高等数学期末复习---知识点归纳
微分方程
知识点：微分方程的相关概念（常微分方程、微分方程的解、通解、特解、通解所含任意常数的个数、）
1、下列方程中（ ）是常微分方程。
A. 2
2
2
a y x =+ B. 0)(arctan =+x e
dx d y C. 02222=??+??y
u
x u D. 22y x y +='' 2、下列方程中（ ）是二阶微分方程。
A.022=+'+''x y x y
B.3223)(x y x y =+'
C.03=+''+'''y y y
D.x y y sin 2=-'
3、微分方程()()2
5
0xyy x y y y ''''+-=的阶数是 。
4、微分方程20y y x '''+-=的通解所含任意常数的个数为 。
5、微分方程0)67(=+-dy dx y x 的阶数是__________。
知识点：一阶微分方程（通解、特解） 求下列微分方程的通解 6、22
cos y y x x x
'-
= 7、ln 0xy y y '-=
求一阶微分方程的特解（先求通解，再定常数）
8、02,|1x y xy y ='==
9、???=='=-00
2x y
x y e y
10、
y
x
dx dy -=，1=x 时，3=y
知识点：二阶常系数齐次线性微分方程（通解、特解）
11、若方程0=+'+''qy y p y （q p ,均为实常数）有特解x x e y e y -==21,，则p 等于__________，q 等于 __________。
12、若某个二阶常系数线性齐次微分方程的通解为x x e C e C y -+=21，其中21,C C 为独立的任意常数，则该方程为 __________。
13、若方程0=+'+''qy y p y （q p ,均为实常数）有特解x x e y e y -==231,，则p 等
于__________，q 等于 __________。 14、求微分方程的解 20y y y '''+-= 15、求微分方程的解40y y ''+=
16、求微分方程的解20y y y '''++=
知识点：导数的几何意义
17、设有一曲线，在其上任一点(,)x y 处的切线斜率等于该点横坐标的平方。求该曲线的方程。
空间解析几何
知识点：空间解析中的相关概念（点的位置、向量求解、向量的模、两向量的夹角、向量之间的关系）
1、设1(3,2,1)M -，2(1,0,3)M ，则12,M M 连线中点M 的坐标为 。
2、已知102A （，，）,4510B （，，），AB =
。
3、设(3,2,2)a =-
，则与a 平行的单位向量的坐标为 。 4、向量23a i j k =-+
的模为 。
5、设(1,3,2),(3,3,1)A B -，则A,B 两点间的距离为 。
6、球心为(1,1,2)-，半径为4的球面方程为 。
7、以(1,2,3),(3,1,5),(2,4,3)A B C 为顶点的三角形 直角三角形。（填 “是”或“不是”）
8、已知点153B --（，，），则点153B --（，，）在第________卦限。
知识点：数量积、向量积（两向量平行、垂直关系）
9、设(1,1,2)a = ，(1,1,1)b =-- ，则a
b 。（用“⊥”或“//”填空）
10、设3a i k =- ，232b i j k =-+
，则a b ? = 。
11、设(1,2,3)a =
，(1,2,3)b =--- ，则a b 。（用“⊥”或“//”填空）
12、设向量(1,2,)a k =-
，(2,4,1)b =- ,若b a ⊥，则k = 。
13、设3a i k =- ，232b i j k =-+ ，则a b ?
= 。 知识点：空间曲面及其方程
14、在空间里22
2
194
y z x ++=是（ ） A 、椭球面 B 、单叶双曲面 C 、双叶双曲面 D 、锥面 15、在空间里2221x y z -+=是（ ）
A 、椭球面
B 、单叶双曲面
C 、双叶双曲面
D 、锥面
知识点：空间平面及其方程（点法式、平面之间的关系） 16、平面340x y z -+=的法向量=→
n 。
17、过点(2,1,1)M --且与平面340x y z -+=平行的平面方程为 。 18、过点(2,1,3)且过Ox 轴的平面方程为 。 19、求过点(1,2,4)-且与平面2340x y z -+-=垂直的直线方程。 20、求过点(2,3,0)-且与直线
3
2111z
y x =--=+垂直的平面方程。 21、已知(1,2,4)A -、(2,3,0)B -，求AB 的中垂面方程
22、两平行平面0362145=++-z y x 与092145=-+-z y x 间的距离为( ). (A) 45 (B ) 27 (C) 3 (D)
5
9
知识点：空间直线及其方程（点向式、参数式、直线之间的关系、线面关系）
23、直线1232
:321
x y z L -++==--的方向向量为=→
s 。 24、已知点(1,2,3)M --，直线1123
:312
x y z L -+-==--，则过点M 且与1L 平行的直线方程为 。
25、已知点(2,0,3)M -，平面:3250x y z π--+=，则过点M 且与平面π垂直的直线方程为 。
26、过点(1,2,1)M --，且与直线2341x t y t z t =-+??
=-??=-?
垂直的平面方程是_______________．
多元函数微分学
知识点：多元函数的相关概念（定义域、函数值、极限）
1、22
()2x y f x y xy -=，，求(1,2)f -= 。
2
、z =
，求定义域 3、202
1cos()
lim
x y xy x y →→-= 4
、00
x y →→
5、02
sin()
lim
x y xy x →→
知识点：偏导数与全微分（一阶导、二阶导、全微分）
6、二元函数),(y x f 在点),(00y x 处两个偏导数),(00'y x f x ,),(00'
y x f y 存在是),(y x f 在该点连续的( ).
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
7、设)cos(y x e z xy
++=，求x z ??，y x z ???2，
2(0,)
z x y
π???
8、设)1,0(≠>=x x x z y
，求2z
x y
???
9、设(
)2
2ln y
x z +=，证明2=??+??y
z y x z x 。
10、设y
x e
z 11+=，证明y
z y x z x
??=??22
。 11、设3
3
y x
e z +=，则求dz
12、设()
33cos y x z +=，则dz 13、设
u =
，则求(3,4,5)
du
知识点：复合函数求导与隐函数求导
14、设2
ln ,
,32x z u v u v x y y ==
=-，求,z z x
y
???? 15、设2,sin x y z e y x -==，求
dz
dx
。 16、设函数(,)z f x y =由方程33330x y z axyz ++-=确定，求
,z z x y
????。 17、设函数),(y x z z =由方程z e xy z -=所确定的隐函数，求
y
z ?? 18、设函数()y f x =由方程ln ln 0xy y x +-=确定，求dy dx
知识点:极值与最值问题
19、求224()z x y x y =---的极值，并指出是极大值还是极小值 20、求222z x xy y x y =++--的极值，并指出是极大值还是极小值
21、求内接于半径为a 的球且有最大体积的长方体。 22、要造一个容积等于定数k 的长方体无盖水池, 应如何选择水池的尺寸方可使表面积最小. 23、要造一个容积等于定数k 的长方体水池, 应如何选择水池的尺寸方可使表面积最小.
多元函数积分学
知识点：二重积分的几何意义
1、 已知{}
(,)01,01D x y x y =≤≤≤≤，则D
d σ??=( ).
（A ）21 （B ）2 （C ）2
3
（D ）1 2、
σd D
??
= ，中D 为x 轴，x y =，及2+-=x y 围成区域。
3、σd y x D
??
--221= ，其中D 由122=+y x 围成。
4、
σd D
??
= ，其中D 由222=+y x 围成。
知识点：改变积分顺序
5、1
(,)x
dx f x y dy =?
? 。
6
、2
10
(,)y dy f x y dx =? 。
7、
22
20
(,)y
y
dy f x y dx =?
? 。
知识点：二重积分的计算
8、计算??-D
d y x σ）（2，其中D 是由x
y y x 1
21
===与，围成的闭区域. 9、计算
dxdy y
x D
??
22
, 其中D 是1,,2===xy x y x 围成的闭区域. 10、计算
??
D
xyd σ，其中D 是由抛物线x y =2
及直线2-=x y 所围成的闭区域 无穷级数
知识点：无穷级数的相关概念（敛散性、等比级数、p-级数） 1、判断级数1
1
(21)(21)n n n ∞
=-+∑
的敛散性
2
、判断级数1
n ∞
=
3、判断级数1
9(
)10
n
n ∞
=∑的敛散性 4、
级数
1
n ∞
= 知识点：数项级数敛散性的判别 5、判定下列级数的敛散性
1sin 2n n ∞
=π∑
、11n n ∞=∑、111
sin 1n n n ∞
=+∑、213n n n ∞=∑ 6、判定下列交错级数的敛散性，若收敛指明是条件收敛还是绝对收敛
21(1)ln n
n n ∞
=-∑
、11(1)n n ∞-=-∑、11(1)3n n n n ∞
-=-∑
7、0lim =∞
→n n u 是级数
∑∞
=1
n n
u
收敛的__________条件。
8、下列级数中发散的是（ ）.
(A) ∑
∞
=-1
1
)
1(n n
n ； (B) ∑∞
=1
31
n n ；(C) 21
1
n n ∞
=∑； (D) ∑
∞
=+-1
1
)1(n n
n
n . 9
、级数
1
1(1)n
n n ∞
=?
-??
∑的敛散性为 . 知识点：幂级数的收敛区间和和函数 10、求下列幂级数的收敛区间
2
021
n n n x n ∞
=+∑、21
0121n n x n ∞+=+∑、11(1)n n x n ∞
=+∑ 11、求下列幂级数的和函数
∑∞
=--1121
2n n n x 、0(1)n
n n x ∞
=+∑
高等数学期末复习归纳大全
高等数学期末复习归纳 大全 文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208]
《高等数学复习》教程 第一讲函数、连续与极限一、理论要求 1.函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期） 几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数） 2.极限极限存在性与左右极限之间的关系 夹逼定理和单调有界定理 会用等价无穷小和罗必达法则求极限 3.连续函数连续（左、右连续）与间断 理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介 值） 二、题型与解法 A.极限的求法（1）用定义求 （2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子） （3）变量替换法 （4）两个重要极限法 （5）用夹逼定理和单调有界定理求 （6）等价无穷小量替换法 （7）洛必达法则与Taylor级数法 （8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）
1.61 2arctan lim )21ln(arctan lim 3030-=-=+->->-x x x x x x x x （等价小量与洛必达） 2.已知2030) (6lim 0)(6sin lim x x f x x xf x x x +=+>->-，求 解： 2 0303' )(6cos 6lim )(6sin lim x xy x f x x x xf x x x ++=+>->- 36 272 2''lim 2'lim )(6lim 0020====+>->->-y x y x x f x x x （洛必达） 3.1 21)12(lim ->-+x x x x x （重要极限） 4.已知a 、b 为正常数，x x x x b a 3 0)2(lim +>-求 解：令] 2ln )[ln(3 ln ,)2(3 -+=+=x x x x x b a x t b a t 2 /300)()ln(23)ln ln (3lim ln lim ab t ab b b a a b a t x x x x x x =∴=++=>->-（变量 替换） 5.) 1ln(1 2 )(cos lim x x x +>- 解：令 )ln(cos )1ln(1 ln ,)(cos 2 )1ln(1 2 x x t x t x += =+ 2 /10021 2tan lim ln lim ->->-=∴-=-=e t x x t x x （变量替换） 6.设)('x f 连续，0)0(',0)0(≠=f f ，求 1 )()(lim 2 2 =? ? >-x x x dt t f x dt t f （洛必达与微积分性质） 7.已知?? ?=≠=-0,0,)ln(cos )(2x a x x x x f 在x=0连续，求a 解：令2 /1/)ln(cos lim 20 -==>-x x a x （连续性的概 念） 三、补充习题（作业） 1. 3 cos 11lim -=---->-x x x e x x （洛必达）
同济六版高等数学(下)知识点整理
第八章 1、向量在轴上的投影： 性质：?cos )(a a u =（即Prj u ?cos a a =），其中?为向量a 与u 轴的夹角； u u u b a b a )()()( +=+（即Prj u =+)(b a Prj u a + Prj u b ）； u u a a )()( λλ=（即Prj u λλ=)(a Prj u a ）. 2、两个向量的向量积：设k a j a i a a z y x ++=，k b j b i b b z y x ++=，则 =?b a x x b a i y y b a j z z b a k =1 1) 1(+-y y b a z z b a i +21)1(+-x x b a z z b a j +3 1) 1(+- x x b a y y b a k =k b a b a j b a b a i b a b a x y y x z x x z y z z y )()()(-+-+- 注：a b b a ?-=? 3、二次曲面 （1） 椭圆锥面：222 22z b y a x =+； （2） 椭圆抛物面：z b y a x =+22 22； （旋转抛物面：z a y x =+2 22（把把xOz 面上的抛物线z a x =22 绕z 轴旋转）） （3） 椭球面：1222222=++c z b y a x ； （旋转椭球面：122 2 22=++c z a y x （把xOz 面上的椭圆122 22=+c z a x 绕z 轴旋转）） （4） 单叶双曲面：1222222=-+c z b y a x ； （旋转单叶双曲面：122 222=-+c z a y x （把 xOz 面上的双曲线122 22=-c z a x 绕z 轴旋转））
高等数学知识点总结 (1)
高等数学（下）知识点 主要公式总结 第八章 空间解析几何与向量代数 1、 二次曲面 1） 椭圆锥面：2 2 222z b y a x =+ 2） 椭球面：122 222 2=++c z b y a x 旋转椭球面：1222222=++c z a y a x 3） 单叶双曲面：122 222 2=-+c z b y a x 双叶双曲面：1222222=--c z b y a x 4） 椭圆抛物面：z b y a x =+2222 双曲抛物面（马鞍面）：z b y a x =-22 22 5） 椭圆柱面：1222 2=+b y a x 双曲柱面：122 22=-b y a x 6） 抛物柱面： ay x =2 （二） 平面及其方程 1、 点法式方程： 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 法向量：),,(C B A n =ρ ，过点),,(000z y x 2、 一般式方程： 0=+++D Cz By Ax 截距式方程： 1=++c z b y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111C B A n =ρ，),,(2222C B A n =ρ， ?∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A ；?∏∏21// 2 1 2121C C B B A A == 4、 点 ),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离： （三） 空间直线及其方程 1、 一般式方程：?????=+++=+++0 022221111D z C y B x A D z C y B x A 2、 对称式（点向式）方程： p z z n y y m x x 0 00-=-=-
七年级上册道法期末总复习知识点归纳
部编《道德与法治》七年级上册知识点 第一单元成长的节拍 第一课中学时代 1、中学时代有哪些重要性？ ①中学时代是人生发展的一个新阶段，它为我们一生奠定重要基础。 ②中学时代见证着一个人从少年到青年的生命进阶。 2、初中给了我们哪些成长的礼物？ ①中学生活，对我们来说意味着新的机会和可能，也意味着新的目标和挑战。 ②中学生活为我们提供了发展自我的机会。 ③进入中学，新的目标和要求激发着我们的潜能，激励着我们不断实现自我超越。 ④在新的环境中，我们有机会改变不够完美的形象，重新塑造一个“我”。（塑造新形象） 3、面对初中生活，我们该怎样做？ “千里之行，始于足下”。面对各种可能与挑战，我们要珍视当下，把握机遇，从点 滴做起，为美好明天付出不懈的努力。 4、少年为什么需要梦想？或（少年的梦想对一个人的成长有什么作用？）P9-10 ①编织人生梦想，是青少年时期的重要生命主题。梦想是我们对未来美好生活的愿望， 它能不断激发我们生命的热情和激情，让生活更有色彩。有梦想，就有希望。 ②少年的梦想，是人类天真无邪、美丽可爱的愿望。梦想能促进人类不断地进步和发展。 ③少年的梦想，与个人的人生目标紧密相连。明确的人生能够帮助我们找到前进的方向。 ④少年的梦想要与时代脉搏紧密相连，与中国梦密不可分。 ▲中国梦：实现中华民族伟大复兴，基本内涵是实现民族振兴、国家富强、人民幸福。 5、如何为实现梦想而努力？P12-13（三点：立志、坚持、方法） 少年有梦，不应止于心动，而应付诸行动。努力，是梦想与现实之间的桥梁。 ①努力，需要立志。青少年要从小学习立志，早立志，立大志，立长志，并且把自己最重要的人生志向同祖国和人民联系在一起。 ②努力，需要坚持。要将努力落实在每一天的具体行动中，只要坚持努力，即使过程再艰难，也有机会离梦想更进一步。③努力，需要方法。方法对了就会起到事半功倍的效果。（合理规划、劳逸结合、坚持进步、学思并进、团队合作） 第二课学习新天地 1、如何正确认识学习？ ①中学阶段，学习是我们的重要任务。初中阶段的学习，包括知识的获取，还包括各种能力的培养。 ②学习不仅仅局限在学校。学习不仅表现为接受和掌握，而且表现为探究、发现、体验和感悟。 ③学习需要自觉、主动的态度。 ④学习伴随着我们的成长。 ⑤学习没有终点。我们终生都在学习，终生都需要学习，只有善于抓住和利用各种机会去学习，才能适应不断发展的社会。 2、我们为什么要学习？（学习的重要性？或者学习的意义？）(p18-19) ①学习，不仅让我们能够生存，而且可以让我们有更充实的生活。学习，打开了生命的视窗，让我们面前的世界变得更广阔、更精彩；学习，拓展了新的通道，让我们体验不同的生活方式；学习，改变了思维方式和行为，提升我们的能力和智慧；学习，带来了更多的选择，让我们变得更加独立和自由；等等。 ②学习点亮我们内心不熄的明灯，激发前进的持续动力。 ③在学习中，我们分享生命经验，获得成长，同时也增益他人，服务社会，为幸福生活奠基。(个人→他人→社会) 3、学习是苦乐交织的 ①学习中有快乐。对某方面的知识有强烈兴趣时，自己解决某个问题时，学习中找到志趣相投的同伴时，发现自己的潜能时……我们都可以体味到学习带来的快乐。 ②学习中也有辛苦。学习过程中需要集中注意力、耗费精力，遇到困难和阻挠时需要调节不良情绪等，这些都需要我们凭借坚强的意志作出努力。 ③我们经历了学习的辛苦，收获学习的成果时，那种发自内心的愉悦让我们体验到学习的美好，它是学习过程带给我们的美妙享受。 4、如何学会学习？(p22-23) ①学会学习，需要发现并保持对学习的兴趣。 ②学会学习，需要掌握科学的学习方法。 ③学会学习，还意味着要善于运用不同的学习方式。例如合作学习、自主学习。
高数一总复习
第一章函数及其图形 例1：（）. A. {x | x>3} B. {x | x<-2} C. {x |-2< x ≤1} D. {x | x≤1} 注意，单选题的解答，有其技巧和方法，可参考本课件“应试指南”中的文章《高等数学（一）单项选择题的解题策略与技巧》，这里为说明解题相关的知识点，都采用直接法。 例2：函数的定义域为（）. 解：由于对数函数lnx的定义域为x>0，同时由分母不能为零知lnx≠0，即x≠1。由根式内要非负可知即要有x>0、x≠1与同时成立，从而其定义域为，即应选C。 例3：下列各组函数中，表示相同函数的是（） 解：A中的两个函数是不同的，因为两函数的对应关系不同，当|x|>1时，两函数取得不同的值。 B中的函数是相同的。因为对一切实数x都成立，故应选B。 C中的两个函数是不同的。因为的定义域为x≠-1，而y=x的定义域为（-∞，+∞）。 D中的两个函数也是不同的，因为它们的定义域依次为（-∞，0）∪（0，+∞）和（0，+∞）。
例4：设 解：在令t=cosx-1，得 又因为-1≤cosx≤1，所以有-2≤cosx-1≤0，即-2≤t≤0，从而有 。例5： f(2)没有定义。 注意，求分段函数的函数值，要把自变量代到相应区间的表达式中。 例6：函数是（）。 A．偶函数 B．有界函数 C．单调函数 D．周期函数 解：由于，可知函数为一个奇函数而不是偶函数，即（A） 不正确。由函数在x=0，1，2点处的值分别为0，1，4/5，可知函数也不是单调函数；该函数显然也不是一个周期函数，因此，只能考虑该函数为有界函数。 事实上，对任意的x，由，可得，从而有。可见，对于任意的x，有 。 因此，所给函数是有界的，即应选择B。 例7：若函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)是（）。 A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数Ｄ．奇偶性不确定
高数知识点总结
高数重点知识总结 1、基本初等函数：反函数(y=arctanx)，对数函数(y=lnx)，幂函数(y=x)，指数函数(x a y =)，三角函数(y=sinx)，常数函数(y=c) 2、分段函数不是初等函数。 3、无穷小：高阶+低阶=低阶 例如：1lim lim 020==+→→x x x x x x x 4、两个重要极限：()e x e x x x x x x x x =?? ? ??+=+=∞ →→→11lim 1lim )2(1 sin lim )1(1 0 经验公式：当∞→→→)(,0)(,0x g x f x x ，[] ) ()(lim ) (0 )(1lim x g x f x g x x x x e x f →=+→ 例如：()33lim 10 031lim -? ? ? ? ?-→==-→e e x x x x x x 5、可导必定连续，连续未必可导。例如：||x y =连续但不可导。 6、导数的定义：()00 00 ') ()(lim ) (') ()(lim x f x x x f x f x f x x f x x f x x x =--=?-?+→→? 7、复合函数求导： [][])(')(')(x g x g f dx x g df ?= 例如：x x x x x x x y x x y ++=++ = +=2412221 1', 8、隐函数求导：(1)直接求导法；(2)方程两边同时微分，再求出dy/dx 例如：y x dx dy ydy xdx y x y yy x y x - =?+- =?=+=+22,),2('0'22,),1(1 22左右两边同时微分法左右两边同时求导解：法 9、由参数方程所确定的函数求导：若?? ?==) ()(t h x t g y ，则)(')('//t h t g dt dx dt dy dx dy ==，其二阶导数：()[] ) (')('/)('/)/(/22 t h dt t h t g d dt dx dt dx dy d dx dx dy d dx y d === 10、微分的近似计算：)(')()(000x f x x f x x f ??=-?+ 例如：计算 ?31sin
期末复习知识要点归纳若干问
一、力学 1质点的速度, 加速度与运动方程之间的关系? 2 质点作曲线运动, 速率(即速度的大小) 与路程的关系? 切向加速度的大小与速率的关系? 3 质点绕固定点转动时, 角动量守恒的条件? 4 质点的动能定理? 质点组(或质点系统)机械能守恒的条件? 万有引力势能、重力势能、弹力势能? 5动量定理? 质点组动量守恒的条件? 6狭义相对论的基本原理? 狭义相对论中动能与总能以及静能之间的关系? 狭义相对论中质速关系？尺缩效应（长度收缩效应）？ 二、振动和波动 1 旋转矢量法? 旋转矢量与简谐振动特征量之间的关系? 如何用它求简谐振动的初位相? 2 同方向同频率的两个简谐振动的合成, 如何计算合振幅? 3 如何画振动曲线? 简谐振子的能量与振幅之间的关系? 4 如何从振动曲线求振动方程? 如何由振动的特征量求出振动方程？ 5 如何画t=0s时刻的波形图(曲线)? 6 如何从t=0s时刻的波形图求波动方程(即波函数)? 7 波函数的物理意义? 如何由波的特征量求出波的表达式？ 8 如何从波函数(即波动方程或波的表达式) 求出波的特征量? 三、气体动理论和热力学 1 气体分子的平均平动动能？能均分定理？单原子分子、双原子分子和多原子分子理想气体的内能？ 2 理想气体的状态方程? 据此，理想气体的内能还可以由压强和体积表示成？ 3 热力学第一定律？其中物理量的正号和负号的意义？ 4 如何求等压、等体、等温、绝热各个过程中功、热量？以及内能的变化？ 5 如何在P-V坐标系表示循环过程？循环过程功的计算？正循环和逆循环？卡诺循环？ 6 如何计算正循环过程的效率？卡诺循环的效率？
同济六版高等数学(下)知识点整理
第八章 1、 向量在轴上的投影： 性质：?cos )(a a u =（即Prj u ?cos a a =），其中?为向量a 与u 轴的夹角； u u u b a b a )()()( +=+（即Prj u =+)(b a Prj u a + Prj u b ）； u u a a )()( λλ=（即Prj u λλ=)(a Prj u a ）. 2、 两个向量的向量积：设k a j a i a a z y x ++=，k b j b i b b z y x ++=，则 =?b a x x b a i y y b a j z z b a k =1 1) 1(+-y y b a z z b a i +21)1(+-x x b a z z b a j +3 1)1(+- x x b a y y b a k ) =k b a b a j b a b a i b a b a x y y x z x x z y z z y )()()(-+-+- 注：a b b a ?-=? 3、 二次曲面 （1） 椭圆锥面：222 22z b y a x =+； （2） 椭圆抛物面：z b y a x =+2222； （旋转抛物面： z a y x =+2 2 2（把把xOz 面上的抛物线z a x =22 绕z 轴旋转）） （3） 椭球面：1222222=++c z b y a x ； （旋转椭球面： 122 222=++c z a y x （把xOz 面上的椭圆122 22=+c z a x 绕z 轴旋转）） （4） 单叶双曲面：1222222=-+c z b y a x ； （旋转单叶双曲面：122 222=-+c z a y x （把 xOz 面上的双曲线122 22=-c z a x 绕z 轴旋转） ）
大学全册高等数学知识点(全)
大学高等数学知识点整理 公式，用法合集 极限与连续 一. 数列函数: 1. 类型: (1)数列: *()n a f n =; *1()n n a f a += (2)初等函数: (3)分段函数: *0102()(),()x x f x F x x x f x ≤?=?>?; *0 ()(), x x f x F x x x a ≠?=?=?;* (4)复合(含f )函数: (),()y f u u x ?== (5)隐式(方程): (,)0F x y = (6)参式(数一,二): () ()x x t y y t =??=? (7)变限积分函数: ()(,)x a F x f x t dt = ? (8)级数和函数(数一,三): 0 (),n n n S x a x x ∞ ==∈Ω∑ 2. 特征(几何): (1)单调性与有界性(判别); (()f x 单调000,()(()())x x x f x f x ??--定号) (2)奇偶性与周期性(应用). 3. 反函数与直接函数: 1 1()()()y f x x f y y f x --=?=?= 二. 极限性质: 1. 类型: *lim n n a →∞; *lim ()x f x →∞ (含x →±∞); *0 lim ()x x f x →(含0x x ± →) 2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量): 3. 未定型: 000,,1,,0,0,0∞ ∞∞-∞?∞∞∞ 4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性 三. 常用结论: 11n n →, 1(0)1n a a >→, 1()max(,,)n n n n a b c a b c ++→, ()00! n a a n >→
三年级数学上册期末复习知识点归纳
三年级数学上册期末复习 知识点归纳 时分秒 1、钟面上有3根针，它们是（时针）、（分针）、（秒针），其中走得最快的是（秒针），走得最慢的是（时针）。 2、钟面上有(12)个数字，(12)个大格，(60)个小格；每两个数间是(1)个大格，也就是(5)个小格。 3、时针走1大格是(1)小时；分针走1大格是(5)分钟，走1小格是( 1)分钟；秒针走1大格是(5)秒钟，走1小格是(1)秒钟。 4、时针走1大格，分针正好走(1)圈，分针走1圈是(60)分，也就是(1)小时。时针走1圈，分针要走(12)圈。 5、分针走1小格，秒针正好走(1)圈，秒针走1圈是(60)秒，也就是(1)分钟。 6、时针从一个数走到下一个数是(1小时)。分针从一个数走到下一个数是(5分钟)。秒针从一个数走到下一个数是(5秒钟)。 7、钟面上时针和分针正好成直角的时间有：（3点整）、（9点整）。 8、公式。（每两个相邻的时间单位之间的进率是60） 1时=60分 1分=60秒半时=30分 60分=1时 60秒=1分 30分=半时 万以内的加法和减法 1、认识整千数（记忆： 10个一千是一万） 2、读数和写数（读数时写汉字写数时写阿拉伯数字）
①一个数的末尾不管有一个0或几个0，这个0都不读。 ②一个数的中间有一个0或连续的两个0，都只读一个0。 3、数的大小比较： ①位数不同的数比较大小，位数多的数大。 ②位数相同的数比较大小，先比较这两个数的最高位上的数，如果最高位上的数相同，就比较下一位，以此类推。 4、求一个数的近似数： 记忆：看最位的后面一位，如果是0-4则用四舍法，如果是5-9就用五入法。最大的三位数是位999，最小的三位数是100，最大的四位数是9999，最小的四位数是1000。最大的三位数比最小的四位数小1。 5、被减数是三位数的连续退位减法的运算步骤： ①列竖式时相同数位一定要对齐； ②减法时，哪一位上的数不够减，从前一位退1；如果前一位是0，则再从前一位退1。 6、在做题时，我们要注意中间的0，因为是连续退位的，所以从百位退1到十位当10后，还要从十位退1当10，借给个位，那么十位只剩下9，而不是10。（两个三位数相加的和:可能是三位数，也有可能是四位数。） 7、公式和＝加数＋另一个加数加数＝和－另一个加数 减数＝被减数－差被减数＝减数＋差差＝被减数－减数
高等数学知识点归纳
第一讲: 极限与连续 一. 数列函数: 1. 类型: (1)数列: *()n a f n =; *1()n n a f a += (2)初等函数: (3)分段函数: *010 2()(), ()x x f x F x x x f x ≤?=? >?; *0 0()(),x x f x F x x x a ≠?=?=?;* (4)复合(含f )函数: (),()y f u u x ?== (5)隐式(方程): (,)0F x y = (6)参式(数一,二): () () x x t y y t =?? =? (7)变限积分函数: ()(,)x a F x f x t dt = ? (8)级数和函数(数一,三): 0 (),n n n S x a x x ∞ ==∈Ω∑ 2. 特征(几何): (1)单调性与有界性(判别); (()f x 单调000,()(()())x x x f x f x ??--定号) (2)奇偶性与周期性(应用). 3. 反函数与直接函数: 1 1()()()y f x x f y y f x --=?=?= 二. 极限性质: 1. 类型: *lim n n a →∞ ; *lim ()x f x →∞ (含x →±∞); *0 lim ()x x f x →(含0x x ±→) 2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量): 3. 未定型: 000,,1,,0,0,0∞ ∞∞-∞?∞∞∞ 4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性 三. 常用结论: 11n n →, 1(0)1n a a >→, 1()m a x (,,)n n n n a b c a b c ++→, ()00! n a a n >→ 1(0)x x →→∞, 0lim 1x x x + →=, l i m 0n x x x e →+∞=, ln lim 0n x x x →+∞=,
数字电路期末总复习知识点归纳详细.doc
第1章数字逻辑概论 一、进位计数制 1.十进制与二进制数的转换 2.二进制数与十进制数的转换 3.二进制数与16进制数的转换 二、基本逻辑门电路 第2章逻辑代数 表示逻辑函数的方法，归纳起来有：真值表，函数表达式，卡诺图，逻辑图及波形图等几种。 一、逻辑代数的基本公式和常用公式 1）常量与变量的关系Ａ+0＝Ａ与Ａ= ?1Ａ Ａ+1＝1与0 ?A 0= A?＝0 A+＝1与A A 2）与普通代数相运算规律 a.交换律：Ａ+Ｂ＝Ｂ+Ａ ? A? = B A B b.结合律：（Ａ+Ｂ）+Ｃ＝Ａ+（Ｂ+Ｃ） A? B ? C ? = ? ) A ( ) B (C c.分配律：) ?＝+ A? (C B A? A C ?B A+ + +） B ? = A )() ) (C A B C 3）逻辑函数的特殊规律 a.同一律：Ａ+Ａ+Ａ b.摩根定律：B A+ B ? A = A B A? = +，B
b.关于否定的性质Ａ＝A 二、逻辑函数的基本规则 代入规则 在任何一个逻辑等式中，如果将等式两边同时出现某一变量Ａ的地方，都用一个函数Ｌ表示，则等式仍然成立，这个规则称为代入规则 例如：C ? ⊕ ? A⊕ + A C B B 可令Ｌ＝C B⊕ 则上式变成L ?＝C + A A? L = ⊕ ⊕ A⊕ B A L 三、逻辑函数的：——公式化简法 公式化简法就是利用逻辑函数的基本公式和常用公式化简逻辑函数，通常，我们将逻辑函数化简为最简的与—或表达式 1）合并项法： 利用Ａ+1 A= ? ?, 将二项合并为一项，合并时可消去一个变量 B = A = A或A +A B 例如：Ｌ＝B B C + ( A +) = A= A B C C A C B 2）吸收法 利用公式A A?可以是任何一个复杂的逻辑? +，消去多余的积项，根据代入规则B A B A= 式 例如化简函数Ｌ＝E AB+ + A D B 解：先用摩根定理展开：AB＝B A+再用吸收法 Ｌ＝E AB+ A + B D ＝E + + B A+ B D A ＝) A A+ + D + B ( ) (E B ＝) A A+ D + + 1(E 1( ) B B
高等数学(下)知识点总结
主要公式总结 第八章空间解析几何与向量代数 1、 二次曲面 1） 椭圆锥面：2 2222z b y a x =+ 2） 椭球面：122 222 2=++c z b y a x 旋转椭球面：1222222=++c z a y a x 3） 单叶双曲面：122 222 2=-+c z b y a x 双叶双曲面：1222222=--c z b y a x 4） 椭圆抛物面：z b y a x =+2222双曲抛物面（马鞍面）：z b y a x =-22 22 5） 椭圆柱面：1222 2=+b y a x 双曲柱面：122 22=-b y a x 6） 抛物柱面： ay x =2 （二） 平面及其方程 1、 点法式方程： 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 法向量：),,(C B A n =ρ ，过点),,(000z y x 2、 一般式方程： 0=+++D Cz By Ax 截距式方程： 1=++c z b y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111 C B A n =ρ ，),,(2222C B A n =ρ ， 22 22 22 21 21 21 2 12121cos C B A C B A C C B B A A ++?++++= θ ?∏⊥∏210212121=++C C B B A A ；? ∏∏21//2 1 2121C C B B A A == 4、 点 ),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离： 2 2 2 000C B A D Cz By Ax d +++++= （三） 空间直线及其方程
专升本高等数学知识点汇总
专升本高等数学知识点汇总 常用知识点： 一、常见函数的定义域总结如下： （1） c bx ax y b kx y ++=+=2 一般形式的定义域：x ∈R （2）x k y = 分式形式的定义域：x ≠0 （3）x y = 根式的形式定义域：x ≥0 （4）x y a log = 对数形式的定义域：x ＞0 二、函数的性质 1、函数的单调性 当21x x <时，恒有)()(21x f x f <，)(x f 在21x x ，所在的区间上是增加的。 当21x x <时，恒有)()(21x f x f >，)(x f 在21x x ，所在的区间上是减少的。 2、 函数的奇偶性 定义：设函数)(x f y =的定义区间D 关于坐标原点对称（即若D x ∈，则有D x ∈-） (1) 偶函数)(x f ——D x ∈?，恒有)()(x f x f =-。 (2) 奇函数)(x f ——D x ∈?，恒有)()(x f x f -=-。 三、基本初等函数 1、常数函数：c y =，定义域是),(+∞-∞，图形是一条平行于x 轴的直线。 2、幂函数：u x y =， (u 是常数)。它的定义域随着u 的不同而不同。图形过原点。 3、指数函数
定义: x a x f y ==)(， (a 是常数且0>a ，1≠a ).图形过（0,1）点。 4、对数函数 定义: x x f y a log )(==， (a 是常数且0>a ，1≠a )。图形过（1,0）点。 5、三角函数 (1) 正弦函数: x y sin = π2=T ， ),()(+∞-∞=f D ， ]1,1[)(-=D f 。 (2) 余弦函数: x y cos =. π2=T ， ),()(+∞-∞=f D ， ]1,1[)(-=D f 。 (3) 正切函数: x y tan =. π=T ， },2 )12(,|{)(Z R ∈+≠∈=k k x x x f D π ， ),()(+∞-∞=D f . (4) 余切函数: x y cot =. π=T ， },,|{)(Z R ∈≠∈=k k x x x f D π， ),()(+∞-∞=D f . 5、反三角函数 (1) 反正弦函数: x y sin arc =，]1,1[)(-=f D ，]2 ,2[)(π π- =D f 。 (2) 反余弦函数: x y arccos =，]1,1[)(-=f D ，],0[)(π=D f 。 (3) 反正切函数: x y arctan =，),()(+∞-∞=f D ，)2 ,2()(π π- =D f 。 (4) 反余切函数: x y arccot =，),()(+∞-∞=f D ，),0()(π=D f 。 极限 一、求极限的方法 1、代入法 代入法主要是利用了“初等函数在某点的极限，等于该点的函数值。”因此遇到大部分简单题目的时候，可以直接代入进行极限的求解。 2、传统求极限的方法 （1）利用极限的四则运算法则求极限。 （2）利用等价无穷小量代换求极限。 （3）利用两个重要极限求极限。 （4）利用罗比达法则就极限。
最新四年级期末复习重点归纳
最新四年级期末复习重点归纳 ☆每一单元词语盘点都要读熟,会听写：17、35、58、77、95、116、138、156 页.日积月累都要会背诵、默写：19、38；60、61、79；98、119；141、158 页. 1、第一、二单元要求背诵的内容：第1课3、4段；第3课7、8、1 2、13段； 第5课全文；第6课全文；第7课7、8段； 默写第1课3、4段；第5课. 2、第三、四单元要求背诵的内容：9、10、11、12课每一课的道理；13课全 文；15课全文；16课第9段；默写13课2、3、4段；15课1、2段. 3、第五、六单元要求背诵的内容：17、18、20、22课全文；21课第3、5段； 默写17课第1、4段；18课第3、4段；20课全文；21课第3、5段. 4、第七、八单元要求背诵默写的内容：25课第7、16、17段；26课第6、7、 8、9、10段；28课道理；29重点句；31课重点句. 第1单元课文（写景）体会：我感受到了祖国的自然风光是那么壮观,美丽. 1、被称为天下奇观的钱塘江大潮.我喜欢钱塘江大潮的壮观景象. 2、世界最深最长的河流峡谷——雅鲁藏布大峡谷. 3、鸟类众多的鸟的天堂. 4、绚丽多彩的火烧云. 1、《观潮》：本文记叙了一次观潮的盛况,写的是作者耳闻目睹的潮来前、潮来 时、潮头过后（这也是课文的顺序）的景象,描写了大潮由远而近、奔腾西 去的全过程,描绘出江潮由风平浪静到奔腾咆哮到恢复平静的动态变化,写 出了大潮的奇特、雄伟、壮观. 背诵3、4段. 易错字：蒙、薄、昂、鼎 词语积累： 写声音：人声鼎沸、风号浪吼 写形态：风平浪静、水天相接、浩浩荡荡、漫天卷地 重点句子理解： （1）钱塘江大潮,自古以来被称为“天下奇观.” （这句话突出了钱塘江大潮的“古”和“奇”,钱塘江大潮自古就有,而且是奇
成考高数二知识点总结
成考高数二知识点总结 成考高数二知识点总结 成考高数二知识点总结 1.函数、极限与连续：主要考查极限的计算或已知极限确定原式中的常数;讨论函数连续性和判断间断点类型;无穷小阶的比较;讨论连续函数在给定区间上零点的个数或确定方程在给定区间上有无实根。 2.一元函数微分学：主要考查导数与微分的定义;各种函数导数与微分的计算;利用洛比达法则求不定式极限;函数极值;方程的的个数;证明函数不等式;与中值定理相关的证明;最大值、最小值在物理、经济等方面实际应用;用导数研究函数性态和描绘函数图形;求曲线渐近线。 3.一元函数积分学：主要考查不定积分、定积分及广义积分的计算;变上限积分的求导、极限等;积分中值定理和积分性质的证明;定积分的应用，如计算旋转面面积、旋转体体积、变力作功等。 4.多元函数微分学：主要考查偏导数存在、可微、连续的判断;多元函数和隐函数的一阶、二阶偏导数;多元函数极值或条件极值在与经济上的应用;二元连续函数在有界平面区域上的最大值和最小值。此外，数学一还要求会计算方向导数、梯度、曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线。 5.多元函数的积分学：包括二重积分在各种坐标下的计算，累次积分交换次序。数一还要求掌握三重积分，曲线积分和曲面积分以及相关的重要公式。 6.微分方程及差分方程：主要考查一阶微分方程的通解或特解;二阶线
性常系数齐次和非齐次方程的特解或通解;微分方程的建立与求解。差分方程的基本概念与一介常系数线形方程求解方法 由于微积分的知识是一个完整的体系，考试的题目往往带有很强的综合性，跨章节的题目很多，需要考生对整个学科有一个完整而系统的把握。最后凯程考研名师预祝大家都能取得好成绩。 凯程教育张老师整理了几个节约时间的准则：一是要早做决定，趁早备考;二是要有计划，按计划前进;三是要跟时间赛跑，争分夺秒。总之，考研是一场“时间战”，谁懂得抓紧时间，利用好时间，谁就是最后的胜利者。 1.制定详细周密的学习计划。 这里所说的计划，不仅仅包括总的复习计划，还应该包括月计划、周计划，甚至是日计划。努力做到这一点是十分困难的，但却是非常必要的。我们要把学习计划精确到每一天，这样才能利用好每一天的时间。当然，总复习计划是从备考的第一天就应该指定的;月计划可以在每一轮复习开始之前，制定未来三个月的学习计划。以此类推，具体到周计划就是要在每个月的月初安排一月四周的学习进程。那么，具体到每一天，可以在每周的星期一安排好周一到周五的学习内容，或者是在每一天晚上做好第二天的学习计划。并且，要在每一天睡觉之前检查一下是否完成当日的学习任务，时时刻刻督促自己按时完成计划。 方法一：规划进度。分别制定总计划、月计划、周计划、日计划学习时间表，并把它们 贴在最显眼的地方，时刻提醒自己按计划进行。 方法二：互相监督。和身边的同学一起安排计划复习，互相监督，共
高二数学期末复习知识点总结
高二数学期末复习知识点总结 一、直线与圆: 1、直线的倾斜角α的范围是[0,π） 在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l 重合时所转的最小正角记为α,α就叫做直线的倾斜角。当直线l 与x 轴重合或平行时,规定倾斜角为０; ２、斜率：已知直线的倾斜角为α,且α≠90°，则斜率k =ｔa ｎα. 过两点（x 1,ｙ1),(ｘ２,y ２）的直线的斜率ｋ=( y ２-ｙ1)/(ｘ２-ｘ1),另外切线的斜率用求导的方法。 ３、直线方程:⑴点斜式:直线过点00(,)x y 斜率为k ，则直线方程为00()y y k x x -=-， ⑵斜截式：直线在y 轴上的截距为b 和斜率k ，则直线方程为y kx b =+ 4、111:l y k x b =+,222:l y k x b =+,①1l ∥2l 21k k =?,21b b ≠; ②12121l l k k ⊥?=-． 直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=的位置关系： (1)平行? A 1/Ａ2=B 1/B 2 注意检验 (2)垂直? Ａ1A 2+Ｂ１B ２=０ ５、点00(,)P x y 到直线 0Ax By C ++=的距离公式d = 两条平行线10Ax By C ++=与20Ax By C ++=的距离是d = 6、圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=.⑵圆的一般方程:220x y Dx Ey F ++++= 注意能将标准方程化为一般方程 7、过圆外一点作圆的切线,一定有两条,如果只求出了一条,那么另外一条就是与x 轴垂直的直线. ８、直线与圆的位置关系,通常转化为圆心距与半径的关系,或者利用垂径定理，构造直角三角形解决弦长问题.①d r >?相离 ②d r =?相切 ③d r b>０）注意还有一个;②定义: ｜ＰF 1|＋｜ＰF 2|=2a>2c ； ③ e=22a b 1a c -= ④长轴长为2ａ，短轴长为2b,焦距为2c ； ａ２=b ２+c 2 ; 2、双曲线：①方程1b y a x 22 22=-(a,ｂ>０) 注意还有一个;②定义: |｜ＰＦ1｜-|PF 2||＝2a ＜2c; ③e=22a b 1a c +=；④实轴长为２a ,虚轴长为2b,焦距为2c; 渐进线0b y a x 2222=-或x a b y ±= ｃ2＝a ２+b 2 3、抛物线 :①方程y 2=2px 注意还有三个，能区别开口方向； ②定义:|PF|=d 焦点Ｆ(2 p ,0),准线x=－2p ;③焦半径2 p x AF A +=； 焦点弦AB ＝x 1+x ２+p ； ４、直线被圆锥曲线截得的弦长公式: 5、注意解析几何与向量结合问题:1、11(,)a x y =，22(,)b x y =. (1)1221//0a b x y x y ? -=； (２)121200a b a b x x y y ⊥??=?+=． 2、数量积的定义:已知两个非零向量a 和ｂ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |c ｏｓθ叫做ａ与ｂ的数量积,记作a ·b ，即1212||||cos a b a b x x y y θ ?==+ 3、模的计算:|a |=2a . 算模可以先算向量的平方 4、向量的运算过程中完全平方公式等照样适用：如() a b c a c b c +?=?+?
《高等数学》-各章知识点总结——第1章
第1章 函数与极限总结 1、极限的概念 (１）数列极限的定义 给定数列{x n }，若存在常数a ，对于任意给定的正数ε (不论它多么小)， 总存在正整数N ， 使得对于n >N 时的一切n , 恒有 |x ｎ-ａ ｜<ε 则称a 是数列｛x n }的极限, 或者称数列{x n }收敛于a , 记为 a x n n =∞ →lim 或xn →ａ (ｎ→∞)． (2)函数极限的定义 设函数f （ｘ)在点x 0的某一去心邻域内（或当0x M >>)有定义,如果存在常数A , 对于任意给定的正数ε (不论它多么小)， 总存在正数δ,（或存在X ） 使得当ｘ满足不等式0<|x －ｘ0|<δ 时，(或当x X >时） 恒有 |f (ｘ)－A ｜<ε , 那么常数Ａ就叫做函数f (ｘ)当0x x →（或x →∞)时的极限， 记为 A x f x x =→)(lim 0 或f (x ）→A (当x →ｘ０).（ 或lim ()x f x A →∞ =) 类似的有：如果存在常数A ,对0,0,εδ?>?>当00:x x x x δ-<<(00x x x δ<<-）时,恒有()f x A ε-<，则称A 为()f x 当0x x →时的左极限(或右极限）记作 00 lim ()(lim ())x x x x f x A f x A - +→→==或 显然有0 lim ()lim ()lim ())x x x x x x f x A f x f x A -+→→→=?== 如果存在常数A ,对0,0,X ε?>?>当()x X x X <->或时，恒有()f x A ε-<，则称A 为()f x 当x →-∞（或当x →+∞)时的极限 记作lim ()(lim ())x x f x A f x A →-∞ →+∞ ==或 显然有lim ()lim ()lim ())x x x f x A f x f x A →∞ →-∞ →+∞ =?== ２、极限的性质 (１）唯一性 若a x n n =∞ →lim ,lim n n x b →∞ =，则a b = 若0() lim ()x x x f x A →∞→=0() lim ()x x x f x B →∞→=，则A B = (２)有界性 (i)若a x n n =∞ →lim ，则0M ?>使得对,n N + ?∈恒有n x M ≤
考研高等数学知识点总结
高等数学知识点总结 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 222 2 12211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+= ， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(2 2 = '='?-='?='-='='2 2 22 11)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '--='-='? ?????????+±+ =±+=+=+= +-=?+=?+-== +==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 2 2 2 2 2 2 2 2 C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+= -++-=-+=++-=++=+=+-=? ???????arcsin ln 21ln 21 1csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2 2 22 22 2 ? ????++ -= -+-+--=-+++++=+-= == -C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 2 2 ln 2 2)ln(2 21cos sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0π π