圆的有关性质-习题及答案

圆的有关性质——解答题

1. 如图，射线PG 平分∠EPF ，O 为射线PG 上一点，以O 为圆心，10为半径作⊙O ，分别与∠EPF 两边相交于

A 、

B 和

C 、

D ，连结OA ，此时有OA ∥P

E .

（1）求证：AP ＝AO ；

（2）若弦AB ＝12，求tan ∠OPB 的值；

（3）若以图中已标明的点（即P 、A 、B 、C 、D 、O ）构造四边形，则能构成菱形的四个点为 ，能构成等腰梯形的四个点为 或 或 . G F E O A

B D

C

P

2.、如图，在平面直角坐标系中，点A （10，0），以OA 为直径在第一象限内作半圆C ，点B 是该半圆周上的一动点，连结OB 、AB ，并延长AB 至点D ，使DB ＝AB ，过点D 作x 轴垂线，分别交x 轴、直线OB 于点E 、F ，点E 为垂足，连结CF .

（1）当∠AOB ＝30°时，求弧AB 的长；

（2）当DE ＝8时，求线段EF 的长；

（3）在点B 运动过程中，是否存在以点E 、C 、F 为顶点的三角形与△AOB 相似，若存在，请求出此时点E 的坐标；若不存在，请说明理由. F

E D

C B

A O x

y

3. 已知：AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点G ，E 是直线AB 上一动点（不与点A 、B 、G 重合），直线DE

交⊙O 于点F ，直线CF 交直线AB 于点P .设⊙O 的半径为r .

（1）如图1，当点E 在直径AB 上时，试证明：OE ·OP ＝r 2

（2）当点E 在AB （或BA ）的延长线上时，以如图2点E 的位置为例，请你画出符合题意的图形，标注上

字母，（1）中的结论是否成立？请说明理由.

4. 已知 △ABC ，分别以AC 和BC 为直径作半圆1O 、2,O P 是AB 的中点. （1）如图8，若△ABC 是等腰三角形，且AC =BC ，在 ,AC BC 上分别取点E 、F ，使12

,AO E BO F ∠=∠则有结论① 12,PO E FO P ? ②四边形12PO CO 是菱形.请给出结论②的证明；

（2）如图9，若（1）中△ABC 是任意三角形，其它条件不变，则（1）中的两个结论还成立吗？若成立，请给出证明；

（3）如图10，若PC 是1O 的切线，求证：2223AB BC AC =+

图8

O2

O1P A D C

E

F B D A B C D E F P . O

G （图1） . A B C D E . O G （图2）

5. 如图，已知AB是⊙O的弦，OB=2，∠B=30°，C是弦AB上任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO 交⊙O于点D，连接AD.

（1）弦长AB=________（结果保留根号）；

（2）当∠D=20°时，求∠BOD的度数；

（3）当AC的长度为多少时，以点A、C、D为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似？请写出解答过程.

6、已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以AB为直径在正方形内作半圆，P是半圆上的动点（不与点A、B重合），连接PA、PB、PC、PD.

（1）如图①，当PA的长度等于______时，∠PAB=60°；当PA的长度等于______时，△PAD是等腰三角形；（2）如图②，以AB边所在的直线为x轴，AD边所在的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系（点A即为原点O），把△PAD、△PAB、△PBC的面积分别记为S1、S2、S3.设P点坐标为（a，b），试求2S1S3-S22的最大值，并求出此时a、b的值.

7、如图，以点O为圆心的两个同心圆中，矩形ABCD的边BC为大圆的弦，边AD与小圆相切于点M，OM的

（1）点N 是线段BC 的中点吗？为什么？

（2）若圆环的宽度（两圆半径之差）为6cm ，AB =5cm ，BC =10cm ，求小圆的半径．

M

O

D

A C

B N

8、已知：如图，以矩形ABCD 的对角线AC 的中点O 为圆心，OA 长为半径作⊙0，⊙O 经过B 、D 两点，过点B 作BK ⊥AC ，垂足为K ．过D 作DH ∥KB ，DH 分别与AC 、AB 、⊙O 及CB 的延长线相交于点E 、F 、G 、H ．

(1)求证：AE =CK ； (2)如果AB =a ，AD =13a (a 为大于零的常数)，求BK 的

长；

(3)若F 是EG 的中点，且DE =6，求⊙O 的半径和GH 的长．

9、已知：在△ABC 中，以AC 边为直径的⊙O 交BC 于点D ，在劣弧 ⌒ AD 上到一点E 使∠EBC=∠DEC ，延

长BE 依次交AC 于G ，交⊙O 于H ．

（1）求证：AC ⊥BH ；

（2）若∠ABC=45°，⊙O 的直径等于10，BD=8，求CE 的长．

10、如图，点

C 、

D 分别在扇形AOB 的半径OA 、OB 的延长线上，且OA ＝3，AC ＝2，CD 平行于AB ，并

（第9题图） E F G A O H B C D

K

（1）求线段OD 的长；

（2）若1tan 2

C ∠=，求弦MN 的长． O

A B

D C

M N

11、在圆内接四边形ABCD 中，CD 为∠BCA 外角的平分线，F 为弧AD 上一点，BC=AF ，延长DF 与BA 的延长线交于E ． ⑴求证△ABD 为等腰三角形． ⑵求证AC ?AF=DF ?FE

12、如图，⊙P 与y 轴相切于坐标原点O (0，0)，与x 轴相交于点A (5，0)，过点A 的直线AB 与y 轴的正半轴交于点B ，与⊙P 交于点C ．

(1)已知AC ＝3，求点Ｂ的坐标； (4分)

(2)若AC ＝a , D 是O Ｂ的中点．问：点O 、P 、C 、D 四点是否在同一圆上？请说明理由．如果这四点在同一圆上，记这个圆的圆心为1O ，函数x

k y =的图象经过点1O ，求k 的值(用含a 的代数式表示)． (4分)

备用图 χ

y

第11题图 B A F E D

C

M χ

y

13、已知：如图，?ABC 错误！未找到引用源。内接于⊙O ，AB 错误！未找到引用源。为直径，∠CBA 的平分线

交AC 于点F

交⊙O 于点D ，DE ⊥AB 于点E ，且交AC 于点P ，连结AD ．

（1）求证：∠DAC ＝∠DBA ； （2）求证：错误！未找到引用源。是线段AF 的中点；

（3）若⊙O 的半径为5，AF ＝ 2

15，求tan ∠ABF 的值．

14、如图，在 Rt △ABC 中,∠ACB ＝90°，D 是AB 边上的一点，以BD 为直径的 ⊙0与边 AC 相切于点E ，连结DE 并延长，与BC 的延长线交于点 F .

( 1 ）求证： BD = BF ; ( 2 ）若 BC = 12 , AD = 8 ，求 BF 的长．

第21题答案图D

O E

A

C B

F

15、如图，等边△ABC 内接于⊙O ，P 是

AB 上任一点（点P 不与点A 、B 重合）.连AP 、BP ，过点C 作CM ∥BP 交PA 的延长线于点M.

（1）填空：∠APC ＝ 度，∠BPC ＝ 度；（2分）

（2）求证：△ACM ≌△BCP ；（4分）

（3）若PA=1，PB=2，求梯形PBCM 的面积. （4分）

? A B C

D

E O F

P

16、如图D 是△ABC 的边BC 的中点，过AD 延长线上的点E 作AD 的垂线EF ，E 为垂足，EF 与AB 的延长

线相交于点F ，点O 在AD 上，AO = CO ，BC//EF.

(1)证明:AB=AC ； (2)证明:点O 是ΔABC 的外接圆的圆心；

(3)当AB=5,BC=6时，连接BE 若∠ABE=90°，求AE 的长

.

（第16题图）

17、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =6㎝，BC =8㎝，P 为BC 的中点．动点Q 从点P 出发，沿射线PC 方向以2㎝/s 的速度运动，以P 为圆心，PQ 长为半径作圆．设点Q 运动的时间为t s ．

⑴当t =1.2时，判断直线AB 与⊙P 的位置关系，并说明理由；

⑵已知⊙O 为△ABC 的外接圆，若⊙P 与⊙O 相切，求t 的值．

18、如图，在△ABC 中，∠C= 90°，以AB 上一点O 为圆心，OA 长为半径的圆与BC 相切于点D ，分别交AC 、AB 于点E 、F ． （1）若AC=6，AB= 10，求⊙O 的半径；

（2）连接OE 、ED 、DF 、EF ．若四边形BDEF 是平行四边形，试判断四边形OFDE 的形状，并说明理由．

19、（宿迁10分）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，P 是反比例函数y ＝

x 6（x ＞0）图象上的任意一 点，以P 为圆心，PO 为半径的圆与x 、y 轴分别交于点A 、B ．

（1）判断P 是否在线段AB 上，并说明理由；（2）求△AOB 的面积；

（3）Q 是反比例函数y ＝x 6（x ＞0）图象上异于点P 的另一点， 请以Q 为圆心，QO 半径画圆与x 、y 轴分别交于点M 、N ，

连接AN 、MB ．求证：AN ∥MB ．

A

B

C P

Q O

(第17题) A E C D F B O y x Q P A B

O

圆的有关性质——解答题答案

1、证明：（1）∵PG 平分∠EPF ，∴∠DPO =∠BPO ，

∵OA//PE ，∴∠DPO =∠POA ， ∴∠BPO =∠POA ，∴P A =OA ；…2分

解：（2）过点O 作OH ⊥AB 于点H ，则AH =HB =

12AB ，……1分 ∵ tan ∠OPB =12

OH PH =，∴PH =2OH ， ……1分 设OH =x ，则PH =2x ，由（1）可知P A =OA = 10 ，∴AH =PH －P A =2x －10，

∵222AH OH OA +=， ∴222(210)10x x -+=， ……1分

解得10x =（不合题意，舍去），28x =，∴AH =6， ∴AB=2AH=12； ……1分

（3）P 、A 、O 、C ；A 、B 、D 、C 或 P 、A 、O 、D 或P 、C 、O 、B .……2分(写对1个、2个、3个得1分，写对4个得2分)

2、解：（1）连结BC ,∵A （10，0）, ∴OA =10 ,CA =5,

∵∠AOB =30°∴∠ACB =2∠AOB =60°,∴弧AB 的长=

3

5180560ππ=??; ……4分

（2）连结OD,∵OA 是⊙C 直径, ∴∠OBA =90°,

又∵AB =BD,∴OB 是AD 的垂直平分线,∴OD =OA =10,

在Rt △ODE 中，OE ==-22DE OD 681022=-,∴AE =AO －OE=10-6=4,

由 ∠AOB =∠ADE =90°-∠OAB ，∠OEF =∠DEA ，得△OEF ∽△DEA, ∴OE EF DE AE =,即6

84EF =，∴EF =3；……4分 （3）设OE =x ，

①当交点E 在O ，C 之间时，由以点E 、C 、F 为顶点的三角形与△AOB 相似，有∠ECF =∠BOA 或∠ECF =∠OAB ，当∠ECF =∠BOA 时，此时△OCF 为等腰三角形，点E 为OC 中点，即OE =

25，∴E 1（2

5，0）； H

P

A B C

O D

E F G O B

D

E C F

x y

A

当∠ECF =∠OAB 时，有CE =5-x , AE =10-x ，∴CF ∥AB ,有CF =12

AB , ∵△ECF ∽△EAD,∴AD CF AE CE =,即51104

x x -=-,解得：310=x ,∴E 2（310，0）;

②当交点E 在点C 的右侧时，∵∠ECF ＞∠BOA ，∴要使△ECF 与△BAO 相似，只能使∠ECF =∠BAO ，

连结BE ，∵BE 为Rt △ADE 斜边上的中线，∴BE =AB =BD,∴∠BEA =∠BAO,∴∠BEA =∠ECF ,

∴CF ∥BE, ∴OE

OC BE CF =, ∵∠ECF =∠BAO , ∠FEC =∠DEA =Rt ∠， ∴△CEF ∽△AED, ∴

CF CE AD AE =,而AD =2BE , ∴2OC CE OE AE =, 即55210x x x -=-, 解得417551+=x , 417552-=x ＜0（舍去），∴E 3（4

1755+，0）;

③当交点E 在点O 的左侧时，∵∠BOA =∠EOF ＞∠ECF . ∴要使△ECF 与△BAO 相似，只能使∠ECF =∠BAO 连结BE ，得BE =

AD 21=AB ，∠BEA =∠BAO ∴∠ECF =∠BEA,∴CF ∥BE,∴OE

OC BE CF =, 又∵∠ECF =∠BAO , ∠FE C =∠DEA =Rt ∠， ∴△CEF ∽△AED, ∴AD CF AE CE =， 而AD =2BE , ∴2OC CE OE AE =,∴5+5210+x x x =, 解得417551+-=x , 4

17552--=x ＜0（舍去）, ∵点E 在x 轴负半轴上, ∴E 4（4

1755-，0）, 综上所述：存在以点E 、C 、F 为顶点的三角形与△AOB 相似,此时点E 坐标为： O

B

D

F

C E

A x

y O

B

D

F C E A x y

O B D F

C E A x y

1E （25，0）、2E （310，0）、3E （41755+，0）、4E （4

1755-，0）．……4分

3、【答案】（1）证明：连接FO 并延长交⊙O 于Q ，连接DQ .

∵FQ 是⊙O 直径，∴∠FDQ ＝90°.∴∠QFD ＋∠Q ＝90°.

∵CD ⊥AB ，∴∠P ＋∠C ＝90°.∵∠Q ＝∠C ，∴∠QFD ＝∠P .

∵∠FOE ＝∠POF ，∴△FOE ∽△POF . ∴

OE OF OF OP

=.∴OE ·OP ＝OF 2＝r 2. （2）解：（1）中的结论成立.

理由：如图2，依题意画出图形，连接FO 并延长交⊙O 于M ，连接CM .

∵FM 是⊙O 直径，∴∠FCM ＝90°，∴∠M ＋∠CFM ＝90°.

∵CD ⊥AB ，∴∠E ＋∠D ＝90°.

∵∠M ＝∠D ，∴∠CFM ＝∠E. ∵∠POF ＝∠FOE ，∴△POF ∽△FOE .∴

OP OF OF OE =，∴OE ·OP ＝OF 2＝r 2. 4、【答案】（1）证明：∵BC 是⊙O 2直径，则O 2是BC 的中点 又P 是AB 的中点. ∴P O 2是△ABC 的中位线 ∴P O 2 =

12AC ，又AC 是⊙O 1直径 ∴P O 2= O 1C=12AC 同理P O 1= O 2C =12

BC ∵AC =BC ∴P O 2= O 1C=P O 1= O 2C ∴四边形12PO CO 是菱形 （2）结论①12,PO E FO P ? 成立，结论②不成立

证明：在（1）中已证PO 2=12AC ，又O 1E =12

AC ∴PO 2=O 1E 同理可得PO 1=O 2F ∵PO 2是△ABC 的中位线∴PO 2∥AC ∴∠PO 2B =∠ACB 同理∠P O 1A=∠ACB ∴∠PO 2B =∠P O 1A

∵∠AO 1E =∠BO 2F ∴∠P O 1A+∠AO 1E =∠PO 2B+∠BO 2F 即∠P O 1E =∠F O 2 P

（3）证明：延长AC 交⊙O 2于点D ，连接BD.∵BC 是⊙O 2的直径，则∠D=90°，

又PC 是1O 的切线，则∠ACP=90°，∴∠ACP=∠D 又∠PAC=∠BAD ，∴△A PC ∽△BAD

又P 是AB 的中点∴12

AC AP AD AB ==∴AC=CD ∴在Rt △BCD 中，22222BC CD BD AC BD =+=+ 在Rt △ABD 中，222AB AD BD =+∴()

22222243AB AC BD AC BD AC =+=++

O

B

D

F C E

A x y

∴2223AB BC AC =+

5、【答案】解：（1）23.

（2）解法一：∵∠BOD 是△BOC 的外角，∠BCO 是△ACD 的外角，

∴∠BOD=∠B+∠BCO ，∠BCO=∠A+∠D.∴∠BOD=∠B+∠A+∠D.

又∵∠BOD=2∠A ，∠B=30°，∠D=20°，∴2∠A=∠B+∠A+∠D=∠A+50°，∠A=50°，

∴∠BOD=2∠A=100°.

解法二：如图，连接OA.∵OA=OB ，OA=OD ，∴∠BAO=∠B ，∠DAO=∠D ，∴∠DAB=∠BAO+∠DAO=∠B+∠D. 又∵∠B=30°，∠D=20°，∴∠DAB=50°，∴∠BOD=2∠DAB=100°.

（3）∵∠BCO=∠A+∠D ，∴∠BCO ＞∠A ，∠BCO ＞∠D.∴要使△DAC 与△BOC 相似，只能

∠DCA=∠BCO=90°.此时，∠BOC=60°，∠BOD=120°，∴∠DAC=60°.∴△DAC ∽△BOC.

∵∠BCO=90°，即OC ⊥AB ，∴AC=2

1AB=3. 6、【答案】解：（1）2；22或5

58. （2）如图，过点P 分别作PE ⊥AB ，PF ⊥AD ，垂足分别为E 、F ，延长FP 交BC 于点G ，则PG ⊥BC.

∵P 点坐标为（a ，b ），∴PE=b ，PF=a ，PG=4-a.，在△PAD 、△PAB 及△PBC 中，S 1=2a ，S 2=2b ，S 3=8-2a ，

∵AB 是直径，∴∠APB=90°. ∴PE 2=A E ·BE ，即b 2=a （4-a ）.

∴2S 1S 3-S 22=4a （8-2a ）-4b 2=-4a 2+16a=-4（a-2）2+16. ∴当a=2时，b=2，2S 1S 3-S 22有最大值16.

7、【答案】解：(1)N 是BC 的中点。原因：∵AD 与小圆相切于点M ，

∴OM ⊥AD ，又AD ∥BC ，∴ON ⊥BC ，∴在大圆O 中，由垂径定理可得N 是BC 的中点．

(2)连接OB ，设小圆半径为r ，则有ON=r+5,OB=r+6,BN=5cm,

在Rt △OBN 中，由勾股定理得OB 2=BN 2+ON 2 ，即：（r+6）2=(r+5)2+52 ，解得r=7cm.∴小圆的半径为7cm.

8、【答案】解：（1）∵DH ∥KB ，BK ⊥AC ，∴DE ⊥AC ，

∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，AD =BC ，∴∠EAD =∠KCB ，∴Rt △ADE ≌Rt △CBK ，∴AE =CK .

（2）在Rt △ABC 中，AB =a ，AD =BC =13

a ，∴22BC AB AC +==22)31(a a +=310a ， ∵S △ABC =21AB ×BC =21AC ×BK ，∴BK =AC BC AB ?=3

1031a a a ?=a 10

10. （3）连线OG ，∵AC ⊥DG ，AC 是⊙O 的直接，DE =6，∴DE =EG =6，又∵EF =FG ，∴EF =3；∵Rt △ADE ≌Rt △CBK ，∴DE =BK =6，AE =CK ，

在△ABK 中，EF =3，BK =6，EF ∥BK ，∴EF 是△ABK 的中位线，∴AF =BF ，AE =EK =KC ；在Rt △OEG 中，设OG =r ，则OE =r r AC 3126161=?=，EG =6，222OG EG OE =+，∴2226)31(r r =+，∴2

29=r . 在Rt △ADF ≌Rt △BHF 中，AF =BF ，∵AD =BC ，BF ∥CD ，∴HF =DF ，

∵FG =EF ，∴HF -FG =DF -EF ，∴HG =DE =6.

9、【答案】证明：⑴连接AD

∵∠DAC=∠DEC ∠EBC=∠DEC ∴∠DAC=∠EBC

又∵AC 是⊙O 的直径∴∠ADC=90°∴∠DCA+∠DAC=90°∴∠EBC+∠DCA=90°

∴∠BGC=180°-(∠EBC+∠DCA)=180°-90°=90° ∴AC ⊥BH

⑵∵∠BDA=180°-∠ADC=90°∠ABC=45°∴∠BAD=45°∴BD=AD ∵BD=8∴AD=8

又∵∠ADC=90° AC=10

∴由勾股定理，得68102222=-=-=AD AC DC .∴BC=BD+DC=8+6=14

又∵∠BGC=∠ADC=90° ∠BCG=∠ACD ∴△BCG ∽△ACD ∴

AC BC DC CG =∴10146=CG ∴542=CG 连接AE ，∵AC 是直径 ∴∠AEC=90°

又∵EG ⊥AC ，∴△CEG ∽△CAE ∴CE CG AC CE = ∴84105

422=?=?=CG AC CE ∴21284==CE . 10、【答案】（1）∵CD ∥AB ，∴∠OAB =∠C ，∠OBA =∠D ．

∵OA=OB ，∴∠OAB =∠OBA ．∴∠C =∠D ．∴OC=OD ．∵OA =3，AC =2，∴OC =5．∴OD =5．

（2）过点O 作OE ⊥CD ，E 为垂足，连接OM ．

（第23题解答图） E

F

G

A

O H B C D K

在Rt △OCE 中，OC =5，1tan 2

C ∠=，设OE =x ，则CE =2x ．由勾股定理得222(2)5x x +=，解得x 1=5，x 2=5-（舍去）．∴OE =5．

在Rt △OME 中，OM =OA =3，ME =22OM OE -=223(5)-=2。∴MN =2ME =4．

11、【答案】⑴由圆的性质知∠MCD=∠DAB 、∠DCA=∠DBA ，而∠MCD=∠DCA ，所以∠DBA=∠DAB ，故△ABD 为等腰三角形．

⑵∵∠DBA=∠DAB ∴弧AD=弧BD

又∵BC=AF ∴弧BC=弧AF 、∠CDB=∠FDA ∴弧CD=弧DF ，∴CD=DF

再由“圆的内接四边形外角等于它的内对角”知∠AFE=∠DBA=∠DCA ①，∠FAE=∠BDE

∴∠CDA=∠CDB ＋∠BDA=∠FDA ＋∠BDA=∠BDE=∠FAE ② 由①②得△DCA ∽△FAE

∴AC ：FE=CD ：AF ，∴AC ?AF= CD ?FE 而CD=DF ， ∴AC ?AF=DF ?FE

12、【答案】解：(1)解法一：连接OC ，∵OA 是⊙P 的直径，∴OC ⊥AB ，

在Rt △AOC 中，492522=-=

-=AC OA OC ，在 Rt △AOC 和Rt △ABO 中，∵∠CAO ＝∠OAB ∴Rt △AOC ∽Rt △ABO ，· ∴OB AO CO AC =，即OB 543=， ∴320=OB ， ∴)3

20,0(B 解法二：连接OC ，因为OA 是⊙P 的直径， ∴∠ACO ＝90°在Rt △AOC 中，AO ＝5，AC ＝3，∴OC ＝4， 过C 作CE ⊥OA 于点E ，则：

OC CA CE OA ??=??2121，即：4321521??=??CE ，∴512=CE ， ∴5

16)512(42222=-=-=CE OC OE ∴)512,516(C ，

设经过A 、C 两点的直线解析式为：b kx y +=．把点A (5，0)、)5

12,516(C 代入上式得： E N M

D C B A

O

?????=+=+51251605b k b k ， 解得：???

????=-=32034b k ， ∴32034+-=x y ， ∴点)320,(O B ． (2)点O 、P 、C 、D 四点在同一个圆上，理由如下：

连接CP 、CD 、DP ，∵OC ⊥AB ，D 为OB 上的中点， ∴OD OB CD ==2

1， ∴∠3＝∠4，又∵OP ＝CP ，∴∠1＝∠2，∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90°，

∴PC ⊥CD ，又∵DO ⊥OP ，∴Rt △PDO 和Rt △PDC 是同以PD 为斜边的直角三角形，∴PD 上的中点到点O 、P 、C 、D 四点的距离相等，

∴点O 、P 、C 、D 在以DP 为直径的同一个圆上；

由上可知，经过点O 、P 、C 、D 的圆心1O 是DP 的中点，圆心)2,2(1OD

OP

O ，

由(1)知：Rt △AOC ∽Rt △ABO ，∴AB OA

OA AC

=，求得：AB ＝a 25

，在Rt △ABO 中，

a a OA AB OB 2

22255-=-=，OD ＝a a OB 225521

2

-=，25

2==OA

OP ∴)4255,45

(2

1a a O -，点1O 在函数x k y =的图象上，∴5442552k a a =-， ∴a

a k 1625252

-=．

13、【答案】(1）∵BD 平分∠CBA ，∴∠CBD ＝∠DBA

∵∠DAC 与∠CBD 都是弧CD 所对的圆周角，∴∠DAC ＝∠CBD ∴∠DAC ＝∠DBA

(2）∵AB 为直径，∴∠ADB ＝90°

又∵DE ⊥AB 于点E ，∴∠DEB ＝90° ∴∠ADE +∠EDB ＝∠ABD +∠EDB ＝90°

∴∠ADE ＝∠ABD ＝∠DAP ∴PD ＝P A

又∵∠DF A +∠DAC ＝∠ADE +∠PD F ＝90°且∠ADE ＝∠DAC ∴∠PDF ＝∠PFD ∴PD ＝PF ∴P A ＝ PF 即P 是线段AF 的中点

(3）∵∠DAF ＝∠DBA ，∠ADB ＝∠FDA ＝90°∴△FDA ∽△ADB ∴AB AF

DB AD

=

∴在Rt △ABD 中，tan ∠ABD ＝43102

15

===AB AF DB AD ，即tan ∠ABF ＝43

14、【答案】⑴连结OE ，

第21题答案图D

O E

A

C B

F

则OE ⊥AC ,所以∠AEO=90°，∠AED=∠CEF , ∠ACB ＝90°∠CEF+∠F ＝90°∠AED +∠OED ＝90°

∠OED=∠F ，又因为OD=OE ，所以∠OED=∠ODE ，∠ODE=∠F ，BD=BF

⑵Rt △ABC 和Rt △AOE 中，∠A 是公共角 所以Rt △ABC ∽Rt △AOE

OE AO BC AB =，设⊙0的半径是r ，则有81282r r r

+=+ 求出r =8,所以BF=BD =16 15、解：（1）60,60；

（2）∵CM ∥BP ，∴∠BPM+∠M=180°，∠PCM=∠BPC=60.

∴∠M=180°－∠BPM=180－（∠APC+∠BPC ）=180°－120°=60°. ∴∠M=∠BPC=60°.

（3）∵ACM ≌BCP ，∴CM=CP ，AM=BP. 又∠M=60°，∴△PCM 为等边三角形.∴CM=CP=PM=1+2=3. 作PH ⊥CM 于H. 在Rt △PMH 中，∠MPH=30°. ∴PH=

332. ∴S 梯形PBCM =11315()(23)33

2224

PB CM PH +?=+?=.

16、【答案】解:(1)∵AE ⊥EF ， EF ∥BC ，∴AD ⊥BC ．(1分)在△ABD 和△ACD 中，∵BD ＝CD ，∠ADB ＝∠ADC ，AD ＝AD ，∴△ABD ≌△ACD ．(或者：又∵BD ＝CD ，∴AE 是BC 的中垂线．) (2分)∴AB ＝AC ．(3分)

(2)连BO ，∵AD 是BC 的中垂线，∴BO ＝CO ．(或者：证全等也可得到BO ＝CO ．)又AO ＝CO ，∴AO ＝BO ＝CO ．(4分)∴点O 是△ABC 外接圆的圆心． (5分)

（3）解法1：∵∠ABE ＝∠ADB=90°，∴∠ABD+∠BAD=∠AEB+∠BAE=90°，∴∠ABD=∠AEB ． 又∵∠BAD=∠EAB ，∴△ABD ∽△AEB ．∴

AB AD AE AB =（6分）在Rt △ABD 中，∵AB=5，BD=?BC=3，∴AD=4．（7分）∴AE=4

25 (8分)解法2：∵AO ＝BO ， ∴∠ABO ＝∠BAO ．∵∠ABE ＝90°，∴∠ABO ＋∠OBE ＝∠BAO ＋∠AEB ＝90°．∴∠OBE ＝∠OEB ，∴OB ＝OE ．(6分)在 Rt △ABD 中，∵AB=5，BD=?BC=3，∴AD=4． 设 OB ＝x ， 则 OD ＝4－x ，由32+（4-x)2=x 2,解得x=

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