公务员考试：十字相乘法简介
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十字相乘法因式分解-教学设计
教学设计方案 学校：闵行四中年级：七年级班级：六班 人 数： 30 日期：2015-11-26 学科：数学课题：十字相乘法因式分解课 时： 1 教师：萨如拉 教学目标确定的依据： 内容分析：因式分解在学生进一步学习一元二次方程、分式方程、无理方程中起着至关重要的作用，特别是在学生即将要进行的分式学习中更是举足轻重，如分式基本性质的学习、分式加减法中的通分与分式乘除法中的约分等都要用到因式分解。可以说学生掌握因式分解的程度直接影响着学生对代数的进一步学习。因此前几节课中我们通过提取公式法、公式法分解因式的学习帮助学生了解了如何利用这些方法去将二次三项式降次并分解因式。但主要涉及的二次三项式都有着可以直接提取公因式或可以利用乘法公式逆应用来完成因式分解的特殊的一面。但是面对一个在学生已有认知中没有“规律”的 的二次三项式，该如何去理解并完成因式分解呢？对于学生来讲这将是一个难点。为了帮助学生克服这个难点，我们将研究思路从利用特殊的一次二项式乘一次二项式的公式——平方差公式和完全平方公式，回归到整式乘法一般法则的逆向思维中。为此我们将本节课的教学过程分为三个环节展开。第一环节是“初步感知与规律探究”。这一环节主要目的是帮助学生将研究思路从运用特殊的乘法公式转换到一般法则的理解和运用上，初步感知十字相乘法因式分解的意义。第二环节是“形成十字相乘法的概念”。这一环节的目的是帮助学生在“二拆一凑”中探究出十字相乘因式分解法。第三环节是“巩固练习与拓展延伸”。这一环节的目的是帮助学生通过相应的练习巩固理解十字相乘分解因式法，帮助学生梳理包括完全平方公式法在内的分解二次三项式 的基本路径，帮助学生形成解决 因式分解问题的基本思路。 学生分析：学生通过对因式分解概念的学习和提取公因式、公式法因式分解，已经
十字相乘法教案
课题：十字相乘法 一、教学设计与说明 一、教材分析： “十字相乘法分解因式”是七年级第二学期第八章第4节的内容，也是学生在学习提取公因式与公式法两种因式分解后的内容。学生对因式分解已有了解及应用，再借助十字交叉线分解因式，学生容易掌握，同时这节课也为以后学习分式的运算、一元二次方程、二次函数、分式方程、一元二次不等式等作铺垫，这节课无论从它的内容还是它的地位都十分重要。 二、教学目标： 1、进一步理解因式分解的定义； 2、会用十字相乘法进行二次三项式（q px x ++2）的因式分解； 3、通过学生的不断尝试，培养学生的耐心和信心，同时在尝试中提高学生的观察能力。 三、教学的重点难点 教学重点：能熟练应用十字相乘法进行二次三项式（q px x ++2）的因式分解。 教学难点：在q px x ++2分解因式时，准确地找出a 、b ，使p ab =，q b a =+。 四、教学设计 1、通过学生对问题的“议一议”，发现“232 ++x x ”不是一个完全平方形式，产生 了究竟是否还能分解的问题，学生带着问题进入新课。（吸引学生） 2、通过学生对多项式乘法的“算一算”，巩固了多项式的乘法的知识，又观察到了计算 中含有“232++x x ”这个结论，为以下“想一想”作了充分准备。 3、通过学生对多项式乘法遗留问题的“想一想”，既加深了对因式分解定义的理解，又 得到了“232++x x ”的分解结果，从而过渡到 “ab x b a x +++)(2”的分解。 4、借助十字交叉线给师生互动，让学生“动一动”理解十字相乘法的定义。 5、通过学生的多次尝试，用“做一做”的环节来体验“如何用十字相乘法因式分解”。 6、知道了十字相乘法，那么“练一练”的环节是不可缺少的，通过“练一练”，学生就 有实践的体会，并能把知识延伸与拓展，学生学习兴趣盎然。 7、最后是学生的自主小结，交流各自的感受，达成共识。 总之，整节课力争体现学生学习的主动性，让学生完全参与整节课的教学活动，体验知识的发生发展过程，通过多次尝试，培养学生的耐心和信心，提高学生的观察能力。
用分解因式法解一元二次方程教学反思
用分解因式法解一元二次方程教学反思 集团文件发布号：（9816-UATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-
篇一：因式分解法解一元二次方程教学反思 因式分解法解一元二次方程教学反思 大布 苏中学：杨慧敏 在学 习了一元二次方程的四种基本解法后，由于在实际运用中十字相乘法解方程 运用确实很广，而且用处之大不可忽视。在解题过程中实际用起来带来很大 的方便，也能提高解题效率，所以加上些节课。 在介 绍十字相乘法时，先从一元二次方程一般式引入，使学生分清二次项系数、 一次项系数、常数项，再进行十字相乘。在对系数的处理上，学生搭配较简 单的数时很快，但对系数较大的十字分解还缺乏经验。所以介绍了小学学过 的短除法，对常数项进行因式分解，再合理尝试十字交*相乘。学生经过理 解后，感觉十分好用，且在经过多个方程的十字相乘后，学生积累了一定的 经验对符号的处理上能找到巧妙方法，通过先考虑合系数的绝对值，再确定 符号所处位置。 后出现的问题在交*相乘以后对分解式的书写，部分学生习惯前面的交*相乘 从而导致了书写分解式时也交*书写造成错误。正确的应是横向书写，所以 要多强调、多指导、多个别指出学生的错误。问题二出现在“历史”遗留问 题上：一元一次方程的解法中的最后一个步骤。所以还要用课外时间对这部 份知识以前掌握不是很好的学生加以辅导。 篇二：因式分解法解一元二次方程反思 《因式分解法解一元二次方程》的教学反思 本节 课采用了“先学后教、合作探究、当堂达标”的课堂教学模式，教学注重学 生的基础，调动了学生学习的积极性、主动性，并激发了学生学习的兴趣， 提高了课堂效率。先由学生课外自学，了解用因式分解法解一元二次方程的 解法，并会求一些简单的一元二次方程的解；其次，在课堂中通过合作探 究、小组交流、学生展示、教师点评进一步掌握一元二次方程的解法；第 三，通过当堂练习、讲评，进一步巩固解一元二次方程的解题方法与技巧。 通过本课的授课情况及听、评课教师的反馈来看，基本上达到了课前设计的 教学目的。 结合 这些，在上这节课时，我注意了以下方面：
“十字相乘法”教学设计
十字相乘法教学设计 班级姓名组别代码评价 【使用说明与学法指导】 1．在自习或自主时间通过阅读课本用20分钟把预习探究案中的所有知识完成。训练案在自习或自主时间完成。 2.重点预习：十字相乘法教学设计 【教学目标】1、能较熟练地用十字相乘法把形如x2 + px + q的二次三项式分解因式； 2、通过课堂交流，锻炼学生数学语言的表达能力； 3、培养学生的观察能力和从特殊到一般、从具体到抽象的思维品质；【教学重点】能较熟练地用十字相乘法把形如x2 + px + q 的二次三项式分解因式. 【教学难点】把x2 + px + q分解因式时，准确地找出a、b，使a ·b = q；a + b = p. 【教学过程】 【探究案】 合作探究（一）：探索十字相乘法的原理 1.展开下列多项式，观察展开后的式子中一次项系数和常数项与展开前因式中的常数有何关系？ (1) (x+2)(x+1) (2) (x+2)(x－1) (3) (x－2)(x+1) (4) (x－2)(x －1) = = = = （５） (x + a)(x + b) = 2.看谁算得又快又准确？
(1) (x+2)(x+3) (2) (x+2)(x －3) (3) (x －2)(x+3) (4) (x －2)(x －3) = = = = 3．能否把62－－x x 和ab x b a x +++)2（分解成两个一次二项式相乘的形式？试一 试,。 引例：因式分解: x 2 + 4x + 3 将二次三项式x 2 + 4x + 3因式分解，就需要将二次项x 2分解为x ·x ，常数项3 分解为3×1，而且3 + 1= 4，恰好等于一次项系数,所以用十字交叉线表示: x 2 + 4x + 3 = (x + 3)(x + 1). x +3 x +1 3x + x = 4x 试一试： 因式分解: x 2 － 2x －3 推广：ab x b a x +++ )2（= 归纳：十字相乘法定义： 利用十字交叉线来分解系数,把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 合作探究（二） 用十字相乘法分解下列因式 例1：将下列各数表示成两个整数的积的形式（尽所有可能）： 6= ； 12= ； 24= ； -6= ； -12= ； -24= .
《一元二次方程的解法》教学反思
《一元二次方程的解法》教学反思 《一元二次方程的解法》教学反思一元二次方程是九年级上册第二单元内容，是今后学习二次函数的基础，是初中数学教材的一个重要内容。一、课前思考。1、学生基础。在七八年级学生已经学习过一元一次方程、二元一次方程组、分式方程的知识，有着很好的解题基础。2、教学重点应放在解题方法上，让学生通过观察发现每一种解法的特征，是学生能够根据特征选择合适的解题方法。3、应注意培养学生的解题技能，解题速度、解题的正确率，特别是利用配方法界一元二次方程时，必须让学生区分方程的配方与式子配方的不同。4、每节课必须进行小测验，可根据题的难易程度不同，将题量控制在3——5道之间。二、教学过程中学生出现的主要问题。1、学生不善于观测，特别是在将四种方法全部学习完之后，学生不能很好的选择合适的方法。例如：能用直接开平方的题，确将其展开再配方；能利用十字相乘法分解因式的，却选择公式法等。2、对符号处理的不正确，贴别是一个负的无理分数和一个分数相加时，总是将负号放在分数线的前面。3、十字相乘法中，常数项分解为两个数相乘时，出现符号错误。4、用配方法计算时错误率较高。5、用公式法计算时，没有将b2--4ac的结果放在根号下。三、教后反思1、今后在将四种方法讲完之后，要用两节课的时间进行综合练习，第一节课可以采用让学生练习解题的方式，第二节课可以采用让学生说解法、让学生找解题错误之处方法进行。2、增加小测验的力度，可以将题量减小，次数增加。这样不仅可以增加学生的信心，也可以通过不断的重复，增强学生的熟练程度。3、为了让学生学会选择合适的方法解题，可以采用同桌互相按要求出题的方法，达到学生对各种解法特征的目的。
因式分解与十字相乘专题教案
因式分解与十字相乘法 一、乘法公式 平方差公式： (a+b)(a-b)=a 2-b 2 完全平方公式： (a+b)2= a 2+2ab+b 2 （完全平方和） (a-b)2= a 2-2ab+b 2 （完全平方差） 立方差公式： a 3-b 3=(a-b)( a 2+ab+b 2) 立方和公式： a 3+b 3=(a+b)( a 2-ab+b 2) 完全立方公式： (a-b)3=(a-b) (a-b)2=(a-b)( a 2-2ab+b 2)=a 3-3a 2b+3ab 2-b 3 (a+b)3=(a+b) (a+b)2=(a+b)( a 2+2ab+b 2)=a 3+3a 2b+3ab 2+b 3 二、因式分解的概念 1因式分解的结果是积的形式，因式分解与整式的乘法互为逆变形 2因式分解是恒等变形，不会改变代数式的值 3.因式分解的基本方法 4公因式应满足：系数是各项系数的最大公约数，字母取各项相同字母的 最低次幂 一般步骤：一提二套（需分解彻底） 随堂练习 1.若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m 的值等于_____。 2.若25)(162++-M b a 是完全平方式M=________。 3.22)(n x m x x -=++则m =____n =____ 4.若n m y x -=))()((4222y x y x y x +-+，则m=_______，n=_________。 5.已知,01200520042=+++++x x x x 则.________2006=x 6.()22)3(__6+=++x x x ， ()22)3(9___-=++x x 7.若229y k x ++是完全平方式，则k=_______。
生物的遗传和变异教学反思
生物的遗传和变异教学 反思 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
<<生物的遗传和变异>>教学反思 教学环节 1 出示几张学生与家长的照片，让学生找出相似于不同，引出新课。 2、出示几组图片认识人的各种性状：能卷舌、不能卷舌，单眼皮、双眼皮， 有耳垂、无耳垂等。 3、小游戏，调查班级内不同性状同学的人数，引出相对性状。 4、基因与性状的遗传。实例探究，让学生分组讨论遗传过程中，传递的是 性状还是基因？进一步得出结论：性状是由基因决定的，生物在遗传过程中，传递的是基因。 5、合作探究基因控制生物的性状，课件内容学习。利用遗传图解分析一对等 位基因控制的相对性状的遗传规律。 6、学案巩固练习题。 优点：1.对概念及概念教学有了新的理解。概念本身虽是抽象和枯燥的，但对概念的诠释和理解可以是生动有趣的。概念教学可以通过合理的建构变得面目可爱、趣味盎然。 2.教材是重要的课程资源，从中可以得到很多大思路、大启发，只不过因为教材面对的是广大受体，未必能够很好地适应每个人的具体实际情况。在个人使用时，可以对它进行个性化、具体化处理。 3.学生已有的知识结构和生活经验是令人亲切的教学资源，是激发学生学习兴趣、激励内在学习动机、建构学习意义的切入点。导入环节新颖，学生一下就能被图片吸引住，自然而然地进入了今天的学习。 4、教学过程严谨，实例恰当，学练结合，知识迁移；环节多样，自学讨论，调查游戏等环节的设计，学生能区快速分出遗传性状、相对性状 5、多媒体教学丰富了课堂资源，直观形象，利于学生学习，激发兴趣。 6、注重培养学生的探究思维和情感教育。培养学生用科学的态度，正确的解释遗传和变异。 7.教师群体的合作和真诚互助是个人进步不可或缺的保障。 缺点： 1、体细胞，生殖细胞，受精卵的染色体数量要是点一下就好了。 2、定义部分，可以给几个关键词，让学生自己去总结。 3、上课时，那种和数学相仿的基因遗传图解写法很好，但是我说成数学中的十字相乘，有些不准确，而是整式和整式相乘，如果想要学科整合，就要确保它的正确性。 4、在练习中要给学生多一些思考时间，考虑全体。 2
十字相乘法概念
十字相乘法概念 十字相乘法能把某些二次三项式分解因式。这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1?a2，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1?c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果:在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程。当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。 例题 例1 把2x^2-7x+3分解因式. 分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数. 分解二次项系数(只取正因数)： 2＝1×2＝2×1； 分解常数项： 3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3). 用画十字交叉线方法表示下列四种情况： 1 1 ╳ 2 3 1×3+2×1 =5 1 3 ╳ 2 1 1×1+2×3 =7 1 -1 ╳ 2 -3 1×(-3)+2×(-1) =-5 1 -3 ╳ 2 -1 1×(-1)+2×(-3) =-7 经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7. 解2x^2-7x+3=(x-3)(2x-1). 一般地，对于二次三项式ax2+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下：a1 c1 ╳
a2 c2 a1c2+a2c1 按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即 ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2). 像这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法. 例2 把6x^2-7x-5分解因式. 分析：按照例1的方法，分解二次项系数6及常数项-5，把它们分别排列，可有8种不同的排列方法，其中的一种 2 1 ╳ 3 -5 2×(-5)+3×1=-7 是正确的，因此原多项式可以用十字相乘法分解因式. 解6x^2-7x-5=(2x+1)(3x-5) 指出：通过例1和例2可以看到，运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解，往往要经过多次观察，才能确定是否可以用十字相乘法分解因式. 对于二次项系数是1的二次三项式，也可以用十字相乘法分解因式，这时只需考虑如何把常数项分解因数.例如把x^2+2x-15分解因式，十字相乘法是 1 -3 ╳ 1 5 1×5+1×(-3)=2 所以x^2+2x-15=(x-3)(x+5). 例3 把5x^2+6xy-8y^2分解因式. 分析：这个多项式可以看作是关于x的二次三项式，把-8y^2看作常数项，在分解二次项及常数项系数时，只需分解5与-8，用十字交叉线分解后，经过观察，选取合适的一组，即 1 2 ╳ 5 -4 1×(-4)+5×2=6 解5x^2+6xy-8y^2=(x+2y)(5x-4y). 指出：原式分解为两个关于x，y的一次式. 例4 把(x-y)(2x-2y-3)-2分解因式. 分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，只有先进行多项式的乘法运算，把变形后的多项式再因式分解. 问：两上乘积的因式是什么特点，用什么方法进行多项式的乘法运算最简便? 答：第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2(x-y)，它是第一个因式的二倍，然后把(x-y)看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于(x-y)的二次三项式，就可以用十字相乘法分解因式了. 解(x-y)(2x-2y-3)-2 =(x-y)[2(x-y)-3]-2
初高中衔接十字相乘法分解因式
因式分解的一点补充——十字相乘法 同学们都知道，型的二次三项式是分解因式中的常见题型，那么此类多项式该如何分解呢？ 观察=，可知=。 这就是说，对于二次三项式，如果常数项b可以分解为p、q的积，并且有p+q=a，那么=。这就是分解因式的十字相乘法。 下面举例具体说明怎样进行分解因式。 例1、因式分解。 分析：因为 7x + (-8x) =-x 解：原式=（x+7）（x-8） 例2、因式分解。 分析：因为 -2x+（-8x）=-10x 解：原式=（x-2）（x-8） 从上面几个例子可以看出十字相乘法对于二次三项式的分解因式十分方便，大家一定要熟练掌握。但要注意，并不是所有的二次三项式都能进行因式分解，如在实数范围内就不能再进一步因式分解了 课前练习：下列各式因式分解 1．- x2+2 x+15 2．（x+y）2-8（x+y）+48 3．x4-7x2+18 4．x2-5xy+6y2 我们已经学习了把形如x2+px+q的某些二次三项式因式分解，也学习了通过设辅助元的方法把能转化为形如x2+px+q型的某些多项式因式分解。 对于二次项系数不是1的二次三项式如何因式分解呢？这节课就来讨论这个问题，即把某些形如ax2+bx+c的二次三项式因式分解。 例3 把2x2-7x+3因式分解。 分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数。 分解二次项系数（只取正因数）： 2=1×2=2×1； 分解常数项： 3=1×3=3×1=（-3）×（-1）=（-1）×（-3）。
用画十字交叉线方法表示下列四种情况： 1 1 1 3 1 -1 1 -3 2 × 3 2 ×1 2 ×-3 2 ×-1 1×3+2×1 1×1+2×3 1×（-3）+2×（-1）1×（-1）+2×（-3）=5 =7 = -5 =-7 经过观察，第四种情况是正确有。这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数-7。 解2x2-7x+3=（x-3）（2x-1）。 一般地，对于二次三项式ax2+bx+c（a≠0），如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2排列如下： a1c1 a2×c2 a1c2 + a2c1 按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即 ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2）。 像这种借助开十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法。 例4把6x2-7x-5分解因式。 分析：按照例1的方法，分解二次项系数6及常数项-5，把它们分别排列，可有8种不同的排列方法，其中的一种 2 1 3 ×-5 2×（-5）+3×1=-7 是正确的，因此原多项式可以用直字相乘法分解因式。 解6x2-7x-5=（2x+1）（3x-5）。 指出：通过例1和例2可以看到，运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解，往往要经过多次观察，才能确定是否可以用十字相乘法分解因式。 对于二次项系数是1的二次三项式，也可以用十字相乘法分解因式，这时只需考虑如何把常数项分解因数。例如把x2+2x-15分解因式，十字相乘法是 1 -3 1 × 5 1×5+1×（-3）=2 所以x2+2x-15=（x-3）（x+5）。 例5把5x2+6xy-8y2分解因式。 分析：这个多项式可以看作是关于x的二次三项式，把-8y2看作常数项，在分解二次项及常数项系数时，只需分解5与-8，用十字交叉线分解后，经过观察，选取合适的一组，即 1 2 5 ×-4 1×（-4）+5×2=6 解5x2+6xy-8y2=（x+2y）（5x-4y）。 指出：原式分解为两个关于x，y的一次式。 三、课堂练习 1．用十字相乘法因式分解： （1）2x2-5x-12；（2）3x2-5x-2；（3）6x2-13x+5；
一元二次方程解法教学反思
一元二次方程解法教学反思 绥滨二中蒋海峰 配方法解方程教学反思 本节共分3课时，第一课时引导学生通过转化得到解一元二次方程的配方法，第二课时利用配方法解数字系数的一般一元二次方程，第3课时通过实际问题的解决，培养学生数学应用的意识和能力，同时又进一步训练用配方法解题的技能。 在教学中最关键的是让学生掌握配方，配方的对象是含有未知数的二次三项式，其理论依据是完全平方式，配方的方法是通过添项：加上一次项系数一半的平方构成完全平方式，对学生来说，要理解和掌握它，确实感到困难，，因此在教学过程中及课后批改中发现学生出现以下几个问题： 在利用添项来使等式左边配成一个完全平方公式时，等式的右边忘了加。 在开平方这一步骤中，学生要么只有正、没有负的，要么右边忘了开方。 当一元二次方程有二次项的系数不为1时，在添项这一步骤时，没有将系数化为1，就直接加上一次项系数一半的平方。 因此，要纠正以上错误，必须让学生多做练习、上台表演、当场讲评，才能熟练掌握。 用公式法解一元二次方程教学反思 通过本节课的教学，使我真正认识到了自己课堂教学的成功与失败。对我今后课堂教学有了一定引领方向有了很大的帮助。下面我就谈谈自己对这节课的反思。 本节课的重点主要有以下3点： 1. 找出a,b,c的相应的数值 2. 验判别式是否大于等于0 3. 当判别式的数值符合条件,可以利用公式求根. 在讲解过程中,我没让学生进行(1)(2)步就直接用公式求根,第 一次接触求根公式,学生可以说非常陌生,由于过高估计学生的能力,结果出现错误较多. 1. a,b,c的符号问题出错,在方程中学生往往在找某个项的系数时总是丢掉前面的符号 2. 求根公式本身就很难,形式复杂,代入数值后出错很多.
国家公务员考试行测：十字相乘法简介
十字相乘法简介 公务员考试数量关系主要测查报考者理解、把握事物间量化关系和解决数量关系问题的能力，主要涉及数据关系的分析、推理、判断、运算等。觉的题型有：数字推理、数学运算等。了解历年公务员入围分数线，可以让你做到心中有数，高效备考。 公务员行测题库帮助您刷题刷出高分来！ >>>我想看看国考课程。 十字相乘法简介 公务员考试中的数学运算部分主要考察考生的算术式子的计算比较和数学应用题的分析运算能力。考生必须具备熟练的数学运算技能和扎实的数学基础知识，掌握一定的数学思想和方法，才能达到准确、迅速求解的要求。利用十字相乘法解公务员考试中的一些习题是很有效的。下面我们简单介绍一下这种方法，并结合例题分析。 十字相乘法的具体原理如下： 一个集合中的个体，可以有两个（或三个）不同的取值，一部分取值为A,另一部分的取值为B,平均值为C,求取值为A的个体与取值为B的个体的比例，假设A有X，B有（1-X）。 则AX+B(1-X)=C X=(C-B)÷/(A-B) 1-X=(A-C)÷(A-B) 因此X ：(1-X) = (C-B) ：（A-C） 上面计算过程可抽象为 A C-B C B A-C 这就是十字相乘法，使用时要注意：1、用来解决两者之间的比例关系问题，2、得出的比例关系是基数的比例关系，3、总均值放中间，对角线上，大数减小数，结果放在对角线上。 例：某高校2006年度毕业学生7650名，比上年度增长2%，其中本科毕业生比上年度减少2%，而研究生毕业数量比上年度增加10%，那么，这所高校今年的本科生有（）。 A 3920 B4410 C4900 D5490 解析：方法一：按照我们常规的思维方法，大家都能想到的是方程法，这样我们
十字相乘法精品教案
十字相乘法进行因式分解 【基础知识精讲】 （1）理解二次三项式的意义； （2）理解十字相乘法的根据； （3）能用十字相乘法分解二次三项式； （4）重点是掌握十字相乘法，难点是首项系数不为1的二次三项式的十字相乘法． 【重点难点解析】 1．二次三项式 多项式c bx ax ++2，称为字母x 的二次三项式，其中2ax 称为二次项，bx 为一次项，c 为常数项．例如，322 --x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式． 在多项式2286y xy x +-中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式． 在多项式37222+-ab b a 中，把ab 看作一个整体，即3)(7)(22+-ab ab ，就是关于ab 的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把x ＋y 看作一个整体，就是关于x ＋y 的二次三项式． 十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法． 2．十字相乘法的依据和具体内容 利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax ＋b )(cx ＋d )竖式乘法法则．它的一般规律是： （1）对于二次项系数为1的二次三项式q px x ++2，如果能把常数项q 分解成两个因数a ，b 的积，并且a ＋b 为一次项系数p ，那么它就可以运用公式))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++ 分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．公式中的x 可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同． （2）对于二次项系数不是1的二次三项式c bx ax ++2 (a ，b ，c 都是整数且a ≠0)来说，如果存在四个整数2121,,,c c a a ，使a a a =?21，c c c =?21，且b c a c a =+1221， 那么c bx ax ++2))(()(2211211221221c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++=它的特征是“拆两头，凑中间”，这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的情况复杂，因此，一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定．学习时要注意符号的规律．为了减少尝试次数，使符号问题简单化，当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同．用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于 一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．如： )45)(2(86522-+=-+x x y xy x （使交叉相乘再相加后的和等于一次项系数，在横向写出积的形式。） 3．因式分解一般要遵循的步骤 多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法．对
人教版初二数学上册因式分解教学反思
因式分解教学反思 广外中山外校戴天 因式分解是人教版八年级数学上册一个重要的内容，也是初中代数易错的知识点，也是中考的考点之一。因此，在教学过程中，我借助学生已有的基础，给学生提供丰富 的问题情境，并给他们留下充分探索与交流的时间和空间，让他们经历从模仿到理解并 熟练掌握的过程。 一、反思教学设计 因式分解是代数式的一种重要恒等变形。它是学习分式的基础，又在恒等变形、代数式的运算、解方程、函数中有广泛的应用。因式分解与乘法公式是相反方向的变形，变形的结果是整式的积的形式。分解因式与整式的乘法是互逆关系，即把分解因式看作 是一个变形的过程，那么整式乘法又是分解因式的逆过程，这种互逆关系一方面体现二 者之间的密切联系，另一方面又说明了二者之间的根本区别。在“当堂检测”部分设计 了一个选择题第1题考察这一点。通过学生的练习来看，绝大多数学生已经掌握。 在因式分解的几种方法中，提取公因式法是最基本的方法，学生也很容易掌握。但 在一些综合运用的题目中，学生总会易忘记先观察是否有公因式，而直接想着运用公式 法分解。这样直接导致有些题目分解错误，有些题目分解不完全。因此在“例题精讲” 中例1和例2中都设计了先提公因式这个环节。在“当堂检测”部分也通过填空题第1~4题强化这个认识。结果第2题3x2 -6x ? 3二.和第3题 3a2 -12= ________________ ?部分学生就没有意识到应该先提出公因数3。尤其是第4 题(x 3)2 -(x 3^ ______________ ?需要将x+3作为一个整体提出，而部分学生却将 (x+3) 2先行展开再合并后再分解。而在“能力提升”部分更是体现这一技巧，需要移项后整体提出a2-b2，从而这也导致了结果的第二种可能。 旧教材内容难度高、它要求学生必须系统的把握因式分解的所有方法全部学会，便于满足往后的学习。而新教材对原教材的要求及难度做了一定的调整，首先从要求上对 学生来说只会灵活地运用提公式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)两种分解因 式法，对分组分解法和十字相乘法的因式分解则不做要求。考纲要求“会用提公因式法、 公式法(直接用公式不超过二次)进行因式分解(指数是正整数) 。”学生比较会将平 方差和完全平方式混淆。这是对公式理解不透彻，彼此的特征区别还未真正掌握好。大体上可以从以下方面进行区分。如果是两项的平方差则在提取公因式后优先考虑平方差公式。如果是三项则优先考虑完全平方式进行因式分解。所以在“考点扫描”部分就设 计了第2题和第4题来辨别完全平方式。并通过“例题精讲”部分例2来强化，当然“考点扫描”部分第5、6题和“例题精讲”部分例3、例4以及“当堂检测”部分填空题第1~6题、解答题第1题都有涉及。 对于其他因式分解方法，教材中只在选学栏目中给出了一种方法，因式分解 x2 +(p+qx + pq = (x+p)(x+q)型(十字相乘法)，仅供学有力的同学参考。因此数学老师的教学将受到局限性，如果当时讲了，学生的学习内容的难度掌握也必将受到影响。如果当时不讲，对往后解决列一元二次方程解应用题和二次函数解析式也必将会遇到一定的麻烦。但在中考备考第一轮复习中，这个问题就不再是问题。因此通过“考点 扫描”部分第3题和“例题精讲”部分例1来进行训练。从实际训练效果来看，绝大多数学生已
9.15十字相乘法教案
9.15十字相乘法（1） 西南位育 单萍 【教学目标】 1. 通过学生自己探究、小组讨论，探索形如q px x ++2的二次三项式的因式分解的基本方法（十字相乘法）； 2. 通过学生自行尝试和小组互助的形式，探究非标准形式的十字相乘法因式分解的步骤和注意要点； 3. 进一步培养学生的观察力、解决数学问题的能力、以及培养小组合作的能力。 【教学重难点】 正确使用十字相乘法进行因式分解 【教学过程】 一、游戏时间（随机抽查学生回答） 口答计算结果： ()()21++x x ()()21-+x x ()()32++x x ()()3-2-x x ()()54++x x ()()31+-x x ()()52+-x x ()()21--x x ()()31--x x ()()53--x x 二、探究时间 我们已经学习过提取公因式法，平方差公式法，完全平方公式法对多项式进行因式分解成几个整式乘积的形式。 探究一： 2312++x x ）（ 56-22+x x ）（ （二次项系数为1且常数项为素数二次三项式的因式分解规律） ● 自助时间（1min ） 学生通过掌握游戏时间的乘法规律自行探索上式因式分解的结果，训练独立思考的能力； ● 互助时间（1min ） 通过学生二人小组交流上式因式分解的结果，找出正确的结果，并能够初步小结方法，通过整式乘法检查自己或同学的分解结果的正确性； ● 交流时间 通过小组代表发言，得到解决二项式系数为1且常数项为素数的二次三项式因式分解的规律。 探究二：（1）65-2+x x （2）6-52x x + （二次项系数为1且常数项为简单合数的二次三项式的因式分解规律） ● 自助时间（1min ）
十字相乘法的运算方法
十字相乘法的方法简单点来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。 十字相乘法能把某些二次三项式分解因式。这种方法的关键是把二次项系数a分解成两 十字相乘法 个因数a1,a2的积a1.a2，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1乘c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果:ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2),在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程。当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。基本式子：x^2+（p+q)x+pq=(x+p)(x+q)所谓十字相乘法,就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解.比如说:把x*2+7x+12进行因式分解. 上式的常数12可以分解为3×4,而3+4又恰好等于一次项的系数7,所以 上式可以分解为:x^2+7x+12=(x+3)(x+4) 又如:分解因式:a^2+2a-15,上式的常数-15可以分解为5*(-3).而5+(-3)又恰好等于一次项系数2,所以a^2+2a-15=(a+5)(a-3). 讲解： x^2-3x+2=如下： x 1 ╳ x 2 左边x乘x=x^2 右边-1乘-2=2 中间-1乘x+-2乘x（对角）=-3x 上边的【x+（-1）】*下边的【x+（-2）】 就等于（x-1）*（x-2） x^2-3x+2=（x-1）*（x-2）例题 例1 把2x^2-7x+3分解因式. 分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数. 分解二次项系数(只取正因数)： 2＝1×2＝2×1； 分解常数项： 3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3). 用画十字交叉线方法表示下列四种情况： 1 1 ╳ 2 3 1×3+2×1 =5 1 3 ╳ 2 1 1×1+2×3
十字相乘法的用法
十字相乘法 “十字相乘法”虽然比较难学,但是学会了它, 用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，而且运算量不大，不容易出错。它在分解因式/解一元二次方程中有广泛的应用： 十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。 例1把m2+4m-12分解因式 分析：本题中常数项-12可以分为-1×12，-2×6，-3×4，-4×3，-6×2，-12×1当-12分成-2×6时，才符合本题 解：因为 1 -2 1 ╳ 6 所以m2+4m-12=（m-2）（m+6） 例2把5x2+6x-8分解因式 分析：本题中的5可分为1×5,-8可分为-1×8，-2×4，-4×2，-8×1。当二次项系数分为1×5，常数项分为-4×2时，才符合本题 解：因为 1 2 5 ╳ -4 所以5x2+6x-8=（x+2）（5x-4） 例3解方程x2-8x+15=0 分析：把x2-8x+15看成关于x的一个二次三项式，则15可分成1×15， 3×5。 解：因为 1 -3 1 ╳ -5 所以原方程可变形（x-3）（x-5）=0 所以x1=3 x2=5
例4、解方程 6x2-5x-25=0 分析：把6x2-5x-25看成一个关于x的二次三项式， 则6可以分为1×6，2×3，-25可以分成-1×25，-5×5，-25×1。 解：因为 2 -5 3 ╳ 5 所以原方程可变形成（2x-5）（3x+5）=0 所以 x1=5/2 x2=-5/3 用十字相乘法解一些比较难的题目： 例5把14x2-67xy+18y2分解因式 分析：把14x2-67xy+18y2看成是一个关于x的二次三项式, 则14可分为1×14,2×7, 18y2可分为y.18y , 2y.9y , 3y.6y 解: 因为 2 -9y 7 ╳ -2y 所以 14x2-67xy+18y2= (2x-9y)(7x-2y) 例6 把10x2-27xy-28y2-x+25y-3分解因式 分析：在本题中，要把这个多项式整理成二次三项式 的形式 解法一、10x2-27xy-28y2-x+25y-3 =10x2-（27y+1）x -（28y2-25y+3） 4y -3 7y ╳ -1 =10x2-（27y+1）x -（4y-3）（7y -1） 2 -（7y – 1） 5 ╳ 4y - 3
十字相乘法(教案)
十字相乘法(3) 教学目标 1.使学生掌握运用十字相乘法把某些形如ax2+bx+c的二次三项式分解因式； 2.进一步培养学生的观察力和思维和敏捷性. 教学重点和难点 重点：正确地运用十字相乘法把某些二次项系数不是1的二次三项式分解因式； 难点：灵活运用十字相乘法分解因式. 教学过程设计 一、导入新课 把下列各式多分解因式： 1.x2+6x－72； 2.(x+y) 2－8(x+y)+48； 3.x4－7x2+18； 4.x2－10xy－56y2. 答： 1.(x+12)(x－6)； 2.(x+y－12)(x+y+4)； 3.(x+3)(x－3)(x2+2)； 4.(x－14y)(x+4y). 我们已经学习了把形如x2+px+q的某些二次三项式分解因式，也学习了通过设辅助元的方法把能转化为形如x2+px+q型的某些多项式分解因式. 对于二次项系数不是非曲直的二次三项式如何分解因式呢?这节课就来讨论这个问题,即把某些形如ax2+bx+c的二次三项式分解因式. 二、新课 例1 把2x2－7x+3分解因式. 分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下解，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数. 分解二次项系数(只取正因数)： 2＝1×2＝2×1； 分解常数项： 3=1×3=1×3==(－3)×(－1)=(－1)×(－3). 用画十字交叉线方法表示下列四种情况： 1 1 2 3 1×3+2×1 =5 1 3 2 1 1×1+2×3 =7 1 －1 2 －3 1×(－3)+2×(－1) =－5 1 －3
(完整版)十字相乘法
十字相乘法分解因式 因式分解一般要遵循的步骤 多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相 乘法，最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复 进行．以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试 一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”． 1．二次三项式 （1）多项式c bx ax ++2，称为字母 的二次三项式，其中 称为二次项， 为一次项， 为常数项． 例如：322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式． （2）在多项式2286y xy x +-中，如果把 看作常数，就是关于 的二次三项式；如果把 看作常数，就是关于 的二次三项式． （3）在多项式3722 2+-ab b a 中，把 看作一个整体，即 ，就是关于 的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把 看作一个整体，就是关于 的二次三项式． 2．十字相乘法的依据和具体内容 (1)对于二次项系数为1的二次三项式))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++ 方法的特征是“拆常数项，凑一次项” 当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同； 当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同． 例1、 因式分解。 分析：因为 7x + (-8x) =-x 解：原式=（x+7）（x-8）
例2、 因式分解。 分析：因为 -2x+（-8x ）=-10x 解：原式=（x-2）（x-8） (2)对于二次项系数不是1的二次三项式c bx ax ++2))(()(2211211221221c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++= 它的特征是“拆两头，凑中间” 当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项； 常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同； 常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同 注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉 相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母． 例3、 因式分解。 分析：该题虽然二次项系数不为1，但也可以用十字相乘法进行因式分解。 因为 9y + 10y=19y 解：原式=（2y+3）（3y+5） 例4、 因式分解。 分析：因为 21x + (-18x)=3x 解：原式=（2x+3）（7x-9） 例5、 因式分解。 分析：该题可以将（x+2）看作一个整体来进行因式分解。 因为 -25（x+2）+[-4(x+2)]= -29（x+2） 解：原式=[2（x+2）-5][5（x+2）-2] =（2x-1）（5x+8）
数学人教版七年级上册十字相乘法教学设计
【教学内容】十字相乘法 【教学目标】1、能较熟练地用十字相乘法把形如x2 + px + q的二次三项式分解因式； 2、通过课堂交流，锻炼学生数学语言的表达能力； 3、培养学生的观察能力和从特殊到一般、从具体到抽象的思维品质.【教学重点】能较熟练地用十字相乘法把形如x2 + px + q 的二次三项式分解因式. 【教学难点】把x2 + px + q分解因式时，准确地找出a、b，使a ·b = q；a + b = p. 【教学过程】 一、复习导入 1．口答计算结果： (1) (x+2)(x+1) (2) (x+2)(x－1) (3) (x－2)(x+1) (4) (x－2)(x－1) (5) (x+2)(x+3) (6) (x+2)(x－3) (7) (x－2)(x+3) (8) (x－2)(x－3) 2．问题：你是用什么方法将这类题目做得又快又准确的呢? [在多项式的乘法中,有(x + a)(x + b) = x2 +(a + b)x + ab ] 二、探索新知 1、观察与发现: 等式的左边是两个一次二项式相乘,右边是二次三项式,这个过程将积的形式转化成和差形式,进行的是乘法计算. 反过来可得x2 +(a + b)x + ab = (x + a)(x + b).
等式的左边是二次三项式,右边是两个一次二项式相乘,这个过程将和差的形式转化成积的形式,进行的是因式分解. 2、体会与尝试： ①试一试因式分解: x2 + 4x + 3 ；x2 －2x －3 将二次三项式x2 + 4x + 3因式分解，就需要将二次项x2分解为x·x，常数项3分解为3×1，而且3 + 1= 4，恰好等于一次项系数,所以用十字交叉线表示: 3.练习 1、x4-13x2+36 2、x2+3xy-4y2 3、x2y2+16xy+48 4、(2+a)2+5(2+a)-36 5、x4-2x3-48x2