广西陆川县中学2020-2021学年高三下学期第二次质量检测数学试卷含解析〖附16套高考模拟卷〗

广西陆川县中学2020-2021学年高三下学期第二次质量检测数学试卷

注意事项:

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．台球是一项国际上广泛流行的高雅室内体育运动，也叫桌球（中国粤港澳地区的叫法）、撞球（中国台湾地区的叫法）控制撞球点、球的旋转等控制母球走位是击球的一项重要技术，一次台球技术表演节目中，在台球桌上，画出如图正方形ABCD ，在点E ，F 处各放一个目标球，表演者先将母球放在点A 处，通过击打母球，使其依次撞击点E ，F 处的目标球，最后停在点C 处，若AE=50cm ．EF=40cm ．FC=30cm ，∠AEF=∠CFE=60°，则该正方形的边长为（ ）

A ．2cm

B ．2cm

C ．50cm

D ．6cm

2．已知点()2,0A 、()0,2B -．若点P 在函数y x =PAB △的面积为2的点P 的个

数为（ ） A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

3．从集合{}3,2,1,1,2,3,4---中随机选取一个数记为m ，从集合{}2,1,2,3,4--中随机选取一个数记为

n ，则在方程221x y m n +=表示双曲线的条件下，方程22

1x y m n

+=表示焦点在y 轴上的双曲线的概率为（ ） A ．

917

B ．

817

C ．

1735

D ．

935

4．执行下面的程序框图，如果输入1995m =，228n =，则计算机输出的数是（ ）

A ．58

B ．57

C ．56

D ．55

5．设函数()210

10

0x x x f x lgx x ?++≤?=?>??，，

若关于x 的方程()()f x a a R =∈有四个实数解()1

234i x i =，，，，其中1234x x x x <<<，则()()1234x x x x +-的取值范围是（ ）

A ．(]0101

， B ．(]099，

C ．(]0100，

D ．()0+∞，

6．设复数z 满足z i

i z i

-=+，则z =（ ） A ．1

B ．-1

C ．1i -

D ．1i +

7．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的a 的值为（ ）

A ．2

-3

B ．3-

2

C ．

52

D ．

25

8．在ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，且||1,||2AB AC ==，120BAC ∠=?，则

||EB =（ ）

A 19

B ．

114

C 3

D ．

74

9．如图，2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为

43

π

的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为（ ）

A ．

22

B ．

3 C ．

21

2

+ D ．

31

2

+ 10．已知随机变量X 的分布列如下表： X

1-

0 1

P a

b c

其中a ，b ，0c >.若X 的方差()1

3

D X ≤对所有()0,1a b ∈-都成立，则（ ） A ．13

b ≤

B ．23

b ≤

C ．13b ≥

D ．2

3

b ≥

11．已知函数()[]f x x x =-，其中[]

x 表示不超过x 的最大正整数，则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 的值域是[]0,1 B ．()f x 是奇函数 C ．()f x 是周期函数

D ．()f x 是增函数

12．设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=A ?B ，则集合中的元素共有

（ ） A ．3个

B ．4个

C ．5个

D ．6个

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．如图是一个算法的伪代码，运行后输出b 的值为___________．

14．若函数()ln f x ax x =+（a ∈R ）的图象与直线31y x =-相切，则a =______.

15．在ABC ?中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c .若sin sin b A a C =，1c =，则b =__，ABC ?面积的最大值为___. 16．曲线()11

ln f x x x

=

+在点()()1,1f 处的切线方程是__________. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知曲线M的参数方程为

1

cos

2

1

sin

2

x

y

α

α

?

=

??

?

?=

??

（α为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N的极坐标方程为

2

2sin2

ρ

θ

=

-

．

（1）写出曲线M的极坐标方程；

（2）点A是曲线N上的一点，试判断点A与曲线M的位置关系．

18．（12分）已知

1

()25

2

f x x x

=+--.

（1）求不等式()1

f x的解集；

（2）记()

f x的最小值为m，且正实数,a b满足

44

a b

a m

b b ma

+=+

--

.证明：2

a b

+.

19．（12分）在新中国成立70周年国庆阅兵庆典中，众多群众在脸上贴着一颗红心，以此表达对祖国的热爱之情，在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡尔心型曲线，如图，在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.图中的曲线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为1sin

ρθ

=-（02,0

θπρ

≤<>），M为该曲线上的任意一点.

（1）当

3

2

OM=时，求M点的极坐标；

（2）将射线OM绕原点O逆时针旋转

2

π

与该曲线相交于点N，求MN的最大值.

20．（12分）已知直线1

x y

+=过椭圆()

22

22

10

x y

a b

a b

+=>>的右焦点，且交椭圆于A，B两点，线段AB的中点是

21

,

33

M

??

?

??

，

（1）求椭圆的方程；

（2）过原点的直线l与线段AB相交（不含端点）且交椭圆于C，D两点，求四边形ACBD面积的最大值.

21．（12分）已知动圆M经过点(2,0)

N，且动圆M被y轴截得的弦长为4，记圆心M的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的标准方程；

（2）设点M 的横坐标为0x ，A ，B 为圆M 与曲线C 的公共点，若直线AB 的斜率1k =，且0[0,4]x ∈，求0x 的值．

22．（10分）已知函数(1|)2|f x x mx =-+，m R ∈． （1）当3m =-时，求不等式()40f x +<的解集；

（2）若函数()f x 的图象与x 轴恰好围成一个直角三角形，求m 的值．

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、D 【解析】 【分析】

过点,E F 做正方形边的垂线，如图，设AEM α∠=，利用直线三角形中的边角关系，将,AB BC 用α表示出来，根据AB BC =，列方程求出α，进而可得正方形的边长. 【详解】

过点,E F 做正方形边的垂线，如图，

设AEM α∠=，则CFQ α∠=，60MEF QFE α∠=∠=-，

则()

sin sin 60sin AB AM MN NB AE EF FC ααα=++=+-+

()33

50sin 40sin 6030sin 40sin 2ααααα??=+-+= ? ???

，

()cos cos cos 60CB BP PC AE FC EF ααα=+=+-- ()33

50cos 30cos 40cos 6040cos 2ααααα??=+--= ? ???

因为AB CB =

，则3340sin cos 40cos 2

222αααα????+

=- ? ? ? ?????

，

整理化简得

sin 2cos α

α

=，又22sin cos 1αα+=，

得sin α=

，cos α=

3340sin 4022AB αα???∴==?= ? ? ???

即该正方形的边长为. 故选：D. 【点睛】

本题考查直角三角形中的边角关系，关键是要构造直角三角形，是中档题. 2、C 【解析】 【分析】

设出点P 的坐标，以AB 为底结合PAB △的面积计算出点P 到直线AB 的距离，利用点到直线的距离公式可得出关于a 的方程，求出方程的解，即可得出结论. 【详解】

设点P

的坐标为(a ，直线AB 的方程为122x y

-=，即20x y --=， 设点P 到直线AB 的距离为d

，则11

222

PAB

S

AB d d =?=?=

，解得d =

另一方面，由点到直线的距离公式得d =

=

整理得0a =

或40a =，0a ≥，解得0a =或1a =

或92

a +=

. 综上，满足条件的点P 共有三个． 故选：C. 【点睛】

本题考查三角形面积的计算，涉及点到直线的距离公式的应用，考查运算求解能力，属于中等题． 3、A 【解析】 【分析】

设事件A 为“方程221x y m n +=表示双曲线”，事件B 为“方程22

1x y m n

+=表示焦点在y 轴上的双曲线”，分

别计算出(),()P A P AB ，再利用公式()

(/)()

P AB P B A P A =计算即可. 【详解】

设事件A 为“方程221x y m n +=表示双曲线”，事件B 为“方程22

1x y m n

+=表示焦点在y 轴上

的双曲线”，由题意，334217()7535P A ?+?=

=?，339

()7535

P AB ?==?，则所求的概率为

()9

(/)()17

P AB P B A P A =

=. 故选：A. 【点睛】

本题考查利用定义计算条件概率的问题，涉及到双曲线的定义，是一道容易题. 4、B 【解析】 【分析】

先明确该程序框图的功能是计算两个数的最大公约数，再利用辗转相除法计算即可. 【详解】

本程序框图的功能是计算m ，n 中的最大公约数，所以199********=?+，

228171157=?+，1713570=?+，故当输入1995m =，228n =，则计算机输出的数

是57. 故选：B. 【点睛】

本题考查程序框图的功能，做此类题一定要注意明确程序框图的功能是什么，本题是一道基础题. 5、B 【解析】 【分析】

画出函数图像，根据图像知：1210x x +=-，341x x =，

31

110

x ≤<，计算得到答案. 【详解】

()21010 lg 0x x x f x x x ?++≤?=?>??

，，，画出函数图像，如图所示：

根据图像知：1210x x +=-，34lg lg x x =-，故341x x =，且

31

110

x ≤<. 故()()(]1234330110,99x x x x x x ??

∈ ??

-

?+-=-. 故选：B .

【点睛】

本题考查了函数零点问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，画出图像是解题的关键. 6、B 【解析】 【分析】

利用复数的四则运算即可求解. 【详解】 由

()(1)11z i

i z i i z i i z i z z i

-=?-=+?-=-?=-+. 故选：B 【点睛】

本题考查了复数的四则运算，需掌握复数的运算法则，属于基础题. 7、C 【解析】 【分析】

根据给定的程序框图，计算前几次的运算规律，得出运算的周期性，确定跳出循环时的n 的值，进而求解

a 的值，得到答案.

【详解】

由题意，3

,15

a n =

=， 第1次循环，2

,23a n =-=，满足判断条件；

第2次循环，5

,32a n ==，满足判断条件；

第3次循环，3

,45

a n ==，满足判断条件；

可得a 的值满足以3项为周期的计算规律，

所以当2019n =时，跳出循环，此时n 和3n =时的值对应的a 相同，即52

a =. 故选：C. 【点睛】

本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出问题，其中解答中认真审题，得出程序运行时的计算规律是解答的关键，着重考查了推理与计算能力. 8、A 【解析】 【分析】

根据向量的线性运算可得3144

EB AB AC =-,利用22

||B EB E =及||1,||2AB AC ==，120BAC ∠=?计算即可. 【详解】

因为11131

()22244

EB EA AB AD AB AB AC AB AB AC =+=-

+=-?++=-, 所以22

229311216441||6

EB AB AB B AC AC E =-?=??+ 229311

112()2168216

=?-???-+? 1916

=

， 所以19||4

EB =， 故选：A 【点睛】

本题主要考查了向量的线性运算，向量数量积的运算，向量数量积的性质，属于中档题. 9、D

【解析】 【分析】

先求出球心到四个支点所在球的小圆的距离，再加上侧面三角形的高，即可求解. 【详解】

设四个支点所在球的小圆的圆心为O '，球心为O ，

由题意，球的体积为

43

π，即2

4433R ππ=可得球O 的半径为1，

的正方形硬纸，可得圆O '的半径为1

2

，

利用球的性质可得2O O '==

， 又由O '到底面的距离即为侧面三角形的高，其中高为

12

，

所以球心到底面的距离为11

222

+=

. 故选：D. 【点睛】

本题主要考查了空间几何体的结构特征，以及球的性质的综合应用，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于基础题. 10、D 【解析】 【分析】

根据X 的分布列列式求出期望,方差,再利用1a b c ++=将方差变形为2

1()412b D X a b -??=--+- ??

?,从

而可以利用二次函数的性质求出其最大值为1

13

b -≤,进而得出结论. 【详解】

由X 的分布列可得X 的期望为()E X a c =-+, 又1a b c ++=,

所以X 的方差()()()()2

2

2

11D X a c a a c b a c c =-+-+-++-

()()()22

2a c a b c a c a c =-++--++ ()2

a c a c =--++ ()2211a

b b =--++-