高教版中等职业学校职业高中平面向量的内积教案课件
【课题】7.3 平面向量的内积
【教学目标】
知识目标：
（1）了解平面向量内积的概念及其几何意义.
（2）了解平面向量内积的计算公式.为利用向量的内积研究有关问题奠定基础. 能力目标：
通过实例引出向量内积的定义,培养学生观察和归纳的能力． 【教学重点】
平面向量数量积的概念及计算公式. 【教学难点】
数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角． 【教学设计】
教材从某人拉小车做功出发，引入两个向量内积的概念．需要强调力与位移都是向量，而功是数量．因此，向量的内积又叫做数量积．
在讲述向量内积时要注意：
（1）向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量的夹角余弦的乘积.其符号是由夹角决定；
（2）向量数量积的正确书写方法是用实心圆点连接两个向量. 教材中利用定义得到内积的性质后面的学习中会经常遇到，其中：
（1）当＝0时，a ·b ＝|a ||b |；当＝180时，a ·b ＝－|a ||b |．可以记忆为：两个共线向量，方向相同时内积为这两个向量模的积；方向相反时内积为这两个向量模的积的相反数．
（2）|a |显示出向量与向量的模的关系，是得到利用向量的坐标计算向量模的公式的基础；
（3）cos＝||||
?a b
a b ，是得到利用两个向量的坐标计算两个向量所成角的公式的基础；
（4）“a ·b ＝0?a ⊥b ”经常用来研究向量垂直问题，是推出两个向量内积坐标表示的重要基础． 【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
2课时．(90分钟)
【教学过程】
+
F
cos30
是水平方向的力与垂直方向的力的和，垂直方向上没有
．两个向量
0,因此对非零向量·b＝0?
x y
+
判断下列各组向量是否互相垂直：
【教师教学后记】
(完整word版)高三一轮复习平面向量复习优秀教案
平面向量 第一课时 平面向量的概念 【重要知识】 知识点一：向量的概念 既有大小又有方向的量叫向量。 注意数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小. 知识点二：向量的表示法 ①用有向线段表示； ②用字母ａ、ｂ （黑体，印刷用）等表示；①用有向线段表示； ③用有向线段的起点与终点字母：AB ； ④向量的大小――长度称为向量的模，记作||. 知识点三：有向线段 （1）有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度. （2）向量与有向线段的区别： ①向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量； ②有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段. 知识点四：两个特殊的向量 （1）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作0r . 0r 的方向是任意的. 注意0r 与0的含义与书写区别. （2）单位向量：长度为1个单位长度的向量，叫单位向量. 说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小。 知识点五：平行向量、共线向量 （1） 定义：方向相同或相反的非零向量叫平行向量。 （2） 规定：规定0r 与任一向量平行. （3）共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）. 说明：①综合(1)、(2)才是平行向量的完整定义; ②向量,,a b c r r r 平行，记作a r ∥b r ∥c r ③平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系； ④共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. 知识点六：相等向量
最新中职数学平面向量测试题
职业中专第二学年上期 月考试题 姓名：___________ 成绩：___________ 一、选择题（15*4=60分） 1、已知数列{n a }的通项公式是25n a n =-，那么2n a =（ ）。 A 、25n - B 、45n - C 、210n - D 、410n - 2、等差数列7 5 ,3,,2,22----…的第1n +项为（ ）。 A 、1 (7)2n - B 、1 (4)2n - C 、42n - D 、72n - 3、在等比数列{n a }中，已知252,6a a ==，则8a =（ ）。 A 、10 B 、12 C 、18 D 、24 4、矩形ABCD 中，3,1,AB BC AB BC BD ==++=则（ ）。 A 、2 B 、0 C 、4 D 、5、,,ABC AB AC BC AB AC ?中，取为平面的一个基，则向量在基下的坐标为（ ） A 、（1，-1） B 、（-1，1） C 、（1，1） D 、（-1，-1） 6、设13 (1,1),(1,1),,22a b c a b c -=-则的坐标为（ ）。 A 、（1，-2） B 、（-1，2） C 、（1，2） D 、（-1，-2） 7、已知(,3)(2,1)a x b x -=与共线，则（ ）。 A 、3 2 B 、-3 2 C 、6 D 、-6 8、已知平行四边形ABCD 中，A （-4，-2），B （2，-4），C （5，-1），则点D 的坐标为（ ） A 、（1，-1） B 、（-1，1） C 、（11，-3） D 、（-11，3） 9、已知线段AB 的中点M 的坐标是（-1，1），点A 坐标（-3，1），则点B 的坐标为（ ） A 、（1，-3） B 、（-2，0） C 、（4，-4） D 、（-5，3） 10、设向量'(2,1),a a -点P(-1,3)在决定的平移下的象P 的坐标为（ ）。 A 、（-1，-2） B 、（1，2） C 、（-3，4） D 、（3，-4） 11、函数2(1,3)y x a =-的图像在决定的平移下的象的函数解析式为（ ）。 A 、2(1)3y x =++ B 、2(1)3y x =+- C 、2(1)3y x =-+ D 、2(1)3y x =-- 12、已知3,2,.3,a b a b a b ===-则<,>=（ ）。
平面向量的数量积教案
§2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义 博白县龙潭中学 庞映舟 一、教学重难点： 1、重点：平面向量数量积的概念、性质的发现论证； 2、难点：平面向量数量积、向量投影的理解； 二、教学过程： （一）创设问题情景，引出新课 问题：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运 算的结果是什么？ 新课引入：本节课我们来研 究学习向量的另外一种运算：平面向量的数量积的 物理背景及其含义 （二）新课： 1、探究一：数量积的概念 展示物理背景：视频“力士拉车”,从视频中抽象出下面的物理模型 背景的第一次分析： 问题：真正使汽车前进的力是什么？它的大小是多少？ 答：实际上是力→F 在位移方向上的分力，即θCOS F → ,在数学中我们给它一个名字叫投影。 “投影”的概念：作图
定义：|→b |cos 叫做向量→b 在→ a 方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量； 2、背景的第二次分析： 问题：你能用文字语言表述“功的计算公式”吗? 分析：θCOS S F w →→=用文字语言表示即：力对物体所做的功，等于力的大小、位移的大小、力与位移夹角的余弦这三者的乘积；功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定。这给我们一种启示，能否把“功”看成是这两个向量的一种运算结果呢？ 平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量→a 与→b ，它们的夹角是θ，则数量|→a ||→b |θcos 叫→a 与→b 的数量积，记作→a ·→b ，即有→a ·→b = |→a ||→b |θcos （０≤θ≤π）.并规定→0与任何向量的数量积为0. 注：两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos θ的符号所决定. 3、向量的数量积的几何意义： 数量积→a ·→b 等于→a 的长度与→b 在→a 方向上投影|→b |cos θ的乘积. 三、例题讲解： 例1 已知｜→a ｜＝5，｜→b ｜＝4，→a 与→b 的夹角θ=O 60，求→a ·→b 解：由向量的数量积公式得：（先复习特殊角度的余弦值） →a ·→b =|→a ||→ b |cos θ=5×4×cos O 60=5×4×21=10 练习1已知｜→a ｜＝8，｜→b ｜＝6，①→a 与→b 的夹角为O 60，②→a 与→b 的夹 角θ=00，求→a ·→ b ；
高中数学苏教版必修4教案：第二章 平面向量 第10课时 2.4向量的数量积(3)
第10课时 §2.4 向量的数量积（3） 【教学目标】 一、知识与技能 掌握平面向量数量积的坐标表示，掌握向量垂直的坐标表示. 二、过程与方法 让学生充分经历，体验数量积的运算律以及解题的规律 三、情感、态度与价值观 通过师生互动，自主探究，交流与学习培养学生探求新知识以及合作交流 【教学重点难点】平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用 【教学过程】 一、复习： 1．两平面向量垂直条件； 2．两向量共线的坐标表示； 3．轴上单位向量，轴上单位向量，则：，，． 二、新课讲解： 1．向量数量积的坐标表示：设 ，则， ∴. 从而得向量数量积的坐标表示公式：． 2．长度、夹角、垂直的坐标表示： ①长度： ； ②两点间的距离公式：若，则 ③夹角：； ④垂直的充要条件：∵，即 （注意与向量共线的坐标表示的区别） 三、例题分析： 例1、设，求 x i y j 1i i ?=1j j ?=0i j j i ?=?=1122(,),(,)a x y b x y ==1122,a x i y j b x i y j =+=+22 112212121212()()a b x i y j x i y j x x i x y i j y x j i y y j ?=++=+?+?+1212x x y y =+1212a b x x y y ?=+(,)a x y =22222||||a x y a x y =+?=+1122(,),(,)A x y B x y 222121()()AB x x y y =-+-0a b a b ⊥??=12120x x y y +=(5,7),(6,4)a b =-=--a b ?
(完整版)职高数学第七章平面向量习题及答案
第7章 平面向量习题 练习7.1.1 1、填空题 （1）只有大小，没有方向的量叫做 ；既有大小，又有方向的量叫做 ； （2）向量的大小叫做向量的 ，模为零的向量叫做 ，模为1的向量叫做 ； （3）方向相同或相反的两个非零向量互相 ，平行向量又叫 ，规定： 与任何一个向量平行； （4）当向量a 与向量b 的模相等，且方向相同时，称向量a 与向量b ； （5）与非零向量a 的模相等，且方向相反的向量叫做向量a 的 ； 2、选择题 （1）下列说法正确的是（ ） A ．若|a |=0，则a =0 B ．若|a |=|b |，则a =b C ．若|a |=|b |，则a 与b 是平行向量 D ．若a ∥b ，则a =b （2）下列命题： ①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或 相反；③向量AB u u u r 与向量CD u u u r 共线，则A 、B 、C 、D 四点共线；④如果a ∥b ，b ∥c .那么a ∥c 正确的命题个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.0 参考答案： 1、（1）数量；向量（2）模；零向量；单位向量（3）平行的向量；共线向量；零向量 （4）相等（5）负向量 2、（1）A （2）B 练习7.1.2 1、选择题 （1）如右图所示，在平行四边行ABCD 中，下列结论错误的是（ ） A ．AB=DC u u u r u u u r B ．AD+AB=A C u u u r u u u r u u u r C ．AB +AD=B D u u u r u u u r u u u r D ．AD+CB=0u u u r u u u r r （2）化简：AB+BC CD u u u r u u u r u u u r =（ ） A ．AC u u u r B ．AD u u u r C ．B D u u u r D ．0r 2、作图题：如图所示，已知向量a 与b ，求a +b A D C B a b
(完整版)《平面向量的数量积》教学设计及反思
《平面向量的数量积》教学设计及反思 交口第一中学赵云鹏平面向量的数量积是继向量的线性运算之后的又一重要运算，也是高中数学的一个重要概念，它是沟通代数、几何与三角函数的一种重要工具，在每年高考中也是重点考查的内容。向量作为一种运算工具，其知识体系是从实际的物理问题中抽象出来的，它在解决几何问题中的三点共线、垂直、求夹角和线段长度、确定定比分点坐标以及平移等问题中显示出了它的易理解和易操作的特点。 一、总体设想： 本节课的设计有两条暗线：一是围绕物理中物体做功，引入数量积的概念和几何意义；二是围绕数量积的概念通过变形和限定衍生出新知识――垂直的判断、求夹角和线段长度的公式。教学方案可从三方面加以设计：一是数量积的概念；二是几何意义和运算律；三是两个向量的模与夹角的计算。 二、教学目标： 1. 了解向量的数量积的抽象根源。 2. 了解平面的数量积的概念、向量的夹角 3. 数量积与向量投影的关系及数量积的几何意义 4. 理解掌握向量的数量积的性质和运算律，并能进行相关的判断和计算 三、重、难点： 【重点】1.平面向量数量积的概念和性质 2.平面向量数量积的运算律的探究和应用 【难点】平面向量数量积的应用 四、课时安排：
2课时 五、教学方案及其设计意图：1．平面向量数量积的物理背景平面向量的数量积，其源自对受力物体在其运动方向上做功等物理问题的抽象。首先说明放置在水平面上的物体受力F 的作用在水平方向上的位移是s，此问题中出现了两个矢量，即数学中所谓的向量，这时物体力F 的所做的功为W F s cos ，这里的是矢量F 和s 的夹角，也即是两个向量夹角的定义基础，在定义两个向量的夹角时，要使学生明确“把向量的起点放在同一点上”这一重要条件，并理解向量夹角的范围。这给我们一个启示：功是否是两个向量某种运算的结果呢？以此为基础引出了两非零向量a, b 的数量积的概念。 2．平面向量数量积（内积）的定义 已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos 叫ａ与ｂ的数量积，记作a b，即有a b = |a||b|cos ，（０≤θ≤π）. 并规定0 与任何向量的数量积为0. 零向量的方向是任意的，它与任意向量的夹角是不确定的，按数量积 的定义a b = |a||b|cos 无法得到，因此另外进行了规定。 3. 两个非零向量夹角的概念 已知非零向量ａ与ｂ，作OA＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０ ≤θ≤π）
最新人教版高中数学《平面向量》全部教案
人教版高中数学《平面向量》全部教案
第五章 平面向量 第一教时 教材：向量 目的：要求学生掌握向量的意义、表示方法以及有关概念，并能作一个向量与 已知向量相等，根据图形判定向量是否平行、共线、相等。 过程： 一、开场白：课本P93（略） 实例：老鼠由A 向西北逃窜，猫在B 处向东追去， 问：猫能否追到老鼠？（画图） 结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了。 二、提出课题：平面向量 1．意义：既有大小又有方向的量叫向量。例：力、速度、加速度、冲量 等 注意：1?数量与向量的区别： 数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。 2?从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学体 系，用以研究空间性质。 2．向量的表示方法： 1?几何表示法：点—射线 有向线段——具有一定方向的线段 有向线段的三要素：起点、方向、长度 A B A(起点) B （终 a
记作（注意起讫） 2?字母表示法：可表示为（印刷时用黑体字） P95 例 用1cm 表示5n mail （海里） 3．模的概念：向量AB 的大小——长度称为向量的模。 记作：|| 模是可以比较大小的 4．两个特殊的向量： 1?零向量——长度（模）为0的向量，记作。的方向是任意的。 注意0与0的区别 2?单位向量——长度（模）为1个单位长度的向量叫做单位向量。 例：温度有零上零下之分，“温度”是否向量？ 答：不是。因为零上零下也只是大小之分。 例：与是否同一向量？ 答：不是同一向量。 例：有几个单位向量？单位向量的大小是否相等？单位向量是否都相等？ 答：有无数个单位向量，单位向量大小相等，单位向量不一定相等。 三、向量间的关系： 1．平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。 记作：a ∥b ∥c 规定：0与任一向量平行 2．相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 记作：= 规定：= a b c
高中数学第二章平面向量第2课时2.2向量的加法教案苏教版必修4
第2课时§2.2 向量的加法 【教学目标】 一、知识与技能 （1）理解向量加法的含义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和；（2）掌握两个向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量运算 二、过程与方法 从物体位移变化规律的探知中总结出向量加法规律 三、情感、态度与价值观 感受数学和生活的联系，增强学习数学的兴趣 【教学重点难点】：：1．如何作两向量的和向量； 2．向量加法定义的理解。 【教学过程】 一、复习： 1．向量的概念、表示法。 2．平行向量、相等向量的概念。 3．已知点是正六边形的中心，则下列向量组中含有相等向量的是（）（）、、、（）、、、 （）、、、 （） 、、 、 二、创设情景 利用向量的表示，从景点O到景点A的位移为OA，从景点A到景点B的位移为AB，那么经过这两次位移后游艇的合位移是OB，向量OA，AB，OB三者之间有何关系？ O ABCDEF A O B CD FE CB B AB CD FA DE C FE AB CB OF D AF AB OC OD
O B A 三、讲解新课： 1 ．向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法。表示： 作法：在平面内任取一点 （如图（ 2）） ，作，，则 . （1）（2） 2．向量加法的法则： （1）三角形法则：根据向量加法定义得到的求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。表示：． （2）平行四边形法则：以同一点为起点的两个已知向量，为邻边作平行四边形ABCD，则以为起点的对角线就是与的和，这种求向量和的方法称为向量加法的平行四边形法则。 3．向量的运算律： 交换律：． 结合律：． 说明：多个向量的加法运算可按照任意的次序与任意的组合进行： AB BC AC += O OA a =AB b =OB a b =+ AB BC AC += A a b A AC a b a b b a +=+ ()() a b c a b c ++=++
(完整版)职高第七章平面向量测试题
第七章《平面向量》测试题 （时间：120分钟；分数：150分） 一、选择题（12小题，每题5分，共60分） 1.下列量：力、位移、速度、加速度、质量、面积中有（ ）个是向量. （A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）7 2.四边形ABCD 中若AB ????? =DC ????? ,则它一定是（ ） （A ）平行四边形 （B ）矩形 （C ）菱形 （D ）正方形 3.若点M 是AB 的中点，O 为平面上任意一点，下列各式中不正确的是（ ） （A ）AM ?????? =MB ?????? （B ）AM ?????? =12 AB ????? （C ）OM ?????? =12(OA ????? +OB ????? ) （D ）OM ?????? =12AB ????? 4.下列命题中正确的是（ ） （A ）a ? = |a ? |a ? （B ）a ? |a ? | = b ? |b ? | (a ?? ,b ? 均为非零向量） （C ）a ?? 与b ? 反向且均为非零向量，则|a ? +b ? |=|a ? |+|b ? | （D ）a ?? 与b ? 同向且均为非零向量，则|a ? +b ? |=|a ? |+|b ? | 5.已知点A （5,3），B （8,0），C （2,0），则?ABC 是（ ） （A ）等腰直角三角形 （B ）非等腰直角三角形 （C ）锐角三角形 （D ）钝角三角形 6.已知向量AB ????? =(?4,1), BC ????? =(2,?3), CD ????? =(7,?5)，则向量AD ????? 的坐标为（ ） （A ）(?5,7) （B ）(5,?7) （C ）(9,?3) （D ）(?9,3) 7.下列命题： ①已知A (3,5),B (1,?7),则AB 中点坐标为(?1，?1). ②对平面内任意一点O,都有AB ????? =OA ????? ?OB ????? . ③已知Y ABCD 的三个顶点A (?1，?2) ,B (3,1),C (0,2),则D 点的坐 标为(?3，?2) .
人教版必修四第二章平面向量教案
人教版必修四第二章平面向量教案 教学目标： 三维目标 1、知识与技能 （1）了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示； （2）掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念； 并能弄清平行向量、相等向量、共线向量的关系 （3）通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别. 2、过程与方法 引导发现法与讨论相结合。这是向量的第一节课，概念与知识点较多，在对学生进行适当的引导之后，应让学生清清楚楚得明白其概念，这是学生进一步获取向量知识的前提；通过学生主动地参与到课堂教学中，提高学生学习的积极性。体现了在老师的引导下，学生的的主体地位和作用。 3、情感目标与价值观 通过对向量与数量的比较，培养学生认识客观事物的数学本质的能力，并且意识到数学与现实生活是密不可分的，是源于生活，用于生活的。 教学重点：理解向量、相等向量等相关的概念，向量的几何表示等是本节课的重点。 教学难点：难点是学生对向量的概念和共线向量的概念的理解。 学情和教材分析：向量是近代数学中重要和基本的概念之一，有深刻的几何背景及代数意义，因此向量具有数形结合的特征，是深入学习数学及解决各类数学问题的有效工具，在其他学科中也有广泛应用。所以向量是历年高考的必考内容，本节课是向量的第一节课，是新知识的一个起点，所以这是十分关键、重要的一节课。本节教学内容的特点是：概念多，有向量、平行向量、相等向量、单位向量等相关概念及向量的几何表示。学生在学习过程中，诸多概念容易混淆，它们之间关系不易理清，这些是学习中的难点。 教法设计：引导启发式教学 学法设计：指导学生自主学习 课时计划：一课时 教具学具：多媒体、彩笔、三角板 教学过程 一、创设情景、导入新课 1.我们知道物理中的力、速度，位移等都是矢量，不同与路程、质量等量，他们具有什么样的共同特征？………（学生讨论作答） 2.你能举出几个具有以上特征的量吗？年龄、身高、体重、长度等具有这些特征吗？（学生思考作答） 3.在数学上，我们把具有这种特征的量称为向量，（教师在黑板上书写课题，然后大屏幕展示课题，学生阅读课本P74） 二、推进新课 1.定义：既有大小又有方向的量叫向量。例：力、速度、加速度等。 注意：1?数量与向量的区别：数量只有大小，可以比较大小；向量既有方向又 有大小，不能比较大小（强调）。 2.向量的表示方法： 1?几何表示法：有向线段——具有一定方向的线段
平面向量测试题,高考经典试题,附详细答案
平面向量高考经典试题 一、选择题 1．（全国1文理）已知向量(5,6)a =-，(6,5)b =，则a 与 b A ．垂直 B ．不垂直也不平行 C ．平行且同向 D ．平行且反向 2、（山东文5）已知向量(1)(1)n n ==-，，，a b ，若2-a b 与 b 垂直，则=a （ ） A ．1 B C ．2 D ．4 3、（广东文4理10）若向量,a b 满足||||1a b ==，,a b 的夹角为60°，则a a a b ?+?=______； 答案：3 2 ； 4、（天津理10） 设两个向量22(2,cos )a λλα=+-和(, sin ),2 m b m α=+其中,,m λα为实数.若2,a b =则m λ 的取值范围是 ( A.[6,1]- B.[4,8] C.(,1]-∞ D.[1,6]- 5、（山东理11）在直角ABC ?中，CD 是斜边AB 上的高，则下列等式不成立的是 （A ）2 AC AC AB =? （B ） 2 BC BA BC =? （C ）2AB AC CD =? （D ） 2 2 ()() AC AB BA BC CD AB ???=
6、（全国2 理5）在?ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD =2DB ， CD =CB CA λ+3 1 ,则λ= (A) 3 2 (B) 3 1 (C) - 3 1 (D) - 3 2 7、（全国2理12）设F 为抛物线y 2=4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若 FC FB FA ++=0，则|FA|+|FB|+|FC|= (A)9 (B) 6 (C) 4 (D) 3 8、（全国2文6）在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若 1 23 AD DB CD CA CB λ==+，，则λ=（ ） A ．23 B ．13 C ．1 3 - D ．2 3 - 9（全国2文9）把函数e x y =的图像按向量(2)=，0a 平移，得到()y f x =的图像，则()f x =（ ） A ．e 2x + B ．e 2x - C ．2 e x - D ．2 e x + 10、（北京理4）已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且 2OA OB OC ++=0，那么（ ） Ａ．AO OD = Ｂ．2AO OD = Ｃ．3AO OD = Ｄ．2AO OD = 11、（上海理14）在直角坐标系xOy 中，,i j 分别是与x 轴，y 轴平行的单位向量，若直角三角形ABC 中，2AB i j =+，3AC i k j =+，则k 的可能值有 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 12、（福建理4文8）对于向量，a 、b 、c 和实数，下列命题中真命题是 A 若 ，则a ＝0或b ＝0 B 若 ，则λ＝0或a ＝0 C 若＝，则a ＝b 或a ＝－b D 若 ，则b ＝c 13、（湖南理4）设，a b 是非零向量，若函数()()()f x x x =+-a b a b 的图象是一条
人教A版高中数学必修四 2.4 《平面向量的数量积》教案
§2.4平面向量的数量积 教学目的： 1.掌握平面向量的数量积及其几何意义； 2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律； 3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题； 4.掌握向量垂直的条件. 教学重点：平面向量的数量积定义 教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用 授课类型：新授课 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生 推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识.主要知识 点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5个重要性质；平面向量数量积 的运算律. 教学过程： 一、复习引入： 1． 向量共线定理 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ， 使b =λa . 2．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内 的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ11e +λ22e 3．平面向量的坐标表示 分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面 向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a += 把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a = 4．平面向量的坐标运算 若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=，),(y x a λλλ=. 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=
平面向量的概念教案(中职)
平面向量的概念 【教学目标】 知识目标： （1）了解向量、向量的相等、共线向量等概念； （2）掌握向量、向量的相等、共线向量等概念． 能力目标： 通过这些内容的学习，培养学生的运算技能与熟悉思维能力． 【教学重点】 向量的线性运算． 【教学难点】 已知两个向量，求这两个向量的差向量以及非零向量平行的充要条件． 【教学设计】 从“不同方向的力作用于小车，产生运动的效果不同”的实际问题引入概念． 向量不同于数量，数量是只有大小的量，而向量既有大小、又有方向．教材中用有向线段来直观的表示向量，有向线段的长度叫做向量的模，有向线段的方向表示向量的方向．数量可以比较大小，而向量不能比较大小，记号“a ＞b ”没有意义，而“︱a ︱＞︱b ︱”才是有意义的. 教材通过生活实例，借助于位移来引入向量的加法运算．向量的加法有三角形法则与平行四边形法则. 向量的减法是在负向量的基础上，通过向量的加法来定义的.即a -b =a +(-b )，它可以通过几何作图的方法得到，即a -b 可表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量.作向量减法时，必须将两个向量平移至同一起点. 实数λ乘以非零向量a ，是数乘运算，其结果记作λa ，它是一个向量，其方向与向量a 相同，其模为a 的λ倍．由此得到λ?=a b a b ∥．对向量共线的充要条件，要特别注意“非零向量a 、b ”与“0λ≠ ”等条件. 【教学过程】 【新知识】 在数学与物理学中，有两种量．只有大小，没有方向的量叫做数量（标量），例如质量、时间、温度、面积、密度等．既有大小，又有方向的量叫做向量（矢量），例如力、速度、位移等． 平面上带有指向的线段（有向线段）叫做平面向量，线段的指向就是向量的方向，线段的长度表示向量的大小．如图7-2所示，有向线段的起点叫做平面向量的起点，有向线段的终点叫做平面向量的终点．以A 为起点，B 为终点的向量记作AB ．也可以使用小写英文字母，印刷用黑体表示，记作a ；手写时应在字母上面加箭头，记作a ． 图7－2 a A B
(完整版)《平面向量》测试题及答案
《平面向量》测试题 一、选择题 1.若三点P （1，1），A （2，-4），B （x,-9）共线，则（ ） A.x=-1 B.x=3 C.x= 2 9 D.x=51 2.与向量a=(-5,4)平行的向量是（ ） A.（-5k,4k ） B.(-k 5,-k 4) C.(-10,2) D.(5k,4k) 3.若点P 分所成的比为4 3 ，则A 分所成的比是（ ） A.73 B. 37 C.- 37 D.-7 3 4.已知向量a 、b ，a ·b=-40，|a|=10,|b|=8，则向量a 与b 的夹角为（ ） A.60° B.-60° C.120° D.-120° 5.若|a-b|=32041-,|a|=4,|b|=5，则向量a ·b=（ ） A.103 B.-103 C.102 D.10 6．(浙江)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( ) A.? ????79，73 B.? ????－73，－79 C.? ????73，79 D.? ????－7 9 ，－73 7.已知向量a=(3,4),b=(2,-1)，如果向量（a+x ）·b 与b 垂直，则x 的值为（ ） A. 3 23 B. 23 3 C.2 D.- 5 2 8.设点P 分有向线段21P P 的比是λ，且点P 在有向线段21P P 的延长线上，则λ的取值范围是（ ） A.(-∞,-1) B.(-1,0) C.(-∞,0) D.(-∞,- 2 1 ) 9.设四边形ABCD 中，有DC = 2 1 ，且||=|BC |，则这个四边形是（ ） A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形 10.将y=x+2的图像C 按a=(6,-2)平移后得C ′的解析式为（ ） A.y=x+10 B.y=x-6 C.y=x+6 D.y=x-10 11.将函数y=x 2+4x+5的图像按向量a 经过一次平移后，得到y=x 2 的图像，则a 等于（ ） A.(2,-1) B.(-2,1) C.(-2,-1) D.(2,1) 12.已知平行四边形的3个顶点为A(a,b),B(-b,a),C(0,0)，则它的第4个顶点D 的坐标是（ ） A.(2a,b) B.(a-b,a+b) C.(a+b,b-a) D.(a-b,b-a) 二、填空题 13.设向量a=(2,-1)，向量b 与a 共线且b 与a 同向，b 的模为25，则b= 。 14.已知：|a|=2,|b|=2,a 与b 的夹角为45°，要使λb-a 垂直，则λ= 。 15.已知|a|=3,|b|=5，如果a ∥b ，则a ·b= 。 16.在菱形ABCD 中，（AB +AD ）·（AB -AD ）= 。
人教版高中数学全套教案导学案241平面向量的数量积的物理背景及其含义教学案
2. 4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义 一、教材分析 本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识.主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5个重要性质；平面向量数量积的运算律. 二．教学目标 1．了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义； 2．体会平面向量的数量积与向量投影的关系，理解掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算； 3．体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。 三、教学重点难点 重点： 1、平面向量数量积的含义与物理意义，2、性质与运算律及其应用。 难点：平面向量数量积的概念 四、学情分析 我们的学生属于平行分班，没有实验班，学生已有的知识和实验水平有差距。有些学生对于基本概念不清楚，所以讲解时需要详细 五、教学方法 1．实验法：多媒体、实物投影仪。 2．学案导学：见后面的学案。 3．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习 六、课前准备 1．学生的学习准备：预习学案。 2．教师的教学准备：多媒体课件制作，课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。。 七、课时安排：1课时 八、教学过程 (一)预习检查、总结疑惑 检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。 （二）情景导入、展示目标。 创设问题情景，引出新课 1、提出问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？期望学生回答：向量的加法、减法及数乘运算。 2、提出问题2：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？ 期望学生回答：物理模型→概念→性质→运算律→应用 、新课引入：本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算：平面向3．量数量积的物理背景及其含义（三）合作探究，精讲点拨探究一：数量积的概念：1、给出有关材料并提出问题3 F
中职数学平面向量教案
复习引入： 新授： 1. 向量的概念 把既有大小、又有方向的量，叫做向量．记为向量a ,b ,c ,...等，在书写时，则在小写西文字 符的上方加一个小箭头，例如a ,b ,c ,...等． 如果向量的方向限于平面内，则叫做平面向量． 向量的大小是一个非负数量，叫做向量的模．记为|a |,|b |,|c |,...或|a |,|b |,|c |,...． 特别地，若一个向量的模为单位1，则叫做单位向量，单位向量常记作e ．若一个向量的模为0，则叫做零向量，零向量总是记作0．零向量的长度为0，且规定零向量0的方向是可以任意确定的． 为了更直观的反映确定向量的大小、方向，我们又把向量 表示成如图7-2(1)上所示的带箭头的短线段，箭头的方向表示 了它所表示的向量的方向，而线段的长度则是它所表示的向量 的模(即大小)．有时，为了突出短线段的起终点，会以字符标 出起终点(见图7-2(2))，此时可以以AB ,CD ,11C B 等表 示向量，而向量的模，也就对应地表示为|AB |,|CD |,|11C B |． 由于我们所研究的向量只含有大小、方向两个要素，因此，即使当我们用带箭头的短线段表示向量时，与带箭头的短线段的起终点是没有关系的．为了突出这一点，有时又把向量记作自由向量． 例1 设矩形ABCD 的边长为2和3，其所有的边及对角线，能构成多少向量？这些向量的模是多少？ 课内练习1 1. 一个正六边形的所有边及中心到各顶点的连线，能构成多少向量？试写出全部所构成的向量；若正六边形的边长为1，求全部向量的模，并判断哪些向量是单位向量？ c a 图7-2(1) b D C 图7-2(2) B A B 1 C 1
高中数学必修4第二章平面向量教案完整版
§ 平面向量的实际背景及基本概念 1、数量与向量的区别： 数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小. 2.向量的表示方法： ①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：； ④向量的大小――长度称为向量的模，记作||. 3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度. 向量与有向线段的区别： （1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量； （2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段. 4、零向量、单位向量概念： ①长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的. 注意0与0的含义与书写区别. ②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量. 说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小. 5、平行向量定义： ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行. 说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ. 6、相等向量定义： 长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等； （3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段．．．．． 的起点无关．．．．． . 7、共线向量与平行向量关系： 平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的．．．．．．起点无关）．．．．． . 说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. A(起点) B （终点） a
(完整版)平面向量单元测试题
2016-2017第二学期第七章单元测试题 班级__________ 座位_________ 姓名_________ 成绩_____________ 一、选择题(每题3分,共30分) 1.下列说法错误的是（ ） A. 零向量与任一非零向量平行 B. 零向量与单位向量的模不相等 C. 平行向量方向相同 D. 平行向量一定是共线向量 2.下列四式不能化简为AD ????? 的是（ ） A.( AB ????? +CD ????? )+ BC ????? B.( AD ????? +MB ?????? )+( BC ????? +CM ?????? ) C. MB ?????? +AD ????? -BM ?????? D. OC ????? -OA ????? +CD ????? 3．已知a ? =（3，4），b ? =（5，12），a ? 与b ? 则夹角的余弦为（ ） A. 65 63 B.65 C. 513 D. 13 4.已知a ? 、b ? 均为单位向量,它们的夹角为60°,那么∣a ? +3b ? ∣=( ) A. 7 B. 10 C. 13 D.4 5.点P （-2,6）关于点M(1，2)的对称点C 的坐标为（ ） A.(0，-2 ) B.(0，10) C.(4，-2) D.(-4，2) 6.设a ? ，b ? 为不共线向量，AB ????? =a ? +2b ? , BC ????? =-4a ? -b ? , CD ????? =-5a ? -3b ? ,则下列关系式中正确的是（ ） A. AD ????? =BC ????? B. AD ????? =2BC ????? C. AD ????? =?BC ????? D. AD ????? =?2BC ????? 7.与向量a=（-5,4）平行的向量是（ ） A.(-5K,4K) B.( k 5-，k 4 -) C.(-10，2) D.(5K,4K) 8. 线段AB 的中点为C ，若AB u u u r =BC l u u u r ，则l =（ ） A 2、 B -2、 C 2或-2、 D -2或 12 、 9.与向量（2,3）垂直的向量是（ ） A.(-2，3 ) B.(-2，-3) C.(-3，2 ) D.(2，-3) 10.已知点M （3.-3），N （8，y ），且∣MN ?????? ∣=13，则y 的值为（ ）
平面向量的内积教案知识讲解
平面向量的内积教案
平面向量的内积 【教学目标】 知识目标： （1）了解平面向量内积的概念及其几何意义. （2）了解平面向量内积的计算公式.为利用向量的内积研究有关问题奠定基础. 能力目标： 通过实例引出向量内积的定义,培养学生观察和归纳的能力． 【教学重点】 平面向量数量积的概念及计算公式. 【教学难点】 数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角． 【教学设计】 教材从某人拉小车做功出发，引入两个向量内积的概念．需要强调力与位移都是向量，而功是数量．因此，向量的内积又叫做数量积． 在讲述向量内积时要注意： （1）向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量的夹角余弦的乘积.其符号是由夹角决定； （2）向量数量积的正确书写方法是用实心圆点连接两个向量. 教材中利用定义得到内积的性质后面的学习中会经常遇到，其中： （1）当＝0时，a ·b ＝|a ||b |；当＝180时，a ·b ＝－|a ||b |．可以记忆为：两个共线向量，方向相同时内积为这两个向量模的积；方向相反时内积为这两个向量模的积的相反数． （2）|a |算向量模的公式的基础； （3）cos＝ |||| ?a b a b ，是得到利用两个向量的坐标计算两个向量所成角的公式的基础； （4）“a ·b ＝0?a ⊥b ”经常用来研究向量垂直问题，是推出两个向量内积坐标表示的重要基础．
【教学备品】 教学课件． 【课时安排】 2课时．(80分钟) 【教学过程】 *揭示课题 7.3 平面向量的内积 *创设情境 兴趣导入 如图7－21所示，水平地面上有一辆车，某人用100 N 的力，朝着与水平线成?30角的方向拉小车，使小车前进了100 m ．那么，这个人做了多少功？ 动脑思考 探索新知 【新知识】 我们知道，这个人做功等于力与在力的方向上移动的距离的乘积．如图7－22所示，设水平方向的单位向量为i ，垂直方向的单位向量为j ，则 F =x i + y j sin 30cos30F i F j =?+?， 即力F 是水平方向的力与垂直方向的力的和，垂直方向上没有产生位移，没有做功，水平方向上产生的位移为s ，即 W ＝｜F ｜cos ?30·｜s ｜＝100×2 3·10＝5003 （J ） 图7—21
中职数学平面向量教案
x x 职业技术教育中心教案
复习引入： 新授： 1. 向量的概念 把既有大小、又有方向的量，叫做向量．记为向量a ,b ,c ,...等，在书写时，则在小写西文字 符的上方加一个小箭头，例如a ,b ,c ,...等． 如果向量的方向限于平面内，则叫做平面向量． 向量的大小是一个非负数量，叫做向量的模．记为|a |,|b |,|c |,...或|a |,|b |,|c |,...． 特别地，若一个向量的模为单位1，则叫做单位向量，单位向量常记作e ．若一个向量的模为0，则叫做零向量，零向量总是记作0．零向量的长度为0，且规定零向量0的方向是可以任意确定的． 为了更直观的反映确定向量的大小、方向，我们又把向量 表示成如图9-2(1)上所示的带箭头的短线段，箭头的方向表示 了它所表示的向量的方向，而线段的长度则是它所表示的向量 的模(即大小)．有时，为了突出短线段的起终点，会以字符标 出起终点(见图9-2(1))，此时可以以AB ,CD ,11C B 等表 示向量，而向量的模，也就对应地表示为|AB |,|CD |,|11C B |． 由于我们所研究的向量只含有大小、方向两个要素，因此，即使当我们用带箭头的短线段表 示向量时，与带箭头的短线段的起终点是没有关系的．为了突出这一点，有时又把向量记作自由向量． 例1 设矩形ABCD 的边长为2和3，其所有的边及对角线，能构成多少向量？这些向量的模是多少？ 课内练习1 1. 一个正六边形的所有边及中心到各顶点的连线，能构成多少向量？试写出全部所构成的向量；若正六边形的边长为1，求全部向量的模，并判断哪些向量是单位向量？ 2. 向量的比较 (1)向量相等 任意两个数量a ,b 都可以比较，其关系不外乎相等(a =b )或不相等(a ≠b )两种，只要根据两个数的大小就可以下结论．因为向量不但有大小，而且有方向，所以比较两个向量a ,b 的相等与否，不但要比较它们的大小，还要比较它们的方向．当且仅当a ,b 的大小相等、方向相同时，才能说a ,b 相等，并表示成a =b ；否则a , b 就不相等(a ≠b )．在例1中的相等向量有且仅有 AB =DC , BA =CD , BC =AD , CB =DA ， 更仔细地说，不相等的两个数量还可以有大于、小于的关系，那么向量之间是否也能有大于、小于关系呢？因为大小、方向的整体组成向量，方向是不能比较大小的，因此向量本身之间也不能比较大小，即两个向量不能谈及孰大孰小．当然，向量的模是数量，因此向量的模是可以比较大小的．即使两个向量a ,b 有相同的方向，且|a |>|b |，我们仍然只能说向量a 的模大于向量b 的模，而不能说向量a 大于向量b ． c a 图7-2(1) b D C 图7-2(2) B A B 1 C 1