等幂轴及其应用
矩阵n次方的几种求法的归纳
矩阵n 次方的几种求法 1.利用定义法 () () ,,ij kj s n n m A a B b ??==则() ,ij s m C c ?=其1122...ij i j i j in nj c a b a b a b =+++ 1 n ik kj k a b ==∑称为A 与B 的乘积，记为C=AB ，则由定义可以看出矩阵A 与B 的乘积C 的第i 行第j 列的元素等于第一个矩阵A 的第i 行与第二个矩阵B 的第j 列的对应元素乘积之和，且由定义知：第一个矩阵的列数与第二个矩阵的行数要相[]1 同。 例1:已知矩阵34 125310210134A ??? ?=- ? ???，44 5 130621034510200B ??? ? ? = ? ? ??，求AB 解：设C AB ==() 34 ij c ?，其中1,2,3i =；1,2,3,4j = 由矩阵乘积的定义知： 111526533032c =?+?+?+?=121122543231c =?+?+?+?= 131321553030 c =?+?+?+?=14102051305 c =?+?+?+?= 21150623101c =-?+?+?+?= 22110224129c =-?+?+?+?= 23130125107c =-?+?+?+?= 24100021102c =-?+?+?+?= 310516334015c =?+?+?+?= 320112344222c =?+?+?+?= 330311354016c =?+?+?+?= 34001031403c =?+?+?+?= 将这些值代入矩阵C 中得：
C AB ==34 323130519721522163??? ? ? ??? 则矩阵A 的n 次方也可利用定义的方法来求解。 2.利用矩阵的分块来求解 这类方法主要是把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成，就如矩阵 由数组成的一样在运算中将这些小矩阵当做数一样来处理，再由矩阵乘法的定义来求解这些小矩阵的乘积所构成的矩阵。即设 () () ,,ij kj s n n m A a B b ??==把A ，B 分解成一些小矩阵： 1111l t tl A A A A A ?? ?= ? ???K M O M L ，1111 r l lr B B B B B ?? ? = ? ??? K M O M L ，其中ij A 是i j s n ?小矩阵且1,2...i t =，1,2...j l =，且12...t s s s s +++= ，12...l n n n n +++=；ij B 是j k n m ?小矩阵且1,2...j l =，1,2...k r =；且12...l n n n n +++=， 12...r m m m m +++=；令C AB ==1111r t tr C C C C ?? ? ? ??? K M O M L ，其中ij C 是i j s m ?小矩阵且1,2...i t =，1,2,...,j r =，且12...t s s s s +++=， 12...r m m m m +++=；其中1122...ij i j i j il lj C A B A B A B =+++。这里我们应注意：矩阵A 列的分法必须与矩阵B 行的分法一[]1 致。
幂函数在生活中的应用(教学知识)
幂函数在生活中的应用 例1：按复利计算利率的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y随存期x变化的函数。如果存入本金1000元，每期利率为2.25％，试计算5期后的本利和是多少？（精确到0.01元） 解析：复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起做本金，再计算下一期的利息。 已知本金是a元，一期后的本利和为； 二期后的本利和为； 三期后的本利和为； …… x期后的本利和为。 将a＝1000元，r＝2.25％，x＝5代入上式得： （计算器算出） 答：复利函数式为，5期后得本利和为1117.68元。 点评：在实际问题中，常常遇到有关平均增长率的问题，如果原产值为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值或总产量y，就可以用公式表示，解决平均增长率问题，就需要用这个函数式。 例2：设在海拔x m处的大气压强是y Pa，y与x之间的函数关系是，其中c, k是常数，测得某地某天海平面的大气压强为1.01×105 Pa，1000 m高空的大气压强为0.90×105 Pa，求600 m 高空的大气压强？（保留3个有效数字）解析：由题意，得：，由①得：c ＝ 1.01×105，代入②，得： ，利用计算器得；1000k＝－0.115，所以k＝－1.15×10－4， 从而函数关系是。再将x＝600代入上述函数式得，利用计算器得：y≈9.42×104
答：在600 m高空得大气压强约为9.42×104 Pa。 点评：本题主要考察求函数解析式，再由解析式求函数值，某些计算必须借助计算器才能完成。 例3：20世纪30年代，查尔斯·里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大。这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为：，其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中距离造成的偏差）。 （1）假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震级（精确到0.1） （2）5级地震给人的震感已比较明显，计算7.6级地震最大振幅是5级地震最大振幅的多少倍（精确到1）？ 解析：（1） 因此，这是一次约为里氏4.3级的地震。 （2）由可得 当M＝7.6时，地震的最大振幅为A1＝A0·107。6； 当M＝5时，地震的最大振幅为A2＝A0·105。 所以，两次地震的最大振幅之比是 故7.6级地震最大振幅约是5级地震最大振幅的398倍。 点评：正确理解题意是本题的关键，对对数运算技巧的掌握是解决本题的基本保证。
幂函数及函数应用(习题)
1 幂函数及函数应用（习题） 1. 下列函数属于幂函数的是（ ） A ．3y x =- B ．3y x -= C ．32y x = D ．31y x =- 2. 幂函数m y x =与n y x =在第一象限内的图象如图所示，则（ ） 3. A ．p ，q 均为奇数，且 0p q > B ．p 是奇数，q 是偶数，且0p q < C ．p 是偶数，q 是奇数，且0p q > D ．p 是偶数，q 是奇数，且 0p q < 4. 已知幂函数()y f x =的图象过点1(22 ，，则2log (2)f 的值为（ ） A ．12 B ．12- C ．2 D ．-2 5. 下列不等式在0a b <<的条件下不成立的是（ ） A ．22 b a < B ．1133 a b < C ．223 3 a b - - > D ．11a b --> 6. 若幂函数35()m f x x m -=∈N （）在(0，+∞)上是减函数，且满足()()f x f x -=， 则m 的值可能为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 7. 函数3()32f x x x =-+的零点为（ ） A ．1，2 B ．±1，-2 C ．1，-2 D ．±1，2
2 8. 已知函数2()2x f x x -=+，那么方程()3f x =的实数解的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 10. 设()lg 3f x x x =+-，用二分法求方程lg 30x x +-=在(2，3)内近似解的过程 中得f (2.25)<0，f (2.75)>0，f (2.5)<0，f (3)>0，则方程的根落在区间（ ） A ．(2，2.25) B ．(2.25，2.5) C ．(2.5，2.75) D ．(2.75，3) 12. （1）函数2 y x - =的定义域为______________． （2）函数y =_______________． 13. 已知函数021 ()0x x f x x -?-?=>≤（）（） ，则((2))f f -=_________． 14. 如图，点2)在幂函数()f x 的图象上，点1 (2)4 -，在幂函数g 上，若()()f x g x =，则x 的值为___________． y
赏析幂函数的图象特征及应用
一、幂函数图像的分布规律 幂函数图像的分布规律可用“一全有、二一偶、三一奇、四全无”来说明。 1.“一全有”：指所有幂函数的图像在第一象限都出现， 分布情况如图1所示，其特点如下：①抓住三条特征 线：直线x=1，y=x ，y=1把幂函数的图像分为三个区 域，这三个区域对应着幂函数y=x α在α<0,0<α<1, α>1时的图像；②第一象限内幂函数y=x α图像的区 域分布情况为：在直线x=1的右边，α越大，图像越高，越趋向于直线x=1；在直线x=1的右边，α越小，其图像越低，越趋向于x 轴。 2.“二一偶”：指当幂函数为偶函数时，其图像关于y 轴对称，即幂函数的图像出现在第一、第二象限。 3.“三一奇”：指当幂函数为奇函数时，其图像关于原点对称，即幂函数的图像出现在第一、第三象限。 4.“四必无”：指由定义，知幂函数的图像不可能出现在第四象限。 二、幂函数图像的应用 1.识别图像 例1.图2中 的曲线是幂函数y=x α在第一象限的图像，已知α取±2，±12四个值，则其相应于曲线C 1,C 2,C 3,C 4的α依次为（ ） A.-2，-12，12，2 B.2，12，-12，-2 C.- 12，-2，2，12 D.2，12，-2，-12 解：根据幂函数的图像特点，立即可以断定相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的α值排序是由大到小，故选B 。 2.用于判断方程的个数 例2.方程x 2=2x 的根的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.
解：令f（x）=x2，g（x）=2x，在同一坐标平面内作出这两个函数的图象，如图三所示，由图可知，交点有三个，所以方程x2=2x的根的个数为3，故选C。
函数的应用(含幂函数)提高训练C组
函数的应用（含幂函数）提高训练C组一、选择题 1函数（） A是奇函数，且在上是单调增函数 B是奇函数，且在上是单调减函数 C是偶函数，且在上是单调增函数 D是偶函数，且在上是单调减函数 2已知，则的大小关系是（） A B C D 3函数的实数解落在的区间是( ) A B C D 4在这三个函数中，当时， 使恒成立的函数的个数是（） A个B个C个D个 5若函数唯一的一个零点同时在区间、、、内，那么下列命题中正确的是（） A函数在区间内有零点 B函数在区间或内有零点 C函数在区间内无零点 D函数在区间内无零点
6求零点的个数为（） A B C D 7若方程在区间上有一根，则的值为（） A B C D 二、填空题 1函数对一切实数都满足，并且方程有三个实根，则这三个实根的和为 2若函数的零点个数为，则______ 3一个高中研究性学习小组对本地区年至年快餐公司发展情况进行了调查，制成了该地区快餐公司个数情况的条形图和快餐公司盒饭年销售量的平均数情况条形图（如图），根据图中提供的信息可以得出这三年中该地区每年平均销售盒饭万盒 4函数与函数在区间上增长较快的一个是 5若，则的取值范围是____________ 三、解答题 1已知且，求函数的最大值和最小值 2建造一个容积为立方米，深为米的无盖长方体蓄水池，池壁的造价为每平方米元，池底的造价为每平方米元，把总造价（元）表示为底面一边长（米）的函数 3已知且，求使方程有解时的的取值范围
（数学1必修）第三章函数的应用[提高训练C组]参考答案 一、选择题 1A为奇函数且为增函数 2C 3B 4B作出图象，图象分三种：直线型，例如一次函数的图象：向上弯曲型，例如指数函数的图象；向下弯曲型，例如对数函数的图象；5C唯一的一个零点必然在区间 6 A 令，得，就一个实数根 7 C 容易验证区间 二、填空题 1对称轴为，可见是一个实根，另两个根关于对称 2作出函数与函数的图象,发现它们恰有个交点 32000年：（万）；2001年：（万）； 2002年：（万）；(万) 4幂函数的增长比对数函数快 5在同一坐标系中画出函数与的图象，可以观察得出 三、解答题 1．解：由得，即
幂函数的运算及应用题
黄岩中学 2006学年第一学期 高一第一次过关测试题 数 学（实验班） （命题人：王建华 鲍德法 时间：2006/10） 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合要求的. 1.集合{ }3,2,1的真子集个数是 ( ) A.5个 B.6个 C.7个 D.8个 2. 函数3 1 -= x y 的定义域是 （ ） A.[)+∞,3 B. [)+∞,0 C.()()+∞∞-,3(3,Y D. ()+∞,3 3.下列函数中，在区间()2,0上是增函数的是 （ ） A ．x y = B ．1+-=x y C ．542+-=x x y D ．x y 2 = 4．已知幂函数)(x f 的图象经过点??? ? ??22, 2，则)4(f 的值为 （ ） A ．16 B ． 161 C ．2 1 D ．2 5.如果函数2 ()2(1)2f x x a x =+-+在区间(,4]-∞上是减函数,则实数a 的取值范围是 （ ） A.3a ≥- B ．3a ≤- C ．5a ≤ D ．3a ≥ 6.设2log 3t =,那么3log 4= ( ) A ．1 t B ．2t C. 232t D ．223 t 7.0.7 0.8 a =, 0.9 0.8b =,0.8 1.2 c =的大小关系是 ( ) A.a b c >> B. c a b >>
C.b c a >> D. b a c >> 8.若函数()log a f x x = (01a <<)在区间[],2a a 上的最大值是最小值的3倍,则a = ( ) A. 4 B. 2 C. 12 D. 14 9．函数2 ()lg( 1)1f x x =-+的图像 ( ) A.关于x 轴对称 B.关于y 轴对称 C.关于原点对称 D.关于直线y x =对称 10．若1,10-<<- 12.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函 数为“同族函数”，那么函数解析式为2x y -=，值域为{-1，-9}的“同族 函数”共有 ( ) A ．7个 B ．8个 C ．9个 D ．10个 二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分，把答案填在题中横线上. 13.已知函数5(6) ()(2)(6) x x f x f x x -≥?=?+=-a a x a a x 的解的个数是 . 16.已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数,当0x ≥时,2 ()2f x x x =-,则当0x <时的表达式为()f x = .
函数的应用(含幂函数)基础训练A组
函数的应用（含幂函数）基础训练A组 一、选择题 1若 上述函数是幂函数的个数是（） A个B个C个D个 2已知唯一的零点在区间、、内，那么下面命题错误的（） A函数在或内有零点 B函数在内无零点 C函数在内有零点 D函数在内不一定有零点 3若，，则与的关系是（） A B C D 4求函数零点的个数为（） A B C D 5已知函数有反函数，则方程（） A有且仅有一个根B至多有一个根 C至少有一个根 D以上结论都不对 6如果二次函数有两个不同的零点，则的取值范围是（） A B C D 7某林场计划第一年造林亩，以后每年比前一年多造林，则第四年造林（）
A亩B亩C亩D亩 二、填空题 1若函数既是幂函数又是反比例函数,则这个函数是= 2幂函数的图象过点，则的解析式是_____________ 3用“二分法”求方程在区间内的实根，取区间中点为，那么下一个有根的区间是 4函数的零点个数为 5设函数的图象在上连续，若满足，方程 在上有实根 三、解答题 1用定义证明：函数在上是增函数 2设与分别是实系数方程和的一个根，且 ，求证：方程有仅有一根介于和之间3函数在区间上有最大值，求实数的值 4某商品进货单价为元，若销售价为元，可卖出个，如果销售单价每涨元，销售量就减少个，为了获得最大利润，则此商品的最佳售价应为多少？ 数学1（必修）第三章函数的应用[基础训练A组]参考答案 一、选择题 1C是幂函数 2C唯一的零点必须在区间，而不在 3A，
4C ，显然有两个实数根，共三个； 5B可以有一个实数根，例如，也可以没有实数根，例如 6D或 7C 二、填空题 1设则 2， 3令 4分别作出的图象； 5见课本的定理内容 三、解答题 1证明：设 即， ∴函数在上是增函数 2解：令由题意可知
幂函数的图像性质和应用
幂函数 分数指数幂 正分数指数幂的意义是：m n a =0a >，m 、n N ∈，且1n >） 负分数指数幂的意义是：m n a -= （0a >，m 、n N ∈，且1n >） 1、 幂函数的图像与性质 幂函数n y x =随着n 的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分类记忆的方法．熟练掌握n y x =，当11 2,1,,,323 n =±±±的图像和性质，列表如下． 从中可以归纳出以下结论： ① 它们都过点()1,1，除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函数图像都不过第四象限． ② 11 ,,1,2,332a = 时，幂函数图像过原点且在[)0,+∞上是增函数． ③ 1 ,1,22a =---时，幂函数图像不过原点且在()0,+∞上是减函数． ④ 任何两个幂函数最多有三个公共点．
0n < 幂函数基本性质 （1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）； （2）α＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数 （3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数. 规律总结 1．在研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为根式形式，负整指数幂化为分式形式再去进行讨论； 2．对于幂函数y ＝αx ，我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象的位置，即所在象限，其次确定曲线的类型，即α＜0，0＜α＜1和α＞1三种情况下曲线的基本形状，还要注意α＝0，±1三个曲线的形状；对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆：“正抛负双，大竖小横”，即α＞0（α≠1）时图象是抛物线型；α＜0时图象是双曲线型；α＞1时图象是竖直抛物线型；0＜α＜1时图象是横卧抛物线型． O x y O x y O x y
N阶矩阵高次幂的求法及应用
本科毕业论文 分类号 学号 密 级 题 目 （中、英文） N 阶矩阵m 次方幂的求法及应用 Solution and Application of m-order of n n Martix 作者姓名 指导教师 学科门类 提交论文日期 专业名称 学校代码 成绩评定
矩阵是许多实际问题中抽象出来的一个概念，它是高等代数的一个重要组成部分，它几乎贯穿于高等代数的各个章节，在自然学科各分支及经济管理等领域有着广泛的应用.正因为它广泛的应用又是解决众多问题的有力工具，所以，学习并掌握好矩阵的运算以及它们的运算规律和方法是我们学好矩阵知识的一个非常重要的环节.对于矩阵方幂的运算，它是以矩阵的乘法运算为基础；然而，矩阵的幂运算是比较复杂同时也是特别麻烦的，所以寻找简单的运算方法就成了计算矩阵高次幂方面的重要环节，为此很多学者都花了很大的精力去探讨研究，本文将在他们的研究基础上，应用实例通过数学归纳法，乘法结合律的方法，二项式展开式的方法，分块对角矩阵的方法，Jordan标准形法，最小多项式的方法和特殊矩阵法等多种方法来求解方阵的高次幂，进而为n阶矩阵的幂运算来提供一个参考. 关键词:数学归纳法;二项展开式;矩阵的幂;相似矩阵.
Matrix is a concept many practical problems in the abstract, it is an important part of the linear algebra, it is almost throughout the various sections of linear algebra, in the field of natural sciences and economic management of the branch has a wide range of applications. Just because it wide range of applications and is a powerful tool for solving many problems, so learn and master the operation and their method of operation rules and good matrix is a matrix of knowledge we learn a very important part. For matrix power calculations, it is Matrix multiplication is based; however, the matrix exponential operation is more complex but also particularly troublesome, so look for a simple calculation method has become an important part of computing power matrix high regard, for many scholars have spent a lot of research effort to investigate, the paper will be on the basis of their research, application examples by mathematical induction, multiplication associative approach, binomial expansion method, the method block diagonal matrix, standard form method, minimal polynomial a variety of methods and special methods to solve the matrix method phalanx of high-power, and thus the power to order matrix operations to provide a reference. Keywords：Mathematical induction; power matrix;; binomial expansion similar matrix .
人教版数学高一-人教数学A版必修一第三章《函数的应用(含幂函数)》提高训练(含详细解析)
数学1（必修）第三章 函数的应用（含幂函数） [提高训练C 组] 一、选择题 1 函数3y x =（ ） A 是奇函数，且在R 上是单调增函数 B 是奇函数，且在R 上是单调减函数 C 是偶函数，且在R 上是单调增函数 D 是偶函数，且在R 上是单调减函数 2 已知0.1 1.32log 0.3,2,0.2a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ） A a b c << B c a b << C a c b << D b c a << 3 函数5()3f x x x =+-的实数解落在的区间是( ) A [0,1] B [1,2] C [2,3] D [3,4] 4 在,,log ,22 2x y x y y x ===这三个函数中，当1021<<
考研数学之方阵幂的计算方法
Born To Win 考研数学之方阵幂的计算方法 考研数学中线性代数部分的分数占了整体的百分之二十二，是整个考研数学不可缺少的部分，其章节内容与高等数学和概率统计没有太多联系，其知识点具有细致性和整体性，前后章节联系比较密切。 线性代数中的矩阵部分是整个线代非常重要的部分，也是要求我们同学要掌握透彻的一个部分，而其中关于方阵幂的问题是跨考教育老师上课时所重点强调的，方阵幂的计算是要求我们要掌握的。在授课过程中，每位教授这门课的老师都会跟同学们来总结有关方阵幂的计算，也都分了情况给大家展示了其各种类型的计算方法。 首先对于矩阵行或者列均成比例的矩阵，这种类型的矩阵可以写成一列乘以一行的形式，列是矩阵各列的最简公约数，行也是此矩阵各行的最简公约数。其n次幂的求法，我们也总结过，也给大家推到过。 其次是特殊的上（下）三角n次幂的运算问题，我们也总结了，把其分解成单位矩阵和特殊上（下）三角来处理的，并且运用了二项式展开的知识。 然后就是利用相似对角化的知识来求n次幂的运算问题，像刚刚过去的2016年考研中数一、数二、数三都出现了一道关于幂运算的题，要我们求矩阵A的99次幂等于多少。这种题目主要是先求出矩阵的特征值再求出其对应的特征向量，利用相似对角化来求这一题。当然这种题目要求我们同学一定要仔细，不要出现计算上到错误。 最后还有关于带有两个零的拉普拉斯问题，这种分块矩阵，有时也会有相关题目出现。 方阵幂的计算问题希望同学们在接下来的学习过程中认真对待，对于这种类型的题目要融会贯通，不同类型的幂的计算问题对应于相应的方法来解决。 整个考研数学中线性代数部分算是相对较简单的一个科目，因此，对于线性代数这一部分的希望同学们尽量不要失分。
幂函数及函数应用(讲义)
幂函数及函数应用（讲义） ? 知识点睛 一、幂函数 1. 定义：一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 2. 函数图象及图象性质 （1）在同一平面直角坐标系内作出幂函数y =x ，y =x 2，y =x 3 ，12 y x =，1y x -=的图象： （2）图象性质 （3）幂函数图象的画法 第一步：根据单调性判断函数y x α=的图象变化趋势． ①当1α>时，函数y x α=在第一象限内的图象呈快速上升趋势，比如y =x 2； ②当01α<<时，函数y x α=在第一象限内的图象呈缓慢上升趋势，比如 1 2 y x =； ③当0α<时，函数y x α=在第一象限内的图象呈下降趋势，比如1y x -=． 第二步：根据函数的奇偶性判断图象整体分布情况．
① 当m n α= （m ，n ∈N *，且互质）时： 若m ，n 均为奇数，则函数y x α=是奇函数，其图象关于原点对称； 若m 为偶数，n 为奇数，则函数y x α=是偶函数，其图象关于y 轴对称； 若m 为奇数，n 为偶数，则函数y x α=是非奇非偶函数，只在第一象限内有图象． ② 当m n α=- （m ，n ∈N *，且互质）时： 若m ，n 均为奇数，则函数y x α=是奇函数，其图象关于原点对称； 若m 为偶数，n 为奇数，则函数y x α=是偶函数，其图象关于y 轴对称； 若m 为奇数，n 为偶数，则函数y x α=是非奇非偶函数，只在第一象限内有图象． 3. 幂函数指数变化与图象分布规律 函数y x α=在第一象限的图象： ①a y x =；②b y x =；③c y x =；④d y x =；⑤e y x =；⑥f y x =， 则有a 高中数学幂函数公式的应用总结
高中数学幂函数公式的应用总结 幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在 第二、三象限内，要看函数的奇偶性;幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内;如果 幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点. 1高中函数公式的变量：因变量，自变量。 在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴上的点自变量，用竖直方向 的数轴上的点表示因变量。 2一次函数：①若两个变量,间的关系式可以表示成为常数，不等于0的形式，则称是的一次函数。②当=0时，称是的正比例函数。 3高中函数的一次函数的图象及性质 ①把一个函数的自变量与对应的因变量的值分别作为点的横坐标与纵坐标，在直角坐 标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。 ②正比例函数=的图象是经过原点的一条直线。 ③在一次函数中，当0，O，则经2、3、4象限;当0，0时，则经1、2、4象限;当0，0时，则经1、3、4象限;当0，0时，则经1、2、3象限。 ④当0时，的值随值的增大而增大，当0时，的值随值的增大而减少。 4高中函数的二次函数： ①一般式：，对称轴是 顶点是; ②顶点式：，对称轴是顶点是; ③交点式：，其中，是抛物线与x轴的交点 5高中函数的二次函数的性质 ①函数的图象关于直线对称。 ②时，在对称轴左侧，值随值的增大而减少;在对称轴右侧;的值随值的增大而增大。 当时，取得最小值 ③时，在对称轴左侧，值随值的增大而增大;在对称轴右侧;的值随值的增大而减少。 当时，取得最大值
高中函数的图形的对称 1轴对称图形：①如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。②轴对称图形上关于对称轴对称的两点确定的线段被对称轴垂直平分。 2中心对称图形：①在平面内，一个图形绕某个点旋转180度，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做他的对称中心。②中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。 感谢您的阅读，祝您生活愉快。
探求方阵的幂的计算方法
摘 要 方阵是一类最特殊的矩阵，是高等数学中的重要部分，其应用也是多方面的，不在数学领域里,而且在力学、物理、科技等方面都十分广泛的应用. 比如数字图像处理、计算机图形学、计算几何学、人工智能、网络通信、以及一般的算法设计和分析等。在 《 线性代数》中， 常涉及阶方阵的幂的计算问题， 用定义计算方阵的幂十分繁杂，在分析一般矩阵乘法运算对计算方阵高次幂运算局限性基础上，结合实例介绍了数学归纳法，二项式展开法，矩阵分解法，对角矩阵相似法，Hamiltoncayley 定理法等几种方阵的幂的求解方法。而且的方阵的高次幂求解方法也进行了探索。 关键词：线性代数；方阵的幂；矩阵；高次幂；方法 方阵的幂的一般计算方法 数学归纳法 数学归纳法是数学中的一种重要的证明方法，常用来证明自然数n 有关的命题，求M A 时,首先计算A 的低次方幂，把结 论猜想出来，然后用归纳法证明猜想成立。 例 1 已知1 111A ?? ? ??? =，求M A 解：2 A =1111?? ? ?? ? 1111?? ? ???=2222?? ? ???，3A =2222?? ? ??? 1111?? ? ???==22222222?? ? ??? 猜想M A =1 1112222m m m m ----?? ? ?? ? ，事实上，当m=1，2， 时，结论成立。设当m=k-1时结论成立，即1k A -=2 22 22222k k k k ----?? ? ?? ? k A =1 k A -A =222 22222k k k k ----?? ? ???=11112222k k k k ----?? ? ??? 故由归纳法可知，对任意指数m 有M A =1 1112222m m m m ----?? ? ??? 。 二项式展开法
幂函数及函数综合(人教A版)(含答案)
幂函数及函数综合（人教A版） 一、单选题(共14道，每道7分) 1.下列函数是幂函数的是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域 2.若是幂函数，则m的值为( ) A.2 B.1 C. D.-1 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域 3.函数的单调递减区间是( ) A.(-∞，0) B.[2，+∞) C.(-∞，1] D.[1，+∞) 答案：A
解题思路： 试题难度：三颗星知识点：幂函数的单调性、奇偶性及其应用 4.已知，，下列不等式(1)；(2)；(3)； (4)；(5)中恒成立的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：幂函数的单调性、奇偶性及其应用 5.下列函数中既是偶函数，又在(-∞，0)上是增函数的是( ) A. B.
C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：幂函数的单调性、奇偶性及其应用 6.下列命题中正确的是( ) A.幂函数在第一象限都是增函数 B.幂函数的图象都经过(0，0)和(1，1)点 C.若幂函数是奇函数，则是定义域上的增函数 D.幂函数的图象不可能出现在第四象限 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：幂函数的图像 7.设函数，则的值为( ) A. B.
C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：对数函数图象与性质的综合应用 8.函数的图象( ) A.关于原点对称 B.关于直线y=-x对称 C.关于y轴对称 D.关于直线y=x对称 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：对数函数图象与性质的综合应用 9.设函数定义在实数集上，它的图象关于直线x=1对称，且当时，，则( ) A. B.
幂函数及应用全部
学科教师辅导讲义 教学主任签字：学员编号：年级：高一课时数：2课时学员：浩翔辅导科目：数学学科教师： 授课日期及时段2017年2月11日 教学目标1、使学生理解和掌握幂函数的定义和性质以及函数的零点。 2、会用幂函数的性质和函数的零点解决简单的问题。 重点难点会用幂函数的性质和函数的零点解决简单的问题 一、幂函数的定义 一般地，函数y＝xα叫做幂函数．其中x是自变量，α是常数． [化解疑难] 1．幂函数的特征 (1)以幂的底为自变量，指数为常数(高中阶段只学习指数为有理数的幂函数)； (2)xα前的系数为1，且只有一项． 2．指数函数与幂函数的辨析 指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)的底数a为常数，指数为自变量；幂函数y＝xα(α∈R)以幂的底为自变量，指数α为常数. ：在同一坐标系中，试作出幂函数y＝x，y＝x 1 2 ，y＝x2，y＝x3，y＝x－1的图象． [化解疑难] 常见幂函数的图象与性质 解析式y＝x y＝x2y＝x3y＝1 x y＝x 1 2
图象 定义域 R R R {x |x ≠0} [0，＋∞) 值域 R [0，＋∞) R {y |y ≠0} [0，＋∞) 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 非奇非偶函数 单调性 在(－∞，＋ ∞)上单调递增 在(－∞，0]上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增 在(－∞，＋∞)上单调递增 在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递减 在[0，＋∞)上单调递增 定点 (1,1) [化解疑难] 幂函数的性质归纳 (1)所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)． (2)α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数． 特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸； 当0<α<1时，幂函数的图象上凸． (3)α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．在第一象限，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴；当x 趋于＋∞时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴． [例1] (1)下列函数：①y ＝x 3；②y ＝? ?? ??12x ；③y ＝4x 2；④y ＝x 5＋1；⑤y ＝(x －1)2；⑥y ＝x ；⑦y ＝a x (a >1)．其中幂函数的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 (2)已知幂函数y ＝(m 2－m －1)xm 2－2m －3，求此幂函数的解析式，并指出定义域． (1)[解析] ②⑦为指数函数，③中系数不是1，④中解析式为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数，故选B. [答案] B (2)[解] ∵y ＝(m 2－m －1)xm 2－2m －3为幂函数， ∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1. 当m ＝2时，m 2－2m －3＝－3，则y ＝x －3，且有x ≠0； 当m ＝－1时，m 2－2m －3＝0，则y ＝x 0，且有x ≠0. 故所求幂函数的解析式为y ＝x －3，(x ≠0)或y ＝x 0(x ≠0)． [类题通法] 判断一个函数是否为幂函数的方法
生活中的幂函数问题
高考数学复习点拨：生活中的幂函数问 题 生活中的幂函数问题 数学本来就是来源于生活，因此在现实生活中有许多有趣的 数学问题，我们刚刚学过一些函数知识，在学习过程中多留 心观察、多收集一些社会生活方面的问题，注意从数学角度 理解、分析、研究、把握问题，思考能否用已学过的某种函 数模型来研究问题。经常这样做，不仅可以巩固所学知识， 激发学习热情，而且有利于学生树立运用数学的意识，培养 他们的探索精神。 例.为合理用电缓解电力紧张，某市将试行"峰谷电价"计费 方法，在高峰用电时段，即居民户每日8时至22时，电价每千瓦时为0. 56元，其余时段电价每千瓦时为0.28元．而目前没有实行"峰谷电价"的居民户电价为每千瓦时0.53 元．若总用电量为S千瓦时，设高峰时段用电量为x千瓦时．(1)写出实行峰谷电价的电费y1=g1(x)及现行电价的电费 y2=g2(S)的函数解析式及电费总差额f(x)=y2-y1的解析式； (2)对于用电量按时均等的电器（在任何相同的时间内，用电量相同），采用峰谷电价的计费方法后是否能省钱？ (3)若每户实行"峰谷电价"的居民需缴纳安装"分时段电能计 量表"的成本费100元．在用电量按时均等的条件下，一户
居民要在一年内收回安装"分时段电能计量表"的成本费，每户每月用电至少要不低于多少千瓦时（结果取整数）？ 分析：第(1)小题易解．对于第(2)问，能否省钱，即看 f(x)0是否可能成立．对于第(3)问，由f(x)的意义，令f (x)≤100,求出总用电量S的最小值即可． 解：(1)总用电量为S千瓦时，高峰时段用电量为x千瓦时，则低谷时段用电量为(S-x)千瓦时， y 1=0.56x+(S-x)×0.28＝0.28S+0.28x；y2=0.53S.电费总差额 f(x)= y2- y 1=0.25S-0.28x(0≤x≤S)． (2)可以省钱． 令f (x)0，即0.25S-0.28x0. 对于用电量按时均等的电器而言，高峰用电时段的时间与总时间的比为,能保证f(x)0,即y1y2． 所以用电量按时均等的电器采用峰谷电价的计费方法后能省钱． (3)由(2)知，根据按时均等用电可知，即x=S.令f(x)＝0.25S-0.28x≥100， 即0.25S-0.28×S≥100，≤97. 即每月用电量至少不低于97千瓦时，才能在一年内收回成本． 点评: 本题从电费问题抽象出的函数模型.在解题过程中渗
计算矩阵的高次幂方法小结(一)
计算矩阵的高次幂方法小结（一） 来源：文都教育 矩阵的乘法在线性代数中应用的最为广泛和基础，同时也是考研数学中的常考内容，尤其是计算矩阵的高次幂在近几年的考研试题中出现频率越来越高，掌握这类题目的解法势必会助考生一臂之力. 在考研试题中计算矩阵的高次幂通常以以下几种形式出现： （1）矩阵结合律简化计算； （2）递推归纳法； （3）利用相似对角化简化计算； 举例说明如下： 例1 已知[1,2,3]α=，[1,12,1β=，设T A αβ=,其中T α为α的转置，则n A = . 解 因为1[1,12,13]233T βα????==?????? ，则有 ()()n T n T T T T A αβαβαβαβαβ==L 111() 3()3T T n n T n A αβαβαβ---===. 本例充分利用已知条件T A αβ=， 进行简化计算，将看似复杂的问题进行简化处理. 受此启发，对于方阵任何两列（或两行）都对应成比例的情况，也可表示为一个列向量和一个行向量的乘积，再应用本例的方法来解决. 例2 已知1121211421A ????=?????? ，求.n A
解 因为矩阵A 每两列都成比例，因此可化为T A αβ=的形式，其中[1,2,4]α=，[1,12,14]β=. 因为1[1,12,14]234T βα????==?????? ，与例1类似，可以得到： 111()()3()3n T n T T n n T n A A αβαβαβαβ---====. 还有一种题型是利用递推归纳法来计算矩阵的高次幂. 例3 设101020101A ????=?????? ，而2n ≥为整数，则12n n A A --= . 解 当2n =时，21011010200202101101A A ????????==???????????? ，即22A A O -=， 所以当2n >时，原式222(2),n n A A A A O O --=-=?= 故当2n ≥时，有12.n n A A O --= 综上，本文总结了计算矩阵的高次幂的两种常用方法，相关的练习题考生可以在《高等数学》课本或者毛纲源老师编著的《考研数学经典常考题型同步测试题》中选取来进行练习. 掌握相应的解题方法，会在接下来的复习中更为顺利，有效节省解题时间，提高解题效率.