混凝土有限元分析

混凝土有限元分析

廖奕全

（06级防灾减灾工程及防护工程，06114249）

摘要：用传统的理论解析方法分析钢筋混凝土结构，只能解决一些非常简单的构件或结构的非线性问题，对大量的钢筋混凝土结构的非线性分析问题只能用数值方法解决，因此，有限元方法作为一个强有力的数值分析工具，在钢筋混凝土结构的非线性分析中得到了广泛地应用。随着有限元理论和计算机技术的进步，钢筋混凝土非线性有限元分析方法也得以迅速的发展并发挥出巨大的作用。

关键词：钢筋混凝土有限元分析有限元模型

钢筋混凝土结构是土木工程中应用最广泛的一种建筑结构。相比其它材料结构，钢筋混凝土结构有以下特点：①造价低，往往是建筑结构的首选材料；②易于浇注成各种形状，满足建筑功能及各种工艺的要求；⑧充分发挥钢筋和混凝土的作用，结构受力合理：④材料的重度与强度之比不大；⑤材料性能复杂，一般的计算模型难与实际结构的受力情况相符。正因为钢筋混凝土材料的这些优缺点，长期以来，钢筋混凝土在工程中的应用如此广泛；为了满足工程需要所建立的反映混凝土材料性能的计算模型也不断完善。然而，混凝土是一种由水泥、水、砂、石及各种掺合料、外加剂混合而成的成分复杂、性能多样的材料。到目前为止，还没有一种公认的、能全面反映混凝土的力学行为和性质的计算模型或本构关系。因此，对钢筋混凝土的力学性能研究还需要学术界和工程人员继续努力。长期以来，人们用线弹性理论来分析钢筋混凝土结构的受力和变形，以极限状态的设计方法来确定构件的承载能力。这种设计方法在一定程度上能满足工程的要求。随着国民经济的发展，越来越多大型、复杂的钢筋混凝土结构需要修建，而且对设计周期和工程质量也提出了更高的要求。这样一来，常规的线弹性理论分析方法用于钢筋混凝土结构和构件的设计就力不从心。设计人员常有“算不清楚”以及“到底会不会倒”的困惑。为此，钢筋混凝土非线性有限元分析方法开始受到重视。同时，随着有限元理论和计算机技术的进步，钢筋混凝土非线性有限元分析方法也得以迅速的发展并发挥出巨大的作用。

一、钢筋混凝土结构有限元分析的意义

钢筋混凝土结构是目前各种建筑结构物的主要结构形式，由于钢筋混凝土结构受到较大的荷载(如地震荷载)作用时其非线性特性对结构的性能影响很大，所以钢筋混凝土结构的非线性分析在结构抗震工程领域中十分重要并成为一个研究热点。用传统的理论解析方法分析钢筋混凝土结构，只能解决一些非常简单的构件或结构的非线性问题，对大量的钢筋混凝土结构的非线性分析问题只能用数值方法解决，因此，有限元方法作为一个强有力的数值分析工具，在钢筋混凝土结构的非线性分析中得到了广泛地应用。由于钢筋混凝土是由两种性质不同的材料——混凝土和钢筋组合而成的，它的性能明显地依赖于这两种材料的性能以及它们的相互作用，特别是在非线性阶段，混凝土钢筋本身的各种非线性性能，都不同程度地在这种组合材料中反映出来。以下是与钢筋混凝土结构计算分析有关的一些非线性问题：

1)由于钢筋和混凝土的抗拉强度相差很大，钢筋混凝土结构在正常使用状态下，大部分受弯构件都已经开裂而进入非线性状态。2)混凝土和钢筋在一个结构中共同工作的条件是两者之间的变形协调而且没有相对的滑移，但实际上，这种条件并不能完全满足，特别是在反

复加载下光圆钢筋与混凝土之间的粘结往往会被破坏，某些情况下会导致变形过大。3)与其他任何结构形式的结构一样，结点连接是保证钢筋混凝土结构能作为一个复杂体系承受外力的基本条件，而传统的弹性结构分析将结点理想化为刚接或者铰接，均不能反映结点的复杂受力状态和变形情况，从而难以为设计提供正确的信息。4)在长期荷载作用下，混凝土会产生一定的徐变变形，这时，结构的内力和变形就发生了变化。5)强震作用下，钢筋和混凝土材料都进入强塑性变形阶段，混凝土裂缝已发展很大。这是本研究主要针对的非线性问题。

由于存在这些问题，按弹性分析求得的内力和变形就不能反映实际情况，钢筋混凝土结构的非线性分析就显得特别重要，受到越来越多研究和工程设计人员的重视。有限元方法作为一个强有力的数值分析工具，在钢筋混凝土结构的非线性分析中起到了越来越大的作用。

用有限元方法进行钢筋混凝土结构的非线性分析，主要有以下优点：

1)可以在计算模型中分别反映混凝土和钢筋材料的非线性特性；2)可以考虑或模拟钢筋与混凝土之间的粘结；3)可以在一定程度上模拟结点的构造和边界条件；4)可以提供大量的结构反映信息，例如应力、变形的全过程，结构开裂以后的各种状态。借助于先进的计算机图形显示技术，还可以直观地看到结构受荷载后从弹性变形到开裂破坏的全过程，为进行合理的设计提供依据；5)可以部分代替试验进行大量的参数分析，为制定设计规范和标准提供依据。

正由于上述这些优点，有限元非线性分析方法在钢筋混凝土结构设计和分析中有着广泛的应用前景。作为一种强有力的研究工具，它可以用来计算分析在试验中难以解明的各种问题的机理。它还可以应用于模拟施工过程的计算分析，例如混凝土坝体，由于施工程序多，工期长，混凝土的徐变在施工过程中和交付使用后一直存在，因此用有限元分析方法就可以模拟全过程的受力性能、应力及应变分布以及徐变后的应力分布，为设计和施工提供参考信息。

二、钢筋混凝土有限元分析原理

最早把有限元方法用于钢筋混凝土结构分析的是Ngo和ScordeliS。他们在早期进行的研究已包含了钢筋混凝土有限元分析的基本原理。这个原理可以概括如下：

(1)把钢筋混凝土结构分割成有限个小的结构元。这些小的结构单元可以是混凝土与钢筋的混合体，也可以分别是混凝上或钢筋。

(2)通过设置弹簧或阻尼器来模拟钢筋和混凝土之问的粘结滑移关系，这些特殊的“装置”称为粘结单元。弹簧和阻尼器的力～位移关系可以是线性的，也可以是非线性的。

(3)对混凝土和钢筋采用适当的本构关系模型，也就常说的应力～应变关系。

(4)与一般有限元方法相同，确定各单元的单元刚度矩阵，并组合成结构的整体刚度矩阵。根据结构所受的荷载和约束，解出节点的未知位移，进而求出单元的应力。随着荷载和作用的不断增加，可以得到钢筋混凝土结构自开始受荷到破坏的整个过程的位移、应变、应力、裂缝的形成和发展、钢筋和混凝土结合面的粘结位移、钢筋的屈服和强化以及混凝土压碎破坏等人量有用的数据，为研究结构的性能和合理的设计方法提供可靠的依据。

要进行钢筋混凝土的非线性有限元分析，需要解决混凝土的破坏准则、本构模型、钢筋与混凝土之间的关系模型、裂缝问题以及有限元分析的计算机程序等几个问题。

三、钢筋混凝土有限元模型

经常提及的模型是线弹性模型，该模型也是工程上一般材料所采用的普遍关系模型，为

许多设计人员所接受和熟悉。线弹性类本构模型也是最简单、最基本的材料本构模型。材料变形在加载和卸载时都沿同一直线变化，完全卸载后无残余变形。因而，应力和应变有确定的一一对应的关系。其比值为材料的弹性常数，称为弹性模量。当然，混凝土的变形特性，如单向的受拉和受压，以及多轴应力一应变曲线都是非线性的，从原则上讲线弹性模型不适用。但是，在一些特定的情况下，采用线弹性模型仍不失为一种简捷、有效的方法。能够比较正确地模拟混凝土材料性质的模型是非线性类本构模型，主要有非线性弹性本构模型和弹塑性本构模型。非线性弹性本构的优点是能反映混凝土受力变形的主要特点：计算公式和参数值都来自试验数据的回归分析，在单调比例加载的情况下有很高的计算精度：模型的表达式简明、直观，易于理解和应用。因而，这种模型在工程中应用最广。但它也有的缺点：不能反映卸载和加载的区别，卸载后没有残余变形等，故不能应用于加、卸载循环和非比例加载等情况。弹朔性本构模型以塑性力学理论为基础，可以模拟混凝土在卸载和周期加荷时的变形特性。但是，其所作的假设跟混凝上的实际性能仍然有较大的区别，而且模型的数学模型不直观，计算过于复杂，不便于工程师接受和应用。

钢筋混凝土的有限元分析一般有三种离散模型: 分离式, 组合式, 整体式。

（1）分离式有限元模型

这是由不同材料构成一个结构时通用的计算方式，很自然地引入钢筋混凝土结构的分析中。其特点是混凝土单元刚度矩阵、钢筋单元刚度矩阵是分别计算的，然后统一集成到整体刚度矩阵中去。其优点是可按实际配筋划分单元，必要时可在钢筋与混凝土之间嵌入粘结单元。该单元的缺点是，当配筋量大且不规则时，划分单元的数量很大。

分离式模型

（2）组合式有限元模型

这一单元模型中已包含了钢筋与混凝土两种材料，在推导单元刚度矩阵时，采用了统一的位移函数，但考虑了不同的材料特性，同时计算单元刚度矩阵，单元刚度矩阵中已包括了混凝土和钢筋两种材料对单元刚度矩阵的贡献。这种模型的特点是单元数量减少，但计算精度可提高。但对每一个单元刚度的计算比较麻烦，当单元中钢筋布置不规则时，没有通用公

式可用，要自己推导，遇到配筋类别很多时，单元刚度的计算很麻烦。所以，这种单元是三种模式中应用较少的一种。

分层组合式

（3）整体式有限元模型

这一模型的单元也包括了两种材料对单元刚度矩阵的贡献，但它不再分别计算，而是将钢筋化为等效的混凝土，然后按一种材料计算单元刚度矩阵。这一模型的优点是单元划分少，计算量小，可适应复杂配筋的情况。故目前在一般实际工程结构计算中均采用这模型。这一模型的缺点是只能求得钢筋在所在单元中的平均应力，且不能计算钢筋与混凝土之间的粘结应力。

四、有限元分析方法和计算步骤

（1）将结构离散化

所谓离散化，是将所要分析的结构分割成有限单元体，使相邻单元仅在节点处相连接，分析对象由这个单元结合体代替原有结构。

（2）单元分析

在杆件结构中，杆件的节点力与节点位移之间的关系可用结构力学的方法，通过平衡（应力与外力）、协调（位移与变形）和物理（应力与应变）关系求得。在连续体（非杆件）结构中，单元节点力与结构位移之间的关系式（单元刚度矩阵）一般很难用结构力学的方法推导出来，而是假设位移模式，再用虚功原理来推导。

（3）以节点为隔离体，建立平衡方程

在有限元计算中不必逐个节点建立平衡方程，而是通过集合单元刚度矩阵为整体刚度矩阵来完成。

（4）施加荷载

如是非节点荷载可由静力平衡条件转化为节点荷载。

（5）引入边界条件

未经引入边界条件时，刚度矩阵是奇异的。从力学角度来看，这是由于没有边界约束的结构可以产生刚体位移，因而在一定的荷载作用下无法确定其位移的大小。

（6）求解方程

求得节点位移。

(7) 对每个单元循环

由单元节点位移通过单元刚度矩阵求得单元应力或杆件内力。

下面以压（弯）构件的截面分析为例，说明有限元分析方法具体在混凝土中的应用。首先得对构件作一些基本假设。为了便于非线性分析，作如下基本假设：(1)平截面假设，即横截面在受力前为平面，受力后仍然保持平面，纵向纤维的应变沿截面高度呈线性分布；(2)忽略剪切变形对梁截面变形的贡献；(3)梁不发生受弯破坏之外的其他形式的破坏；(4)无粘结预应力梁在受载过程中，预应力筋和孔道之间无摩擦损失。

结构离散化：采用组合单元模型如图（a ）

单元分析：截面任一点处（x ，y ）的应变

截面离散后各单元的应变和应变增量的向量可表示为

引入混凝土和钢筋的本构关系，得应力增量向量

截面上各应力的总和既为截面内力，平衡方程

用增量形式和矩阵符号可改写为

截面离散化

代入关系式后

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式中

五、钢筋混凝土有限元分析的发展和应用

在混凝土破坏准则方面：在早期的有限元分析中，比较多的是才采用莫尔-库仑破坏准则。这一准则有两个材料常数，它在应力空间可以表示为一个多角锥体。而在近代混凝土三轴破坏实验表明，多角锥不能精确地反映混凝土的破坏曲面。于是，三参数、四参数和五参数破坏准则相继被提出来。已有的实验结果证明，某些四参数和五参数公式已能很好地反映出混凝土在三轴应力状态下的破坏特征，可以用于实际工程分析，并具有足够的精度

在混凝土的本构关系方面：各国学者提出了多种多样的模型，如线弹性理论、非线弹性理论、弹塑性理论、内时理论、粘弹性和粘塑性理论等，但彼此之间差异较大。近年来，利用断裂力学和损伤力学的方法进行混凝土构件和结构分析，也取得了进展。可是，由于缺乏足够的实验基础，至今还没有一种公认的理论或本构模型，可以广泛用于各种条件下的混凝土结构分析。

在钢筋与混凝土间的粘结单元模型方面：已提出了多种不同的粘结单元模型，例如双弹簧连接单元、粘结斜杆单元、无厚度四节点或六节点粘结单元和斜弹簧单元等。而在粘结-滑移关系方面，在分析中初期采用的是线性关系，随后发展为非线性关系，提出了多种粘结-滑移曲线的数学表达式。由于影响因素较多，问题复杂，目前尚无完善的计算模式。

在裂缝处理方面初期的混凝土有限元分析采用分离式裂缝，即裂缝置于单元之间，一旦裂缝发展，则需要重新划分网格，这是很费时的，限制了它的进一步扩大应用。Franklin H A 于1970年提出了“弥散裂缝”的概念和处理方法，可以自动追踪裂缝的发展，这为有限元分析混凝土结构提供了有力的手段，得到了广泛的应用。20世纪80年代，人们又将断裂力学和损伤力学用于混凝土的裂缝分析，也取得可喜的进展。

在求解非线性有限元方程组方面：已经发展了多种有效的数值解法，最常用的是增量法和迭代法。但是，由于混凝土的应力-应变全曲线具有下降段，结构在达到极限承载力后产生“软化”现象。目前针对处理这种软化现象虽然已经发表了不少成果，但大多数还只是针对一些特定的情况，至今还有很多学者对此进行研究，不断有新的方法被推出。在考虑结构软化现象后，数值解法的稳定性和收敛性问题更缺乏理论上的论证。

六、钢筋混凝土结构有限元分析的特点与国内外研究现状

考虑大地震作用下进入强塑性阶段的钢筋混凝土结构的有限元分析与其他固体有限元分析的不同之处主要表现在以下几个方面：

1)需要模拟混凝土的开裂与裂缝的发展过程，特别是反复荷载作用下裂缝的开裂和闭合过程。2)需要在模型中正确地反映钢筋与混凝土之间的粘结和滑移机理。3)需要模拟混凝土材料在达到峰值应力以后的性能(因一个部位的混凝土达到峰值应力并不能说明整个结构达到极限状态)。同理也应模拟钢筋屈服以后的性能。4)对于复杂的钢筋混凝土结构，材料非线性问题与几何非线性问题同时存在。使得计算的难度大大增加。5)分析结果很大程度上依赖于混凝土材料和钢筋材料的本构关系以及钢筋与混凝土之间的粘结滑移本构关系。

对本构关系的深入研究和全面正确的描述是保证钢筋混凝土有限元分析结果可靠并能应用于工程实际的前提条件。正由于以上特点，钢筋混凝土结构有限元分析作为一个相对独]

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立的研究领域，受到土木工程界越来越广泛的重视。最早用有限元方法分析钢筋混凝土梁的，主要还是基于线弹性理论，但是根据试验观察结果，在混凝土梁中预先设置了裂缝，并且用无几何尺寸的弹簧来模拟钢筋和混凝土之间的粘结关系。这一研究获得了成功，引起了很大的反响。从那以后，许多学者在这一领域进行研究，发表了大量的研究成果。在近年的研究成果中，特别值得注目的是Okamura(冈村)和Maekawa(前川)以及Cervenca等人的研究。前川等在弥散裂缝模型(Smeared Crack Mode1)基础上提出的钢筋混凝土本构关系模型，通过引入动态裂缝坐标的概念，在与裂缝平行和垂直的方向建立了混凝土的拉、压、剪应力一应变关系，并与钢筋的本构模型迭加，较好地描述了反复静、动荷载作用下钢筋混凝土材料的力学性能。前川等的研究成果已在日本工程界得到广泛的认可并被越来越多地应用于复杂结构的抗震设计和检算。

我国是应用钢筋混凝土结构很广的国家，70年代开始对钢筋混凝土的有限元分析进行了广泛而深入的研究，取得了许多重要成果。近几年来。国内的学者在钢筋混凝土非线性有限元分析方面的研究主要取得了以下进展：

胡倍雷、宋玉普、赵国藩对普通混凝土经高温后在两向压荷载作用下的变形和强度特征进行了试验研究。薛伟辰、张志铁对普通钢筋混凝土结构和预应力混凝土结构在单调荷载及低周反复荷载下的受力全过程进行模拟分析。汪基伟、巫昌海等进行了混凝土三维等效单轴应变本构模型的研究，由试验反演出相应于最大应力的等效单轴应变值，并回归得到三轴受压时的计算式。胡文法、朱伯龙、黄鼎业对受损剪力墙进行了计算分析、并与试验结果进行了对比分析。

七、钢筋混凝土结构有限元分析的发展趋势

钢筋混凝土结构非线性有限元分析的目的，第一是认识钢筋混凝土结构在各类荷载作用下的受力性能和破坏机理；第二是为钢筋混凝土结构的合理设计提供依据。为更加合理地描述钢筋混凝土结构的受力性能和破坏机理，目前认为有必要对以下一些基本问题进行深入的研究：

1)在多轴应力状态下混凝土本构关系的试验及分析模型的建立。2)在反复荷载作用下混凝土受力性能的试验及滞回关系模型的描述。3)粘结、开裂及剪切机理的进一步研究和有限元描述。4)各种单元的最优选择，例如是选择钢筋与混凝土的组合单元还是单独选择混凝土单元和钢筋单元等。5)裂缝模式的最优选择，例如选择离散裂缝模式或者弥散裂缝模式的条件和适用场合，以及这种选择对计算结果的影响等。6)非线性计算的各种算法及其稳定性问题。

为更好地用非线性有限元分析方法解决钢筋混凝土结构设计中的各种复杂问题。还需要在下列问题上进行深入研究：1)研制大型、开放的钢筋混凝土结构非线性分析程序。2)比较和选择各种分析模型、计算方法。3)评价和改进现有抗震规范设计方法。

参考文献

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