正弦定理的变形及三角形面积公式
正弦定理的变形及三角形面积公式第二课时
【选题明细表】题号
知识点、方法
易中
4
6 、12正弦定理的变形应用、、三角形面积公式的应用
7 310 5 正弦定理的综合应用、9 正弦定理的实际应用 8
基础达标) C ( 若sin A>sin B,则有,1.在△ABC中b (C)a>b (D)a ≤(B)a(A)a
a=2Rsin A,b=2Rsin B, ∵:解析sin A>sin B, 又C.
∴a>b.故选) 等于∶∶∶14,则abc( C ∶∶∶中已知△2.ABC,ABC=1
1∶∶4 1(A)1∶∶(B)1
(C)1∶∶2 (D)11∶∶4,
∶1∶C=1∶B∶A∵:解析．
∴A=30°,B=30°,C=120°,
∴a∶b∶c=(2Rsin A)∶(2Rsin B)∶(2Rsin C)
=sin A∶sin B∶sin C
=sin 30°∶sin 30°∶sin 120°
∶.故选=1∶1C.
3.在△ABC中,若A=75°,B=45°,c=6,则△ABC的面积为( A )
(B) (A)9+3
(D)(C)解析:∵A=75°,B=45°,
=2,
∴C=60°=,b=
×62.
=9+3∴S×=bcsin A=×ABC△故选A.
4.(2013即墨实验高中高二月考)在锐角三角形ABC中,a,b,c分别是
则的取值范围是( B=2A,,设B ) A,B,C内角的对边
(C)(,2) (D)(0,2)
(A)(-2,2) (B)() ,
由锐角三角形知: 解析, °又B=2A,A+B+C=180,
° ∴． ,).故选==2cos A∈∴B. =(5.(2013连江一中高二期中联考)若三角形的三个内角成等差数列,对应三边成等比数列,则三角形的形状是( C ) (A)等腰三角形 (B)直角三角形 (C)等边三角形 (D)等腰直角三角形 解析:设三角形的三角为A,B,C,所对的边分别为a,b,c,则2, A+C=2B,ac=b∵A+C+B=180°, ∴2B+B=180°,即B=60°. 2及正弦定理,ac=b得又由 22=, 60sin Asin C=sin°B=sin令A=60°-α,则C=60°+α, )=α, ·sin(60°+∴sin(60°-α) )=, +sin (cos αα 22=αα-sincos. 22α=1, α+sincos∵∴sin α=0, 又-60°<α<60°, ∴α=0°, A=B=C, ∴． C. 故选∴三角形是等边三角形. ,b=,B=60°则= . ABC6.在△中,若 =2R, 解析==:由正弦定理 , =知 =2. =∴:2 答案能力提升 的,则边AB°7.(2011年高考福建卷)若△ABC的面积为,BC=2,C=60 . 长度等于 , 由于S°=,BC=2,C=60解析:ABC△ , ×∴=2×AC×AC=2, ∴, ABC为正三角形∴△AB=2. ∴:2 答案和CA,8.如图所示我炮兵阵地位于地面处,两观察所分别位于地 面点目标出现于地面上点ADC=75,ACD=45CD=6000 m,,D处已知∠° ∠°,结BDC=15,°BCD=30,处时B测得∠∠求炮兵阵地到目标的距离,°.() 果保留根 号． 解:在△ACD中,∠CAD=180°-∠ACD-∠ADC=60°, =AD=∴CD. 在△BCD中,∠CBD=180°-30°-15°=135°, =∴CD. BD=在△ABD中,∠ADB=∠ADC+∠CDB=90°, 考纲要求: 1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. 2.会利用三角形的面积公式解决几何计算问题C ab S sin 2 1 . 基础知识回顾: 1. a sin A ＝ b sin B ＝c sin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径． 由正弦定理可以变形：(1) a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(2) a ＝2Rsin A ，b ＝2Rsin B ，c ＝2Rsin C . 2．余弦定理：a 2 ＝b 2 ＋c 2 －2bccos A ，b 2 ＝a 2 ＋c 2 －2accos B ，c 2 ＝a 2 ＋b 2 －2abcos C ． 变形：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 2 2ab . 3.在△ABC 中，已知a ，b 和A 解三角形时，解的情况 A 为锐角 A 为钝角或直角 图形 关系式 a ＜bsinA a ＝bsinA bsinA ＜a ＜ b a ≥b a ＞b a ≤b 解的 个数 无解 一解 两解 一解 一解 无解 4.三角形常用的面积公式 (1)S ＝12a ·h a (h a 表示a 边上的高)．(2)S ＝12absinC ＝12acsinB ＝12bcsinA ＝abc 4R . (3)S ＝1 2r (a ＋b ＋c )(r 为内切圆半径)． 应用举例: 类型一、利用正（余）弦定理解三角形 【例1】【河北省唐山一中2018届高三下学期强化提升考试（一）】已知中， ，点在 边上， 且 ． 正弦定理和余弦定理的所有公式 正弦定理和余弦定理的公式有哪些?在数学学习中，正弦定理和余弦 定理的应用是很频繁的，正余弦定理指定是正弦定理、余弦定理,是揭示三角 形边角关系的重要定理,下面是小编为大家整理的正弦定理和余弦定理的所有 公式，供参考。 数学不好的人五大特征高中数学最无耻的得分技巧高考考场上数学拿高分 的技巧如何判断函数的对称性与周期性 1正弦定理、三角形面积公式正弦定理：在一个三角形中，各边和它 所对角的正弦的比相等，并且都等于该三角形外接圆的直径，即： a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R.面积公式：S△=1/2bcsinA=1/2absinC=1/2acsinB.1.正弦定理的变形及应用变形：(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC(2) sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c(3)sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R.应用(1)利用正弦 定理和三角形内角和定理，可以解决以下两类解斜三角形问题：a.已知两角 和任一边，求其他两边和一角.b.已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.一般地，已知两边和其中一边的对角解三角形，有两解、一解.(2)正弦定 理，可以用来判断三角形的形状.其主要功能是实现三角形中边角关系转化.例如：在判断三角形形状时，经常把a、b、c分别用2RsinA、2RsinB、2RsinC 来代替.2.余弦定理在△ABC中，有a2=b2+c2-2bccosA;b2=c2+a2- 2accosB;c2=a2+b2-2abcosC;变形公式：cosA=b2+c2-a2/2bc,cosB=c2+a2- b2/2ac,cosC=a2+b2-c2/2ab在三角形中，我们把三条边(a、b、c)和三个内角(A、B、C)称为六个基本元素，只要已知其中的三个元素(至少一个是边)，便 正余弦定理的应用——三角形面积公式 一、教学容解析 本课教学容出自人教版《普通高中课程标准实验教科书必修数学5》第一章1.2节。 1.教材容 本节容是正弦定理与余弦定理知识的延续，借助正弦定理和余弦定理，进一步解决一些有关三角形面积的计算。教材中先结合已知三角形面积公式推导新的三角形面积公式，然后借助正弦定理和余弦定理求三角形面积，最后给出三角形面积实际问题的求解过程。 2.教学容的知识类型 在本课教学容中，包含了四种知识类型。三角形面积公式的相关概念属于概念性知识，三角形面积公式的符号语言表述属于事实性知识，利用正弦定理和余弦定理求解三角形面积的步骤属于程序性知识，发现问题——提出问题——解决问题的研究模式，以及从直观到抽象的研究问题的一般方法，属于元认知知识。 3.思维教学资源与价值观教育资源 已知三角形两边及其夹角求三角形面积的探索过程能引发提出问题——分析问题——解决问题的研究思维；生活实际问题求解三角形面积，是培养数学建模思想的好契机；引出海伦公式和秦九韶“三斜求积”公式，激发学生学习数学的兴趣，探究数学史材料，培养学生对数学的喜爱。 二、学生学情分析 主要从学生已有基础进行分析。 1.认知基础：从学生知识最近发展区来看，学生在初中已经学习过用底和高表示的三角形面积公式，并且掌握直角三角形中边和角的关系。现在进一步探究两边及其夹角表示的面积公式符合学生的认知规律。此外在前面两节的学习中学生已经掌握了正余弦定理，这为求解三角形的边和角打下了坚持基础。 2.非认知基础：通过小学、初中和高中阶段三角函数和应用题的学习，学生具有一定的分析问题、类比归纳、符号表示的能力。具备相当的日常生活经验，能够从实际问题抽象出数学问题并建立数学模型解决问题。 三、教学策略选择 《普通髙中数学课程标准(2017年版)》强调基于核心素养的教学,特别重视 学之导教育中心教案 学生: 伍家濠授课时间: 7.20 课时: 2 年级: 高一教师：廖 课题三角形面积公式、余弦定理 教学构架 一、知识回顾 二、错题再现 三、知识新授 四、小结与预习 教案内容 一、知识回顾 1、正弦定理及其变形 2、已知两边一角，判断解的情况 二、错题再现 1、在△ABC中，已知a=4,b=26,A=45°，求角B 2、在△ABC中，已知b=3,c=33,B=30°，求a 本次内容掌握情况总结教师签字学生签字 3、在?ABC 中，若1a =， 12c =，040C ∠=，则符合题意的b 的值有_____个。 4、在ABC ?中，已知C B A sin cos sin 2=，那么ABC ?一定是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．正三角形 5．在△ABC 中，015A =，则()3sin cos A B C -+的值为 A ．22 B ．3 2 C ．2 D ．2 三、 知识新授 （一）正弦定理综合应用 1．在△ABC 中，015A =，则()3sin cos A B C -+的值为 A ．22 B ．3 2 C ．2 D ．2 2、在ABC ?中，2,45,6000===b C A ，则此三角形的最小边长为（ ） A ．2 B ．232- C ．13- D ．)12(2- 3、在△ABC 中，已知(b+c):(c+a):(a+b)=4:5:6，求sinA:sinB:sinC 的值。 4、在△ABC 中，若a:b:c=1:3:5,求C B A sin sin sin 2-的值. 5、在△ABC 中，b=2a ，B=A+60°，求角A 6、△ABC 中，B=3A ，则b a 的取值范围是 7、在△ABC 中，a=2bcosC,试判断△ABC 的形状 8、△ABC 中，若sinA=2sinBcosC,sin 2A = sin 2B +sin 2C ，试判断△ABC 的形状 9、在ABC ?中，已知C B A sin cos sin 2=，试判断△ABC 的形状 解斜三角形 正弦定理、余弦定理与三角形面积公式 【提纲挈领】 主干知识归纳 ABC 的6个基本元素： a,b,c,A,B,C .其中三内角 A,B,C 所对边边长分别为 a,b,c . 1．正弦定理 变式： a 2Rsin A,b 2Rsin B,c 2RsinC 2．余弦定理 3. 三角形面积公式 1 2 ac sin B 2R sin A sin B sinC. 2 （ 2 ）秦九韶 —海伦公式： S ABC 方法规律总结 1. 基本量观念： ABC 的 6个基本元素： a,b,c,A,B,C ．已知三个基本量（至少一个为边）确定一个 三 角形，正余弦定理是“量化”依据，是初中全等三角形判定定理由定性向定量的转换 . 2. 方程观念： 正余弦定理和面积公式是方程的粗坯， 是解三角形的依据， 从三角形 6 个基本元素来说是 “知 三求三” .有两条主线：一是统一为边（消角）的关系，归结为边为元的代数方程；二是统一为角（消边） 的关系，归结为三角方程 . 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理 更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的 正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到． 3. 转化思想：利用正余弦定理实现边角间的相互转化 . 4. 利用正弦定理解三角形主要是以下两类： （1）已知两边和一对角； （2）已知两角和一边 . 利用余弦定 理解三角形主要是以下两类： （1）已知三边；（ 2）已知两边及其夹角 . 对于复杂问题需综合利用正余弦定理实现边角关系向统一转化 . 【指点迷津】 【类型一】定理的推导与证明 【例 1】（2011 陕西理 18）叙述并证明余弦定理 . 【解析】 : 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦之积 的两 abc sin A sin B sinC 2R （其中 R 是 ABC 的外接圆的半 径） a 2 b 2 c 2 2 2bc cos A ， b 2 c 2 a 2 2ca cos B ， c 2 a 2 b 2 2abcosC . 变式： cosA 2 2 2 b c a ,cosB 2bc a 2 b 2 ,cosC 2ac b 2 2ab 1 ) S ABC 11 ab sin C bcsin A 22 p(p a)(p b)(p c),其中 p abc 2 正弦定理的变形及三角形面积公式第二课时 【选题明细表】题号 知识点、方法 易中 4 6 、12正弦定理的变形应用、、三角形面积公式的应用 7 310 5 正弦定理的综合应用、9 正弦定理的实际应用 8 基础达标) C ( 若sin A>sin B,则有,1.在△ABC中b (C)a>b (D)a ≤(B)a(A)asin B, 又C. ∴a>b.故选) 等于∶∶∶14,则abc( C ∶∶∶中已知△2.ABC,ABC=1 1∶∶4 1(A)1∶∶(B)1 (C)1∶∶2 (D)11∶∶4, ∶1∶C=1∶B∶A∵:解析． ∴A=30°,B=30°,C=120°, ∴a∶b∶c=(2Rsin A)∶(2Rsin B)∶(2Rsin C) =sin A∶sin B∶sin C =sin 30°∶sin 30°∶sin 120° ∶.故选=1∶1C. 3.在△ABC中,若A=75°,B=45°,c=6,则△ABC的面积为( A ) (B) (A)9+3 (D)(C)解析:∵A=75°,B=45°, =2, ∴C=60°=,b= ×62. =9+3∴S×=bcsin A=×ABC△故选A. 4.(2013即墨实验高中高二月考)在锐角三角形ABC中,a,b,c分别是 则的取值范围是( B=2A,,设B ) A,B,C内角的对边 (C)(,2) (D)(0,2) (A)(-2,2) (B)() , 由锐角三角形知: 解析, °又B=2A,A+B+C=180, ° 第二课时正弦定理的变形及三角形面积公式 【选题明细表】 题号 知识点、方法 易中正弦定理的变形应用1、2、6 4 三角形面积公式的应用3、7 正弦定理的综合应用 5 9、10 正弦定理的实际应用8 基础达标 1. 在△ ABC中, 若sin A>sin B, 则有 ( C ) (A)ab (D)a ≤b 解析 : ∵a=2Rsin A,b=2Rsin B, 又 sin A>sin B, ∴a>b. 故选 C. 2. 已知△ ABC中,A ∶B∶C=1∶1∶4, 则 a∶b∶c 等于 ( C ) (A)1 ∶1∶4 (B)1 ∶1∶ (C)1 ∶1∶(D)1 ∶2∶ 解析 : ∵A∶B∶C=1∶1∶4, ∴A=30°,B=30°,C=120°, ∴a∶b∶c=(2Rsin A) ∶(2Rsin B) ∶(2Rsin C) =sin A ∶sin B ∶sin C =sin 30 °∶ sin 30 °∶ sin 120 ° =1∶1∶. 故选 C. 3. 在△ ABC中, 若 A=75°,B=45°,c=6, 则△ ABC的面积为 ( A ) (A)9+3 (B) (C)(D) 解析 : ∵A=75°,B=45°, ∴C=60°,b===2 , ∴S = bcsin A= ×2 ×6×=9+3 . △ABC 故选 A. 4.(2013 即墨实验高中高二月考 ) 在锐角三角形 ABC中,a,b,c分别是内角 A,B,C 的对边 , 设 B=2A,则的取值范围是 ( B ) (A)(-2,2)(B)( , )(C)( ,2)(D)(0,2) 解析 : 由锐角三角形知 又 B=2A,A+B+C=180°, ∴30° 正余弦定理与三角形面积公式(2009-7-7 16:45:00) 【收藏】【评论】【打印】【关闭】 这两天在看代码时发现关于三角形的这些基本定理和公式很有用，所以从网上搜了下，主要有三角形的正弦定理，余弦定理，以及三角形面积公式（包括海伦公式）。 正弦定理（引自百度百科） Sine theorem 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。 即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（2R在同一个三角形中是恒量，是此三角形外接圆的半径的两倍） 这一定理对于任意三角形ABC，都有 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R R为三角形外接圆半径 证明 步骤1. 在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足为点H CH=a·sinB CH=b·sinA ∴a·sinB=b·sinA 得到 a/sinA=b/sinB 同理，在△ABC中， b/sinB=c/sinC 步骤2. 证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R： 如图，任意三角形ABC,作ABC的外接圆O. 作直径BD交⊙O于D. 连接DA. 因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度 因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C. 所以c/sinC＝c/sinD=BD=2R 类似可证其余两个等式。 意义 正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式，又由正弦函数在区间上的单 调性可知，正弦定理非常好的描述了任意三角形中边与角的一种数量关系。 余弦定理 余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。 对于任意三角形三边为a,b,c 三角为A,B,C 满足性质 (注：a*b、a*c就是a乘b、a乘c 。a^2、b^2、c^2就是a的平方，b的平方，c的平方。) a^2=b^2+c^2-2*b*c*Cos A b^2=a^2+c^2-2*a*c*Cos B c^2=a^2+b^2-2*a*b*Cos C Cos C=(a^2+b^2-c^2)/2ab Cos B=(a^2+c^2-b^2)/2ac Cos A=(c^2+b^2-a^2)/2bc 证明： ∵如图，有a→+b→=c→ ∴c·c=(a+b)·(a+b) ∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos(π-θ) 整理得到c^2=a^2+b^2-2|a||b|Cosθ（注意：这里用到了三角函数公式） 再拆开，得c^2=a^2+b^2-2*a*b*Cos C 考点9 解三角形（与三角形面积、形状有关的问题） 1. (江苏省淮安市淮阴区南陈集中学2015届高三上学期10月调考数学试卷)在ABC △中， 角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ，已知4 cos 5 A =，b =5c . (1)求sin C 的值； (2)求sin(2A +C )的值； (3)若ABC △的面积3 sin sin 2 S B C = ，求a 的值. 【考点】正弦、余弦定理，两角和与差的余弦函数，二倍角的余弦，解三角形. 【解】(1)∵2 2 2 2 2 24 2cos 2610185 a b c bc A c c c =+-=-?= ∴a = ∵4cos 5A = ，0＜A ＜π，∴3sin 5 A =. ∵sin sin a c A C = ，∴3 sin sin 10 c c A C a ? ===. (2)∵c ＜a ，∴C 为锐角， ∴cos 10 C == ∵3424 sin 22sin cos 25525A A A ==?? = ∴2 167cos 22cos 1212525 A A =-=?-= ∴sin(2)sin 2cos cos 2sin A C A C A C +=+=(3)∵b =5c ，∴ sin 5sin B b C c ==，sin 5sin B C =. ∴23153sin sin sin 2220 B C C ==. 又∵22133sin 221220a S bc A c a ====?=. 2. (江苏省南通市2015届高三第一次模拟考试数学试题)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分 别为a ，b ，c .已知b cos C +c cos B =2a cos A . (1 )求角A 的大小； (2 ) 若AB AC ?=u u u r u u u r ABC 的面积. 【考点】正弦定理，解三角形. 课时作业(二十二)A [第22讲 正、余弦定理和三角形面积公式] [时间：35分钟 分值：80分] 基础热身 1．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝( ) A ．－223 B.223 C ．－63 D.63 2．在△ABC 中，若(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝5∶6∶7，则cos B 的值为( ) A.1116 B.1114 C.911 D.78 3． 已知△ABC 中，AB ＝2，C ＝π3 ，则△ABC 的周长为( ) A ．43sin ????A ＋π3＋2 B ．43sin ??? ?A ＋π6＋2 C ．4sin ????A ＋π6＋2 D ．8sin ??? ?A ＋π3＋2 4． 已知△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC 的面积为________． 能力提升 5．在△ABC 中，三内角A 、B 、C 分别对三边a 、b 、c ，tan C ＝43 ，c ＝8，则△ABC 外接圆半径R 为( ) A ．10 B ．8 C ．6 D ．5 6．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若a ＝2b cos C ，则此三角形一定是( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰三角形或直角三角形 7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ＝42，B ＝45°，面积S ＝2，则b 等于( ) A ．5 B.1132 C.41 D ．25 9．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a ＝________. 10．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＋c ＝2b 且sin B ＝45 ，当△ABC 的面积为32 时，b ＝________. 正弦定理 一、教学内容分析： 本节课是高一数学第五章《三角比》第三单元中解斜三角形的第一课时，它是初中“解直角三角形”内容的直接延拓，是解决生产、生活实际问题的重要工具，正弦定理揭示了任意三角形的边角之间的一种等量关系，它与后面的余弦定理都是解三角形的重要工具。 本节课的主要任务是通过引入三角形新的面积公式，推导出正弦定理，并让学生初步掌握正弦定理的基本应用。 二、学情分析： 对高一的学生来说，一方面已经学习了平面几何、解直角三角形、任意角的三角比等知识，具有一定的观察分析、解决问题的能力；但另一方面对新旧知识间的联系、理解、应用往往会出现思维障碍，思维灵活性、深刻性受到制约，特别是对于本校的同学，这方面的能力比较薄弱。根据以上特点，教师需要恰当引导，提高学生学习主动性，注意前后知识间的联系，引导学生直接参与分析问题、解决问题。 三、设计思路： 由于学生的总体基础比较薄弱，因此，在上课之前，针对《正弦定理》课内内容学生不太容易理解的地方，我作了一个学情调查，将其中的公式推导要应用的关键知识以题目的形式出给学生做，用以诊断学生学习正弦定理的知识方法基础，然后分析梳理为课堂教学服务。 在课堂教学方面，首先通过一个实际生活的例子引入，在现实的测绘工作中，经常会碰到解斜三角形的问题，那么，在斜三角形中，边和角之间有没有特殊的关系可以给我们利用呢？借鉴前面利用坐标研究三角的方法，用坐标法来对任意三角形进行研究，得到三角形新的面积公式，通过对三角形面积公式的变形，得到正弦定理，但不对比值的意义作深入的探讨（放在第二节课进行）。定理研究完毕以后，引导学生利用正弦定理来解决具体问题，并发现，正弦定理可以解决解三角形的两类问题：（1）已知三角形两角和一边，求其它边和角；（2）已知三角形两边和一边对角，求其它边和角。 四、教学目标： 一、知识与技能： 理解三角形的面积公式，初步掌握正弦定理及其证明；会初步运用正弦定理解三角形；培养数学应用意识。 二、过程与方法： 1、通过实际问题，激发学生的学习兴趣； 2、采用坐标法来研究任意三角形，并感受其解决问题的优越性，感受数学推理的严谨性； 3、通过应用分析、问题解决来培养学生良好的学习思维习惯，增强学生学习的自信心。 三、情感、态度与价值观： 通过知识之间的联系与推理使学生明白事物之间的普遍联系与辩证统一性。 四、教学重点与难点 教学重点：正弦定理的探索与证明；正弦定理的基本应用。 教学难点：正弦定理的探索与证明；正弦定理在解三角形时的应用思路。 正余弦定理与三角形 面积公式 正余弦定理与三角形面积公式(2009-7-7 16:45:00) 【收藏】【评论】【打印】【关闭】 这两天在看代码时发现关于三角形的这些基本定理和公式很有用，所以从网上搜了下，主要有三角形的正弦定理，余弦定理，以及三角形面积公式（包括海伦公式）。 正弦定理（引自百度百科） Sine theorem 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。 即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（2R在同一个三角形中是恒量，是此三角形外接圆的半径的两倍） 这一定理对于任意三角形ABC，都有 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R R为三角形外接圆半径 证明 步骤1. 在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足为点H CH=a·sinB CH=b·sinA ∴a·sinB=b·sinA 得到 a/sinA=b/sinB 同理，在△ABC中， b/sinB=c/sinC 步骤2. 证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R： 如图，任意三角形ABC,作ABC的外接圆O. 作直径BD交⊙O于D. 连接DA. 因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度 因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C. 所以c/sinC＝c/sinD=BD=2R 类似可证其余两个等式。 意义 正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式，又由正弦函数在区间上的单 调性可知，正弦定理非常好的描述了任意三角形中边与角的一种数量关系。 余弦定理 余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。 对于任意三角形三边为a,b,c 三角为A,B,C 满足性质 (注：a*b、a*c就是a乘b、a乘c 。a^2、b^2、c^2就是a的平方，b的平方，c的平方。) a^2=b^2+c^2-2*b*c*Cos A b^2=a^2+c^2-2*a*c*Cos B c^2=a^2+b^2-2*a*b*Cos C Cos C=(a^2+b^2-c^2)/2ab Cos B=(a^2+c^2-b^2)/2ac Cos A=(c^2+b^2-a^2)/2bc 证明： ∵如图，有a→+b→=c→ ∴c·c=(a+b)·(a+b) ∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos(π-θ) 整理得到c^2=a^2+b^2-2|a||b|Cosθ（注意：这里用到了三角函数公式） 正弦定理与余弦定理 教学目标 掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形正余弦定理及三角形面积公式. 教学重难点 掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形 知识点清单 一.正弦定理： 1. 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外 接圆的直径，即a b c2R（其中R是三角形外接圆的半 径） sin A sin B si 2.变形：1) a b c a b c sin sin si nC sin sin si nC 2）化边为 角： a :b: c sin A: sin B :s in C - a si nA. b sin B a sin A J b sin B c sin C c sin C ' 3）化边为角：a 2Rsin A, b 2Rsi nB, c 2Rs inC 4）化角为边：sin A a ; J sin B b ; si nA a J7 sin B b sin C c sin C c 5）化角为边：sin A a sin B b si nC c 2R‘2R'2R 3.利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ①已知两个角及任意一边，求其他两边和另一角; 例：已知角B,C,a, 解法：由A+B+C=18°0,求角A,由正弦定理-Sn） - Sn^; b sin B c sin C a sin A ;求出b与c c sin C ②已知两边和其中一边的对角，求其他两个角及另一边。 例：已知边a,b,A, 解法：由正弦定理旦血求出角B,由A+B+C=180求出角C,再使用正 b sin B 弦定理旦泄求出c边 c sin C 4. △ ABC中，已知锐角A,边b,贝U ①a bsin A时，B无解； ②a bsinA或a b时，B有一个解; 面积公式 一、教学目标 知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题, 掌握三角形的面 积公式的简单推导和应用 过程与方法：本节课补充了三角形新的面积公式，巧妙设疑，引导学生证明，同时总结出该公式的特点， 循序渐进地具体运用于相关的题型。 情感态度与价值观：让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力；进一步培养 学生研究和发现能力，让学生在探究中体验愉悦的成功体验 二、教学重点、难点 重点：推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目难点：利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题三、教学过程 [创设情境] 讲授新课 师：以前我们就已经接触过了三角形的面积公式，今天我们来学习它的另一个表达公式。在 ?ABC 中，边BC 、CA 、AB 上的高分别记为h a 、h b 、h c ，那么它们如何用已知边和角表示？ 生：h a =bsin C =csin B h b =csin A =asin C h c =asin B =bsina A 师：根据以前学过的三角形面积公式S=2 1 ah,应用以上求出的高的公式如h a =bsin C 代入，可以推导出下面的三角形面积公式，S= 2 1 absin C ，大家能推出其它的几个公式吗？生：同理可得，S=21bcsin A, S=2 1 acsinB [范例讲解] 例1、在?ABC 中，根据下列条件，求三角形的面积S （精确到0.1cm 2）（1）已知a=14 cm, c=24 cm, B=150?;（2）已知B=60?, C=45?, b=4 cm; （3）已知三边的长分别为a=3 cm,b=4 cm, c=6 cm 分析：这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面积。 解：略 例2、如图,在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量得到这个三角形 区域的三条边长分别为68m,88m,127m,这个区域的面积是多少？（精确到0.1cm 2）？ 思考：你能把这一实际问题化归为一道数学题目吗？ 本题可转化为已知三角形的三边，求角的问题，再利用三角形的面积公式求解。正(余)弦定理的三角形问题
正弦定理和余弦定理的所有公式
正余弦定理的应用_三角形面积公式公开课一等奖
三角形面积公式余弦定理
高三第一轮复习正弦定理、余弦定理与三角形面积公式
正弦定理的变形及三角形面积公式
正弦定理的变形与三角形面积公式.doc
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解三角形(与三角形面积、形状有关的问题)
(22)正、余弦定理和三角形面积公式A
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(完整版)解三角形之正弦定理与余弦定理
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