重难点突破：不等式中最值问题全梳理

重难点突破：不等式中最值问题全梳理

模块一、题型梳理

题型一 基本不等式与函数相结合的最值问题

例题1 若方程

ln x m =有两个不等的实根1x 和2x ，则22

12x x +的取值范围是（ ）

A ．()1,+∞

B

．

)

+∞

C ．

()2,+∞ D ．()0,1

【分析】由方程可得两个实数根的关系，再利用不等式求解范围. 【解析】因为

ln x m =两个不等的实根是1x 和2x ，不妨令()()120,1,1,x x ∈∈+∞，12,Inx m Inx m =-=

故可得()120In x x =，解得211x x =

，则22

12x x +

=212112x x +>=，故选：C. 【小结】本题考查对数函数的性质，涉及均值不等式的使用，属基础题. 例题2

2291

sin cos αα

+的最小值为（ ）

A ．2

B ．16

C ．8

D ．12

【分析】利用22sin cos 1αα+=将

2291sin cos αα

+变为积为定值的形式后，根据基本不等式可求得最小值. 【解析】∵2

2

sin cos 1αα+=，∴()22

2222

9191sin cos sin cos sin cos αααααα

??+=++ ???

2222sin 9cos 1010616

cos sin αααα

=+++=，当且仅当23sin 4α=，2

1cos 4α=时“=”成立，故2291sin cos αα+的最小值为16.

【小结】本题考查了利用基本不等式求和的最小值，解题关键是变形为积为定值，才能用基本不等式求最值，属于基础题.

例题3 已知函数y ＝log a x ＋1(a >0且a ≠1)图象恒过定点A ，若点A 在直线x m ＋y

n －4＝0(m >0，n >0)上，则

m ＋n 的最小值为________．

【解析】由题意可知函数y ＝log a x ＋1的图象恒过定点A (1,1)，∵点A 在直线x m ＋y n －4＝0上，∴1m ＋1

n ＝4，

∵m >0，n >0，∴m ＋n ＝1

4(m ＋n )????1m ＋1n ＝14????2＋n m ＋m n ≥14???

?

2＋2n m ·m n ＝1，当且仅当m ＝n ＝12时等号成立，∴m ＋n 的最小值为1.

题型二 基本不等式与线性规划相结合的最值问题

例题4 已知,x y 满足约束条件23023400x y x y y -+≥??

-+≤??≥?

，若目标函数2z mx ny =+-的最大值为1（其中

0,0m n >>），则

11

2m n

+的最小值为（ ） A ．3

B ．1

C ．2

D ．

32

【分析】画出可行域，根据目标函数z 最大值求,m n 关系式23m n +=，再利用不等式求得11

2m n

+最小值.

【解析】画出可行域如下图所示，由于0,0m n >>，所以基准直线0mx ny +=的斜率为负数，故目标函数在点()1,2A 处取得最大值，即221m n +-=，所以23m n +=.

()11111151519322323232322n m m n m n m n m n ?????+=?+?+=?++≥?+=?= ? ? ?????，当且仅当

,1n m m n m n ===时等号成立，所以11

2m n +的最小值为3

2

.故选：D

【小结】本小题主要考查根据目标函数的最值求参数，考查基本不等式求最值，考查数形结合的数学思想

方法，属于中档题.

题型三 基本不等式与数列相结合的最值问题

例题5 已知递增等差数列{}n a 中，122a a =-，则3a 的（ ）

A ．最大值为4-

B ．最小值为4

C ．最小值为4-

D ．最大值为4或4-

【分析】根据等差数列的通项公式可用1a 表示出d .由数列单调递增可得10a <.用1a 表示出3a ,结合基本不等式即可求得最值.

【解析】因为122a a =-，由等差数列通项公式,设公差为d ,可得()112a a d +=-，变形可得11

2

d a a =--

因为数列{}n a 为递增数列,所以11

2

0d a a =--

>，即10a <，而由等差数列通项公式可知312a a d =+ ()11111242a a a a a ??

??=+--=-+- ? ?????，由10a ->,140a >-结合基本不等式可得 ()

31144a a a ??

=-+-≥= ???

，当且仅当12a =-时取得等号，所以3a 的最小值为4。 【小结】本题考查了等差数列通项公式与单调性的应用,基本不等式在求最值中的用法,属于中档题.

例题6 已知a ，b 均为正数，且2是2a ，b 的等差中项，则1

ab 的最小值为________． 【解析】由于2是2a ，b 的等差中项，故2a ＋b ＝4，又a ，b 均为正数，故2ab ≤????2a ＋b 22

＝4，

当且仅当2a ＝b ＝2，即a ＝1，b ＝2时取等号，所以1ab 的最小值为1

2

.

题型四 基本不等式与向量相结合的最值问题

例题7 如图所示,已知点G 是

ABC 的重心,过点G 作直线分别交AB ，AC 两边于M ，N 两点，且

AM xAB =，AN yAC =，则3x y +的最小值为______.

【分析】根据重心的性质有133

1

AG AB AC =

+,再表达成,AM AN 的关系式,再根据M ,G ,N 三点共线可得系数和为1,再利用基本不等式求解即可. 【解析】根据条件：1AC AN y =

,1AB AM x =,又133

1

AG AB AC =+,1133AG AM A x y N ∴=+. 又M ,G ,N 三点共线,11331y x

∴

+=.0x ,0y >,

()114433333333x x y x y x y y x y ??∴+=++=++≥+=

???

.

3x y ∴+当且仅当3x y y x =时“=”成立.. 【小结】本题主要考查了基底向量与向量的共线定理性质运用,同时也考查了基本不等式应用,属于中等题型.

题型五 基本不等式与圆锥曲线相结合的最值问题

例题8 在平面直角坐标系xoy 中， 已知点(0,1)A -，B 点在直线3y =-上，M 点满足//MB OA ，

MA AB MB BA =，M 点的轨迹为曲线C ．

（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）P 为C 上动点，l 为C 在点P 处的切线，求O 点到l 距离的最小值． 【解析】（Ⅰ）设(,)M x y ，由已知得(,3)B x -，(0,1)A -．所以MA =(,1)x y ---， MB =(0，3y --)，

AB =(x ，-2).再由题意可知（MA +MB ）? AB =0， 即（x -，42y --）? (x ，－2)=0．

所以曲线C 的方程式为2

124

y x =

-． （Ⅱ）设00(,)P x y 为曲线C ：2124y x =-上一点，因为12y x '=，所以l 的斜率为01

2x ，

因此直线l 的方程为0001()2

y y x x x -=-，即2

000220x x y y x -+-=．

则O 点到l

的距离2

d =．又200124y x =-

，所以2

01412,2x d +==≥

当2

0x =0时取等号，所以O 点到l 距离的最小值为2．

例题9 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22

221(0)x y a b a b

+=>>

的离心率e =

C 上的点到(0,2)Q 的距离的最大值为3． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）在椭圆C 上，是否存在点(,)M m n 使得直线l ：1mx ny +=与圆O ：22

1x y += 相交于不同的两点,A B ，且OAB ?面积最大？若存在，求出点M 坐标及相对应的OAB ?面积；若不存在，请说明理由．

【解析】

（Ⅰ）由2223c e c a a =

==，所以22221

3

b a

c a =-=，设(,)P x y 是椭圆C 上任意一点， 则22221x y a b

+=，∴22222

2(1)3y x a a y b =-=-

，||PQ ==

所以，当1y =-时，||PQ

3=

，可得a =

1,b c ==故椭圆C 的方程为：2

213

x y += （Ⅱ）存在点M 满足要求，使OAB ?得面积最大．假设直线:1l mx ny +=与圆2

2

:1O x y += 相交于不同两点,A B ,则圆心O 到l

的距离1d =

<，∴221m n +> ①

因为(,)M m n 在椭圆C 上，所以2

213m n +=

②，由①②得：203m <

∵||AB ==

1||2OAB

S AB d =

?= 由②得2

2

13

m

n =-

代入上式得2

1322

1213

OAB m

S m m ?==+?， 当且仅当22231(0,3]32m m =

?=∈

，∴2231

,22

m n =

=，此时满足要求的点(2M ±有四个．

此时对应的OAB ?的面积为12

．

题型六 基本不等式与圆相结合的最值问题

例题10 设m ，n R ∈，若直线(1)+(1)2=0m x n y ++-与圆2

2

(1)+(y 1)=1x --相切，则+m n 取值范围是

（ ）

A ．[1

B ．(,1[1+3,+)-∞∞

C ．[2-

D ．(,2[2+22,+)-∞-∞

【解析】∵直线(1)+(1)2=0m x n y ++-与圆2

2

(1)+(y 1)=1x --相切，∴圆心(1,1)到直线的距离

d ，所以21(

)2m n mn m n +=++≤，设=t m n +，则21

+14

t t ≥，解得

(,2[2+22,+)t ∈-∞-∞.

题型七 基本不等式与不等式恒成立结合的最值问题

例题11 当(1,2)x ∈时，不等式220x mx ++>恒成立，则m 的取值范围是（ ）

A ．(2,)-+∞

B ．)+∞

C ．(0,)+∞

D ．()-+∞

【分析】将不等式恒成立转化为最值问题，利用均值不等式求解即可.

【解析】当(1,2)x ∈时，不等式220x mx ++>恒成立，等价于2m x x ??>-+ ???

在(1,2)x ∈时恒成立

即等价于2max m x x ???

?>-+

????

???；而因为(1,2)x ∈，故2x x ?

?-+≤-=- ??

?,当且仅当2x x =时取

得最大值.故：m >-

【小结】本题考查二次函数在区间上的恒成立问题，分离参数，转化为最值问题，是一般思路；本题中还涉及利用均值不等式求最值.属综合题.

例题12 已知0,

0a b >>，若不等式

313n a b a b

+≥+恒成立，则n 的最大值为（ ） A ．9

B ．12

C ．16

D ．20

【分析】可左右同乘3a b +，再结合基本不等式求解即可 【解析】

0,0a b >>，

()313133n a b n a b a b a b ??+≥?++≥ ?+??

，

()31333911016b a a b a b a b ??

++=+++≥+= ???

，当且仅当1a b ==时，等号成立，故16n ≤。 【小结】本题考查基本不等式求最值，属于基础题

题型八 基本不等式与立体几何相结合的最值问题

例题13 如图，三棱锥P ABC -的四个顶点恰是长、宽、高分别是m ，2，n 的长方体的顶点，此三棱锥的

体积为2，则该三棱锥外接球体积的最小值为（ ）

A ．

2563π B C ．323π D ．36π 【分析】根据三棱锥的体积关系可得6mn =,根据三棱锥与长方体共外接球,长方体的对角线就是外接球的直

径可得2R =

根据基本不等式可得半径的最小值,进一步可得体积的最小值.

【解析】根据长方体的结构特征可知三棱锥的高为n ,所以

11

2232

n m ????=,所以6mn =,又该三棱锥的外接

球就是长方体的外接球,该外接球的直径是长方体的对角线,设外接球的半径为R ,所以2R ,

所以24R ≥

==,当且仅当m n ==时,等号成立,，所以2R ≥,所以该三棱锥外接球

体积为

34

3R π3432233

ππ≥?=.故选:C 【小结】本题考查了三棱锥的体积公式,球的体积公式,长方体的对角线长定理,基本不等式,属于中档题.

题型九 基本不等式与解三角形相结合的最值问题

例题14 在ABC ?中，内角,,A B C 的对边另别是,,a b c ，已知2222sin sin sin 3sin A B A B C +=，

则sin C 的最大值为（ ）

A ．

6

B ．

3

C ．

6

D ．

6

【分析】由已知可得22223a b c +=，结合余弦定理，求出cos C 用,a b 表示，用基本不等式求出

cos C 的最小值，即可求解.

【解析】2222sin sin sin 3sin A B A B C +=,由正弦定理得22223a b c ++=，

由余弦定理得2223336cos c a b ab C =+-，226cos 2ab C a b =+，

2

6cos a b C C b a =

+-≥当且仅当a =时，等号成立，sin C ∴=≤

所以sin C 的最大值为

6

. 【小结】本题考查三角函数的最值，考查正、余弦定理解三角形，应用基本不等式求最值，属于中档题. 例题15

ABC ?的内角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，

． （I ）若c b a ，，成等差数列，证明：()C A C A +=+sin 2sin sin ； （II ）若c b a ，，成等比数列，求B cos 的最小值． 【解析】（1）

c b a ，，成等差数列，2a c b ∴+=，由正弦定理得sin sin 2sin A C B +=

sin sin[()]sin()B A C A C π=-+=+，()sin sin 2sin A C A C ∴+=+

（2）

c b a ，，成等比数列，2

2b ac ∴=，由余弦定理得2222221

cos 2222

a c

b a

c ac ac ac B ac ac ac +-+--=

=== 2

2

2a c ac +≥（当且仅当a c =时等号成立）

，22

12a c ac

+∴≥（当且仅当a c =时等号成立） 2211112222a c ac +∴-≥-=（当且仅当a c =时等号成立），即1cos 2B ≥，所以B cos 的最小值为12

模块二、真题赏析

1. 【2019年高考天津卷文数】设0,

0,24x y x y >>+=，则

(1)(21)

x y xy

++的最小值为__________.

【小结】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立.

2. 【2019年高考天津理数】已知a ∈R ，设函数222,1,

()ln ,

1.x ax a x f x x a x x ?-+≤=?->?若关于x 的不等式

()0f x ≥在R 上恒成立，则a 的取值范围为

A ．

[]0,1

B ．

[]0,2 C ．[]0,e

D ．

[]1,e

【解析】当1x =时，(1)12210f a a =-+=>恒成立；当1x <时，2

2

()22021

x

f x x ax a a x =-+≥?≥

-恒成立，令2

()1x g x x =-，则222(11)(1)2(1)1()111x x x x g x x x x -----+=-=-=-

---

112201x x ????

=--+-≤-= ? ? ?-????

，当111x x -=-，即0x =时取等号， ∴max 2()0a g x ≥=，则0a >.当1x >时，()ln 0f x x a x =-≥，即ln x a x ≤恒成立，令()ln x

h x x

=，则2

ln 1

()(ln )x h x x -'=

，当e x >时，()0h x '>，函数()h x 单调递增，当0e x <<时，()0h x '<，函数()h x 单

调递减，则e x =时，()h x 取得最小值(e)e h =，∴min ()e a h x ≤=，综上可知，a 的取值范围是[0,e]. 【小结】本题考查分段函数的最值问题，分别利用基本不等式和求导的方法研究函数的最值，然后解决恒成立问题.

3. (2018全国卷Ⅰ)已知函数，则的最小值是_____． 【解析】因为， 所以

，当且仅当， 即时取等号，所以，所以的最小值为．

4. (2018天津)已知,a b ∈R ，且360a b -+=，则1

2

8

a

b +

的最小值为 ． 【解析】由360a b -+=，得36a b =-

，所以363

31112222824

a

b b b --+=+=?=≥， 当且仅当3631

22b b

-=

，即1b =时等号成立．

5. （2017新课标Ⅰ）已知为抛物线：的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于、两点，直线与交于、两点，则的最小值为 A ．16 B ．14 C ．12 D ．10

【解析】由已知垂直于轴是不符合题意，所以的斜率存在设为，的斜率为，由题意有设，，，，此时直线方程为，

取方程，得，∴ 同理得，由抛物线定义可知 ，当且仅当（或）时，取得等号．

()2sin sin 2=+f x x x ()f x ()2sin sin 22sin (1cos )=+=+f x x x x x 2

2

2

3

[()]4sin (1cos )4(1cos )(1cos )=+=-+f x x x x x 443(1cos )(1cos )(1cos )(1cos )27[]344

-++++++?=≤x x x x 3(1cos )1cos -=+x x 1cos 2=

x 2

270[()]4

≤≤f x ()f

x F C 2

4y x =F 1l 2l 1

l C A B 2l C D E ||||AB DE +1l x 1l 1k 2l 2k 121

k k ?=-11(,)A x y 22(,)B x y 33(,)D x y 44(,)E x y 1l 1(1)y k x =-214(1)

y x y k x ?=?=-?2222

111240k x k x x k --+=21122124k x x k --+=-212

124k k +=2

2342

2

24

k x x k ++=1234||||2AB DE x x x x p +=+++

+22122222121224244448816k k k k k k ++=++=++=≥121k k =-=1-

6. （2017天津）若,a b ∈R ，0ab >，则4441

a b ab

++的最小值为___________．

【解析】44224141144a b a b ab ab ab ab +++=+≥≥，当且仅当222a b =，且1

2

ab =，

即2a =

7. （2017江苏）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用

为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小，则x 的值是 ． 【解析】总费用为，当且仅当，即时等号成立．

8. （2017浙江）已知a ∈R ，函数4

()||f x x a a x

=+

-+在区间[1，4]上的最大值是5，则a 的取值范围是 ．

【解析】∵[1,4]x ∈，∴4

[4,5]x x

+

∈ ①当5a ≥

时，44()2224f x a x a a x a a x x =--

+=---=-≤， 所以()f x 的最大值245a -=，即9

2

a =

（舍去） ②当4a ≤时，44

()5f x x a a x x x

=+-+=+≤，此时命题成立．

③当45a <<时，max ()max{|4|,|5|}f x a a a a =-+-+，则

|4||5||4|5

a a a a a a -+-+??

-+=?≥或|4||5||5|5a a a a a a -+<-+-+=，解得92a =或92a <， 综上可得，实数a 的取值范围是9

(,]2

-∞．

600900464()4240x x x x +?=+≥?900

x x

=30x =

模块三、模拟题汇编

1．（2020·武汉市第一中学高三）已知正实数a ，b 满足

12

3a b

+=，则()()12a b ++的最小值是（ ） A ．

503 B ．259 C ．253

D ．50

9

【解析】∵123a b +=

，∴8

239

a b ab ab +=≥?≥，当且仅当2a b =时，等号成立，

∴()()501222429a b ab a b ab ++=+++=+=，即()()12a b ++的最小值是50

9

．

2.（2020陕西高三）设()ln f x x =，0a b <<

，若p f =，()2a b q f +=，1

(()())2

r f a f b =+，则下列关系式中正确的是

A ．q r p =<

B ．q r p =>

C ．p r q =<

D ．p r q =>

【解析】∵，∴

，又在上单调递增，故， 即，∵，∴．

3．（2020·山西实验中学高三月考）已知函数

())

2

log f x x =，若对任意的正数,a b ，满足

()()310f a f b +-=，则3

1a b

+的最小值为（ ）

A ．6

B ．8

C ．12

D ．24

【分析】先确定奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性化简方程得31a b +=，最后基本不等式求最值. 0,x x x x >≥-=所以定义域为R ，因为()2

log f x =，所以

()f x 为减函数因为()2

log f x =，())

2

log f x x -=,所以()()()

f x f x f x =--，为奇函数，因为

()()310f a f b +-=，所以()()1313f a f b a b =-=-，，即31a b +=，

所以

()3131936b a a b a b a b a b ??+=++=++ ???，因为96b a a b +≥=，所以3112a b +≥（当且仅当12a =

，1

6

b =时，等号成立），选C. 0a b 2a b ab ()ln f x x (0,)(

)2

a b

f f q

p 1

1

(()())

(ln ln )ln ()2

2

r

f a f b a b ab f ab p p r q

【小结】本题考查函数奇偶性与单调性以及基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题. 4.已知f (x )＝32x －(k ＋1)3x ＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围是( )

A ．(－∞，－1)

B ．(－∞，22－1)

C ．(－1,22－1)

D ．(－22－1,22－1)

【解析】由f (x )>0得32x －(k ＋1)·3x ＋2>0，解得k ＋1<3x ＋23x ，而3x ＋2

3

x ≥22

???

?当且仅当3x ＝23x ，即x ＝log 32时，等号成立，所以k ＋1<22，即k <22－1。故选B 。

5．若直线ax ＋by －1＝0(a >0，b >0)过曲线y ＝1＋sin πx (0

b

的最小值为( )

A.2＋1 B ．4 2 C ．3＋2 2 D ．6

【解析】本题考查三角函数的性质与基本不等式．注意到曲线y ＝1＋sin πx (0

b ，即b ＝2a ＝2(2－1)时取等号，因此1a ＋2

b 的最小值是3＋22，故选C.

6.设OA ＝1，－2，OB ＝(a ，－1)，OC ＝(－b,0)(a >0，b >0，O 为坐标原点)，若A ，B ，C 三点共线，则2a ＋1

b 的最小值是( )

A ．4 B.9

2 C ．8 D ．9

【解析】∵AB ＝OB －OA ＝a －1，1，AC ＝OC －OA ＝(－b －1,2)，若A ，B ，C 三点共线，则有AB ∥AC ，∴(a －1)×2－1×(－b －1)＝0，∴2a ＋b ＝1，又a >0，b >0，∴2a ＋1b ＝????2a ＋1b ·(2a ＋b )＝5＋2b

a ＋2a

b ≥5＋2 2b a ·2a

b ＝9，当且仅当?????

2b a ＝2a b ，2a ＋b ＝1，

即a ＝b ＝1

3时等号成立．

7.（2020·天水市第一中学高三月考）实数,x y 满足条件10

230

x y x y --≤??

--≥?.当目标函数(),0z ax by a b =+>在

该约束条件下取到最小值4时，

12

a b

+的最小值为（ ） A ．6

B ．4

C ．3

D ．2

【分析】先将目标函数化为a z

y x b b

=-

+，由题中约束条件作出可行域，结合图像，由题意得到24a b +=，再由

1211214(2)2244????

+=++=+++ ? ?????

b a a b a b a b a b ，结合基本不等式，即可求出结果. 【解析】由z ax by =+得a z

y x b b =-

+，因为,0a b >，所以直线的斜率为0a b

-<， 作出不等式10

230x y x y --≤??--≥?

对应的平面区域如下：

由图像可得：当直线a z y x b b =-

+经过点A 时，直线a z

y x b b

=-+在y 轴截距最小，此时z 最小。 由10230x y x y --=??--=?解得2

1

x y =??=?，即(2,1)A ，此时目标函数(),0z ax by a b =+>的最小值为4，

即24a b +=，所以

(12112141

(2)2242444

????+=++=+++≥+= ? ?????b a a b a b a b a b . 当且仅当

4b a

a b =，即12

a b =??=?时，等号成立.故选：D 【小结】本题主要考查简单线性规划与基本不等式的综合，熟记基本不等式，会求解简单的线性规划问题即可，属于常考题型.

8．（2020·天津市宁河区芦台第一中学高三）已知a ，b 均为正数，且1a b +=，21

12a ab

+-的最小值为________.

【分析】本题首先可以根据1a b +=将21

1

2a ab +-化简为2a b b a

+，然后根据基本不等式即可求出最小值. 【解析】因为1a b +=

，所以2221()11222a a a b a b ab ab b a +++-=-=+≥=

当且仅当2a b

b a

=

，即1a =

、2b =

.

9.(2020年重庆高三)设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段

上的点，且=2,则直线的斜率的最大值为

A ．

B ．

C ．

D ．1

【解析】设（不妨设），则，∵， ∴，∴∴

∴，故选C ．

O P F 2

2(0)y px p =>M PF PM MF

OM 32

3

2()

()2

2,2,,P pt pt M x y 0t >2

2,22p FP pt pt ?

?

=-

???

13FM FP =22,2362,3p p p x t pt y ?-=-????=??22,332,3p p x t pt y ?

=+????=?

?22112122OM t k t t t ==≤=+

+max ()2

OM k =

10.已知点A (0,2)-，椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2

，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF

，O 为坐标原点． （Ⅰ)求E 的方程；

（Ⅱ）设过点A 的动直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ?的面积最大时，求l 的方程．

【解析】2

(c,0)F c c （I ）设，由条件知，

222,=2, 1.2c a b a c a ==-=又所以 2

2 1.4

x E y +=故的方程为 （Ⅱ）1122:=2,(,),(,).l x l y kx P x y Q x y ⊥-当轴时不合题意，故设

2

2214

x y kx y =-+=将代入得22(14)16120.

k x kx +-+=

2

2

1,22

38=16(43)0,441

k k k x k ±?->>=+当即时，

12PQ x =-=从而

O PQ d OPQ =?又点到直线的距离所以的面积1=2OPQ S d PQ ??=

244

,0,.4

4OPQ t t t S t t t

?=>=

=++则

44,20.2

t t k t +

≥==±?>因为当且仅当，即

OPQ ι?所以，当的面积最大时，的方程为22y x y x =

-=-或．