用假设法解决问题(一)复习过程

用假设法解决问题（一）①

河北省平乡县大刘庄小学李明亮

先举一个简单的例子：甲班有学生45人，乙班比甲班多3人。两班共有学生多少人？

解此题的一般方法是，先求出乙班人数，再求学生总数。如果列式为45×2+3就是用了假设法——假设乙班也是45人，则两班共有45×2=90(人)。但乙班实际人数比45人多3人，所以两班的实际总人数比90人多3人。

有些数学题的数量关系不明显，不容易找到解题的方法。如果我们做一些适当、合理的假设，就有可能使数量关系明显，从而找到解题的方法。这种解题方法叫做假设法。假设的方法有多种，要灵活运用。

一、把“缺少”的条件假设为已知

例1.甲、乙、丙三人出了同样多的钱在粮店买了若干千克大米。回家后，乙要的大米比甲、丙都少6千克，因此，甲、丙都又退给乙6元钱。每千克大米多少元？、

分析：不知道三人共买了多少千克大米，也不知道三人各要多少千克，求大米的单价似乎很难。但是，我们可以假设大米的数量。

假设乙要了1千克大米，则甲、丙都要了7千克，三人共买了7+7+1=15（千克）每人平均15÷3=5（千克）。在粮店，他们平均出钱，每人出的都是5千克大米的钱。回家后，甲、丙要的大米都比平均数多7－5=2（千克），所以甲或丙退给乙的6元钱就是多要的2千克大米的价钱。乙要的大米比平均数少5－1=4（千克），所以甲和丙退给他的12元钱就是少要的这4千克大米的价钱。这样，就可求出大米的单价。

解法1.6÷[7－(7＋7＋1)÷3]=3（元）

解法2.6×2÷[(7＋7＋1)÷3－1]=3（元）

本题还可以用下面的方法解（这里只画出线段图，分析略）

①此文原题目为《用假设法解应用题》，初稿完成于1993年11月，1994年12月第一次修改，1997年8月第二次修改。

解法3.6÷（6－6×2÷3）=3（元）

解法4.6×2÷（6×2÷3）=3（元）

例2.小王骑车去火车站。他计划以每小时15千米的速度行驶，这样才能正好赶上火车。可是，前一半路程他骑车的速度是每小时12千米。下一半路程他应该以多快的速度骑行，才能赶上火车？

分析与解答：题中只有两个速度，没有路程怎样计算？可以假设路程。

假设路程是30千米，则小王按计划骑行，需要的时间是30÷15=2（小时）。前一半路程他已经用了30÷2÷12=1.25（小时）；下一半路程他应该用的时间是2－

1.25=0.75（小时），应该用的骑车速度是每小时30÷2÷0.75=20（千米）。

30÷2÷（30÷15－30÷2÷12）=20(千米)

答：（略）

当然，把路程假设为3千米、6千米、10千米……结果都是一样的。把路程假设为“1”当作工程问题来解，也很简便。

例3.甲数的53等于乙数的8

5，甲数比乙数大几分之几？ 分析与解法1.假设甲数是25，则甲数的53是25×53=15。即乙数的8

5也是15，乙数是15÷8

5=24。 （25－24）÷24=24

1 解法2.假设乙数是1，则甲数是1×85÷53=24

25。 （2425－1）÷1=24

1

分析与解法3.假设甲数的53与乙数的85都等于1，则甲数是1÷53=3

5，乙数是1÷85=5

8。 （53－58）÷58=24

1 例4.一次考试，某班学生的平均分数为87分。其中90%的学生达到了80分，他们的平均分数为89分。80分以下的学生的平均分数是多少？

分析与解答：假设全班有40人，则达到80分的学生数是40×90%=36（人），80分以下的学生数为40－36=4（人）。

全班学生总分为87×40=3480（分）；达到80分的学生总分为89×36=3204（分）；80分以下的学生的总分为3480－3204=276（分），平均分是276÷4=69（分）。

综合算式：（87×40－89×40×90%）÷（40－40×90%）=69（分）

注：如果假设全班有4人，则解法更简便。

这类问题，似乎都缺少一个重要条件，但问题的答案却与这个“重要条件”无关。所以，无论把这个“重要条件”假设为多少，都不影响计算结果，但假设的数据应便于计算。

类似问题；

1.甲乙二人走同一段路，甲所用的时间比乙短11

1，甲的速度比乙快几分之几？ 2.一艘轮船停靠在码头，计划12小时把货卸完。实际卸货的速度提高了5

1。实际几小时可以卸完？

3.植树节这天，同学们去种树，平均每人应该种2棵。如果只让男同学去种，平均每人应该种3棵。如果只让女同学去种，平均每人应该种几棵？

二、把一般条件假设为特殊条件

例5.一个正方形的面积是20平方分米。在这个正方形内画一个最大的圆，求这个圆的面积。

分析：求圆的面积，一般要先求出圆的半径。在本题中，如果知道了正方形的边长，就可求出圆的半径，但题中只给了正方形的面积。根据正方形的面积求边长，要用开方。对于小学生来说，只有正方形的面积是4、9、16、25……时，才有可能推想出它的边长。用小学知识能不能解这道题呢？

解法1.假设这个正方形的面积是25平方分米，则它的边长是5分米。所以，假设的这个正方形内的最大的圆的直径是5分米，面积是 （25）2×3.14=19.625（平方分米） 而原正方形面积是假设的这个正方形面积的

2520,所求的圆的面积也应该是假设的这个圆面积的25

20。 19.625×

2520=15.7（平方分米） 解法2.假设正方形的边长是20分米，则它里面最大的圆的直径也是20分米，面积是(2

20)2×3.14=314（平方分米）。把面积20平方分米的正方形假设为边长20分米，面积就扩大了20倍，它里面最大的圆的面积也就扩大了20倍。所以，所求的圆的面积是

314÷20=15.7（平方分米）

注：此题不用假设法也可以解。如图，把正方形平均分成4个小

正方形，每个小正方形的面积都是20÷4=5（平方分米），即r 2=5.所以圆的面积是

S=πr 2=3.14×5=15.7（平方分米）。

类似习题：

1.把一个面积是6.28平方分米的圆形纸片剪成一个最大的正方形。求这个正方形纸片的面积。

2.一个正方体的体积是9立方分米，另一个正方体的棱长是它的2倍。求另一个正方体的体积。

三、把带“铃铛”的分率（倍数）假设为不带“铃铛”

有些问题，给出的两个数量间的倍数关系后面带着具体数量，我们称之为分率（倍数）带“铃铛”。可以假设法（当然，也可以用用画图的方法）把数量进行调整，使分率（倍数）不带“铃铛”。

例6.工人师傅加工一批零件，第一天加工了全部零件的3

1多4个，第二天加工了全部零件的2

1少1个，还剩16个每加工。这批零件共多少个? 分析与解答：假设第一天正好完成了全部零件的3

1，那么剩下的（没加工的）零件就会多4个；假设第二天正好完成了全部零件的2

1，那么剩下的就会少1个。于是，原题的条件就变成了“第一天加工了全部零件的3

1，第二天加工了全部零件的2

1，还剩（16+44－1）个没加工”。 （16+4－1）÷（1―31―2

1）=114（个） 答：（略）

例7.甲、乙、丙．丁四个数的和是202，乙数比甲数多1，丙数比甲数的2倍少

2，丁数比甲数的一半多2

1.求这四个数。 分析与解：假设乙数等于甲数，丙数正好是甲数的2倍，丁数正好是甲数的一

半，则四个数的和将是（202－1+2―2

1）。由此可求出甲数，进而求出另外三数。 甲数 （202－1+2―

21）÷（1＋1＋2＋2

1）=45 乙数 45+1=46

丙数 45×2－2=88

丁数 45÷（1＋1＋2＋21）＋21=23

例8.学校买来三种新书共100本，其中文艺书是科技书的3倍，画册比科技书的一半少8本。这三种书各买来多少本？

解（分析略）：（100+8）÷（3＋1＋2

1）=24（本） （科技书） 24×3=72（本） （文艺书）

24÷2－8=4（本） （画册）

解法2（分析略）：（100+8）÷（2＋1＋2×3）=4（本） （画册）

（4+8）×2=24（本） （文艺书） 24×3=72（本） （文艺书）

例9.水果店有535千克橘子，第一天卖出8筐又17千克，第二天卖出5筐又11千克，还剩195千克。每筐橘子的重量相等。第一天卖出多少千克？

解（分析略）：每筐橘子有多重?

(535―195―17―11)÷（8＋5）=24（千克）

第一天卖出多少千克？

24×8＋17=209（千克）

类似习题：

1.师徒二人加工一批零件。徒弟加工了92个，超额15%完成了自己的任务。他的任务比师傅任务的4

3多32个。师傅加工零件的任务是多少个？ 2.车站仓库里原有煤若干吨。第一次运出的比存煤的一半少350吨，第二次运出现有煤的一半有50吨，结果还剩500吨。仓库里原有煤多少吨？

3.小明有人民币若干元。买书用去其中的一半又5角，买文具用去剩下的一半又5角，买本又用去第二次剩下的一半又5角，最后还剩5角。小明原有多少元？

四、虚构、改编情节

例10.一个班有48人。班主任在班会上问：谁做完语文作业？请举手。有37人举手。又问：谁做完数学作业？请举手。有42人举手。最后问：谁语文、数学作业都没做完？没有人举手。你想想看：这个班语文、数学作业都做完的有多少人？