(经典)正弦定理、余弦定理知识点总结及最全证明
正弦定理、余弦定理知识点总结及证明方法
——王彦文青铜峡一中1．掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一
些简单的三角形度量问题．
2．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和
方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问
题．
主要考查有关定理的应用、三角恒等变换
的能力、运算能力及转化的数学思想．解三角
形常常作为解题工具用于立体几何中的计算或
证明，或与三角函数联系在一起求距离、高度
以及角度等问题，且多以应用题的形式出现．
1．正弦定理
(1)正弦定理：在一个三角形中，各边和它
所对角的正弦的比相等，
即．其中R是三角形外接圆的
半径．
(2)正弦定理的其他形式：
①a＝2R sin A，b＝，c
＝；
②sin A＝a
2R，sin B＝，
sin C＝；
③a∶b∶c＝______________________. 2．余弦定理
(1)余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即
a2＝，b2＝，
c2＝.
若令C＝90°，则c2＝，即为勾股定理．
(2)余弦定理的变形：cos A ＝，cos B＝，cos C＝.
若C为锐角，则cos C>0，即a2＋b2______c2；若C为钝角，则cos C<0，即a2＋b2______c2.故由a2＋b2与c2值的大小比较，可以判断C为锐角、钝角或直角．
(3)正、余弦定理的一个重要作用是实现边角____________，余弦定理亦可以写成sin2A＝sin2B＋sin2C－2sin B sin C cos A，类似地，sin2B＝____________；sin2C＝__________________.注意式中隐含条件A＋B＋C＝π.
3．解斜三角形的类型
(1)已知三角形的任意两个角与一边，用____________定理．只有一解．
(2)已知三角形的任意两边与其中一边的对角，用____________定理，可能有___________________．如在△ABC中，已知a，
时，只有一解．
(4)已知两边及夹角，用____________定理，必有一解．
4．三角形中的常用公式或变式
(1)三角形面积公式S △＝ ＝ ＝____________＝____________＝
____________．其中R ，r 分别为三角形外接圆、
内切圆半径．
(2)A ＋B ＋C ＝π，则A ＝__________，
A
2＝__________，从而sin A ＝____________，
cos A ＝____________，tan A ＝____________；
sin A 2＝__________，cos A
2＝__________， tan A
2＝＋tan B ＋tan C ＝__________.
(3)若三角形三边a ，b ，c 成等差数列，则
2b ＝____________2sin B ＝____________2sin B
2＝cos A －C 22cos A ＋C 2＝cos A －C 2tan A 2tan C 2＝13.
【自查自纠】
1．(1)a sin A ＝b sin B ＝c
sin C ＝2R
(2)①2R sin B 2R sin C ②b 2R c
2R ③sin A ∶sin B ∶sin C
2．(1)b 2＋c 2－2bc cos A c 2＋a 2－2ca cos B a 2＋b 2－2ab cos C a 2＋b 2
(2)b 2＋c 2－a 22bc c 2＋a 2－b 22ca a 2＋b 2－c 22ab > <
(3)互化 sin 2C ＋sin 2A －2sin C sin A cos B
sin 2A ＋sin 2B －2sin A sin B cos C
3．(1)正弦 (2)正弦 一解、两解或无解
①一解 ②二解 ③一解 ④一解
(3)余弦 (4)余弦
4．(1)12ab sin C 12bc sin A 12ac sin B abc 4R 1
2(a ＋b ＋c )r
(2)π－(B ＋C ) π2－B ＋C
2 sin(B ＋C ) －cos(B ＋C )
－tan(B ＋C ) cos B ＋C 2 sin B ＋C 2 1
tan B ＋C 2
tan A tan B tan C (3)a ＋c sin A ＋sin C
在△ABC 中，A >B 是sin A >sin B 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 解：因为在同一三角形中，角大则边大，边大则正弦大，反之也成立，故是充要条件．故
选C .
在△ABC中，已知b＝6，c＝10，B＝30°，则解此三角形的结果有()
A．无解B．一解
C．两解D．一解或两解
解：由正弦定理知sin C＝c·sin B
b＝
5
6，又由
c>b>c sin B知，C有两解．也可依已知条件，画出△ABC，由图知有两解．故选C.
(2013·陕西)设△ABC的内角A, B, C所对的边分
别为a, b, c, 若b cos C＋c cos B＝a sin A, 则△ABC 的形状为()
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．不确定
解：由已知和正弦定理可得sin B cos C＋sin C cos B＝sin A·sin A，即sin(B＋C)＝sin A sin A，亦即sin A＝sin A sin A.因为0 所以A＝π 2.所以三角形为直角三角形．故选B. (2012·陕西)在△ABC中，角A，B，C所对的边 分别为a，b，c.若a＝2，B＝ π 6，c＝23，则b ＝________． 解：由余弦定理知b2＝a2＋c2－2ac cos B＝ 22＋() 232－2×2×23×cos π 6＝4，b＝2.故填2. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b， c，若a＝2，b＝2，sin B＋cos B＝2，则角A 的大小为________． 解：∵sin B＋cos B＝2， ∴2sin ? ? ? ? ? B＋ π 4＝2，即sin? ? ? ? ? B＋ π 4＝1. 又∵B∈(0，π)，∴B＋ π 4＝ π 2，B＝ π 4. 根据正弦定理 a sin A＝ b sin B，可得sin A＝ a sin B b ＝1 2. ∵a＜b，∴A＜B.∴A＝π 6.故填 π 6. 类型一正弦定理的应用 △ABC的内角A，B，C的对边分别为a， b，c，已知A－C＝90°，a＋c＝2b，求C. 解：由a＋c＝2b及正弦定理可得sin A＋sin C＝2sin B. 又由于A－C＝90°，B＝180°－(A＋C)，故cos C＋sin C＝sin A＋sin C＝2sin(A＋C)＝2 sin(90°＋2C)＝2sin2(45°＋C)． ∴2sin(45°＋C)＝22sin(45°＋C)cos(45°＋C)， 即cos(45°＋C)＝1 2. 又∵0°＜C＜90°，∴45°＋C＝60°，C＝15°. 【评析】利用正弦定理将边边关系转化为角角关系，这是解此题的关键．(2012·江西)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知A＝ π 4，b sin? ? ? ? ? π 4＋C－c sin? ? ? ? ? π 4＋B ＝a. (1)求证：B－C＝ π 2； (2)若a＝2，求△ABC的面积． 解：(1)证明：对b sin ? ? ? ? ? π 4＋C－c sin? ? ? ? ? π 4＋B＝ a应用正弦定理得sin B sin ? ? ? ? ? π 4＋C－sin C sin? ? ? ? ? π 4＋B ＝sin A， 即sin B ? ? ? ? ? 2 2sin C＋ 2 2cos C－ sin C ? ? ? ? ? 2 2sin B＋ 2 2cos B＝ 2 2，整理得sin B cos C－sin C cos B＝1，即sin() B－C＝1. 由于B，C∈ ? ? ? ? ? 0， 3π 4，∴B－C＝ π 2. (2)∵B＋C＝π－A＝ 3π 4，又由(1)知B－C＝π 2， ∴B＝5π 8，C＝ π 8. ∵a＝2，A＝π 4，∴由正弦定理知b＝ a sin B sin A ＝2sin 5π 8，c＝ a sin C sin A＝2sin π 8. ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×2sin 5π8×2sin π8×2 2 ＝2sin 5π8sin π8＝2cos π8sin π8＝22sin π4＝1 2. 类型二 余弦定理的应用 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且cos B cos C ＝－b 2a ＋c . (1)求B 的大小； (2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积． 解：(1)由余弦定理知，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，将上式代入cos B cos C ＝－b 2a ＋c 得 a 2＋c 2－ b 22a c ·2ab a 2＋b 2－c 2＝－b 2a ＋c ， 整理得a 2＋c 2－b 2＝－ac . ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－1 2. ∵B 为三角形的内角，∴B ＝23π. (2)将b ＝13，a ＋c ＝4，B ＝2 3π代入b 2＝ a 2＋c 2－2ac cos B ，得13＝42－2ac －2ac cos 2 3π，解得ac ＝3. ∴S △ABC ＝12ac sin B ＝33 4. 【评析】①根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键．②熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用． 若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( ) B ．8－4 3 C ．1 解：由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ，代入(a ＋b )2－c 2＝4中得(a ＋b )2－ (a 2＋b 2－ab )＝4，即3ab ＝4，∴ab ＝4 3.故选A . 类型三 正、余弦定理的综合应用 (2013·全国新课标Ⅱ)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos C ＋c sin B . (1)求B ； (2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值． 解：(1)由已知及正弦定理得sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B .① 又A ＝π－(B ＋C )，故 sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C .② 由①，②和C ∈(0，π)得sin B ＝cos B . 又B ∈(0，π)，所以B ＝π 4. (2)△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝2 4ac . 由已知及余弦定理得4＝a 2＋c 2－2ac cos π 4. 又a 2＋c 2≥2ac ，故ac ≤4 2－2， 当且仅当a ＝c 时，等号成立． 因此△ABC 面积的最大值为2＋1. 【评析】(1)化边为角与和角或差角公式的正向或反向多次联用是常用的技巧；(2)已知边及其对角求三角形面积最值是高考中考过多次的问题，既可用三角函数求最值，也可以用余弦定理化边后用不等式求最值． (2013· 山东)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79. (1)求a ，c 的值； (2)求sin(A －B )的值． 解：(1)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得b 2＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )，又a ＋c ＝6，b ＝2， cos B ＝7 9，所以ac ＝9，解得a ＝3，c ＝3. (2)在△ABC 中，sin B ＝ 1－cos 2B ＝ 429， 由正弦定理得sin A ＝a sin B b ＝22 3. 因为a ＝c ，所以A 为锐角， 所以cos A ＝1－sin 2A ＝1 3. 因此sin(A －B )＝sin A cos B －cos A sin B ＝10227. 类型四 判断三角形的形状 在三角形ABC 中，若tan A ∶tan B ＝a 2∶b 2， 试判断三角形ABC 的形状． 解法一：由正弦定理，得a 2b 2＝sin 2A sin 2B ， 所以tan A tan B ＝sin 2A sin 2B ， 所以sin A cos B cos A sin B ＝sin 2A sin 2B ，即sin2A ＝sin2B . 所以2A ＝2B ，或2A ＋2B ＝π，因此A ＝B 或A ＋B ＝π 2，从而△ABC 是等腰三角形或直角三角形． 解法二：由正弦定理，得a 2b 2＝sin 2A sin 2B ，所以tan A tan B ＝sin 2A sin 2B ，所以cos B cos A ＝sin A sin B ，再由正、余弦定理，得a 2＋c 2－b 2 2ac b 2＋c 2－a 22bc ＝a b ，化简得(a 2－b 2)(c 2－a 2－b 2)＝0，即a 2＝b 2或c 2＝a 2＋b 2. 从而△ABC 是等腰三角形或直角三角形． 【评析】由已知条件，可先将切化弦，再结合正弦定理，将该恒等式的边都化为角，然后进行三角函数式的恒等变形，找出角之间的关系；或将角都化成边，然后进行代数恒等变形，可一题多解，多角度思考问题，从而达到对知识的熟练掌握． (2012· 上海)在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定 解：在△ABC 中，∵sin 2A ＋sin 2B 由正弦定理知a 2＋b 2 2＋b 2－c 22ab <0，即∠C 为钝角，△ABC 为钝角三角形．故选C . 类型五 解三角形应用举例 某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20 n mile 的A 处，并以30 n mile/h 的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v n mile/h 的航行速度匀速行驶，经过t h 与轮船相遇． (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少 (2)假设小艇的最高航行速度只能达到30 n mile/h ，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由． 解法一：(1)设相遇时小艇航行的距离为S n mile ，则 S ＝900t 2＋400－2·30t ·20·cos （90°－30°） ＝ 900t 2－600t ＋400 ＝ 900? ?? ??t －132 ＋300， 故当t ＝13时，S min ＝103，此时v ＝10313＝ 30 3. 即小艇以30 3 n mile/h 的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小． (2)设小艇与轮船在B 处相遇，则 v 2t 2＝400＋900t 2－2·20·30t ·cos(90°－30°)， 故v 2＝900－600t ＋400 t 2. ∵0 t 2－3 t ≤0， 解得t ≥23.又t ＝2 3时，v ＝30.故v ＝30时，t 取得最小值，且最小值等于2 3. 此时，在△OAB 中，有OA ＝OB ＝AB ＝20，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30 n mile/h ，小艇能以最短时间与轮船相遇． 解法二：(1)若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向． 设小艇与轮船在C 处相遇． 在Rt △OAC 中，OC ＝20cos30°＝103，AC ＝20sin30°＝10. 又AC ＝30t ，OC ＝vt ， 此时，轮船航行时间t ＝1030＝13，v ＝103 13＝ 30 3. 即小艇以30 3 n mile/h 的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小． (2)假设v ＝30时，小艇能以最短时间与轮船在D 处相遇，此时AD ＝DO ＝30t . 又∠OAD ＝60°，所以AD ＝DO ＝OA ＝20， 解得t ＝2 3. 据此可设计航行方案如下： 航行方向为北偏东30°，航行速度的大小为30 n mile/h.这样，小艇能以最短时间与轮船相遇． 证明如下： 如图，由(1)得OC ＝103，AC ＝10， 故OC >AC ，且对于线段AC 上任意点P ，有OP ≥OC >AC . 而小艇的最高航行速度只能达到30 n mile/h ，故小艇与轮船不可能在A ，C 之间(包含C )的任意位置相遇． 设∠COD ＝θ(0°<θ<90°)，则在Rt △COD 中， CD ＝103tan θ，OD ＝103cos θ. 由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为t ＝10＋103tan θ30和t ＝103 v cos θ，所 以10＋103tan θ30 ＝103v cos θ. 由此可得，v ＝ 153 sin （θ＋30°） . 又v ≤30，故sin(θ＋30°)≥3 2，从而，30°≤θ<90°. 由于θ＝30°时，tan θ取得最小值，且最小值为33. 于是，当θ＝30°时，t ＝10＋103tan θ 30取得最小值，且最小值为23. 【评析】①这是一道有关解三角形的实际应用题，解题的关键是把实际问题抽象成纯数学问题，根据题目提供的信息，找出三角形中的数量关系，然后利用正、余弦定理求解．②解三角形的方法在实际问题中，有广泛的应用．在物理学中，有关向量的计算也要用到解三角形的方法．近年的高考中我们发现以解三角形为背景的应用题开始成为热点问题之一．③不管是什么类型的三角应用问题，解决的关键都是充分理解题意，将问题中的语言叙述弄明白，画出帮助分析问题的草图，再将其归结为属于哪类可解的三角形．④本题用几何方法求解也较简便． (2012·武汉5月模拟)如图，渔船甲位于岛屿A的 南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上． (1)求渔船甲的速度； (2)求sinα的值． 解：(1)依题意，∠BAC＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，在△ABC中，由余弦定理知BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos120°＝784，BC＝28. 所以渔船甲的速度为v＝28 2＝14(海里/小 时)． (2)在△ABC中，AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28， ∠BCA＝α，由正弦定理得AB sinα＝ BC sin∠BAC， 即 12 sinα＝ 28 sin120°，从而sinα＝ 12sin120° 28＝ 33 14. 1．已知两边及其中一边的对角解三角形 时，要注意解的情况，谨防漏解． 2．在判断三角形的形状时，一般将已知条 件中的边角关系利用正弦定理或余弦定理转化 为角角关系(注意应用A＋B＋C＝π这个结论) 或边边关系，再用三角变换或代数式的恒等变 形(如因式分解、配方等)求解，注意等式两边的 公因式不要约掉，要移项提取公因式，否则有 可能漏掉一种形状． 3．要熟记一些常见结论，如三内角成等差 数列，则必有一角为60°；若三内角的正弦值成 等差数列，则三边也成等差数列；内角和定理 与诱导公式结合产生的结论：sin A＝sin(B＋C)， cos A＝－cos(B＋C)，sin A 2＝cos B＋C 2，sin2A＝－ sin2(B＋C)，cos2A＝cos2(B＋C)等． 4．应用正、余弦定理解斜三角形应用题的 一般步骤： (1)分析：理解题意，分清已知与未知， 画出示意图； (2)建模：根据已知条件与求解目标，把已 知量与求解量尽量集中到一个三角形中，建立 一个解斜三角形的模型； (3)求解：利用正、余弦定理有序地解出三 角形，求得数学模型的解； (4)检验：检验上述所求得的解是否符合实 际意义，从而得出实际问题的解． 5．正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理， 它将三角形的边和角有机地联系起来，从而使 三角与几何产生联系，为求与三角形有关的量 (如面积、外接圆、内切圆半径和面积等)提供了 理论依据，也是判断三角形形状、证明三角形 中有关等式的重要依据．主要方法有：化角法，化边法，面积法，运用初等几何法．注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想． 二项式定理 一、二项式定理： ()n n n k k n k n n n n n n b C b a C b a C a C b a +++++=+-- 110（*∈N n ）等号右边的多项式叫做 ()n b a +的二项展开式，其中各项的系数k n C )3,2,1,0(n k ???=叫做二项式系数。 对二项式定理的理解： （1）二项展开式有1+n 项 （2）字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1到0；字母b 按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1到n （3）二项式定理表示一个恒等式，对于任意的实数b a ,，等式都成立，通过对b a ,取不同的特殊值，可为某些问题的解决带来方便。在定理中假设x b a ==，1，则 ()n n n k n k n n n n n x C x C x C x C x +++++=+- 101（*∈N n ） （4）要注意二项式定理的双向功能：一方面可将二项式()n b a +展开，得到一个多项式； 另一方面，也可将展开式合并成二项式()n b a + 二、二项展开式的通项：k k n k n k b a C T -+=1 二项展开式的通项k k n k n k b a C T -+=1)3,2,1,0(n k ???=是二项展开式的第1+k 项，它体现了 二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定项（如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等）及其系数等方面有广泛应用 对通项k k n k n k b a C T -+=1)3,2,1,0(n k ???=的理解： （1）字母b 的次数和组合数的上标相同 （2）a 与b 的次数之和为n （3）在通项公式中共含有1,,,,+k T k n b a 这5个元素，知道4个元素便可求第5个元素 例1．n n n n n n C C C C 13 21393-++++ 等于 （ ） A ．n 4 B 。n 43? C 。134-n D.3 1 4-n 例2．（1）求7 (12)x +的展开式的第四项的系数； （2）求9 1()x x -的展开式中3 x 的系数及二项式系数 人教版高中数学必修5正弦定理和余弦定理测试题及答案 人教版高中数学必修5正弦定理和余弦定理测试题及答案 一、选择题 1．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝3， cos C ＝－ 41，则c 等于( ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 2．在△ABC 中，若BC ＝2，AC ＝2，B ＝45°，则角A 等于( ) (A)60° (B)30° (C)60°或120° (D)30°或150° 3．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知B ＝30°，c ＝ 150，b ＝503，那么这个三角形是( ) (A)等边三角形 (B)等腰三角形 (C)直角三角形 (D)等腰三角形或直角三角形 4．在△ABC 中，已知3 2sin ,53cos ==C B ，AC ＝2，那么边AB 等于( ) (A )45 (B)35 (C)920 (D)5 12 5．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，如果A ∶B ∶C ＝ 1∶2∶3，那么a ∶b ∶c 等于( ) (A)1∶2∶3 (B)1∶3∶2 (C)1∶4∶9 (D)1∶2∶3 二、填空题 6．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，B ＝ 45°，C ＝75°，则b ＝________. 7．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝23，c ＝4，则A ＝________. 8．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若2cos B cos C＝1－cos A，则△ABC形状是________三角形. 9．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝3，b＝4，B ＝60°，则c＝________. 10．在△ABC中，若tan A＝2，B＝45°，BC＝5，则AC＝________. 三、解答题 11．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c， 若a＝2，b＝4，C＝60°，试解△ABC. 12．在△ABC中，已知AB＝3，BC＝4，AC＝13. (1)求角B的大小； (2)若D是BC的中点，求中线AD的长. 13．如图，△OAB的顶点为O(0，0)，A(5，2)和B(－9，8)，求角A的大小. 《必修五 知识点总结》 第一章：解三角形知识要点 一、正弦定理和余弦定理 1、正弦定理：在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，，则有 2sin sin sin a b c R C ===A B (R 为C ?AB 的外接圆的半径) 2、正弦定理的变形公式： ①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A = ，sin 2b R B =，sin 2c C R =； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； 3、三角形面积公式：111 sin sin sin 222 C S bc ab C ac ?AB = A == B ． 4、余弦定理：在 C ?AB 中，有2 2 2 2cos a b c bc =+-A ，推论：bc a c b A 2cos 2 22-+= B ac c a b cos 2222-+=，推论： C ab b a c cos 22 2 2 -+=，推论：ab c b a C 2cos 2 22-+= 二、解三角形 处理三角形问题，必须结合三角形全等的判定定理理解斜三角形的四类基本可解型，特别要多角度（几何作图，三角函数定义，正、余弦定理，勾股定理等角度）去理解“边边角”型问题可能有两解、一解、无解的三种情况，根据已知条件判断解的情况，并能正确求解 1、三角形中的边角关系 （1）三角形内角和等于180°； （2）三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边； ac b c a B 2cos 2 22-+= （3）三角形中大边对大角，小边对小角； （4）正弦定理中,a =2R ·sin A , b =2R ·sin B , c =2R ·sin C ，其中R 是△ABC 外接圆半径. （5）在余弦定理中:2bc cos A =222a c b -+. （6）三角形的面积公式有:S = 21ah , S =21ab sin C=21bc sin A=2 1 ac sinB , S =))(()(c P b P a P P --?-其中，h 是BC 边上高，P 是半周长. 2、利用正、余弦定理及三角形面积公式等解任意三角形 （1）已知两角及一边，求其它边角，常选用正弦定理. （2）已知两边及其中一边的对角，求另一边的对角，常选用正弦定理. （3）已知三边，求三个角，常选用余弦定理. （4）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角，常选用余弦定理. （5）已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角，常选用正弦定理. 3、利用正、余弦定理判断三角形的形状 常用方法是：①化边为角；②化角为边. 4、三角形中的三角变换 （1）角的变换 因为在△ABC 中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC ；cos(A+B)=－cosC ；tan(A+B)=－tanC 。 2 sin 2cos ,2cos 2sin C B A C B A =+=+； （2）三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。 r 为三角形内切圆半径，p 为周长之半 （3）在△ABC 中，熟记并会证明：∠A ，∠B ，∠C 成等差数列的充分必要条件是∠B=60°；△ABC 是正三角形的充分必要条件是∠A ，∠B ，∠C 成等差数列且a ，b ，c 成等比数列. 高考正弦定理和余弦定理练习题及答案 一、选择题 1. 已知△ABC 中，a ＝c ＝2，A ＝30°，则b ＝( ) A. 3 B. 2 3 C. 3 3 D. 3＋1 答案：B 解析：∵a ＝c ＝2，∴A ＝C ＝30°，∴B ＝120°. 由余弦定理可得b ＝2 3. 2. △ABC 中，a ＝5，b ＝3，sin B ＝ 22，则符合条件的三角形有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 0个 答案：B 解析：∵a sin B ＝102， ∴a sin B b B ．a C ．a ＝b D ．a 与b 的大小关系不能确定 答案：A 解析：由正弦定理，得c sin120°＝a sin A ， ∴sin A ＝a ·3 22a ＝64>1 2. ∴A >30°.∴B ＝180°－120°－A <30°.∴a >b . 5. 如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为( ) A. 5 18 B. 3 4 C. 3 2 D. 7 8 答案：D 解析：方法一：设三角形的底边长为a ，则周长为5a ， ∴腰长为2a ，由余弦定理知cos α＝(2a )2＋(2a )2－a 22×2a ×2a ＝7 8. 方法二：如图，过点A 作AD ⊥BC 于点D ， 则AC ＝2a ，CD ＝a 2，∴sin α2＝1 4， ∴cos α＝1－2sin 2α 2 ＝1－2×116＝7 8. 6. (2010·泉州模拟)△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积等于( ) A. 3 2 B. 3 4 C. 3 2或 3 D. 32或3 4 答案：D 解析：∵sin C 3＝sin B 1， ∴sin C ＝3·sin30°＝3 2. 二项式定理知识点及11种答题技巧 1．二项式定理： 011()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈L L ， 2．基本概念： ①二项式展开式：右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数r n C (0,1,2,,)r n =???. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项r n r r n C a b -叫做二项式展开式的通项。用1r n r r r n T C a b -+=表示。 3．注意关键点： ①项数：展开式中总共有(1)n +项。 ②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。()n a b +与()n b a +是不同的。 ③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。各项的 次数和等于n . ④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.r n n n n n n C C C C C ??????项的系 数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。 4．常用的结论： 令1,,a b x == 0122(1)()n r r n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈L L 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N * -=-+-+++-∈L L 5．性质： ①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =， (1) k k n n C C -= ②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122r n n n n n n n C C C C C ++++++=L L ， 变形式1221r n n n n n n C C C C +++++=-L L 。 ③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和： 在二项式定理中，令1,1a b ==-，则0123(1)(11)0n n n n n n n n C C C C C -+-++-=-=L ， 从而得到：02421321 11222 r r n n n n n n n n n C C C C C C C +-++???++???=++++???= ?=L ④奇数项的系数和与偶数项的系数和： 2021届高三高考数学文科一轮复习知识点 专题4.6 正弦定理和余弦定理【考情分析】 1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. 【重点知识梳理】 知识点一正弦定理和余弦定理 1.在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理正弦定理余弦定理 公式 a sin A＝ b sin B＝ c sin C＝2R a2＝b2＋c2－2bc cos A；b2＝c2 ＋a2－2ca cos B； c2＝a2＋b2－2ab cos C 常见变形(1)a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C； (2)sin A＝ a 2R，sin B＝ b 2R，sin C＝ c 2R； (3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (4)a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin A cos A＝ b2＋c2－a2 2bc； cos B＝ c2＋a2－b2 2ac； cos C＝ a2＋b2－c2 2ab 2.S△ABC＝1 2ab sin C＝ 1 2bc sin A＝ 1 2ac sin B＝ abc 4R＝ 1 2(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R， r. 3.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下： A为锐角A为钝角或直角图形 关系式a＝b sin A b sin A 高一数学《正弦定理、余弦定理》单元测试题（1） 班级 姓名 1．在ABC ?中，?=∠?=∠=15,30,3B A a ，则=c ( ) A ．1 B. 2 C ．3 2 D. 3 2．在ABC ?中，若 B b sin 2=，则∠A 等于( ) A ．30°或60° B ．45°或60° C ．120°或60° D ．30°或150° 3．在ABC ?中，?=∠==60,10,15A b a ，则B cos ＝( ) A ．－223 B.223 C ．－63 D.63 4．在ABC ?中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若B b A a sin cos =，则 B A A 2cos cos sin +＝( ) A ．－12 B.1 2 C ．－1 D ．1 5.在ABC ?中，若A b a sin 23=，则B 等于 （ ） A. 30 B. 60 C. 30或 150 D. 60或 1206.在ABC ?中，已知 45,1,2=== B c b ，则a 等于 （ ） A. 226- B. 2 2 6+ C. 12+ D. 23- 7.不解三角形，确定下列判断中正确的是 （ ） A. 30,14,7===A b a ，有两解 B. 150,25,30===A b a ,有一解 C. 45,9,6===A b a ，有两解 D. 60,10,9===A c b ，无解 8．在ABC ?中，?===30,3,1A b a ，则c ＝( ) A ．1 B ．2 C ．1或2 D ．无解 9.在ABC ?中，已知B a b sin 323=，C B cos cos =，则ABC ?的形状是（ ） A. 直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 10.在ABC ?中， 60=A ,3=a ，则 =++++C B A c b a sin sin sin （ ） A. 338 B.3392 C.3 3 26 D. 32 11．在ABC ?中，已知3,45,60=?=∠?=∠C ABC BAC ，则AC ＝________； 在△ABC ，已知A ＝60°，B ＝45°，c ＝2，解三角形 [解题过程] 在△ABC 中，C ＝180°－(A ＋B ) ＝180°－(60°＋45°)＝75°. sin 75°＝sin(45°＋30°) ＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30° ＝22×32＋22×12 ＝2(3＋1)4＝6＋24 根据正弦定理： a ＝c sin A sin C ＝2sin 60°sin 75°＝2×3 2 2(3＋1)4＝6(3－1)＝32－ 6， b ＝ c sin B sin C ＝2sin 45° sin 75°＝2× 222(3＋1) 4 ＝2(3－1)． [题后感悟] 已知两角和一边(如A ，B ，c )，求其他角与边的步骤是： (1)C ＝180°－(A ＋B )； (2)用正弦定理，a ＝c sin A sin C ； (3)用正弦定理，b ＝c sin B sin C . , 思路点拨： 已知两边及一边对角，先判断三角形解的情况， ∵a>b ，∴A>B ，B 为锐角，故有一解，先由正弦定理求角B ， 然后由内角和定理求C ，然后再由正弦定理求边 c. 1．(1)已知A ＝45°，B ＝30°，c ＝10.求b . (2)在△ABC 中，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝22，求c . 解析： (1)∵A ＋B ＋C ＝180，∴C ＝105°. 又∵sin 105°＝sin(45°＋60°) ＝sin 45°·cos 60°＋cos 45°·sin 60° ＝2＋64， ∴b ＝c sin B sin C ＝10×sin 30° sin 105°＝10× 122＋64 ＝5(6－2)． (2)∵A ＋B ＋C ＝180°，∴C ＝30°. 又∵b sin B ＝c sin C ， ∴c ＝b sin C sin B ＝22×sin 30°sin 45°＝ 22×12 2 2 ＝2. 在△ABC 中，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，解三角形． 温馨提示： 此题库为Word 版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观 看比例，关闭Word 文档返回原板块。 考点16 正弦定理和余弦定理 一、选择题 1.（2011·浙江高考文科·Ｔ5）在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若cos sin a A b B =，则 2sin cos cos A A B +=（ ） (A)- 12 (B)1 2 (C)-1 (D)1 【思路点拨】用正弦定理统一到角的关系上,再用同角三角函数的平方关系即可解决. 【精讲精析】选D. 由cos sin a A b B =可得2sin cos sin A A B = 所以222 sin cos cos sin cos 1A A B B B +=+=． 二、填空题 2.（2011·安徽高考理科·Ｔ14）已知ABC ? 的一个内角为120o ，并且三边长构成公差为4的等差数列， 则ABC ?的面积为_______________. 【思路点拨】设三角形一边的长为x ，可以用x 表示其他两边，再利用余弦定理建立方程求出x ，最后利用三角形面积公式求出ABC ?的面积. 【精讲精析】设三角形中间边长为x ，则另两边的长为x-4,x+4,那么 所以解得）（,10,120cos )4(2)4(4222=---+=+x x x x x x .315120sin 6102 1 =???= ? ABC S 【答案】153 3.（2011·福建卷理科·Ｔ14）如图，△ABC 中，AB=AC=2，BC=23，点D 在BC 边上，∠ADC=45°，则AD 的长度等于______. 【思路点拨】结合图形， ?∠∠ABC 先在中，由余弦定理解出C 与B ， ABD ?然后在中，由正弦定理解得AD. 【精讲精析】在ABC ?中，由余弦定理易得 二项式定理知识点总 结 二项式定理 一、二项式定理： ()n n n k k n k n n n n n n b C b a C b a C a C b a +++++=+--ΛΛ110（*∈N n ）等号右边的多项式 叫做()n b a +的二项展开式，其中各项的系数k n C )3,2,1,0(n k ???=叫做二项式系数。 对二项式定理的理解： （1）二项展开式有1+n 项 （2）字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1到0；字母b 按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1到n （3）二项式定理表示一个恒等式，对于任意的实数b a ,，等式都成立，通过对b a ,取不同的特殊值，可为某些问题的解决带来方便。在定理中假设 x b a ==，1，则()n n n k n k n n n n n x C x C x C x C x +++++=+-ΛΛ101（*∈N n ） （4）要注意二项式定理的双向功能：一方面可将二项式()n b a +展开，得到一个多项式；另一方面，也可将展开式合并成二项式()n b a + 二、二项展开式的通项：k k n k n k b a C T -+=1 二项展开式的通项k k n k n k b a C T -+=1)3,2,1,0(n k ???=是二项展开式的第1+k 项，它体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定项（如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等）及其系数等方面有广泛应用 对通项k k n k n k b a C T -+=1)3,2,1,0(n k ???=的理解： （1）字母b 的次数和组合数的上标相同 （2）a 与b 的次数之和为n （3）在通项公式中共含有1,,,,+k T k n b a 这5个元素，知道4个元素便可求第5个元素 例1．n n n n n n C C C C 13 21393-++++Λ等于 （ ） A ．n 4 B 。n 43? C 。134-n D.314-n 例2．（1）求7(12)x +的展开式的第四项的系数； 课时作业3应用举例 时间：45分钟满分：100分 课堂训练 1．海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C间的距离是() A．103海里B．106海里 C．52海里D．56海里 【答案】 D 【解析】如图，∠A＝60°，∠B＝75°， 则∠C＝45°， 由正弦定理得： BC＝AB·sin A sin C ＝10×sin60° sin45° ＝5 6. 2．如图所示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A、B两点的距离为() A ．502m B ．503m C ．252m D.2522m 【答案】 A 【解析】 因为∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，所以∠ABC ＝30°，根 据正弦定理可知，AC sin ∠ABC ＝AB sin ∠ACB ，即50sin30°＝AB sin45°，解得AB ＝502m ，选A. 3．从某电视塔的正东方向的A 处，测得塔顶仰角是60°；从电视塔的西偏南30°的B 处，测得塔顶仰角为45°，A ，B 间距离是35m ，则此电视塔的高度是________m. 【答案】 521 【解析】 如图所示，塔高为OC ，则∠OAC ＝60°，∠AOB ＝180°－30°＝150°，∠CBO ＝45°，AB ＝35， 设电视塔高度为h m，则OA＝3 3h，OB＝h，在△AOB中由余弦定理可得AB2＝OA2＋OB2－2OA·OB·cos∠AOB， 即352＝(3 2＋h2－2×33h×h×(－32) 3h) 解得h＝521. 4．如图所示，海中小岛A周围38海里内有暗礁，一船正向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30°，航行30海里后，在C处测得小岛在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？ 【分析】船继续向南航行，有无触礁的危险，取决于A到直线BC的距离与38海里的大小，于是我们只要先求出AC或AB的大小，再计算出A到BC的距离，将它与38海里比较大小即可．二项式定理知识点总结
人教版高中数学必修5正弦定理和余弦定理测试题及答案教学内容
高中数学必修五 知识点总结【经典】
高考正弦定理和余弦定理练习题及答案精选.
二项式定理11种题型解题技巧
2021届高三高考数学文科一轮复习知识点专题4-6 正弦定理和余弦定理【含答案】
《正弦定理、余弦定理》单元测试题
正弦定理知识点总结与复习
-正弦定理和余弦定理高考题
二项式定理知识点总结复习过程
(完整版)正弦定理余弦定理应用实例练习含答案
正弦定理和余弦定理知识点总结附答案