浅谈函数列收敛与一致收敛的关系及差异
摘要：本文从定义、定理、集合的角度，通过正反对比的例题，论述函数列收敛、一致收敛、内闭一致收敛间的相互关系及其差异
关键词：函数列；收敛；一致收敛；内闭一致收敛
Abstract：This paper from the definition, theorem, the set point of view, through the contrast of examples, discusses the function series convergence, uniform convergence, in close relationship and difference between the uniform convergence
Keyword：Function series; convergence; uniform convergence; uniform convergence
目录
1 引言 (4)
2 函数列收敛与一致收敛的定义 (4)
2.1 函数列收敛 (5)
2.2函数列的一致收敛 (5)
3 论述函数列收敛与一致收敛的差异 (5)
4 阐述函数列收敛与一致收敛的相互关系 (9)
4.1从定理的角度阐述 (10)
4.2从集合的角度阐述 (11)
结论 (12)
参考文献 (13)
致谢 (14)
1引言
收敛与一致收敛理论是数学分析的重要概念之一，同时也是教学的难点之一。
特别是函数列的收敛与一致收敛问题，在各个版本的数学分析教科书中往往都把
函数列的收敛问题与函数项级数的收敛问题混在一起，导致学生往往难以透彻的
理解这个概念。而且证明时学生常常都用""N -ε语言硬套，各个版本数学分析
中对这个概念也仅仅是一般性叙述，例题很少，尤其是正反例题更少。所以本文
为了让学生更好掌握这一重要概念将从定义、定理、集合的角度，系统论述函数
列收敛与一致收敛及内闭一致收敛间的相互关系及差异，让这部分内容能够独立
建立
2 函数列收敛与一致收敛的定义
2.1函数列收敛：
设
,2,1f f …,,n
f … （1） 是一列定义在同一数集E 上的函数，称为定义在E 上的函数列。（1）也可以简单地写作：
?
?????n f 或,n f n=1,2,… 设0x ∈E ，以0
x 代入（1）可得数列 ), 0
(),...0(2),0(1x n f x f x f （2） 若数列（2）收敛，则函数列（1）在点0x 收敛，0
x 称为函数列（1）的收敛点。若数列（1）在数集D E ?上每一点都收敛，则称（1）在数集D 上收敛。这时D 上每一点x ，都有数
列?
??
???n f 的一个极限值与之对应，由这个对应法则所确定的D 上的函数，称为函数列（1）的极限函数。若把此极限函数记作,f 则有
),()(lim x f x n f n =∞→ x ∈D
或),()(x f x n f = （∞→n ）
，x ∈D. 函数列极限的N -ε定义是：对每一个固定的x ∈D ，任给正数ε，恒存在正数N （注意：
一般说来N 值的确定与ε和x 的值有关，所以也用N （ε，x ）表示它们之间的依赖关系），
使得当n>N 时，总有 )()(x f x n f -<ε.
使函数列?
??
???n f 收敛的全体收敛点的集合，称为函数列??????n f 的收敛域. 2.2函数列的一致收敛 设函数列?
?????n f 与函数f 定义在同一数集D 上，若对任给的正数ε，总存在某一正数N ，使得当n>N 时，对一切x ∈D ，都有 )()(x f x n f -<ε，
则称函数列?
??
???n f 在D 上一致收敛于f ，记作 )()(x f x n f →
→ （∞→n ）
，x ∈D. 由定义看到，如果函数列?
??
???n f 在D 上一致收敛，那么对于所给的ε，不管D 上哪一点x ，总存在公共的N （ε）（即N 的选取仅与ε有关，与x 的取值无关），只要n>N ，都有
)()(x f x n f -<ε.
3 论述函数列收敛与一致收敛的差异
函数列?
??
???n f 收敛定义中是对每一个固定的x ∈D ，根据给定的正数ε找N ，这样找到的N 不仅与ε有关且与x ∈D 的取值有关。但函数列?
??
???n f 一致收敛定义中是对一切的x ∈D ，
根据正数ε正数找公共的N ，找出的N 只与ε有关，而与x ∈D 的取值无关.
例1：设,..2,1,)(==n n x x n f 为定义在
（+∞∞-,）上的函数列，证明它的收敛域(]1,1-,且有极限函数
?
??=,1,0)(x f 11= )()(x f x n f -= n x ， 只要取N （ε，x ）=x ln ln ε，当n>N （ε，x ）时，就有 )()(x f x n f -<ε. 当x =0和x =1时，则对任何正数n ，都有 0)0()0(=-f n f <ε，0)1()1(=-f n f <ε 这就证的? ?? ???n f 在(]1,1-上收敛，且有（3）式所表示的极限函数. 例2：设,...2,1,sin )(==n n nx x n f 为定义在（+∞∞-,）上的函数列，证明它在（+∞∞-,）上一致收敛，且极限函数为0)(=x f . 证 由于对任何实数x ，都有 ,1sin n n nx ≤ 故对任给的ε>0，只要取N(ε)= ,1ε 当n>N(ε) 时，就有 0sin -n nx <ε. 结论 参考文献 致谢 首先，这篇论文能够顺利完成，我非常感谢我的指导老师教授，在论文的完成过程中，从论文的的立题到论文的整改进行了全面的，认真的知道，对论文细节进行了详尽的审阅，对于论文的改进提供了宝贵的建议。其次，感谢论文撰写过程中给予我宝贵意见的同学，同时向一直关心我支持我的其他老师表示深深的谢意. 第十三章函数列与函数项级数 §1 一致收敛性 (一) 教学目的： 掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法． (二) 教学内容： 函数序列与函数项级数一致收敛性的定义；函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则；函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法． 基本要求： 1）掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法． (2) 较高要求：掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法． 2、教学基本要求：理解并掌握函数列与函数项级数的概念及一致收敛的概念和性质；掌 握函数项级数的几个重要判别法，并能利用它们去进行判别；掌握一致收敛函数列与函数项级数的极限与和函数的连续性，可积性，可微性，并能应用它们去解决问题。3、教学重点难点：重点是函数列一致收敛的概念、性质；难点是一致收敛性的概念、判 别及应用。 (三) 教学建议： (1) 要求学生必须掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项 级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别 法． (2) 对较好学生可要求他们掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法． ————————————————————一函数列及其一致收敛性 对定义在区间I 上的函数列E x x f n ∈},)({，设 E x ∈0，若数列 })({0x f n 收敛，则称函数列})({x f n 在点0x 收敛，0x 称为函数列})({x f n 收敛点；若数列 })({0x f n 发散，则称函数列})({x f n 在点0x 发散。 使函数列})({x f n 收敛的全体收敛点集合称为函数列})({x f n 收敛域（ 注意定义域与收敛域的区别 ）。 若函数列})({x f n 在数集E D ?上每一点都收敛，则称函数列})({x f n 在数集D 上收敛，这时D 上每一点x ，都有函数列的一个极限值 )()(lim x f x f n n =∞ → 与之对应，由这个对应关系所确定的函数，称为函数列})({x f n 的极限函数。 逐点收敛 ( 或称为“点态收敛” )的“N -ε”定义. 例1 对定义在) , (∞+∞-内的等比函数列)(x f n =n x , 用“N -ε”定义 验证其收敛域为] 1 , 1 (-, 且 ∞→n lim )(x f n = ∞→n lim n x =? ??=<. 1 , 1 , 1 || , 0 x x 例2 )(x f n = n nx sin . 用“N -ε”定义验证在) , (∞+∞-内∞→n lim )(x f n =0. 函数列的一致收敛性： 设函数列 })({x f n 在E 上收敛于 )(x f ，若对任意的0>ε ，存在自然数 )(εN N =，当 N n >时，对E 中一切 x 都有 ε<-)()(x f x f n 则称函数列)}({x f n 在E 上一致收敛于)(x f 。 注意 这里的 N 只与ε有关，与x 无关，这一点是一致收敛与逐点收敛的本质区别。 第三节 函数项级数的一致收敛性 本节将讨论函数项级数有关性质。 定义 1 设 )(1x u ，)(2x u ，……，)(x u n ，……，是集合E 上的函数列，我们称形为 )(1x u +)(2x u +……+)(x u n +…… 为E 上的函数项级数，简记为∑∞ =1 )(n n x u 。其中)(x u n 称为第n 项. )(x u k +)(1x u k ++……+)(x u n +……也记为∑∞ =k n n x u )(. 记号中n 可以用其它字母 代之. 同研究常数项级数一样，我们类似可以定义其收敛性。 定义 2 设∑∞ =1)(n n x u 是集合E 上的函数项级数，记 ∑==n i i n x u x S 1 )()(=)(1x u +)(2x u +……+)(x u n ， 它称为级数∑∞ =1 )(n n x u 的部分和函数（严格地说是前n 项部分和函数）. {})(x S n 称为∑∞ =1 )(n n x u 的部分和函数列。 如果{})(x S n 在0x 点收敛，我们也说∑∞ =1 )(n n x u 在0x 点收敛或称0x 为该级数 的收敛点。 如果|)(|1 ∑∞ =n n x u 在0x 点收敛，我们称∑∞ =1 )(n n x u 在0x 点绝对收敛。非常容易证 明绝对收敛一定收敛。 {})(x S n 的收敛域也称为该级数的收敛域。如果{})(x S n 在0x 点不收敛， 我们说∑∞ =1 )(n n x u 在0x 点发散。 如果{})(x S n 在D 上点态收敛于)(x S ，我们称∑∞ =1 )(n n x u 在D 上点态收敛于 )(x S . )(x S 称为该级数的的和函数。)()()(x S x S x R n n -=称为该级数关于前 n 项部分和的余项. {})(x R n 称为该级数的余项函数列. 如果{})(x S n 在D 上一致收敛于)(x S ，我们称∑∞ =1)(n n x u 在D 上一致收敛于 )(x S ， 或∑∞ =1 )(n n x u 在D 上一致收敛. 如果{})(x S n 在D 上内闭一致收敛于)(x S ，我们称∑∞ =1 )(n n x u 在D 上内闭一致收敛. 用N -ε的进行叙述将是： 设∑∞ =1)(n n x u 是D 上函数项级数，)(x S 是D 上函数。 若对任意ε>0，总存 在一个正数正数N （只能依赖于ε，绝对不依赖于x ），当N n >时，对一切的D x ∈，总有 ε<-∑=|)()(|1x S x u n i i ， 则称该函数项级数在D 上一致收敛于)(x S . 同样一致收敛一定点态收敛. 例 1 定义在（—∞，+∞）上的函数项级数（几何级数） ΛΛΛΛ+++++=∑∞ =-n n n x x x x 21 1 1 的部分和函数是x x x S n n --=11)( .显然当|x |<1时 概率论中的收敛-正文 概率论中的极限定理和数理统计学中各种统计量的极限性质，都是按随机变量序列的各种不同的收敛性来研究的。 设{X n,n≥1}是概率空间(Ω,F,P)（见概率）上的随机变量序列，从随机变量作为可测函数看，常用的收敛概念有以下几种： 以概率1收敛若,则称｛X n,n≥1｝以概率1收敛于X。强大数律（见大数律）就是阐明事件发生的频率和样本观测值的算术平均分别以概率 1收敛于该事件的概率和总体的均值。以概率 1收敛也常称为几乎必然（简记为α.s）收敛,它相当于测度论中的几乎处处（简记为α.e.）收敛。 依概率收敛若对任一正数ε,都有，则称{X n,n≥1}依概率收敛于X。它表明随机变量X n与X发生较大偏差(≥ε)的概率随n无限增大而趋于零。概率论中的伯努利大数律就是最早阐明随机试验中某事件 A发生的频率依概率收敛于其概率P(A)的。依概率收敛相当于测度论中的依测度收敛。 r阶平均收敛对r≥1,若X n-X的r阶绝对矩(见矩)的极限,则称{X n,n≥1}r阶平均收敛于X。特别，当r=1时，称为平均收敛；当r=2时,称为均方收敛，它在宽平稳过程（见平稳过程）理论中是一个常用的概念。 弱收敛设X n的均值都是有限的，若对任一有界随机变量Y都有,则称{X n,n≥1}弱收敛于X。由平均收敛可以推出弱收敛。 从随机变量的分布函数（见概率分布）看，常用的有如下收敛概念。 分布弱收敛设F n、F分别表示随机变量X n、X的分布函数,若对F的每一个连续点x都有，则称X n的分布F n弱收敛于X的分布F,也称X n依分布收敛于X。分布弱收敛还有各种等价条件，例如,对任一有界连续函数?(x)， img src="image/254-6.gif" align="absmiddle">。 分布弱收敛是概率论和数理统计中经常用到的一种收敛性。中心极限定理就是讨论随机变量序列的标准化部分和依分布收敛于正态随机变量的定理。大样本统计中也要讨论各种统计量依分布收敛的问题。 分布淡收敛设{F n(x)，n≥1}为分布函数列，而F(x)为一非降右连续函数（不一定是分布函数），若对F(x)的每一个连续点x都有 ，则称F n淡收敛于F。 上述各种收敛之间有如下蕴含关系（A崊B表示由A可推出B）,若r′≥r≥1,则有:。此外，依概率收敛于常数与依分布收敛于常数是等价的。 函数项级数一致收敛性判别法及其应用 栾娈 20111101894 数学科学学院 数学与应用数学11级汉班 指导老师：吴嘎日迪 摘要:本文证明了常用的函数项级数一致收敛性的判别法,并通过例题给出了它的应用.另外,仿照极限的夹逼原理,得到函数项级数一致收敛的夹逼判别法. 关键词:一致收敛,函数项级数,和函数 1.函数列与一致收敛性 (1)函数项级数一致收敛性的定义:设有函数列{S n （x ）}(或函数项级数∑∞ =1 )(n n x u 的 部分和序列)。若对任给的0>ε，存在只依赖于ε的正整数N （ε），使n > N （ε）时，不等式 ε<-)()(x S x S n 对X 上一切x 都成立，则称{S n （x ）}（∑∞ =1 )(n n x u ）在X 上一致收敛于S （x ）. 一致收敛的定义还可以用下面的方式来表达： 设 =-S S n X x ∈s u p )()(x S x S n -， 如果 0lim =-∞ →S S n n 就称S n （x ）在X 上一致收敛于S(x ). 例1 讨论 = +=X x n nx x S n 在2 2 1)([0，1]的一致收敛性 由于S （x ）=0, 故 2 11)(m a x 1 = ?? ? ??==-≤≤n S x S S S n n x o n ， 不收敛于零，故在[0，1]上非一致收敛 (2)函数项级数一致收敛的几何意义:函数列{f n }一致收敛于的f 几何意义：对任 给的正数ε ，存 N ，对一切序号大于N 的曲线y=f n (x )都落在以曲 线y= f (x )+ε与y=f (x )-ε为上，下边界的带形区域内. 2.函数列一致收敛的判别准则（充要条件） §2 一致收敛函数列与函数项级数的性质 教学计划：４课时． 教学目的：让学生掌握一致收敛函数列与函数项级数的性质及其应用． 教学重点：函数列与函数项级数的确定的函数的连续性、可积性与可微性． 教学难点：在一致收敛的条件下证明各项分析性质． 教学方法：讲授法． 教学步骤： 本节讨论由函数列与函数项级数的确定的函数的连续性、可积性与可微性． 定理13．8 设函数列{}n f 在()()b x x a o o ,, 上一致收敛于()x f ，且对每个n ， ()n n x x a x f o =→lim 则n a ∞ →lim 和()x f o x x →lim 均存在且相等． 证 先证{}n a 是收敛数列.对任意0>ε，由于{}n f 一致收敛，故有N ，当N n >和任意正整数p ，对一切()()b x x a x o o ,, ∈有 ()().ε<-+x f x f p n n (1) 从而 ()()ε≤-=-+→+x f x f a a p n n x x p n n 0 lim 这样由柯西准则可知{}n a 是收敛数列． 设.lim A a n n =∞ →．再证().lim 0 A x f x x =→ 由于)(x f n 一致收敛于)(x f 及n a 收敛于A ，因此对任意,0>ε存在正数N ，当N n >时，对任意),(),(00b x U x a x ∈ 3 3 )()(ε ε < -< -A a x f x f n 和 同时成立.特别取,1+=N n 有 .3 ,3 )()(11ε ε < -< -++A a x f x f N N 又(),lim 110 ++→=N N x x a x f ，故存在,0>δ，当δ<-<00x x 时， .3 )(11ε < -++N N a x f 这样，当x 满足δ<-<00x x 时， A a a x f x f x f A x f N N N N -+-+-≤-++++1111)()()()( ,3 3 3 εε ε ε =+ + < 即 ().lim 0 A x f x x =→ □ 这个定理指出：在一致收敛的条件下，{})(x f n 中两个独立变量x 与n ，在分别求极限时其求极限的顺序可以交换，即 ()().lim lim lim lim 0 0x f x f n x x n n n x x →∞→∞ →→= (2) 类似地，若)(x f n 在()b a ,上一致收敛且)(lim x f n a x + →存在，可推得 ()().lim lim lim lim x f x f n a x n n n a x ++→∞→∞ →→=；若)(x f n 在()b a ,上一致收敛和)(lim x f n b x +→存在，则可推 得()().lim lim lim lim x f x f n b x n n n b x + + →∞→∞ →→=． 可测函数列常见的几种收敛 摘 要：本文介绍了可测函数列常见的几种收敛：一致收敛、几乎一致收敛、几乎处处收敛、依测度收敛等以及它们之间的关系． 关键字：可测函数列；一致收敛；几乎一致收敛；几乎处处收敛；依测度收敛 前言 在数学分析中我们知道一致收敛是函数列很重要的性质，比如它能保证函数列的极限过程和(R)积分过程可交换次序等．可是一般而言函数列的一致收敛性是不方便证明的，而且有些函数列在其收敛域内也不一定是一致收敛的，如文中所给的例2函数()f x 在收敛域[0,1]内不一致收敛，但对于一个0δ>当0δ→时在[0,]δ内一致收敛，这不见说明了一致收敛的特殊性，也验证了我们平时常说的“矛盾的同一性和矛盾的斗争性是相联系的、相辅相成的”[1] 1 可测函数列几种收敛的定义 1.1 一致收敛[3] 设12(),(),(),,(),k f x f x f x f x 是定义在点集E 上的实值函数．若对于0,ε?>存在,K N +∈使得对于,k K x E ?≥?∈都有 ()()k f x f x ε-< 则称}{()k f x 在E 上一致收敛到()f x ．记作： u k f f ??→(其中u 表示一致uniform)． 1.2 点点收敛 若函数列12(),(),(),,(),k f x f x f x f x 在点集D E ?上每一点都收敛，则称它在D 上点点收敛． 例1 定义在[0,1]E =上的函数列1(),1k f x kx =+则()k f x 在E 上点点收敛到函数 1,0,()0,0 1. x f x x =?=?<≤? 而且还能看出{()}k f x 在[]0,1上不一致收敛到()f x ，但对于0,{()}k f x δ?>在[,1]δ上一致收敛到()f x ． 函数列的几种收敛性 王佩 （西北师范大学数学与信息科学学院甘肃兰州730070） 摘要: 讨论和总结函数列的收敛、一致收敛、处处收敛，几乎处处收敛、几乎处处一致收敛、依测度收敛、近乎收敛、近乎一致收敛、强收敛及其它们之间的关系和相关命题. 关键词：函数列；收敛； Several kinds of convergence for the sequence of funcations Wang pei (College of Mathematics and Information Science,Northwest Normal University,Lanzhou 730070,China) Abstract:This article discusses and summarizes the relationship between the convergence, uniform convergence,everywhere convergence,almost everywhere convergence,almost everywhere uniform convergence,convergence in measure,nearly convergence,nearly uniform convergence and strong convergence for the sequence of funcations. Key words: the sequence of funcations; convergence; 一、 几种收敛的定义 1、 收敛的定义 定义1：设{}n a 为数列，a 为定数.若对任给的正数ε，总存在正整数N ，使得当n>N 时有ε<-a n a ,则称数列{}n a 收敛于a ，定数a 称为数列{}n a 的极限，并记作lim n →∞ a n =a ,或()∞→→n a a n . 定义2：设f 为定义在[)+∞,a 上的函数，A 为定数.若对任给的ε>0，存在正数M （≥a ），使得当x>M 时有 |f(x)-A|<ε,则称函数f 当x 趋于+ ∞时以A 为极限，记作 lim x →∞ f(x)=A 或f(x)→A(x →+ ∞).用c.表示. 2、一致收敛的定义 设函数列{f n (x)}与函数f(x)定义在同一数集E 上，若对任意的ε>0,总存在自然数N ，使得当n>N 时，对一切x ∈E 都有| f n (x)- f(x)|<ε,则称函数列{f n (x)}在E 上一致收敛于f(x)，记作f n (x)→ f(x)，（n →∞）x ∈E.用u.c.表示. 3、几乎处处收敛的定义 设函数列{f n (x)}与函数f(x)定义在同一可测集E 上，若函数列{f n (x)}在E 上满足mE （f n (x)→ f(x)）=0，（其中“→”表示不收敛于），则称{f n (x)}在E 上几乎处处收敛于f(x)，记作lim n →∞ f n (x)= f(x)a.e.于E ，或f n →fa.e.于 E.用a.c.表示. 4、几乎处处一致收敛 设函数列{f n (x)}与函数f(x)定义在同一可测集E 上，若函数列{f n (x)}在E 上满足mE （f n (x)?→?uc f(x)）=0，（其中“?→?uc ”表示不一致收敛于）， 则称{f n (x)}在E 上几乎处处一致收敛于f(x)，记作lim n →∞ f n (x)= f(x)a.e.于 E ，或f n ?→?uc f a.e.于E.用a.u.c.表示. 5、依测度收敛 设函数列{f n (x)}是可测集E 上一列a.e.有限的可测函数，若有E 上一列a.e.有限的可测函数f(x)满足下列关系： 对任意ζ>0有lim n mE [|f n -f|≥ζ]=0，则称函数列{f n }依测度收敛于f,或度 量收敛于f 记为：f n (x)? f(x). 摘要：本文从定义、定理、集合的角度，通过正反对比的例题，论述函数列收敛、一致收敛、内闭一致收敛间的相互关系及其差异 关键词：函数列；收敛；一致收敛；内闭一致收敛 Abstract：This paper from the definition, theorem, the set point of view, through the contrast of examples, discusses the function series convergence, uniform convergence, in close relationship and difference between the uniform convergence Keyword：Function series; convergence; uniform convergence; uniform convergence 目录 1 引言 (4) 2 函数列收敛与一致收敛的定义 (4) 2.1 函数列收敛 (5) 2.2函数列的一致收敛 (5) 3 论述函数列收敛与一致收敛的差异 (5) 4 阐述函数列收敛与一致收敛的相互关系 (9) 4.1从定理的角度阐述 (10) 4.2从集合的角度阐述 (11) 结论 (12) 参考文献 (13) 致谢 (14) 1引言 收敛与一致收敛理论是数学分析的重要概念之一，同时也是教学的难点之一。 特别是函数列的收敛与一致收敛问题，在各个版本的数学分析教科书中往往都把 函数列的收敛问题与函数项级数的收敛问题混在一起，导致学生往往难以透彻的 理解这个概念。而且证明时学生常常都用""N -ε语言硬套，各个版本数学分析 中对这个概念也仅仅是一般性叙述，例题很少，尤其是正反例题更少。所以本文 为了让学生更好掌握这一重要概念将从定义、定理、集合的角度，系统论述函数 列收敛与一致收敛及内闭一致收敛间的相互关系及差异，让这部分内容能够独立 建立 2 函数列收敛与一致收敛的定义 2.1函数列收敛： 设 ,2,1f f …,,n f … （1） 是一列定义在同一数集E 上的函数，称为定义在E 上的函数列。（1）也可以简单地写作： ? ?????n f 或,n f n=1,2,… 设0x ∈E ，以0 x 代入（1）可得数列 ), 0 (),...0(2),0(1x n f x f x f （2） 若数列（2）收敛，则函数列（1）在点0x 收敛，0 x 称为函数列（1）的收敛点。若数列（1）在数集D E ?上每一点都收敛，则称（1）在数集D 上收敛。这时D 上每一点x ，都有数 列? ?? ???n f 的一个极限值与之对应，由这个对应法则所确定的D 上的函数，称为函数列（1）的极限函数。若把此极限函数记作,f 则有 函数项级数一致收敛性有关问题的讨论 函数项级数是微积分的主要内容之一，是数学分析研究的重点．用函数项级数(或函数列)来表示(或定义)一个函数，判断其一致收敛性是关键．从函数项级数一致收敛的定义及性质出发，下面主要讨论函数项级数(或函数列)一致收敛性的判别及其应用． 1 函数项级数一致收敛的相关定义 定义1.1 []1(31) P 设函数列{})(x S n 是函数项级数 ∑∞ =1 )(n n x u 的部分和函数列，若,0>?ε 存在正 整数)(εN ，当n >)(εN 时，不等式 ∑=-n k k x S x u 1 )()(=)()(x S x S n -<ε 对I 上一切x 都成立，则称 ∑∞ =1 )(n n x u 在I 上一致收敛于()S x ． 一致收敛的定义还可以用下面的方式来表达： 定义1.1[]2(67) ' P 函数列{})(x S n (或 ∑∞ =1 )(n n x u )在I 上一致收敛于()S x ?∞ →n lim I x ∈sup )(x R n =0)()(sup lim =-∈∞→x S x S n I x n ，其中)(x R n =()()n S x S x -称为函数项级数 ∑∞ =1 )(n n x u 的余项． 定义1.2 函数列{})(x S n 在I 上非一致收敛于()S x ?00>?ε，0>?N ，N n >?0，I x ∈?0，使得)()(000x S x S n -≥0ε． 定义 1.3 函数列{})(x S n 在区间()b a ,内的任一闭区间上一致收敛时，称{})(x S n 在区间()b a ,内闭一致收敛． 2 一致收敛函数项级数的性质[] 3(417430) P - 定理2.1（逐项取极限） 设级数 ∑∞ =1)(n n x u 在0x 的某个空心邻域0U (0x )={}δ<-<||0:0x x x 内 一致收敛，0 lim x x →()n n u x c =．则 ∑∞ =1 n n c 收敛，且 关于导函数列一致收敛的性质的一些命题. 函数列可逐项求导的充分条件 定理10.10 如果函数列}{n f 满足条件: (1) 每一个n f 在区间],[b a 上有连续的导函数; (2) 由导函数构成的函数列}{n f '在],[b a 上一致收敛于函数 g ; (3) 至少在某一点],[0b a x ∈,)}({0x f n 收敛。 那么， }{n f 在],[b a 上一致收敛于某个函数f ，f 在区间],[b a 上有连续的导函数，而且对每个],[b a x ∈，有)()(x g x f ='， 即 )(lim ))(lim (x f x f n n n n '='∞ →∞ → 。 定理 设函数列}{n f 的每一项都在区间I 上连续可导，如果对任何 I B A ∈,， B A <，函数列}{n f 在],[B A 上一致收敛于函数f ,函数列}{n f '在],[B A 上一致收敛 于函数 g ,那么f 在区间 I 上有连续的导函数，而且对每个I x ∈，有 )()(x g x f ='，即 )(lim ))(lim (x f x f n n n n ' ='∞ →∞ → 。 定理1.设[][]b a x b a C x f n ,,,)(02∈∈.若{})(0x f n 收敛, {})(0x f n '收敛,且{})(x f n ''在[]b a ,上一致收敛,则 {})(x f n '在[]b a ,上一致收敛;{})(x f n 在[]b a ,上一致收敛. (lim ())lim ()n n n n f x f x →∞ →∞ ''=，(lim ())lim ()n n n n f x f x →∞ →∞ ''''= 。 定理2 设[],,)(2b a C x f n ∈且{}{})(,)(b f a f n n 收敛,如果{})(x f n ''在[]b a ,上一致收敛, 则{})(x f n 与{})(x f n '均在[]b a ,上一致收敛. 证明由?''-+-'+=b a n n n n dx x f x b a b a f a f b f )()())(()()(， 得?''----='b a n n n n dx x f x b a b a f b f a f )()()()()( ,由条件,可知{})(a f n '收敛,利用定理1,即得到结论. 定理3 设[],,)(2 b a C x f n ∈若{})(x f n 在[]b a ,上一致收敛,{})(x f n ''在[]b a ,上一致收敛, 则{})(x f n '在[]b a ,上一致收敛. 函数项级数的一致收敛性及其应用 摘要：随着科学技术的发展，初等函数已经满足不了人们的需要.自柯西给出了无穷级数的定义后，随着人们对级数的深入研究，无穷级数的理论得到了飞速的发展.有了无穷级数，函数项级数应运而生.函数项级数在数学科学本身及工程技术领域里有广泛的应用,函数项级数的一致收敛性在应用中起着至关重要的作用,因此研究函数项级数的一致收敛性及其判定就成了应用中重要的环节.本文介绍函数项级数一致收敛的相关概念，对函数项级数一致收敛性的判定方法进行梳理、归纳，并举例说明，以一类最简单的函数项级数幂级数为例，说明函数项级数在计算方面的应用. 关键词：函数项级数；一致收敛；幂级数 Uniformly Convergence Series of Functions and Application Abstract: With the development of science and technology, elementary function has failed to meet the needs of the people. Since the Cauchy gives the definition of infinite series, the theory of series has been developed rapidly with the in-depth study of it. With the infinite series, series of functions came into being. Series of functions has a wide application in mathematics and engineering science. The uniformly convergence of series of functions plays an important role in application. During the application, the uniformly convergence of series of function and its judgment become important. This article describes the concept of the uniformly convergence of series of functions, to sum up the judgment of the uniformly convergence of series of functions. We give many examples and take the series of powers to illustrate the application in calculation of series of functions. Key words: series of functions; uniformly convergence; series of powers 函数列三种收敛的关系探究毕业 本科生毕业论文函数列三种收敛的关系探究 学号： 2009563018 姓名：刘玉良 年级： 09级本科二班 系别：数学系 专业：数学与应用数学 指导教师：王国贤 完成日期： 2013年4月20日 承诺书 我承诺所呈交的毕业论文（设计）是本人在指导教师指导下进行研究工作所取得的研究成果.据我查证，除了文中特别加以标注的地方外，论文中不包含他人已经发表或撰写过的研究成果.若本论文（设计）及资料与以上承诺内容不符，本人愿意承担一切责任. 毕业论文（设计）作者签名： 日期：年月日 目录 摘要 ............................................................................ I Abstract ........................................................................... I I 前言 (1) 第一章基本概念 (2) 1.1一致收敛的相关定义 (2) 1.2依测度收敛的定义 (4) 1.3几乎处处收敛的定义 (5) 第二章函数列收敛之间的关系 (6) 2.1几乎处处收敛与一致收敛间的关系 (6) 2.2依测度收敛与几乎处处收敛之间的关系 (9) 2.3一致收敛与依测度收敛之间的关系 (12) 2.4基本上一致收敛与几乎处处收敛之间的关系 (13) 2.5基本上一致收敛与依测度收敛之间的关系 (14) 第三章利用收敛性的关系解决问题 (15) 3.1利用一致收敛问题解决几乎处处收敛问题 (15) 3.2 利用依测度收敛问题解决几乎处处收敛问题 (17) 3.3利用几乎处处收敛问题解决一致收敛问题 (18) 结论 (19) 参考文献 (20) 致谢 (22) 长江大学 毕业论文 题目名称随机变量序列的收敛性及其相互关系院（系）信息与数学学院 专业班级信计11001班 学生姓名傅志立 指导教师李治 辅导教师_________ 李治______________ 摘要：概率极限理论不仅是概率论的重要组成部分，而且在数理统计中有广泛 的应用。本文主要对a.e.收敛、依概率收敛、依分布收敛、r—阶收敛四种随机变量序列的概率和收敛性性质进行阐述；并结合具体实例讨论了它们之间的关系，进一步对概率论中依分布收敛的等价条件和一些依概率收敛的弱大数定律进行了具体的研究. 目录 1......................................................................................... 引 言2......................................................................................... a .e.收敛、依概率收敛、依分布收敛、r—阶收敛的 概念、性质及其相互关系. 2.1 a.e.收敛的概念及性质 2.2依概率收敛的概念及性质 2.3依分布收敛的概念及性质 2.4r-阶收敛的概念及性质 2.5结论 3......................................................................................... 随 机变量序列依分布收敛的等价条件4......................................................................................... 随 机变量 ∑ = n k k n1 1 ξ 依概率收敛的一些结果 5......................................................................................... 小 结6......................................................................................... 参 考文献 泛函分析关于各种收敛的定义及其关系讨论 1.弱收敛：设χ是一个巴拿赫空间，{}n x ?χ，x χ∈，称{}n x 弱收敛到x ，记做 n x x ，是指：对于?f ∈χ*都有()()lim .n n f x f x →∞ = 这时x 称做点列{}n x 的弱极限。 2.强收敛：0n x x -→()n →∞，也称为按范数收敛，x 是{}n x 的强极限。 强收敛与弱收敛的关系： 若dim χ<∞，则弱收敛与强收敛是等价的。 命题：弱收敛若存在必唯一，强极限若存在必是弱极限。 当dim =χ∞时，弱极限存在却未必有强极限。 定理：设c 是一个巴拿赫空间，n x x ， 则0e ">，()01,2,,i i n λ?≥= ，11n i i λ==∑，使得01 .n i i i x x λε=- ≤∑ 既然c * 也是一个赋范线性空间，在c * 上自然也有两种收敛性：强收敛和弱收敛。所谓弱收敛n f f ，是指对x χ****?∈都有()().n n x f x f **→ 3.*弱收敛：设χ是巴拿赫空间，{}n f χ*?，f χ*∈。称n f *弱收敛到f ，记做 lim n n f f ω*→∞ -=，是指：对于x χ?∈，都有()()lim n n f x f x →∞ =。这时f 称做泛函序列{} n f 的*弱极限。 *弱收敛与弱收敛的关系： 由于χχ** ?，因此χ* 上的弱收敛蕴含着χ* 上的*弱收敛，而且当χ是一个自反空间时， *弱收敛与弱收敛等价。 定理：设χ是巴拿赫空间，又设{}n x ?χ，x χ∈，则为了n x x ，必须且仅须 ⑴n x 有界； ⑵对χ*中的一个稠密子集M * 上的一切f 都有()()lim n n f x f x →∞ =。 定理：设χ是一个B 空间，又设{}n f χ* ?，{}f χ* ?，则为了n f *弱收敛到f ，必须且函数列与函数项级数一致收敛性解析
函数项级数的一致收敛性共8页word资料
几种收敛函数的介绍
函数项级数一致收敛的几个判别法及其应用
一致收敛函数列与函数项级数的性质
可测函数列常见的几种收敛
函数列的几种收敛性
浅谈函数列收敛与一致收敛的关系及差异
函数项级数一致收敛性
导函数列一致收敛的性质
函数项级数的一致收敛性及其应用
函数列三种收敛的关系探究毕业
随机变量序列的收敛性及其相互关系
泛函分析关于各种收敛的定义及其关系讨论