数字信号处理电子教案-第六章
数字信号处理电子教案
第六章无限脉冲响应数字滤波器设计
江西理工大学物理教研室
2010年11月7日
数字信号处理教案
数字信号处理教案
数字信号处理教案
6.1 数字滤波器基本概念
数字滤波器是指完成信号滤波处理功能的，用有限精度算法实现的离散时间线性非时变系统，其输入是一组数字量，其输出是经过变换的另一组数字量。因此，它本身即可以是用数字硬件装配成的一台完成给定运算的专用数字计算机，也可以是将所需运算编成程序，让通用计算机来执行。数字滤波器具有稳定性高、精度高、灵活性大等优点。随着数字技术的发展，用数字技术实现滤波器的功能越来越受到人们的注意和广泛的应用。
一、 常用滤波器的性能指标
滤波器性能一般用系统频率特性)(ωj e H 来说明，常用的性能指标主要有以下三个参数：
1. 幅度平方函数
2
*()()*()
()() ()()
j j j j j j z e H e H e H e H e H e H z H z ω
ω
ωωωω-==?==
该性能指标主要用来说明系统的幅频特性。
2. 相位函数
()()Re[()]Im[()]()j j j j j j e H e H e j H e H e e ω
ωωωωβ=+=
其中：
?
??
???=)](Re[)](Im[)(ω
ωω
βj j j e H e H arctg e 该指标主要用来说明系统的相位特性。
3. 群延时
ω
βωτωd e d j )]
([)(-=
定义为相位对角频率导数的负值，说明了滤波器对不同的频率成分的平均延时。当要求在通带内的群延迟是常数时，滤波器相位响应特性应该是线性的。
二、实际滤波器的频率特性
实际设计中所能得到的滤波器的频率特性与理想滤波器的频率特性之间存在着一些显著的差别，现以低通滤波器的频率特性为例进行说明。
1. 理想滤波器的特性：
设滤波器输入信号为)(t x ，信号中混入噪音)(t u ，它们有不同的频率成分。滤波器的单位脉冲响应为)(t h 。则理想滤波器输出为：
()[()()]()()y t x t u t h t K x t τ=+*=?- （6-1）
即噪音信号被滤除0)()(=*t h t u ，而信号无失真只有延时和线性放大。对(6-1)式作傅里叶变换得：
()()()()()()j Y j X j H j U j H j Ke X j τ-ΩΩ=Ω?Ω+Ω?Ω=Ω （6-2）
假定噪音信号被滤除，即
()()0U j H j Ω?Ω= （6-3）
将（6-3）式代入（6-2）式整理得：
()
()()
j Y j H j Ke X j τ-ΩΩΩ=
=Ω
假定信号频率成分为：c Ω≤Ω，噪音频率成分为c Ω>Ω。则完成滤波的理想低通滤波器特性是：
||()()()0 ||j c c
K e
Y j H j X j τ
-Ω??Ω≤ΩΩΩ==?
ΩΩ>Ω? （6-4） 即 |||()|0 ||c
c K H j Ω≤Ω?Ω=?
Ω>Ω?
arg(())H j τΩ=-Ω
系统的单位脉冲响应为：
sin[()]
1
()2()
c
c
j j t c t h t Ke e d K
t ττπ
πτΩ-ΩΩ-Ω-Ω=
?Ω=-?
（6-6）
理性低通滤波器的频率特性如图6-1所示，单位脉冲响应的波形如图6-2所示。
2. 实际滤波器特性
理想滤波器具有非因果、无限长的单位脉冲响应和不连续的频率特性，要用稳定的线性时不变（LTI ）系统来实现这样的特性是不可能的。工程上是用脉冲响应为有限长的、因果的、稳定的线性时不变系统或具有连续频率特性的线性时不变系统来逼近理想特性。在满足一定的误差要求的情况下来实现理想滤波特性。因此实际的滤波器的频率特性如图6-3所示。其中
c ω——截止频率 s ω——阻带起始频率
c s ωω-——过渡带宽
在通带内幅度响应以1σ±的误差接近于1，即
11
1()1j c H e ω
σσωω-≤≤+≤
s ω为阻带起始频率，在阻带内幅度响应以小于2σ的误差接近于零，即
2
()j s H e ωσωωπ≤≤≤
c
图6-1 理想低通滤波器频率特性
h(t)
t
图6-2 理性滤波器的单位脉冲响应(0τ
=)
11δ+
1σ-2
σ图6-3 实际滤波器的频率特性
c s
ω
为了使逼近理想低通滤波器的方法成为可能，还必须提供一带宽为s c ωω-的不为零的过渡带。在这个频带内，幅度响应从通带平滑的下落到阻带。
三、设计无限长单位脉冲响应数字滤波器的常用方法
常用的IIR 滤波器设计方法主要有以下几种：
1. 以模拟滤波器函数为基础的变换法；即先设计一满足指定条件的模拟滤波器H(s)，再将该模拟滤波器转化为数字滤波器H(z)。
2. 直接设计法：在z 平面内，根据零、极点对系统特性的影响，调整零极点位置得H(z)。
3. 最优化设计法(计算机辅助设计)，在某种最小化误差准则下，建立差分方程系数 a k 、b i 对理想特性的逼近方程，使用迭代方法解方程组得到最佳逼近系统。由于此方法计算量大，需要借助于计算机进行设计。
在本书中着重研究第一种方法，即由模拟滤波器设计数字滤波器的方法。
6.2 模拟滤波器设计
为了从模拟滤波器设计IIR 数字滤波器，必须先设计一个满足技术指标的模拟原型滤波器。设计“模拟原型”滤波器有多种方法，如模拟低通逼近有巴特沃斯（Butter worth ）型，切比雪夫（Chebyshev ）型或椭圆（Elliptic ）型。低通滤波器是最基本的，至于高通、带通、带阻等滤波器可以用频率变换的方法由低通滤波器变换得到。
模拟滤波器设计就是将一组规定的设计要求，转化为相应的模拟系统函数()a H s ，使其逼近某个理想滤波器的特性。
一、根据幅度平方函数确定系统函数
模拟滤波器幅度响应常采用“幅度平方函数”2()A Ω表示。
2
2()()()()a a a s j A H j H s H s =ΩΩ=Ω=- (6-6)
式中()a H s 是模拟滤波器的系统函数，它是s 的有理函数。()a H j Ω是其稳态响应，又称为滤波器的频率响应。()a H j Ω是滤波器的稳态振幅特性。
从模拟滤波器变换为数字滤波器是从()a H s 开始的，为此必须由已知的2
()A Ω求得()a H s 。这就要将（6-6）式与s 平面的解释联系起来。设()a H s 有一临界频率（极点或零点）位于0s s =，则()a H s -必有一相应的临界频率落在0s s =-的位置，即当()a H s 的临界频率是落在
a j
b -±位置时，则()a H s -相应的临界频率必落在a jb + 的
位置。应该指出，纯虚数的临界频率必然是二阶的。在s 平面上，上述临界频率的特性如图6-4所示。所得到的对称形式称为象限对称。图中在j Ω轴上零点处所表示的数代表零点的阶次是二阶的。
图6-4 s 平面的零极点分布
任何实际的滤波器都是稳定的，因此极点必落在s 平面的左半平面。所以落于s 左半平面的极点都属于()a H s ，落于s 右半平面的极点都属于()a H s -。
零点的分布与滤波器的相位特性有关。如要求最小相位特性，则应选s 平面左半平面的零点为()a H s 的零点；若对相位有特殊要求，则可以以各种不同的组合来分配左半平面和右半平面的零点。
综上所述，可归纳出由2()A Ω确定()a H s 的方法是：
（1）根据（6-6）式，代入2
2
s Ω=-或js Ω=-到2()A Ω，得到一个s 平面的函数； （2）求出第一步中所得s 函数的所有零极点，将左半平面的极点分配给()a H s ，右半平面的极点分配给()a H s -，如要求最小相位特性，则应选s 平面左半平面的零点为()a H s 的零点；若对相位没有特殊要求，则可以各种不同的组合来分配左半平面和右半平面的零点。
（3）根据具体情况，对比()A Ω与()a H s 的低频或高频特性就可以确定出增益常数k 。 例6.1 根据以下幅度平方函数2()A Ω确定滤波器的系统函数()a H s 。
22
2
22
16(25)()(49)(36)
A -ΩΩ=+Ω+Ω 解：
（1）根据（6-6）式，代入2
2
s Ω=-到2()A Ω，得到一个s 平面的函数；
22
22
2
22
16(25)()()()
(49)(36)
a a s s H s H s A s s Ω=-+-=Ω=-- （2）求出()()a a H s H s -中所有的零极点，将左半平面极点分配给()a H s ， 极点为：7s =±，6s =± 零点为：5s j =±（二阶）
选6,7s s =-=-及一对虚轴零点5s j =±为的()a H s 极点和零点，即
20(25)
()(6)(7)
a k s H s s s +=
++ （6-7） （3）根据()A Ω低频特性确定出增益常数。
2
2()()a A H j Ω=Ω 2
2(0)(0)a A H ∴=
代入（6-7）式得2
00164k k =?=，即
222
4(25)4100
()(6)(7)1342
a s s H s s s s s ++==++++ 二、巴特沃斯（Butterworth ）低通滤波器的设计
巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数定义为
2221
|()|1N
H j C λλ
=
+ （6-8） 其中C 为一常数参数，N 为滤波器阶数，λ为归一化低通截止频率,
/p λ=ΩΩ。
式中N 为整数，是滤波器的阶次。
巴特沃斯低通滤波器在通带内具有最大平坦的振幅特性，这就是说，N 阶低通滤波器在0Ω=处
幅度平方函数的前2N-1阶导数等于零，在阻带内的逼近是单调变化的。巴特沃斯低通滤波器的振幅特性如图6-6所示。 滤波器的特性完全由其阶数N 决定。当N 增
加时，滤波器的特性曲线变得更陡峭，这时虽然由（6-8）式决定了在p Ω=Ω处的幅度函数总是衰减3dB ，但是它们将在通带的更大范围内接近于1，在阻带内更迅速的接近于零，因而振幅特性更接近于理想的矩形频率特性。滤波器的振幅特性对参数N 的依赖关系如图6-6所示。
设归一化巴特沃斯低通滤波器的归一化频率为λ，归一化传递函数为()H p ，其中p j λ=，则由（6-6）式和（6-8）式得：
2
221
()
1(1)N N
p H j C p
λλ=
=
+- 由于
221
()()()
1()
a a js
N
c
H s H s A s j Ω=--=Ω=
+Ω （6-9）
所以巴特沃斯滤波器属于全极点滤波器。
1、常用设计巴特沃斯低通滤波器指标
p λ：通带截止频率； p α：通带衰减，单位：dB ； s λ：阻带起始频率； s α：阻带衰减，单位：dB 。
说明：
（1）衰减在这里以分贝（dB ）为单位；即
p
图6-6 巴特沃斯低通滤波器的振幅特性
图6-6 巴特沃斯低通滤波器指标
222
110lg
10lg 1()
N
C H j αλλ??==+??
（2）当3dB α=时p C Ω=Ω为通常意义上的截止频率。 （3）在滤波器设计中常选用归一化的频率/C λ=ΩΩ，即
1,
p s
p s p
p
λλΩΩ=
==
ΩΩ 2、巴特沃斯低通滤波器设计实质
根据设计指标要求p λ，p α，s λ，s α确定归一化巴特沃斯低通滤波器幅度平方函数中的待定系数C 及滤波器的阶数N ；然后再根据幅度平方函数确定巴特沃斯低通滤波器的传递函数H(s)。
（1）将实际频率Ω归一化得1p p p
λΩ=
=Ω，s
s p
λΩ=
Ω，再根据已知的p α，s
α，幅度平方函数
2221
|()|1N H j C λλ=
+ 确定C 和N 。
（2） 求C 和N 由()222
1()10lg
10lg 1()
N C H j αλλλ==+并带入 p λ，p α，s λ，s α得
()()222210lg 10lg 11N
p p N s s
C C αλλα=?+??+=?? 即
2
22
21010
1010
11
N
p N
s
p s C C
ααλλ=?-???=-?
因为1p λ=，所以
2
10101p
C α=-
由10
1022
10101101101
s
s
p N
s
C αααλ
--==-两边取对数得：
lg lg s
a N λ=
其中a =这样可以求出C 和N 。
注意：当3p dB α=时，20.3
101011011p
C α=-=-=，即C=1，此时巴特沃斯滤波器只剩下一个参数
N 。
（3）确定巴特沃斯滤波器的传递函数H(p)。 由于
2
2211
()()()
1(1)1()
p N N
N j
H p H p G j p p j
λλ=
-==
=+-+ 由21(1)0N N p +-=，解得极点为：
212,1,2,,2k N N
j k p e
k N π+-==
将p 左半平面的极点赋予()H p 即
()()()
121
()N H p p p p p p p =
---
其中
212,1,2,,k N N
j k p e
k N π+-==
为了便于设计，工程上已将当1p λ=时，各阶巴特沃斯低通滤波器系统函数设计成表格供查阅，该表如表6-1所示。在表6-1中的函数被称为归一化巴特沃斯原型低通滤波器系统函数。
（4）去掉归一化影响 上面设计中采用归一化的频率即1p λ=，而实际中截止频率为p Ω，所以要进行如下的变量代换：
p p
s p j j
λΩ===ΩΩ 即 ()()p
s p H s H p =
Ω=
综上，归纳出设计巴特沃斯低通滤波器的方法如下：
（1）计算归一化频率1p p p
λΩ=
=Ω，s
s p
λΩ=
Ω。 （2） 根据设计要求按照2
10
10
1p
C α=-和lg lg s
a
N λ=
其中a =参数C 和阶次N ；注意当3p dB α=时 C=1。
（3）利用N 查表获得归一化巴特沃斯低通原型滤波器的系统函数()H p ； （4）令()H p 中的p
s
p =
Ω得到截止频率为p Ω的巴特沃斯低通滤波器的系统函数。 例6-2 已知滤波器的3dB 截止频率为60Hz ，试求一个二阶巴特沃斯低通滤波器的实现方案。解：
根据题义，滤波器设计指标为：截止频率50c f Hz =；阶数N=2；查表得归一化低通巴特沃斯原型滤波器的系统函数为：
2
1
()1 1.414H p p p =
++
2100c c f ππΩ==rad/s ，代入()H p 得：
2
4
2
4
1()()1 1.414()()
1001009.8710444.39.8710c
s p H s H p s s s s ππ=
Ω==
++?=++?
例6-3 试设计一个巴特沃斯低通滤波器，要求截止频率5000p f Hz =，通带最大衰减
3p dB α=，阻带起始频率10000s f Hz =，阻带最小衰减30s dB α=。
解：已知225000p p f ππΩ==?，3p dB α=，2210000s s f ππΩ==?，30s dB α= （1）计算归一化频率1p p p
λΩ=
=Ω，2s
s p
λΩ=
=Ω。 （2）计算出巴特沃斯滤波器的阶次N 及C
2
0.3101011011p
C α=-=-=
31.637a =
==则 lg lg31.637
4.982lg lg 2s a N λ===
选择N=6。
（3）利用N 查表获得归一化巴特沃斯低通原型滤波器的系统函数()H p ；
54321
() 3.2361 5.2361 5.2361 3.23611
H p p p p p p =
+++++
（4）去掉归一化影响
205
5
448231232164205
()()103.23610 5.23610 5.23610 3.2361010p
s p H s H p s s s s s ππππππ=
Ω==+?+?+?+?+
三、切比雪夫（Chebyshev ）滤波器设计
巴特沃斯滤波器的频率特性曲线，无论在通带内还是阻带内都是频率的单调函数。因此，当通带的边界处满足指标要求时，通带内肯定会有裕量。所以，更有效的设计方法应该是将精确度均匀的分布在整个通带或阻带内，或者同时分布在两者之内。这样就可用较低阶数的系统满足要求。这可通过选择具有等波纹特性的逼近函数来达到。
切比雪夫滤波器的振幅特性就具有这种等波纹特性。它有两种类型：振幅特性在通带内是等波纹的，在阻带内是单调的称为切比雪夫I 型滤波器；振幅特性在通带内是单调的，在阻带内是等波纹的称为切比雪夫II 型滤波器。采用何种形式的切比雪夫滤波器取决于实际用途。图6-7和图6-8分别画出了N 为奇数、偶数时的切比雪夫I 、II 型滤波器的频率特性。
p
s
p
(a)
1
(b)
1
图
6-7 切比雪夫I 型滤波器的振幅特性 （a ）N=3，2dB 通带波纹的切比雪夫振幅特性 （b ）
N=4，2dB 通带波纹的切比雪夫振幅特性
(a)
1
(b)
1
图6-8 切比雪夫II 型滤波器的振幅特性
p
s
/p
ΩΩp λs
/p
ΩΩp s
p
1、切比雪夫I 型滤波器的基本特点
现在介绍切比雪夫I 型滤波器的设计，切比雪夫归一化滤波器的幅度平方函数为
()
2
222
1
()()1N A H j c λλελ==
+ （6-11） ε为小于1的正数，表示通带内振幅波动的程度。ε越大，波动也越大。/p
λ=ΩΩ
为Ω对截止频
率p Ω的归一化频率，p Ω为截止频率，也是滤波器的通带带宽（注：切比雪夫滤波器的通带带宽并不一定是3dB 带宽）。()N C x 是N 阶切比雪夫多项式，定义为
11
cos()01()()
1N Ncos x x C x ch Nch x x --?<≤?
=?≥?? （6-12） 其中1cos ()x -为反余弦函数；()ch x 为双曲余弦函数；1()ch x -为反双曲余弦函数；它们的定义如（6-13）式和（6-14）式所示
2
x x
e e chx -+= （6-13）
1()()ln(ch x arcch x x -== （6-14）
（6-12）式可展开为多项式的形式如表6-2所示：
由表6-2可归纳出各阶切比雪夫多项式的递推公式为
11()2()()N N N C x xC x C x +-=- （6-16）
图6-9示出了N=0，4，6时切比雪夫多项式的特性。由图6-9可见：
1. 切比雪夫多项式的零值在01x <<的间隔内。
2. 当x<1时，()1N C x ≤，且具有等波纹幅度特性。
3. 在1x ≤的区间外，()N C x 是双曲余弦函数，随着x 而单调增加。
再看函数22()N C x ε，ε是小于1的实数，22
()N C x ε的值在1x ≤之内，将在0至2ε之间改变。而221()N C x ε+的函数值在1x ≤之内，将在1至21ε+之间改变。然后将221()N C x ε+取倒数，
即可得（6-11）式的切比雪夫I 型滤波器幅度平方函数。
根据以上所述，在
1λ≤，2
()H j λ在接近1处振荡，其最
大值为1，最小值为2
11ε+。在此范围之外，随着λ增大，
表6-2 切比雪夫多项
1
图6-9 切比雪夫多项式曲线
22()1N C ελ ，则2
()H j λ很快接近于零。图6-7画出了切比雪夫I 型滤波器振幅特性曲线，从中
可以看出：振幅特性()H j λ的起伏为1
～
，因2
(1)1N C =，所以在1p λ=时
，
()H j λ=
I 型滤波器的截止频率并不对应3dB 的衰减。
2、切比雪夫I 型滤波器设计方法
由（6-11）式可知，要确定切比雪夫滤波器的幅度平方函数，需要确定三个参数：,c εΩ及N 。下面研究如何确定这三个参数，具体步骤如下：
(1) 将实际频率Ω归一化得
1p p p
λΩ=
=Ω，s
s p
λΩ=
Ω 再根据已知的p
α，
s α，幅度平方函数2221
|()|1()
N H j C λελ=
+ 确定ε和N 。 (2)确定ε和N 。
定义通带波纹(即通带衰减)()αλ（以分贝为单位）为：
22
2
1()10lg
10lg 1()()
N C H j αλελλ??==+??
代入 p λ，p α，s λ，s α得
22
2210lg 10lg 1()1()N p p N s s
C C αελελα=??+???????+=???? 即
2
2
2
2
10
10221
()10()
101
1()N p N S p s s C C ch Nch ααε
λε
λελ-=?-????=-=????
因为1p λ=，2
(1)1N C =，所以
210101p
αε=-
101021
22
10101
101
()101
s
s
p
s ch Nch a ααλε---??=
=
=??-
则 11()
()
s ch a N ch λ--=
其中
a =
这样可以求出ε和N
，其中1()ln ch x x -=±
在已知ε、N 、p Ω的情况下，就可以根据幅度平方函数求出滤波器的零点和极点，从而确定滤波器的系统函数。
为了设计方便，工程上已将截止频率1p λ=的切比雪夫低通滤波器的系统函数设计为表格供设计时查阅。归一化原型切比雪夫低通滤波器的系统函数如（6-18）式所示，设计表格如表6-3所示。
210121()N N
N d H p a a p a p a p p
--=
+++++ （6-18） 再次强调，表6-3是归一化1p λ=的结果，对于具体的c Ω，其系统函数()a H s 可由（6-19）
表6-3 归一化切比雪夫原型滤波器分母多项式设计系数
式得到。
()()S p
p H s H p Ω== （6-19）
综上所述，设计切比雪夫低通滤波器的基本步骤如下： （1）计算归一化频率1p p p
λΩ=
=Ω，s
s p
λΩ=
Ω。 （2）根据通带波纹（通带衰减）p αdb ，按照2
10101p
αε=-式计算ε；
（3）根据阻带起始频率s λ，阻带衰减s α和ε。按照1
1()()
s ch a N ch λ--=
其中a =滤波器的阶数N ；
（4）根据滤波器阶数N ，查表得归一化原型切比雪夫滤波器系统函数()H p ；根据()H p 的低频特性求出待定系数0d ，注：当N
为偶数时，(0)H =
；当N 为奇数时，(0)1H =。
（6）去掉归一化影响 根据截止频率p Ω，按照()()S p
p H s H p Ω
==式计算切比雪夫滤波器的系
统函数()H s ；
例6-4 已知通带波纹为1db ，截止频率0.3/p rad s Ω=，阻带截止频率0.5/s rad s Ω=，阻带衰减大于16db ，试设计满足上述性能指标的切比雪夫Ⅰ型低通滤波器。
解：已知0.3p Ω=，1p dB α=，0.5s Ω=，15s dB α= （1）计算归一化频率1p p p
λΩ==Ω， 1.6667s
s p
λΩ=
=Ω。 （2）计算ε。
2
0.1101011010.2589p
αε=-=-=
（3）计算滤波器的阶数N ；
10.8757a =
= 1111()(10.8757) 2.8013()(1.6667)
s ch a ch N ch ch λ----===
选定 N=3。
（4）根据滤波器阶数N ，查表得归一化原型切比雪夫滤波器系统函数()H p ；
32()0.9883 1.23840.4913
K
H p p p p =
+++
因为当N 为奇数时，(0)1H =
即 (0)0.49131H K == 所以
0.4913K =
（6）去掉归一化影响
320.0133
()()0.29650.11150.0133
S p
p H s H p s s s Ω===
+++
四、其它各型滤波器设计
1. 模拟高通滤波器设计
由于滤波器的幅频特性都是偶函数，所以模拟低通滤波器()G j λ和模拟高通滤波器的幅频特性
()H j η如图6-10（a ）和（b ）所示。
其中：λ和η分别是模拟低通滤波器和高通滤波器的归一化频率；
观察图6-10（a ）和（b ）可知模拟低通滤波器和高通滤波器的归一化频率存在如下关系如表6-4所示。从而有：
1
ηλ
=
（6-20）
通过式6-20可将高通滤波器的归一化频率转化为低通滤波器的归一化频率，同时通带和阻带衰减p α和s α保持不变。
若令高通滤波器和低通滤波器的传递函数分别为()H q 和()G p ，其中q j η=，p j λ=则
1
11q j j
j p
ηλ
λ===-
=-
表6-4 λ和η间的关系
p S
p S p
S S
λ
图（a ） 模拟低通滤波器的幅频特性 图（b ） 模拟高通滤波器的幅频特性
图6-10 模拟高通滤波器设计
即 11()()
()p H q G p G q
=-
==-
由于()G p 是偶函数所以
1()()p q
H q G p ==
上式即为将模拟低通滤波器变换为高通滤波器的变换关系。 在经过去归一化得
()()()p p
p s
s q H s H q G p Ω==
Ω== （6-21）
这样即得到模拟高通滤波器的传递函数。
由模拟低通滤波器变换为高通滤波器的方法归纳如下： 1、将频率归一化；
2、将高通滤波器的指标映射为低通滤波器的指标；
3、根据低通滤波器的指标设计低通滤波器；
4、根据()()p p H s G p Ω==求高通滤波器的传递函数。
例6-6 设计一高通模拟滤波器，要求100p f Hz =，3p dB α=，
50s f Hz =，30s dB α=，用
巴特沃斯滤波器设计。 解
1、 先将频率归一化，得1p p
p
ηΩ==Ω，0.5s
s p
ηΩ=
=Ω 2、 利用
1ηλ=作频率转化将高通滤波器的指标映射为低通滤波器的指标，得
1
1p p
λη=
=，1
2s s
λη=
=
由已知知
3p dB
α=，
30s dB α=
3、 根据上述低通滤波器的指标设计低通巴特沃斯滤波器，得
C=1，N=6，查表可得归一化转移函数为
5
4
3
2
1
() 3.2361 5.2361 5.2361 3.23611
G p p p p p p =
+++++
4、 根据()()p p s
H s G p Ω==求高通滤波器的传递函数，其中200p p s s
π
Ω=
=
带入上式得 5
5
3463921113
200()()2.03310 2.06710 1.29910 5.044109.79310p H s G p s s s s s s π
===+?+?+?+?+?
2. 带通滤波器设计
模拟带通滤波器的四个频率参数分别是sl Ω，1Ω，3Ω，sh Ω。其中1
Ω，
3Ω分别是通带下限
和上限截止频率。
sl Ω，sh Ω分别是阻带的下限、上限频率，下面进行归一化处理。 定义通带带宽
31BW Ω=Ω-Ω，并以该频率为参考频率对Ω轴作归一化处理，即
1
1BW ηΩ=
Ω，33BW ηΩ=Ω，sl sl BW ηΩ=Ω，sh sh BW
ηΩ=Ω 再定义阻带中心频率2213Ω=ΩΩ，归一化为：
2
213ηηη=。 归一化频率的带通滤波器幅频特性如图6-11（b ）所示，低通滤波器的幅频特性如图6-11（b ）所示。
表6-6给出了η和λ间的关系
由上图可知：
1、 由于在η轴上有2213ηηη=即2
32
1ηηη=，也就是说在η轴上1η关于2η的对称点为
2321ηηη=；则在23ηη 之间的任意一点η关于2η的对称点应为22ηηη'
=；
2、在2
3ηη 之间的任意一点η映射为λ轴上的对应点在0p λ 之间的λ，2
2
ηη映射为λ-，
于是得到η和λ间的对应关系为：
2
23122p
ηηηλ
ηηλ-=
- 表6-6 ε和λ间的关系
p s
sh
3
p s sl
1λ
2(a) 低通滤波器的幅频特性
（b ）带通滤波器的幅频特性
图6.2.2 带通滤波器的幅频特性
数字信号处理答案解析
1-1画出下列序列的示意图 (1) (2) (3) (1) (2)
(3) 1-2已知序列x(n)的图形如图1.41，试画出下列序列的示意图。 图1.41信号x(n)的波形 (1)(2)
(3) (4) (5)(6) (修正：n=4处的值为0，不是3）（修正：应该再向右移4个采样点）1-3判断下列序列是否满足周期性，若满足求其基本周期 (1) 解：非周期序列; (2) 解：为周期序列，基本周期N=5; (3)
解：，，取 为周期序列，基本周期。 (4) 解： 其中，为常数 ，取，，取 则为周期序列，基本周期N=40。 1-4判断下列系统是否为线性的？是否为移不变的？ (1)非线性移不变系统 (2) 非线性移变系统（修正：线性移变系统） (3) 非线性移不变系统 (4) 线性移不变系统 (5) 线性移不变系统（修正：线性移变系统）1-5判断下列系统是否为因果的？是否为稳定的？ (1) ，其中因果非稳定系统 (2) 非因果稳定系统 (3) 非因果稳定系统 (4) 非因果非稳定系统
(5) 因果稳定系统 1-6已知线性移不变系统的输入为x(n)，系统的单位脉冲响应为h(n)，试求系统的输出y(n)及其示意图 (1) (2) (3) 解：（1） （2） （3）
1-7若采样信号m(t)的采样频率fs=1500Hz，下列信号经m(t)采样后哪些信号不失真？ (1) (2) (3) 解： (1)采样不失真 (2)采样不失真 (3) ，采样失真 1-8已知,采样信号的采样周期为。 (1) 的截止模拟角频率是多少？ (2)将进行A/D采样后，的数字角频率与的模拟角频率的关系如何？ (3)若，求的数字截止角频率。 解： (1) (2) (3)
数字信号处理习题集(附答案)
第一章数字信号处理概述 简答题： 1．在A/D变换之前和D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，它们分别起什么作用？ 答：在A/D变化之前为了限制信号的最高频率，使其满足当采样频率一定时，采样频率应大于等于信号最高频率2倍的条件。此滤波器亦称为“抗混叠”滤波器。 在D/A变换之后为了滤除高频延拓谱，以便把抽样保持的阶梯形输出波平滑化，故又称之为“平滑”滤波器。 判断说明题： 2．模拟信号也可以与数字信号一样在计算机上进行数字信号处理，自己要增加一道采样的工序就可以了。 （） 答：错。需要增加采样和量化两道工序。 3．一个模拟信号处理系统总可以转换成功能相同的数字系统，然后基于数字信号处理理论，对信号进行等效的数字处理。（） 答：受采样频率、有限字长效应的约束，与模拟信号处理系统完全等效的数字系统未必一定能找到。因此数字信号处理系统的分析方法是先对抽样信号及系统进行分析，再考虑幅度量化及实现过程中有限字长所造成的影响。故离散时间信号和系统理论是数字信号处
理的理论基础。 第二章 离散时间信号与系统分析基础 一、连续时间信号取样与取样定理 计算题： 1．过滤限带的模拟数据时，常采用数字滤波器，如图所示，图中T 表示采样周期（假设T 足够小，足以防止混叠效应），把从)()(t y t x 到的整个系统等效为一个模拟滤波器。 （a ） 如果kHz T rad n h 101,8)(=π截止于，求整个系统的截止频 率。 （b ） 对于kHz T 201=，重复（a ）的计算。 采样（T） () n h () n x () t x () n y D/A 理想低通T c πω=() t y 解 （a ）因为当0)(8=≥ω πωj e H rad 时，在数 — 模变换中 )(1)(1)(T j X T j X T e Y a a j ωω=Ω= 所以)(n h 得截止频率8πω=c 对应于模拟信号的角频率c Ω为 8 π = ΩT c 因此 Hz T f c c 625161 2==Ω= π
信号处理-习题(答案)
数字信号处理习题解答 第二章 数据采集技术基础 2.1 有一个理想采样系统，其采样角频率Ωs =6π，采样后经理想低通滤波器H a (j Ω)还原，其中 ?? ???≥Ω<Ω=Ωππ 3032 1 )(，，j H a 现有两个输入，x 1(t )=cos2πt ，x 2(t )=cos5πt 。试问输出信号y 1(t )， y 2(t )有无失真？为什么？ 分析：要想时域采样后能不失真地还原出原信号，则采样角频率Ωs 必须大于等于信号谱最高角频率Ωh 的2倍，即满足Ωs ≥2Ωh 。 解：已知采样角频率Ωs =6π，则由香农采样定理，可得 因为x 1(t )=cos2πt ，而频谱中最高角频率ππ π32 621 =< =Ωh ， 所以y 1(t )无失真； 因为x 2(t )=cos5πt ，而频谱中最高角频率ππ π32 652 => =Ωh ， 所以y 2(t )失真。 2.2 设模拟信号x (t )=3cos2000πt +5sin6000πt +10cos12000πt ，求： （1） 该信号的最小采样频率； （2） 若采样频率f s =5000Hz ，其采样后的输出信号； 分析：利用信号的采样定理及采样公式来求解。 ○ 1采样定理 采样后信号不失真的条件为：信号的采样频率f s 不小于其最高频
率f m 的两倍，即 f s ≥2f m ○ 2采样公式 )()()(s nT t nT x t x n x s === 解：（1）在模拟信号中含有的频率成分是 f 1=1000Hz ，f 2=3000Hz ，f 3=6000Hz ∴信号的最高频率f m =6000Hz 由采样定理f s ≥2f m ，得信号的最小采样频率f s =2f m =12kHz （2）由于采样频率f s =5kHz ，则采样后的输出信号 ? ?? ? ????? ??-???? ????? ??=? ??? ????? ??+???? ????? ??-???? ????? ??=? ??? ????? ??++???? ????? ??-+???? ????? ??=? ??? ????? ??+???? ????? ??+???? ????? ??=? ?? ? ??====n n n n n n n n n n n f n x nT x t x n x s s nT t s 522sin 5512cos 13512cos 10522sin 5512cos 35112cos 105212sin 5512cos 3562cos 10532sin 5512cos 3)()()(πππππππππππ 说明：由上式可见，采样后的信号中只出现1kHz 和2kHz 的频率成分， 即 kHz f f f kHz f f f s s 25000200052150001000512211 ======，， 若由理想内插函数将此采样信号恢复成模拟信号，则恢复后的模拟信号
数字信号处理第三课后习题答案
数字信号处理课后答案 教材第一章习题解答 1. 用单位脉冲序列()n δ及其加权和表示题1图所示的序列。 解： ()(4)2(2)(1)2()(1)2(2)4(3) 0.5(4)2(6) x n n n n n n n n n n δδδδδδδδδ=+++-+++-+-+-+-+- 2. 给定信号：25,41()6,040,n n x n n +-≤≤-?? =≤≤??? 其它 （1）画出()x n 序列的波形，标上各序列的值； （2）试用延迟单位脉冲序列及其加权和表示()x n 序列； （3）令1()2(2)x n x n =-，试画出1()x n 波形； （4）令2()2(2)x n x n =+，试画出2()x n 波形； （5）令3()2(2)x n x n =-，试画出3()x n 波形。 解： （1）x(n)的波形如题2解图（一）所示。 （2） ()3(4)(3)(2)3(1)6() 6(1)6(2)6(3)6(4) x n n n n n n n n n n δδδδδδδδδ=-+-+++++++-+-+-+- （3）1()x n 的波形是x(n)的波形右移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（二）所示。 （4）2()x n 的波形是x(n)的波形左移2位，在乘以2，画出图形如
题2解图（三）所示。 （5）画3()x n 时，先画x(-n)的波形，然后再右移2位，3()x n 波形如题2解图（四）所示。 3. 判断下面的序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。 （1）3()cos()7 8x n A n π π=-，A 是常数； （2）1 ()8 ()j n x n e π-=。 解： （1）3214 , 73w w ππ==，这是有理数，因此是周期序列，周期是T=14； （2）12,168w w π π==，这是无理数，因此是非周期序列。 5. 设系统分别用下面的差分方程描述，()x n 与()y n 分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。 （1）()()2(1)3(2)y n x n x n x n =+-+-； （3）0()()y n x n n =-，0n 为整常数； （5）2()()y n x n =； （7）0()()n m y n x m ==∑。 解： （1）令：输入为0()x n n -，输出为 '000' 0000()()2(1)3(2) ()()2(1)3(2)() y n x n n x n n x n n y n n x n n x n n x n n y n =-+--+---=-+--+--= 故该系统是时不变系统。 12121212()[()()] ()()2((1)(1))3((2)(2)) y n T ax n bx n ax n bx n ax n bx n ax n bx n =+=++-+-+-+- 1111[()]()2(1)3(2)T ax n ax n ax n ax n =+-+-
数字信号处理教案
数字信号处理教案
数字信号处理教案
课程特点: 本课程是为电子、通信专业三年级学生开设 的一门课程，它是在学生学完了信号与系统的课程后，进一步为学习专业知识打基础的课程。本课程将通过讲课、练习使学生掌握数字信号处理的基本理论和方法。课程内容包括：离散时间信号与系统；离散变换及其快速算法；数字滤波器结构；数字滤波器设计；数字信号处理系统的实现等。 本课程逻辑性很强, 很细致, 很深刻；先难后易, 前三章有一定的难度, 倘能努力学懂前三章(或前三章的0 080), 后面的学习就会容易一些；只要在课堂上专心听讲, 一般是可以听得懂的, 但即便能听懂, 习题还是难以顺利完成。这是因为数字信号分析技巧性很强, 只了解基本的理论和方法, 不辅以相应的技巧, 是很难顺利应用理论和方法的。论证训练是信号分析课基本的,也是重要的内容之一, 也是最难的内容之一。 因此, 理解证明的思维方式, 学习基本的证明方法, 掌握叙述和书写证明的一般语言和格式, 是信号分析教学贯穿始终的一项任务。 鉴于此, 建议的学习方法是： 预习, 课堂上认
真听讲, 必须记笔记, 但要注意以听为主, 力争在课堂上能听懂七、八成。课后不要急于完成作业, 先认真整理笔记, 补充课堂讲授中太简或跳过的推导, 阅读教科书, 学习证明或推导的叙述和书写。基本掌握了课堂教学内容后, 再去做作业。在学习中, 要养成多想问题的习惯。 课堂讲授方法: 1. 关于教材: 《数字信号处理》作者丁玉美高西全西安电子科技大学出版社 2. 内容多, 课时紧: 大学课堂教学与中学不同的是每次课介绍的内容很多, 因此, 内容重复的次数少, 讲课只注重思想性与基本思路, 具体内容或推导特别是同类型或较简的推理论证及推导计算, 可能讲得很简, 留给课后的学习任务一般很重。. 3. 讲解的重点: 概念的意义与理解, 理论的体系, 定理的意义、条件、结论、定理证明的分析与思路, 具有代表性的证明方法, 解题的方法与技巧，某些精细概念之间的本质差别. 在教学中, 可能会写出某些定理证明, 以后一般不会做特别具体的证明叙述.
数字信号处理试题和答案 (1)
一. 填空题 1、一线性时不变系统，输入为x（n）时，输出为y（n）；则输入为2x（n）时，输出为2y(n) ；输入为x（n-3）时，输出为y(n-3) 。 2、从奈奎斯特采样定理得出，要使实信号采样后能够不失真还原，采样频率fs与信号最高频率f max关系为：fs>=2f max。 3、已知一个长度为N的序列x(n)，它的离散时间傅立叶变换为X（e jw），它的N点离散傅立叶变换X（K）是关于X（e jw）的N 点等间隔采样。 4、有限长序列x(n)的8点DFT为X（K），则X（K）= 。 5、用脉冲响应不变法进行IIR数字滤波器的设计，它的主要缺点是频谱的交叠所产生的现象。 6．若数字滤波器的单位脉冲响应h（n）是奇对称的，长度为N，则它的对称中心是(N-1)/2 。 7、用窗函数法设计FIR数字滤波器时，加矩形窗比加三角窗时，所设计出的滤波器的过渡带比较窄，阻带衰减比较小。 8、无限长单位冲激响应（IIR）滤波器的结构上有反馈环路，因此是递归型结构。 9、若正弦序列x(n)=sin(30nπ/120)是周期的,则周期是N= 8 。 10、用窗函数法设计FIR数字滤波器时，过渡带的宽度不但与窗的类型有关，还与窗的采样点数有关 11．DFT与DFS有密切关系，因为有限长序列可以看成周期序列的主值区间截断，而周期序列可以看成有限长序列的周期延拓。 12．对长度为N的序列x(n)圆周移位m位得到的序列用x m (n)表示，其数学表达式为 x m (n)= x((n-m)) N R N (n)。 13．对按时间抽取的基2-FFT流图进行转置，并将输入变输出，输出变输入即可得到按频率抽取的基2-FFT流图。 14.线性移不变系统的性质有交换率、结合率和分配律。 15.用DFT近似分析模拟信号的频谱时，可能出现的问题有混叠失真、泄漏、栅栏效应和频率分辨率。
数字信号处理基础书后题答案中文版
Chapter 2 Solutions 2.1 最小采样频率为两倍的信号最大频率，即44.1kHz 。 2.2 (a)、由ω = 2πf = 20 rad/sec ，信号的频率为f = 3.18 Hz 。信号的奈奎斯特采样频率为6.37 Hz 。 (b)、3 5000π=ω，所以f = 833.3 Hz ，奈奎斯特采样频率为1666.7 Hz 。 (c)、7 3000π=ω，所以f = 214.3 Hz ，奈奎斯特采样频率为428.6 Hz 。 2.3 (a) 1258000 1f 1T S S ===μs (b)、最大还原频率为采样频率的一半，即4000kHz 。 2.4 ω = 4000 rad/sec ，所以f = 4000/(2π) = 2000/π Hz ，周期T = π/2000 sec 。因此，5个周期为5π/2000 = π/400 sec 。对于这个信号，奈奎斯特采样频率为2(2000/π) = 4000/π Hz 。所以采样频率为f S = 4(4000/π) = 16000/π Hz 。因此5个周期收集的采样点为(16000/π samples/sec )(π/400 sec) = 40。 2.5 ω = 2500π rad/sec ，所以f = 2500π/(2π) = 1250 Hz ，T = 1/1250 sec 。因此，5个周期为5/1250 sec 。对于这个信号，奈奎斯特采样频率为2(1250) = 2500 Hz ，所以采样频率为f S = 7/8(2500) = 2187.5 Hz 。采样点数为(2187.5 点/sec)(5/1250 sec) = 8.75。这意味着在模拟信号的五个周期内只有8个点被采样。事实上，对于这个信号来说，在整数的模拟周期中，是不可能采到整数个点的。 2.6 2.7 信号搬移发生在kf S ± f 处，换句话说，频谱搬移发生在每个采样频率的整数倍 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 频率/kHz
(完整版)数字信号处理教程程佩青课后题答案
第一章 离散时间信号与系统 2.任意序列x(n)与δ(n)线性卷积都等于序列本身x(n)，与δ(n-n 0)卷积x(n- n 0),所以（1）结果为h(n) (3)结果h(n-2) （2 （4） 3 .已知 10,)1()(<<--=-a n u a n h n ，通过直接计算卷积和的办法，试确定 单位抽样响应为 )(n h 的线性移不变系统的阶跃响应。 4. 判断下列每个序列是否是周期性的,若是周期性的,试确定其周期： ) 6 ()( )( )n 313 si n()( )()8 73cos( )( )(πππ π-==-=n j e n x c A n x b n A n x a 分析： 序列为)cos()(0ψω+=n A n x 或)sin()(0ψω+=n A n x 时，不一定是周期序列， n m m m n n y n - - -∞ = - ? = = ≥ ∑ 2 3 1 2 5 . 0 ) ( 0 1 当 3 4 n m n m m n n y n 2 2 5 . 0 ) ( 1 ? = = - ≤ ∑ -∞ = - 当 a a a n y n a a a n y n n h n x n y a n u a n h n u n x m m n n m m n -= = ->-= = -≤=<<--==∑∑--∞ =---∞=--1)(11)(1) (*)()(1 0,)1()()()(:1 时当时当解
①当=0/2ωπ整数，则周期为0/2ωπ； ②； 为为互素的整数）则周期、（有理数当 , 2 0Q Q P Q P =ωπ ③当=0/2ωπ无理数 ，则)(n x 不是周期序列。 解：（1）014 2/3 πω=，周期为14 （2）06 2/13 πω= ，周期为6 （2）02/12πωπ=，不是周期的 7.（1） [][]12121212()()() ()()()[()()]()()()()[()][()] T x n g n x n T ax n bx n g n ax n bx n g n ax n g n bx n aT x n bT x n =+=+=?+?=+ 所以是线性的 T[x(n-m)]=g(n)x(n-m) y(n-m)=g(n-m)x(n-m) 两者不相等，所以是移变的 y(n)=g(n)x(n) y 和x 括号内相等，所以是因果的。（x 括号内表达式满足小于等于y 括号内表达式，系统是因果的） │y(n)│=│g(n)x(n)│<=│g(n)││x(n)│x(n)有界，只有在g(n)有界时，y(n)有界，系统才稳定，否则系统不稳定 （3）T[x(n)]=x(n-n0) 线性，移不变，n-n0<=n 即n0>=0时系统是因果的，稳定 （5）线性，移变，因果，非稳定 （7）线性，移不变，非因果，稳定 （8）线性，移变，非因果，稳定 8.
数字信号处理教案
数字信号处理教案 余月华
课程特点: 本课程是为电子、通信专业三年级学生开设的一门课程，它是在学生学完了信号与系统的课程后，进一步为学习专业知识打基础的课程。本课程将通过讲课、练习使学生掌握数字信号处理的基本理论和方法。课程内容包括：离散时间信号与系统；离散变换及其快速算法；数字滤波器结构；数字滤波器设计；数字信号处理系统的实现等。 本课程逻辑性很强, 很细致, 很深刻；先难后易, 前三章有一定的难度, 倘能努力学懂前三章(或前三章的0080), 后面的学习就会容易一些；只要在课堂上专心听讲, 一般是可以听得懂的, 但即便能听懂, 习题还是难以顺利完成。这是因为数字信号分析技巧性很强, 只了解基本的理论和方法, 不辅以相应的技巧, 是很难顺利应用理论和方法的。论证训练是信号分析课基本的,也是重要的内容之一, 也是最难的内容之一。 因此, 理解证明的思维方式, 学习基本的证明方法, 掌握叙述和书写证明的一般语言和格式, 是信号分析教学贯穿始终的一项任务。 鉴于此, 建议的学习方法是： 预习, 课堂上认真听讲, 必须记笔记, 但要注意以听为主, 力争在课堂上能听懂七、八成。 课后不要急于完成作业, 先认真整理笔记, 补充课堂讲授中太简或跳过的推导, 阅读教科书, 学习证明或推导的叙述和书写。基本掌握了课堂教学内容后, 再去做作业。在学习中, 要养成多想问题的习惯。 课堂讲授方法: 1. 关于教材: 《数字信号处理》 作者 丁玉美 高西全 西安电子科技大学出版社 2. 内容多, 课时紧: 大学课堂教学与中学不同的是每次课介绍的内容很多, 因此, 内容重复的次数少, 讲课只注重思想性与基本思路, 具体内容或推导特别是同类型或较简的推理论证及推导计算, 可能讲得很简, 留给课后的学习任务一般很重。. 3. 讲解的重点: 概念的意义与理解, 理论的体系, 定理的意义、条件、结论、定理证明的分析与思路, 具有代表性的证明方法, 解题的方法与技巧，某些精细概念之间的本质差别. 在教学中, 可能会写出某些定理证明, 以后一般不会做特别具体的证明叙述. 4. 要求、辅导及考试： a. 学习方法: 适应大学的学习方法, 尽快进入角色。 课堂上以听为主, 但要做课堂笔记，课后一定要认真复习消化, 补充笔记，一般课堂教学与课外复习的时间比例应为1 : 3 。 b. 作业: 大体上每两周收一次作业, 一次收清。每次重点检查作业总数的三分之一。 作业的收交和完成情况有一个较详细的登记, 缺交作业将直接影响学期总评成绩。 c. 辅导: 大体两周一次。 d. 考试: 只以最基本的内容进行考试, 大体上考课堂教学和所布置作业的内容。 课程的基本内容与要求 第一章． 时域离散信号与时域离散系统 1. 熟悉6种常用序列及序列运算规则； 2. 掌握序列周期性的定义及判断序列周期性的方法； 3. 掌握离散系统的定义及描述方法（时域描述和频域描述）； 4. 掌握LSI 系统的线性移不变和时域因果稳定性的判定； 第二章 时域离散信号与系统的傅立叶变换分析方法
数字信号处理基础书后题答案中文版
数字信号处理基础书后题答案中文版
Chapter 2 Solutions 2.1 最小采样频率为两倍的信号最大频率，即44.1kHz 。 2.2 (a)、由ω = 2πf = 20 rad/sec ，信号的频率为f = 3.18 Hz 。信号的奈奎斯特采样频率为6.37 Hz 。 (b)、35000π =ω，所以f = 833.3 Hz ，奈奎斯特采样频率为1666.7 Hz 。 (c)、7 3000π =ω，所以f = 214.3 Hz ，奈奎斯特采样频率为428.6 Hz 。 2.3 (a) 1258000 1f 1T S S === μs (b)、最大还原频率为采样频率的一半，即4000kHz 。 2.4 ω = 4000 rad/sec ，所以f = 4000/(2π) = 2000/π Hz ，周期T = π/2000 sec 。因此，5个周期为5π/2000 = π/400 sec 。对于这个信号，奈奎斯特采样频率为2(2000/π) = 4000/π Hz 。所以采样频率为f S = 4(4000/π) = 16000/π Hz 。因此5个周期收集的采样点为(16000/π samples/sec )(π/400 sec) = 40。 2.5 ω = 2500π rad/sec ，所以f = 2500π/(2π) = 1250 Hz ，T = 1/1250 sec 。因此，5个周期为5/1250 sec 。对于这个信号，奈奎斯特采样频率为2(1250) = 2500 Hz ，所以采样频率为f S = 7/8(2500) = 2187.5 Hz 。采样点数为(2187.5 点/sec)(5/1250 sec) = 8.75。这意味着在模拟信号的五个周期内只有8个点被采样。事实上，对于这个信号来说，在整数的模拟周期中，是不可能采到整数个点的。 2.7 信号搬移发生在kf S ± f 处，换句话说，频谱搬移发生在每个采样频率的整数 倍 -200 200 400 600 800 1000 1200 0.10.20.30.40.50.60.70.80.91 幅度 频
数字信号处理习题及答案
==============================绪论============================== 1. A/D 8bit 5V 00000000 0V 00000001 20mV 00000010 40mV 00011101 29mV ==================第一章 时域离散时间信号与系统================== 1. ①写出图示序列的表达式 答：3)1.5δ(n 2)2δ(n 1)δ(n 2δ(n)1)δ(n x(n)-+---+++= ②用δ(n) 表示y (n )={2,7,19,28,29,15} 2. ①求下列周期 ②判断下面的序列是否是周期的; 若是周期的， 确定其周期。 （1）A是常数 8ππn 73Acos x(n)??? ? ??-= （2）)8 1 (j e )(π-=n n x 解： （1） 因为ω= 73π, 所以314 π2=ω, 这是有理数， 因此是周期序列， 周期T =14。 （2） 因为ω= 81, 所以ω π2=16π, 这是无理数， 因此是非周期序列。 ③序列)Acos(nw x(n)0?+=是周期序列的条件是是有理数2π/w 0。 3.加法 乘法 序列{2，3，2，1}与序列{2，3，5，2，1}相加为__{4，6，7，3，1}__，相乘为___{4，9，10，2} 。 移位 翻转：①已知x(n)波形，画出x(-n)的波形图。 ② 尺度变换：已知x(n)波形，画出x(2n)及x(n/2)波形图。 卷积和：①h(n)*求x(n)，其他0 2 n 0n 3，h(n)其他03n 0n/2设x(n) 例、???≤≤-=???≤≤= ②已知x (n )={1,2,4,3},h (n )={2,3,5}, 求y (n )=x (n )*h (n ) x (m )={1,2,4,3},h (m )={2,3,5}，则h (-m )={5,3,2}(Step1:翻转)
《数字信号处理》第三版课后答案(完整版)汇编
西安电子(高西全丁美玉第三版)数字信号处理课后答案 1.2 教材第一章习题解答 1. 用单位脉冲序列()n δ及其加权和表示题1图所示的序列。 解： ()(4)2(2)(1)2()(1)2(2)4(3) 0.5(4)2(6) x n n n n n n n n n n δδδδδδδδδ=+++-+++-+-+-+-+- 2. 给定信号：25,41()6,040,n n x n n +-≤≤-?? =≤≤??? 其它 （1）画出()x n 序列的波形，标上各序列的值； （2）试用延迟单位脉冲序列及其加权和表示()x n 序列； （3）令1()2(2)x n x n =-，试画出1()x n 波形； （4）令2()2(2)x n x n =+，试画出2()x n 波形； （5）令3()2(2)x n x n =-，试画出3()x n 波形。 解： （1）x(n)的波形如题2解图（一）所示。 （2） ()3(4)(3)(2)3(1)6() 6(1)6(2)6(3)6(4) x n n n n n n n n n n δδδδδδδδδ=-+-+++++++-+-+-+- （3）1()x n 的波形是x(n)的波形右移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（二）所示。 （4）2()x n 的波形是x(n)的波形左移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（三）所示。 （5）画3()x n 时，先画x(-n)的波形，然后再右移2位，3()x n 波形如题2解图（四）所示。 3. 判断下面的序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。 （1）3()cos()78 x n A n π π=-，A 是常数； （2）1 ()8 ()j n x n e π-=。
数字信号处理习题集附答案)
第一章数字信号处理概述简答题： 1．在A/D变换之前和D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，它们分别起什么作用？ 答：在A/D变化之前让信号通过一个低通滤波器，是为了限制信号的最高频率，使其满足当采样频率一定时，采样频率应大于等于信号最高频率2倍的条件。此滤波器亦称位“抗折叠”滤波器。 在D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，是为了滤除高频延拓谱，以便把抽样保持的阶梯形输出波平滑化，故友称之为“平滑”滤波器。 判断说明题： 2．模拟信号也可以与数字信号一样在计算机上进行数字信号处理，自己要增加一道采样的工序就可以了。（）答：错。需要增加采样和量化两道工序。 3．一个模拟信号处理系统总可以转换成功能相同的数字系统，然后基于数字信号处理 理论，对信号进行等效的数字处理。（） 答：受采样频率、有限字长效应的约束，与模拟信号处理系统完全等效的数字系统未必一定能找到。因此数字信号处理系统的分析方法是先对抽样信号及系统进行分析，再考虑幅度量化及实现过程中有限字
长所造成的影响。故离散时间信号和系统理论是数字信号处理的理论基础。 第二章 离散时间信号与系统分析基础 一、连续时间信号取样与取样定理 计算题： 1．过滤限带的模拟数据时，常采用数字滤波器，如图所示，图中T 表示采样周期（假设T 足够小，足以防止混迭效应），把从)()(t y t x 到的整个系统等效为一个模拟滤波器。 （a ） 如果kHz rad n h 101,8)(=π截止于，求整个系统的截止频率。 （b ） 对于kHz T 201=，重复（a ）的计算。 解 （a ）因为当0)(8=≥ω πωj e H rad 时，在数 — 模变换中 )(1)(1)(T j X T j X T e Y a a j ωω=Ω= 所以)(n h 得截止频率8πω=c 对应于模拟信号的角频率c Ω为 8 π = ΩT c 因此 Hz T f c c 625161 2==Ω= π
数字信号处理习题及答案
三、计算题 1、已知10),()(<<=a n u a n x n ,求)(n x 的Z 变换及收敛域。 （10分） 解：∑∑∞ =-∞ -∞=-= = )()(n n n n n n z a z n u a z X 1 111 )(-∞=--== ∑ az z a n n ||||a z > 2、设)()(n u a n x n = )1()()(1--=-n u ab n u b n h n n 求 )()()(n h n x n y *=。（10分） 解：[]a z z n x z X -=? =)()(， ||||a z > []b z a z b z a b z z n h z H --=---= ?=)()(， ||||b z > b z z z H z X z Y -= =)()()( ， |||| b z > 其z 反变换为 [])()()()()(1n u b z Y n h n x n y n =?=*=- 3、写出图中流图的系统函数。(10分) 解：2 1)(--++=cz bz a z H 2 1124132)(----++= z z z z H ４、利用共轭对称性，可以用一次DFT 运算来计算两个实数序列的DFT ，因而可以减少计算量。设都是N 点实数序列，试用一次DFT 来计算它们各自的DFT ： [])()(11k X n x DFT = []) ()(22k X n x DFT =（10分）。 解:先利用这两个序列构成一个复序列，即 )()()(21n jx n x n w +=
即 [][])()()()(21n jx n x DFT k W n w DFT +== []()[]n x jDFT n x DFT 21)(+= )()(21k jX k X += 又[])(Re )(1n w n x = 得 [])(})({Re )(1k W n w DFT k X ep == [] )())(()(2 1*k R k N W k W N N -+= 同样 [])(1 })({Im )(2k W j n w DFT k X op == [] )())(()(21*k R k N W k W j N N --= 所以用DFT 求出)(k W 后，再按以上公式即可求得)(1k X 与)(2k X 。 5、已知滤波器的单位脉冲响应为)(9.0)(5n R n h n =求出系统函数，并画出其直接型 结构。（10分） 解： ｘ（ｎ） 1-z 1-z 1-z 1-z １ 9.0 2 9.0 3 9.0 4 9.0 ｙ（ｎ） ６、略。 ７、设模拟滤波器的系统函数为 31 11342)(2+-+=++=s s s s s H a 试利用冲激响应不变法，设计IIR 数字滤波器。（10分） 解 T T e z T e z T z H 31111)(-------=
数字信号处理试题及参考答案
数字信号处理期末复习题 一、单项选择题（在每个小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将正确答案的号码写在题干后面的括号内，每小题1分，共20分） 1.要从抽样信号不失真恢复原连续信号，应满足下列条件的哪几条( ① )。 (Ⅰ)原信号为带限 (Ⅱ)抽样频率大于两倍信号谱的最高频率 (Ⅲ)抽样信号通过理想低通滤波器 ①.Ⅰ、Ⅱ②.Ⅱ、Ⅲ ③.Ⅰ、Ⅲ④.Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ 2.在对连续信号均匀采样时，若采样角频率为Ωs，信号最高截止频率为Ωc，则折叠频率为( ④ )。 ①Ωs②.Ωc ③.Ωc/2④.Ωs/2 3.若一线性移不变系统当输入为x(n)=δ(n)时输出为y(n)=R3(n)，则当输入为u(n)-u(n-2)时输出为( ② )。 ①.R3(n) ②.R2(n) ③.R3(n)+R3(n-1) ④.R2(n)-R2(n-1) 4.已知序列Z变换的收敛域为｜z｜>1，则该序列为( ② )。 ①.有限长序列②.右边序列 ③.左边序列④.双边序列 5.离散系统的差分方程为y(n)=x(n)+ay(n-1)，则系统的频率响应( ③ )。 ①当｜a｜<1时，系统呈低通特性 ②.当｜a｜>1时，系统呈低通特性 ③.当0 6.序列x(n)=R5(n)，其8点DFT记为X(k)，k=0,1,…,7，则X(0)为( ④ )。 ①.2 ②.3 ③.4 ④.5 7.下列关于FFT的说法中错误的是( ① )。 ①.FFT是一种新的变换 ②.FFT是DFT的快速算法 ③.FFT基本上可以分成时间抽取法和频率抽取法两类 ④.基2 FFT要求序列的点数为2L(其中L为整数) 8.下列结构中不属于FIR滤波器基本结构的是( ③ )。 ①.横截型②.级联型 ③.并联型④.频率抽样型 9.已知某FIR滤波器单位抽样响应h(n)的长度为(M+1)，则在下列不同特性的单位抽样响应中可以用来设计线性相位滤波器的是( ④ )。 ①.h［n］=-h［M-n］ ②.h［n］=h［M+n］ ③.h［n］=-h［M-n+1］ ④.h［n］=h［M-n+1］ 10.下列关于用冲激响应不变法设计IIR滤波器的说法中错误的是( ④ )。 ①.数字频率与模拟频率之间呈线性关系 ②.能将线性相位的模拟滤波器映射为一个线性相位的数字滤波器 ③.容易出现频率混叠效应 ④.可以用于设计高通和带阻滤波器 11.利用矩形窗函数法设计FIR滤波器时，在理想特性的不连续点附近形成的过滤带的宽度近似等于( ① )。 ①.窗函数幅度函数的主瓣宽度 ②.窗函数幅度函数的主瓣宽度的一半 答案很详细，考试前或者平时作业的时候可以好好研究，祝各位考试 成功！！ 电子科技大学微电子与固体电子学钢教授著 数字信号处理课后答案 1.2 教材第一章习题解答 1. 用单位脉冲序列()n δ及其加权和表示题1图所示的序列。 解： ()(4)2(2)(1)2()(1)2(2)4(3) 0.5(4)2(6) x n n n n n n n n n n δδδδδδδδδ=+++-+++-+-+-+-+- 2. 给定信号：25,41()6,040,n n x n n +-≤≤-?? =≤≤??? 其它 （1）画出()x n 序列的波形，标上各序列的值； （2）试用延迟单位脉冲序列及其加权和表示()x n 序列； （3）令1()2(2)x n x n =-，试画出1()x n 波形； （4）令2()2(2)x n x n =+，试画出2()x n 波形； （5）令3()2(2)x n x n =-，试画出3()x n 波形。 解： （1）x(n)的波形如题2解图（一）所示。 （2） ()3(4)(3)(2)3(1)6() 6(1)6(2)6(3)6(4) x n n n n n n n n n n δδδδδδδδδ=-+-+++++++-+-+-+- （3）1()x n 的波形是x(n)的波形右移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（二）所示。 （4）2()x n 的波形是x(n)的波形左移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（三）所示。 （5）画3()x n 时，先画x(-n)的波形，然后再右移2位，3()x n 波形如 5. 设系统分别用下面的差分方程描述，()x n 与()y n 分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。 （1）()()2(1)3(2)y n x n x n x n =+-+-； （3）0()()y n x n n =-，0n 为整常数； （5）2()()y n x n =； （7）0()()n m y n x m ==∑。 解： （1）令：输入为0()x n n -，输出为 '000' 0000()()2(1)3(2) ()()2(1)3(2)() y n x n n x n n x n n y n n x n n x n n x n n y n =-+--+---=-+--+--= 故该系统是时不变系统。 12121212()[()()] ()()2((1)(1))3((2)(2)) y n T ax n bx n ax n bx n ax n bx n ax n bx n =+=++-+-+-+- 1111[()]()2(1)3(2)T ax n ax n ax n ax n =+-+- 2222[()]()2(1)3(2)T bx n bx n bx n bx n =+-+- 1212[()()][()][()]T ax n bx n aT x n bT x n +=+ 故该系统是线性系统。 数字信号处理电子教案 第六章无限脉冲响应数字滤波器设计 江西理工大学物理教研室 2010年11月7日 数字信号处理教案 数字信号处理教案 数字信号处理教案 6.1 数字滤波器基本概念 数字滤波器是指完成信号滤波处理功能的，用有限精度算法实现的离散时间线性非时变系统，其输入是一组数字量，其输出是经过变换的另一组数字量。因此，它本身即可以是用数字硬件装配成的一台完成给定运算的专用数字计算机，也可以是将所需运算编成程序，让通用计算机来执行。数字滤波器具有稳定性高、精度高、灵活性大等优点。随着数字技术的发展，用数字技术实现滤波器的功能越来越受到人们的注意和广泛的应用。 一、 常用滤波器的性能指标 滤波器性能一般用系统频率特性)(ωj e H 来说明，常用的性能指标主要有以下三个参数： 1. 幅度平方函数 2 *()()*() ()() ()() j j j j j j z e H e H e H e H e H e H z H z ω ω ωωωω-==?== 该性能指标主要用来说明系统的幅频特性。 2. 相位函数 ()()Re[()]Im[()]()j j j j j j e H e H e j H e H e e ω ωωωωβ=+= 其中： ? ?? ???=)](Re[)](Im[)(ω ωω βj j j e H e H arctg e 该指标主要用来说明系统的相位特性。 3. 群延时 ω βωτωd e d j )] ([)(-= 定义为相位对角频率导数的负值，说明了滤波器对不同的频率成分的平均延时。当要求在通带内的群延迟是常数时，滤波器相位响应特性应该是线性的。 二、实际滤波器的频率特性 实际设计中所能得到的滤波器的频率特性与理想滤波器的频率特性之间存在着一些显著的差别，现以低通滤波器的频率特性为例进行说明。 1. 理想滤波器的特性： 设滤波器输入信号为)(t x ，信号中混入噪音)(t u ，它们有不同的频率成分。滤波器的单位脉冲响应为)(t h 。则理想滤波器输出为： ()[()()]()()y t x t u t h t K x t τ=+*=?- （6-1） 即噪音信号被滤除0)()(=*t h t u ，而信号无失真只有延时和线性放大。对(6-1)式作傅里叶变换得： ()()()()()()j Y j X j H j U j H j Ke X j τ-ΩΩ=Ω?Ω+Ω?Ω=Ω （6-2） 假定噪音信号被滤除，即 ()()0U j H j Ω?Ω= （6-3） 1．、 2． 用冲激响应不变法将以下 )(s H a 变换为 )(z H ，抽样周期为T 。 为任意正整数 ,)()( )2()()( )1(02 2n s s A s H b a s a s s H n a a -=+++= 分析： ①冲激响应不变法满足 ) ()()(nT h t h n h a nT t a ===，T 为抽样间隔。这种变 换法必须)(s H a 先用部分分式展开。 ②第（2）小题要复习拉普拉斯变换公式 1!][+= n n S n t L , n a n t s a S S A s H t u n t Ae t h )()()()!1()(010-= ?-=-， 可求出 ) ()()(kT Th t Th k h a kT t a ===， | 又 dz z dX z k kx ) ()(-?，则可递推求解。 解: (1) 22111()()2a s a H s s a b s a jb s a jb ?? += =+??+++++-?? [] )( 2 1)()()(t u e e t h t jb a t jb a a --+-+= 由冲激响应不变法可得： []()()()() ()2a jb nT a j b nT a T h n Th nT e e u n -+--==+ 110 11() () 211n aT jbT aT jbT n T H z h n z e e z e e z ∞ ------=?? ==+??--??∑ 2211cos 21cos 1 ------+--?=z e bT z e bT z e T aT aT aT《数字信号处理》第三版答案(非常详细完整)
数字信号处理电子教案-第六章
数字信号处理课后习题答案-第六章习题与答案