受力图，力F 作用在销钉上；若销钉属于AC ，则力F 作用在AC 上。受力图略。 2-1 根据电线所受力的三角形可得结论。 2-2不同。 2-3（a ）图和（b ）图中B 处约束力相同，其余不同。 2-4（a ）力偶由螺杆上的摩擦力和法向力的水平分力形成的力偶平衡，螺杆上的摩擦力与法向力的铅直方向的分力与N F 平衡。 （b ）重力P 与O 处的约束力构成力偶与M 平衡。 2-5可能是一个力和平衡。 2-6可能是一个力；不可能是一个力偶；可能是一个力和一个力偶。 2-7一个力偶或平衡。 2-8（1）不可能；（2）可能；（3）可能；（4）可能；（5）不可能；（6）不可能。 2-9主矢：''RC RA F F =，平行于BO ；主矩： '2C RA M =，顺时针。 2-10正确：B ；不正确：A ，C ，D 。 2-11提示： 左段OA 部分相当一个二力构件，A 处约束力应沿OA ，从右段可以判别B 处
理论力学思考题及解答
第一章 质点力学 1.1平均速度与瞬时速度有何不同？在上面情况下，它们一致？ 1.2 在极坐标系中，r v r =，θθ r v =.为什么2θ r r a r -=而非r ？为什么θθ r r a 20+=而非θθ r r +？你能说出r a 中的2θ r -和θa 中另一个θ r 出现的原因和它们的物理意义吗？ 1.3 在内禀方程中，n a 是怎样产生的？为什么在空间曲线中它总沿着主法线方向？当质点沿空间运动时，副法线方向的加速度b a 等于零，而作用力在副法线方向的分量b F 一般不等于零，这是不是违背了牛顿运动定律呢？ 1.4 在怎样的运动中只有τa 而无n a ？在怎样的运动中又只有n a 而无τa ？在怎样的运动中既有n a 而无τa ？ 1.5 dt r d 与 dt dr 有无不同？ dt v d 与dt dv 有无不同？试就直线运动与曲线运动分别加以讨论. 1.6人以速度v 向篮球网前进，则当其投篮时应用什么角度投出？跟静止时投篮有何不同？ 1.7雨点以匀速度v 落下，在一有加速度a 的火车中看，它走什么路经？ 1.8某人以一定的功率划船，逆流而上.当船经过一桥时，船上的渔竿不慎落入河中.两分钟后，此人才发现，立即返棹追赶.追到渔竿之处是在桥的下游600米的地方，问河水的流速是多大？ 1.9物体运动的速度是否总是和所受的外力的方向一致？为什么？ 1.10在那些条件下，物体可以作直线运动？如果初速度的方向和力的方向一致，则物体是沿力的方向还是沿初速度的方向运动？试用一具体实例加以说明. 1.11质点仅因重力作用而沿光滑静止曲线下滑，达到任一点时的速度只和什么有关？为什么是这样？假如不是光滑的将如何？ 1.12为什么被约束在一光滑静止的曲线上运动时，约束力不作功？我们利用动能定理或能量积分，能否求出约束力？如不能，应当怎样去求？ 1.13质点的质量是1千克，它运动时的速度是k j i v 323++=，式中i 、j 、k 是沿x 、y 、z 轴上 的单位矢量。求此质点的动量和动能的量值。 1.14在上题中，当质点以上述速度运动到（1，2，3）点时，它对原点O 及z 轴的动量矩各是多少？ 1.15动量矩守恒是否就意味着动量也守恒？已知质点受有心力作用而运动时，动量矩是守恒的，问它的动量是否也守恒？ 1.16如()r F F =，则在三维直角坐标系中，仍有▽0=?F 的关系存在吗？试验之。 1.17在平方反比引力问题中，势能曲线应具有什么样的形状？ 1.18我国发射的第一颗人造地球卫星的轨道平面和地球赤道平面的交角为68．5 ， 一次发射的都要大。我们说，交角越大，技术要求越高，这是为什么？又交角大的优点是什么？ 1.19卢瑟福公式对引力库仑场来讲也能适用吗？为什么？
达朗贝尔原理及虚位移原理知识点总结
达朗贝尔原理 知识总结 1.质点的惯性力。 ?设质点的质量为m ，加速度为，则质点的惯性力定义为 2.质点的达朗贝尔原理。 ?质点的达朗贝尔原理：质点上除了作用有主动力和约束力外，如 果假想地认为还作用有该质点的惯性力，则这些力在形式上形成一个平衡力系，即 3.质点系的达朗贝尔原理。 ?质点系的达朗贝尔原理：在质点系中每个质点上都假想地加上各自的惯 性力，则质点系的所以外力和惯性力，在形式上形成一个平衡力系，可以表示为 4.刚体惯性力系的简化结果 （1）刚体平移，惯性力系向质心C 简化，主矢与主矩为 （2）刚体绕定轴转动，惯性力系向转轴上一点O 简化，主矢与主矩为 其中
如果刚体有质量对称平面，且此平面与转轴z 垂直，则惯性力系向此质量对称平面与转轴z 的交点O 简化，主矢与主矩为 （3）刚体作平面运动，若此刚体有一质量对称平面且此平面作同一平面运动，惯性力系向质心C简化，主矢和主矩为 式中为过质心且与质量对称平面垂直的轴的转动惯量。 5.消除动约束力的条件。 刚体绕定轴转动，消除动约束力的条件是，此转轴是中心惯性主轴（转轴过质心且对此轴的惯性积为零）；质心在转轴上，刚体可以在任意位置静止不动，称为静平衡；转轴为中心惯性主轴，不出现轴承动约束力，成为动平衡。 常见问题 问题一在惯性系中，惯性力是假想的（虚加的），达朗贝尔原理也是数学形式上的，物体一般并不是真的处于平衡。 问题二惯性力系一般都是向定点或者质心简化，因此这时惯性力系的主矩，而向其它的点简化，一般上是不成立的。如果一定要向某一任意点A简化，那么要先向定点或质心简化，之后将其移至A点（注意力在平移时将会有附加力偶）。惯性力系的主失是与简化中心无关的。 问题三用达朗贝尔原理解题时，加上惯性力系后就完全转化成静力学问题，其求解方法与精力学完全相同。 问题四物体系问题。每个物体都有惯性力系，因此每个物体的惯性力系向质心（或定点）简化都得到一个力与一个力偶。 虚位移原理 知识点总结 1.虚位移·虚功·理想约束。 在某瞬时，质点系在约束允许的条件下，人所假想的任何无限小位移称为虚位移。虚位移可以是线位移，也可以是角位移。 力在虚位移中所作的功称为虚功。
理论力学(14.7)--虚位移原理-思考题答案
第十四章 虚位移原理 答 案 14-1 (1)若认为B处虚位移正确，则A，C处虚位移有错：A处位移应垂直于 O1A向左上方，C处虚位移应垂直向下。若认为C处虚位移正确，则B，A处虚位移有错：B处虚位移应反向，A处虚位移应垂直于O1A向右下方。C处虚位移可沿力的作用线，A处虚位移不能沿力的作用线。 (2)三处虚位移均有错，此种情况下虚位移均不能沿力的作用线。杆 AB，DE若运动应作定轴转动，B，D点的虚位移应垂直于杆AB，DE；杆BC，DE作平面运动，应按刚体平面运动的方法确定点C虚位移。 14-2 （1）可用几何法，虚速度法与坐标（解析）法；对此例几何法与虚速度法比坐标（解析）法简单，几何法与虚速度法难易程度相同。 （2）可用几何法，虚速度法与坐标（解析）法。几何法与虚速度法相似，比较简单。用坐标法也不难，但要注意δθ的正负号。
（3）同（2） （4）用几何法或虚速度法比较简单，可以用坐标法，但比较难。 （5）同（4） 14-3 （1）不需要。 （2）需要。内力投影，取矩之和为零，但内力作功之和可以不为零。 14-4 弹性力作功可用坐标法计算，也可用弹性力作功公式略去高阶小量计算；摩擦力在此虚位移中作正功。 14-5 在平面力系所在的刚体平面内建立一任意的平面直角坐标系，在此刚体平面内任选一点作为基点，写出此平面图形的运动方程。设任一力 的作用点为（x i， y i），且把此坐标以平面图形运动方程表示，设此点产生虚位移，把力 投影到坐标轴上，且写出此点直角坐标的变分，用解析法形式的虚位移表达式，把力的投影与直角坐标变分代入，运算整理之后便可得。
也可以在平面力系所在的刚体平面内任选一点O（简化中心），把平面力系向此点简化得一主矢与主矩，把主矢以 表示，分别给刚体以虚位移 ，由虚位移原理也可得平衡方程。
清华大学版理论力学课后习题答案大全_____第12章虚位移原理及其应用习题解
解：如图（a ），应用虚位移原理： F 1 ?術 F 2 ? 8r 2 = 0 书鹵 / 、 8r 1 8r 2 tan P 如图（b ）： 8 廿y ； 8 厂乔 8r i 能的任意角度B 下处于平衡时，求 M 1和M 2之间的关系 第12章 虚位移原理及其应用 12-1图示结构由8根无重杆铰接成三个相同的菱形。 试求平衡时, 解：应用解析法，如图(a )，设0D = y A = 2l sin v ； y^ 61 sin v S y A =21 cos ：心； 溉=61 COST 心 应用虚位移原理： F 2 S y B - R ? S y A =0 6F 2 —2R =0 ; F i =3F 2 习题12-1图 F 2之值。已知：AC = BC 12-2图示的平面机构中, D 点作用一水平力F t ，求保持机构平衡时主动力 =EC = DE = FC = DF = l 。 解：应用解析法，如图所示： y A =lcos ) ； x D =3lsin v S y A - -l sin^ 心；S x D =3I COS ^ & 应用虚 位移原理： —F 2 ? S y A - F I 8x^0 F 2sin J - 3F t cos ^ - 0 ； F 2 = 3F t cot^ 12-3图示楔形机构处于平衡状态，尖劈角为 小关系 习题12-3 B 和3不计楔块自重与摩擦。求竖向力 F 1与F 2的大 F i F 2| (a ) (b) F i 8i - F 2 12-4图示摇杆机构位于水平面上，已知 OO i = OA 。机构上受到力偶矩 M 1和M 2的作用。机构在可
清华大学版理论力学课后习题答案大全_____第12章虚位移原理及其应用习题解
第12章 虚位移原理及其应用 12－1 图示结构由8根无重杆铰接成三个相同的菱形。试求平衡时，主动力F 1与F 2的大小关系。 解：应用解析法，如图（a ），设OD = l θsin 2l y A =；θsin 6l y B = θθδcos 2δl y A =；θθδcos 6δl y B = 应用虚位移原理：0δδ12=?-?A B y F y F 02612=-F F ；213F F = 12－2图示的平面机构中，D 点作用一水平力F 1，求保持机构平衡时主动力F 2之值。已知：AC = BC = EC = DE = FC = DF = l 。 解：应用解析法，如图所示： θcos l y A =；θsin 3l x D = θθδsin δl y A -=；θθδcos 3 δl x D = 应用虚位移原理：0δδ12=?-?-D A x F y F 0cos 3sin 12=-θθF F ；θcot 312F F = 12－3 图示楔形机构处于平衡状态，尖劈角为θ和β，不计楔块自重与摩擦。求竖向力F 1与F 2的大小关系。 解：如图（a ），应用虚位移原理：0δδ2211=?+? r F r F 如图（b ）： β θt a n δδt a n δ2 a 1r r r == ；12 δtan tan δr r θ β = 0δtan tan δ1211=? -?r θβF r F ；θ β tan tan 21?=F F 12－4 图示摇杆机构位于水平面上，已知OO 1 = OA 。机构上受到力偶矩M 1和M 2的作用。机构在可能的任意角度θ下处于平衡时，求M 1和M 2之间的关系。 习题12-1图 （a ） 习题12-2解图 习题12－3 （a ） r a （b ）
理论力学(机械工业出版社)第四章虚位移原理习题解答
习 题 4-1 如图4-19所示，在曲柄式压榨机的销钉B 上作用水平力F ，此力位于平面ABC 内，作用线平分∠ABC 。设 AB =BC ，∠ABC =θ2，各处摩擦及杆重不计，试求物体所受的压 力。 图4-19 0δ)90cos(δδN =--?=∑C B F s F s F W θ )90cos(δ)902cos(δθθ-?=?-C B s s θθsin δ2sin δC B s s = 虚位移原理 0δ)90cos(δδN =--?=∑C B F s F s F W θ 0δsin δN =-C B s F s F θ θ θθθtan 2 )2sin(sin sin δδ2N F F s s F F C B === 4-2 如图4-20所示，在压缩机的手轮上作用一力偶，其矩为M 。手轮轴的两端各有螺距同为h ，但方向相反的螺纹。螺纹上各套有一个螺母A 和B ，这两个螺母分别与长为l 的杆相铰接，四杆形成棱形框，如图所示，此棱形框的点D 固定不动，而点C 连接在压缩机的水平压板上。试求当棱形
框的顶角等于2f 时，压缩机对被压物体的压力。 图4-20 ??cos δ)290cos(δC A s s =-? C A s s δsin δ2=? 而 θ?δπ 2c o s δP s A = ?θ?θ?tan δπ sin δcos π22 δP P s C == 虚位移原理 0δδδN =-=∑C F s F M W θ 0tan δπ δN =?-?θθP F M ?cot π N P M F = 4-3 试求图4-21所示各式滑轮在平衡时F 的值，摩擦力及绳索质量不计。 图4-21 虚位移原理 0δδδ=+-=∑A B F s G s F W (a) A B s s δ2δ= 2 G F = (b) A B s s δ8δ= 8 G F = (c) A B s s δ6δ= 6 G F = (d) A B s s δ5δ= 5 G F =
虚位移原理的一般解题步骤与注意问题
浅析《虚位移原理》的一般解题步骤与应注意的问题 姓名：王晟学号：000572 班级：机05 这个学期的《工程力学》的学习中，大家最感到头疼的可能就是虚位移原理的一些题目了。虚虚实实，有速度，还有加速度；分析起来特别麻烦，一不小心就容易弄错几个虚位移或弄丢几个虚位移。考试的时候很容易丢分。根据平时上课以及从教科书参考书上积累的知识，我将虚位移原理的有关知识总结一下，希望能够为大家提供一些不成熟的建议。 解题的一般步骤 （1） 根据题意，分清所分析的问题时属于哪一类的问题： ①求平衡问题； ②求约束反力或内力； ③判断平衡的稳定性。 对于求约束反力或内力的问题，首先应解除约束（求哪个反力或内力，解除与之对应的约束），用对应的反力或内力替代约束对系统的作用，从而将反力或内力“转化”为主动力。 每解除一个约束，系统相应增加一个自由度！ （2） 分析约束性质，画主动力的受力图。在所研究的系统中，如有某些约束不是理想约束，应将这些约束的反力按主动力处理。 只画系统的主动力的受力图，这里的主动力应该包括： ①系统以外的物体对它的作用力； ②非理想约束的约束反力； ③因解除约束而“转化”为主动力的约束反力或内力。 （3） 确定系统的自由度，应包括因杰出约束而增加的自由度。选择合适的坐标（或线坐标、或角坐标）做系统的广义坐标。 对完整系统来说，广义坐标的数目等于自由度的数目！ （4） 给出系统的虚位移，采用如下方法计算主动力作用点的虚位移与广义坐标虚位移的关系： ①几何法：运用运动学中分析速度的方法（对于定常约束来说，虚位移之间的关系就是速度的关系），进行计算。 ②解析法：先选定一个静坐标系，用广义坐标写出主动力（力矩）作用点的坐标分析表达式，然后，再对广义坐标取变分，进行计算。 （5） 建立虚功方程，计算各主动力在给定虚位移中的虚功，建立虚功方程，确定平衡条件，求出待求的参量。 （6） 写出系统的势能表达式，确定平衡位置，判断在平衡位置上，系统是处于稳定平衡还是非稳定平衡。（此部分看题目需要） 应注意的问题 （1） 应用虚位移原理，一般都是以整个系统为研究对象，不宜选取分离对象，这是不同与其他分析方法的。（采用虚位移原理解绗架问题也未尝不可，但并没有明显的效果。 如《理论力学》教材133页例5－13的第三种方法，就是采用了虚位移原理对分离 对象分析）
虚位移原理
第15章 虚位移原理 15-1 图示曲柄式压缩机的销钉B 上作用有水平力F ，此力位于平面ABC 内。作用线平分ABC ∠。设AB = BC ，θ2=∠ABC ，各处摩擦及杆重不计，求对物体的压缩力。 解：令B 有虚位移AB B ⊥r δ，而C 有铅直向上的虚位移C r δ，如图（a ）。将B r δ及C r δ向BC 方向投影，为简单起见，以B r δ表示B r δ的绝对值B r δ，以C r δ表示C r δ，则有 )902cos(δ)90cos(δ?-=-?θθB C r r 即 θcos 21δδ=C B r r （1） 由虚位移原理得 0δsin δN =-C B r F r F θ θ sin δδN F F r r C B = （2） 将式（1）代入（2）得 θtan 2 N F F = 15-3 挖土机挖掘部分示意如图。支臂DEF 不动，A 、B 、D 、E 、F 为铰链，液压油缸AD 伸缩时可通过连杆AB 使挖斗BFC 绕F 转动，EA = FB = a 。当?==3021θθ时杆DF AE ⊥，此时油缸推力为F 。不计构件重量，求此时挖斗可克服的最大阻力矩M 。 解：由虚功原理： 0δδcos 1=-??θM r F A （1） 式中 a r B δδ=? （2） A 、 B 的虚位移向AB 投影 22sin δcos δθθB A r r = 2tan δδθB A r r = （3） 式（2），（3）代入（1）得 0δδtan cos 21=? -??a r M r F B B θθ Fa M Fa M 2 1,sin ,30221==?==θθθ 15-5 在图示机构中，当曲柄OC 绕O 轴摆动时，滑块A 沿曲柄滑动，从而带动杆AB 在铅直导槽K 内移动。已知：OC = a ，OK = l ，在点C 处垂直于曲柄作用一力F 1；而在点B 沿BA 作用一力F 2。求机构平衡时F 2与F 1的关系。 解：用解析法解，选取?为广义坐标，则滑块A 的约束方程 ?tan l y A = ??δsec δ2l y A = （1） 由虚位称原理 0δδ)(21=+-A y F a F ? （2） 把式（1）代入（2）得 0δsec δ221=+-???l F a F 因 0δ≠?，于是有 0sec 221=+-?l F a F 故 ? 221cos a l F F =
虚功原理(虚位移原理)
§5、2虚功原理（虚位移原理） 一、虚位移和实位移 实位移：由于运动而实际发生的位移 dt v r d = 对应时间间隔dt ，同时满足运动微分方 程 虚位移：t 时刻，质点在约束允许情况下可能发生的无限小位置变更 虚位移是可能位移，纯几何概念（非运动学概念），以i r δ表示 （1）特点（本质）：想象中可能发生的位移，它只取决于质点在t 时刻的位置和约束 方程，并不对应一段时间间隔（)0=t δ，它是一个抽象的等时变分概念 （2）直观意义（求法）： 对于非稳定约束，在t 时刻将约束“冻结”，然后考察在约束允许情况下的 可能位移，即视约束方程中的t 不变（)0=t δ，对约束方程进行等时变分运算（同微分运算，注意)0=t δ即可得虚位移； 对于稳定约束，由于约束方程中不显含t ，“冻结”已无实际意义，等时变 分运算与微分运算完全相同。 Example 质点被限制在以等速u 匀速上升的水平面内运动， 约束方程为 0=-ut z 0=z δ udt dz = （3）实位移是唯一的，虚位移可若干个； 对稳定约束，实位移为若干个虚位移中的某一个； 对非稳定约束，实位移与虚位移不一致。见273p 图5.2－1 二、理想约束 实功－作用在质点上的力（含约束力i R ）在实位移r d 中所作的功 dW 虚功－作用在质点上的力（含约束力i R ）在任意虚位移r δ中所作的功 W δ 其中 i R 为第i 个质点受的约束力 若 ∑ =?i i i r R 0 δ 体系所受诸约束反力在任意虚位移中所作元功之和等于零?理想约束 例如 光滑曲面、曲线约束，刚性杆，不可伸长的绳索等 刚性杆约束 022112 111='+'-=?+?r f r f r f r f δδδδ （21f f -= 21f f =； 2 1r r '='δδ 刚性杆约束所允许） 由于引入了虚位移，巧妙的消取了约束反力（优点 亦是缺点） 三、虚功原理（分析力学重要原理之一）（受约束力学体系的力学原理之一） 体系受k 个几何约束，在主动力和约束力的共同作用下处于平衡状态，则其中每个质点均处 于平衡状态，即 0=+i i R F （2,1=i ……)n 0=?+?i i i i r R r F δδ? 对系统求和?