最新29-第二章平面向量小结与复习(2)汇总
29-第二章平面向量小结与复习(2)
第二章平面向量章末复习（第2课时）
教学目标
重点：平面向量数量积的定义及其坐标表示；数量积的几何意义、向量法在平面几何中的应用．
难点：用向量法解决平面几何问题时，如何建立平面几何与平面向量之间的联系．
能力点：在运用向量方法解决平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题过程中，进一步发展学生的运算能力和解决实际问题的能力．
教育点：提高学生的认知水平，为学生塑造良好的数学认识结构．
自主探究点：例题及变式的解题思路的探寻．
易错点：(1)忽视两向量垂直的概念是针对两非零向量的而致错；
(2)对两向量夹角的定义理解不清致错；
(3)把数的乘法的消去律运用在向量的数量积运算上而致错；
(4)混淆点的坐标与向量的坐标致错．
学法与教具
1．学法：讲授法、讨论法．2．教具：投影仪．
一、【知识结构】
二、【知识梳理】
1．平面向量的数量积
(1)数量积的定义
已知两个非零向量?Skip Record If...?与?Skip Record If...?，我们把数量?Skip Record If...?叫做?Skip Record If...?与?Skip Record If...?的数量积(inner product)（或内积），记作?Skip Record If...?，即?Skip Record If...?，其中?Skip Record If...?是?Skip Record If...?与?Skip Record If...?的夹角．
(2)数量积的几何意义
数量积?Skip Record If...?等于?Skip Record If...?的长度?Skip Record If...?与?Skip Record If...?在?Skip Record If...?方向上的投影?Skip Record If...?的乘积，或等于?Skip Record If...?的长度?Skip Record If...?与?Skip Record If...?在?Skip Record If...?方向上的投影?Skip Record If...?的乘积．
(3)数量积的性质
①?Skip Record If...?．
②当?Skip Record If...?与?Skip Record If...?同向时，?Skip Record If...?；当?Skip Record If...?与?Skip Record If...?反向时，?Skip Record If...?；特别地，?Skip Record If...?，所以
?Skip Record If...?．通常?Skip Record If...?记作?Skip Record If...?．
③?Skip Record If...?
(4)数量积的运算律
已知向量?Skip Record If...?、?Skip Record If...?、?Skip Record If...?和实数?Skip Record If...?，则：
①?Skip Record If...?；
②?Skip Record If...?；
③?Skip Record If...?．
(5)数量积的坐标表示
已知两个非零向量?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?．
由此可得：
①?Skip Record If...?或?Skip Record If...?；
②?Skip Record If...?；
③设?Skip Record If...?为?Skip Record If...?、?Skip Record If...?的夹角，则?Skip Record If...?．
2．平面几何中的向量方法
用向量法解决平面几何问题的“三步曲”：
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题
转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系．
在上述步骤中，把平面几何问题转化为向量问题是解决问题的关键一步，转化方法大致有两种思路：第一，选取恰当的基向量；第二，建立坐标系．
3．向量法在物理中的应用
向量有丰富的物理背景，向量的物理背景是位移、力、速度等，向量的数量积的物理背景是力所做的功．因此，用向量可以解决一些物理问题．向量在物理中的应用，实际上是把物理问题转化为向量问题，然后通过向量运算解决向量问题，最后再用所获的结果解释物理现象．用向量法解决物理问题时，应作出相应的图形，以帮助我们建立数学模型．
三、【范例导航】
例1（2012?天津）在△ABC中，∠A=90°，AB=1，AC=2．设点P，Q满足 ?Skip
【分析】由题意可知?Skip Record If...?，根据?Skip Record If...?，解方程可以求得?Skip Record If...?的值.
【解答】如图，设?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，
又?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，
由?Skip Record If...?得，
?Skip Record If...?，
即?Skip Record If...?所以?Skip Record If...?.
【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的运算，属于中档题.
变式训练1(2011·江苏卷10)已知?Skip Record If...?是夹角为?Skip Record If...?的两个单位向量，?Skip Record If...?若?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?的值为．答案：?Skip Record If...?
解析：?Skip Record If...?，
解得?Skip Record If...?.
例2(2012·江苏9)如图，在矩形?Skip Record If...?中，?Skip Record
If...?，?Skip Record If...?，点?Skip Record If...?为?Skip Record If...?的中
点，点?Skip Record If...?在边?Skip Record If...?上，若?Skip Record
If...?，则?Skip Record If...?的值是．
【分析】根据所给的图形，把已知向量用矩形的边所在的向量来表
示，求出要用的向量的模，表示出要求得向量的数量积，注意应用垂直的向量的数量积等于0，得到结果.
【解答】因为?Skip Record If...?，
?Skip Record If...?，
所以?Skip Record If...?，?Skip Record If...?.
所以?Skip Record If...?.
平面向量知识点归纳
平面向量知识点归纳-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
第一章 平面向量 2.1向量的基本概念和基本运算 16、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量． 单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 17、向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式： a b a b a b -≤+≤+． ⑷运算性质：①交换律： a b b a +=+； ②结合律：()() a b c a b c ++=++；③00a a a +=+=． ⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则 ()1212,a b x x y y +=++． 18、向量减法运算： ⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y -=--． 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =--． 19、向量数乘运算： ⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①a a λλ=； ②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=． ⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③() a b a b λλλ+=+． ⑶坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==． b a C B A a b C C -=A -AB =B
2020高中数学第2章平面向量章末复习学案苏教版必修4
第2章平面向量 章末复习 学习目标 1.回顾梳理向量的有关概念，进一步体会向量的有关概念的特征.2.系统整理向量线性运算、数量积运算及相应的运算律和运算性质.3.体会应用向量解决问题的基本思想和基本方法.4.进一步理解向量的“工具”性作用． 1．向量的运算：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2). 向量运算法则(或几何意义)坐标运算 向量的线性运算加法a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 减法a－b＝(x1－x2，y1－y2) 数乘 (1)|λa|＝|λ||a|； (2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相 同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相 反；当λ＝0时，λa＝0 λa＝(λx1，λy1) 向量的数量积运算a·b＝|a||b|cosθ(θ为a与b的夹角)规 定0·a＝0， 数量积的几何意义是a的模与b在a方向上 的投影的积 a·b＝x1x2＋y1y2 2．两个定理 (1)平面向量基本定理 ①定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，
有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2. ②基底：把不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． (2)向量共线定理 如果有一个实数λ，使b ＝λa (a ≠0)，那么b 与a 是共线向量；反之，如果b 与a (a ≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b ＝λa . 3．向量的平行与垂直 a ， b 为非零向量，设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)， a ∥ b 有唯一实数λ使得 b ＝λa (a ≠0) x 1y 2－x 2y 1＝0 a ⊥b a · b ＝0 x 1x 2＋y 1y 2＝0 1．平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( × ) 提示 平面内不共线的两个向量才可以作为一组基底． 2．若向量AB →和向量CD → 共线，则A ，B ，C ，D 四点在同一直线上．( × ) 提示 也可能AB ∥CD . 3．若a·b ＝0，则a ＝0或b ＝0.( × ) 4．若a·b >0，则a 和b 的夹角为锐角；若a·b <0，则a 和b 的夹角为钝角．( × ) 提示 当a ，b 同向共线时，a·b >0，但a 和b 的夹角为0.当a ，b 反向共线时，a·b <0，但a 和b 的夹角为π. 类型一 向量的线性运算 例1 如图所示，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC → ，则实数m 的 值为________． 答案 3 11 解析 设BP →＝λBN → ，
平面向量经典精品结论总结
平面向量复习基本知识点及经典结论总结 1、向量有关概念： （1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向 量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。如已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB 按向量a ＝（－1,3）平移 后得到的向量是_____（答：（3,0）） （2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的； （3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB 共线的单位向量是|| AB AB ± )； （4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； （5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：∥，规定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递 性！（因为有0 )；④三点A B C 、、共线? AB AC 、共线； （6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是－a 。 如下列命题：（1）若a b = ，则a b = 。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若 AB DC = ，则ABCD 是平行四边形。（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC = 。（5）若,a b b c == ，则a c = 。（6）若//,//a b b c ，则//a c 。其中正确的是_______（答：（4）（5）） 2、向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，，等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量，为基底，则平面内的任一向量可表示为(),a xi y j x y =+= ，称(),x y 为向 量的坐标，＝(),x y 叫做向量的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。 3.平面向量的基本定理：如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使a =1λe 1＋2λe 2。如（1）若(1,1),a b == (1,1),(1,2)c -=- ，则c = ______（答：1322 a b - ） ；（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 A. 12(0,0),(1,2)e e ==- B. 12(1,2),(5,7)e e =-= C. 12(3,5),(6,10)e e == D. 1213 (2,3),(,)24e e =-=- （答： B ）；（3）已知,AD BE 分别是AB C ?的边,BC AC 上的中线,且,A D a B E b == ,则BC 可用向量,a b 表示为_____（答： 2433 a b + ） ；（4）已知ABC ?中，点D 在BC 边上，且?→??→?=DB CD 2，?→ ??→??→?+=AC s AB r CD ，则s r +的值是___（答：0） 4、实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度和方向规定如下：()() 1,2a a λλ= 当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同，当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反，当λ＝0时，0a λ= ，注意：λa ≠0。 5、平面向量的数量积： （1）两个向量的夹角：对于非零向量a ，b ，作,OA a OB b == ，AOB θ∠= ()0θπ≤≤称为向量a ，b 的夹角，当θ＝0时，a ，b 同向，当θ＝π时，a ，b 反向，当θ＝2π 时，a ，b 垂直。 （2）平面向量的数量积：如果两个非零向量，，它们的夹角为θ，我们把数量||||cos a b θ 叫做与的 数量积（或内积或点积），记作：?，即?＝cos a b θ 。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量 积是一个实数，不再是一个向量。如（1）△ABC 中，3||=?→ ?AB ，4||=?→ ?AC ，5||=?→ ?BC ，则=?BC AB _________ （答：－9）；（2）已知11(1,),(0,),,22a b c a kb d a b ==-=+=- ，c 与d 的夹角为4 π ，则k 等于____（答：1）；（3） 已知2,5,3a b a b ===- ，则a b + 等于____）；（4）已知,a b 是两个非零向量，且a b a b ==- ，
职高 第8章 平面向量知识点小结
平面向量知识点小结 1. 有向线段:具有 叫做有向线段,通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以A 为始点,B 为终点的有向线段记作AB ,应注意:始点一定要写在终点的前面, 2. 已知AB ,线段AB 的 叫做有向AB 线段AB 的长(或模),的长度记作: .有向线段包含三个要素: 、 、 . 3. 向量:具有 和 的量叫做向量,只有大小和没有方向的向量叫做 .有向线段的长度表示向量的 ,有向线段的方向表示向量的方向.用有向线段 AB 表示向量时,我们就说向量AB .另外,在印刷时常用黑体小写字母a 、b 、c 、… 等表示向量;手写时可写作带箭头的小写字母a 、b 、c 、…等. 4. 相等向量: 的有向线段表示同一向量或相等的向量.向量a 和b 同向且等长,即a 和b 相等,记作 5. 零向量:长度等于零的向量叫做 ,记作 .零向量的方向 . 6. 平行向量(共线向量):两个向量的方向 则称两个向量平行，平行向量也称 (另一种理解：如果表示两个向量的有向线段所在的直线互相平行或重合为共线向量.向量a 平行于向量b ,记作a ∥b . 与任一个向量共线(平行). 7. 相反向量:与向量a 等长且 的向量叫做向量a 的相反向量,记作 .显然, ()0a a +-=. 8. 单位向量:长度等于1的向量,叫做 .与向量a 同方向的单位向量通常记作 . 9. 已知向量a 、b ,在平面上任取一点A,作AB a =,BC b =,作向 量AC ,则向量 叫做向量a 与b 的和(或和向量),记作a +b ,即a +b = = .这种求两个向量和的作图法则,叫做向量求和的三角形法则. 10. 已知向量a 、b ,在平面上任取一点A,作AB a =,AD b =,如果A 、B 、D 不共线,则以AB 、AD 为邻边作平行四边形ABCD,则对角线上的向量AC = = .这种求两个向量和的作图法则,叫做向量求和的平行四边形法则. 11. 已知向量a 、b ,在平面上任取一点O,作OA a =,OB b =,则b +BA =a ,向量BA 叫做向量a 与b 的差,并记作a -b ,即BA = = . 12. 由向量的减法推知: (1) 如果把两个向量的始点放在一起,则这两个向量的差是减向量的终点到 的向量; (2) 一个向量BA 等于它的终点相对于点O 的位置向量OA 减去它的始点相对于点O 的位置向量OB ; (3) 一个向量减去另一个向量,等于加上这个向量的 . 13. 向量加法满足如下运算律: (1) ; (2) 14. 数乘向量的一般定义:实数λ和向量a 的乘积是一个向量,记作a λ. 当0λ>时,a λ与a 同方向,a a λλ││ =│ ∣│ │ ; 当0λ <时,a λ与a 反方向, a a λλ││ =│ ∣│ │ ; 当0λ=或0a =时,000a λ?=?=. ; 15. 数乘向量满足以下运算律:(1)1a =a ,(-1)a =a -; (2)()()a a λμλμ= ()a a a λμλμ+= + ; (4)()a b a b λλλ+=+.
高中数学第二章平面向量章末小结导学案无答案新人教A版必修
第二章平面向量章末小结 【本章知识体系】 - 1 -
2 【题型归纳】 专题一、平面向量的概念及运算 包含向量的有关概念、加法、减法、数乘。向量的加法遵循三角形法则和平行四边形法则，减法可以转化为加法进行运算。利用向量证明三点共线时，应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线． 1、1.AB →＋AC →－BC →＋BA →化简后等于( ) A ．3A B → B.AB → C.BA → D.CA → 2、在平行四边形ABCD 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，则下列运算正确的是( ) A ．a ＋b ＋c ＋d ＝0 B ．a －b ＋c －d ＝0 C ．a ＋b －c －d ＝0 D ．a －b －c ＋d ＝0 3、已知圆O 的半径为3，直径AB 上一点D 使AB →＝3AD →，E 、F 为另一直径的两个端点， 则DE →·DF →＝( ) A ．－3 B ．－4 C ．－8 D ．－6 4、如图，在正方形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BD →＝c ，则在以a ， b 为基底时，AC →可表示为________，在以a ， c 为基底时，AC →可表示为 ________． 5、下列说法正确的是( ) A ．两个单位向量的数量积为1 B ．若a ·b ＝a ·c ，且a ≠0，则b ＝c C ．AB →＝OA →－OB → D ．若b⊥c ，则(a ＋c )·b ＝a ·b 专题二、平面向量的坐标表示及坐标运算 向量的坐标表示及运算强化了向量的代数意义。若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标，解题过程中，常利用向量相等，则其坐标相同这一原则。 6、已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则|a |等于( ) A ．1 B. 2 C ．2 D ．4 7、设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b －2c,2(a －c )，d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则d ＝( ) A ．(2,6) B ．(－2,6) C ．(2，－6) D ．(－2，－6) 8、已知a ＝(1,1)，b ＝(1,0)，c 满足a ·c ＝0，且|a |＝|c |，b ·c >0，则c ＝________. 专题三、平面向量的基本定理 平面向量的基本定理解决了所有向量之间的相互关系，为我们研究向量提供了依据。 9、已知AD 、BE 分别为△ABC 的边BC 、AC 上的中线，设AD →＝a ，BE →＝b ，则BC →等于( ) A.43a ＋23b B.23a ＋43 b C.23a －43b D ．－23a ＋43 b
平面向量知识点总结归纳
平面向量知识点总结归纳 1、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量． 单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 2、向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+ ． ⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+ ；②结合律：()() a b c a b c ++=++ ； ③00a a a +=+= ． ⑸坐标运算：设()11,a x y = ，()22,b x y = ，则()1212,a b x x y y +=++ ． 3、向量减法运算： ⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y = ，()22,b x y = ，则()1212,a b x x y y -=-- ． b a C B A a b C C -=A -AB =B
设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =-- ． 4、向量数乘运算： ⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ ． ①a a λλ= ； ②当0λ>时，a λ 的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ 的方向与a 的方向相 反；当0λ=时，0a λ= ． ⑵运算律：①()()a a λμλμ= ；②()a a a λμλμ+=+ ；③() a b a b λλλ+=+ ． ⑶坐标运算：设(),a x y = ，则()(),,a x y x y λλλλ== ． 5、向量共线定理：向量() 0a a ≠ 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使 b a λ= ． 设()11,a x y = ，()22,b x y = ，其中0b ≠ ，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、 () 0b b ≠ 共线． 6、平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于 这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+ ．（不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基底） 7、分点坐标公式：设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ， ()22,x y ，当12λP P =PP 时，点P 的坐标是1212,11x x y y λλλ λ++?? ?++??． 8、平面向量的数量积： ⑴() cos 0,0,0180a b a b a b θθ?=≠≠≤≤ ．零向量与任一向量的数量积为0． ⑵性质：设a 和b 都是非零向量，则①0a b a b ⊥??= ．②当a 与b 同向时， a b a b ?= ；当a 与b 反向时，a b a b ?=- ；22a a a a ?== 或a ．③ a b a b ?≤ ． ⑶运算律：①a b b a ?=? ；②()()()a b a b a b λλλ?=?=? ；③() a b c a c b c +?=?+? ． ⑷坐标运算：设两个非零向量()11,a x y = ，()22,b x y = ，则1212a b x x y y ?=+ ．
高中数学有关平面向量的公式的知识点总结.
定比分点定比分点公式(向量P1P=向量PP2 设P1、P2是直线上的两点,P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数,使向量P1P=向量PP2,叫做点P分有向线段P1P2所成的比。 若P1(x1,y1,P2(x2,y2,P(x,y,则有 OP=(OP1+OP2(1+;(定比分点向量公式 x=(x1+x2/(1+, y=(y1+y2/(1+。(定比分点坐标公式 我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式 三点共线定理 若OC=OA +OB ,且+=1 ,则A、B、C三点共线 三角形重心判断式 在△ABC中,若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心 [编辑本段]向量共线的重要条件 若b0,则a//b的重要条件是存在唯一实数,使a=b。 a//b的重要条件是 xy-xy=0。零向量0平行于任何向量。 [编辑本段]向量垂直的充要条件 ab的充要条件是 ab=0。 ab的充要条件是 xx+yy=0。 零向量0垂直于任何向量.
设a=(x,y,b=(x,y。 1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。 AB+BC=AC。 a+b=(x+x,y+y。 a+0=0+a=a。 向量加法的运算律: 交换律:a+b=b+a; 结合律:(a+b+c=a+(b+c。 2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0. 0的反向量为0 AB-AC=CB. 即共同起点,指向被减 a=(x,y b=(x,y 则 a-b=(x-x,y-y. 4、数乘向量实数和向量a的乘积是一个向量,记作a,且∣a∣=∣∣∣a∣。 当>0时,a与a同方向; 当<0时,a与a反方向; 当=0时,a=0,方向任意。 当a=0时,对于任意实数,都有a=0。 注:按定义知,如果a=0,那么=0或a=0。 实数叫做向量a的系数,乘数向量a的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。当∣∣>1时,表示向量a的有向线段在原方向(>0或反方向(<0上伸长为原来的∣∣倍;
高中数学人教A版选修2-1第三章章末总结
高中数学学习材料 金戈铁骑整理制作 章末总结 知识点一 空间向量的计算 空间向量及其运算的知识与方法与平面向量及其运算类似，是平面向量的拓展，主要考查空间向量的共线与共面以及数量积运算，是用向量法求解立体几何问题的基础． 【例1】沿着正四面体O －ABC 的三条棱OA 、OB →、OC →的方向有大小等于1、2和3的 三个力f 1，f 2，f 3.试求此三个力的合力f 的大小以及此合力与三条棱夹角的余弦值．
知识点二证明平行、垂直关系 空间图形中的平行、垂直问题是立体几何当中最重要的问题之一，利用空间向量证明平行和垂直问题，主要是运用直线的方向向量和平面的法向量，借助空间中已有的一些关于平行和垂直的定理，再通过向量运算来解决． 例2 如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别为AB、B1C的中点． (1)用向量法证明平面A1BD∥平面B1CD1； (2)用向量法证明MN⊥面A1BD. 例3 如图，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点，CP＝m. 试确定m使得直线AP与平面BDD1B1所成的角为60°. 例4正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点，求证：平面AED⊥
平面A1FD1. 知识点三空间向量与空间角 求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角，一般有两种方法：即几何法和向量法，几何法求角时，需要先作出(或证出)所求空间角的平面角，费时费力，难度很大．而利用向量法，只需求出直线的方向向量与平面的法向量．即可求解，体现了向量法极大的优越性． 例5 如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝8，AA1＝4，M为B1C1上一点且B1M＝2，点N在线段A1D上，A1D⊥AN. (1)cos〈1A D，AM→〉； (2)求直线AD与平面ANM所成角的余弦值； (3)求平面ANM与平面ABCD所成角的余弦值． 知识点四空间向量与空间距离 近年来，对距离的考查主要体现在两点间的距离和点到平面的距离，两点间的距离可以直接代入向量模的公式求解，点面距可以借助直线的方向向量与平面的法向量求解，或者利用等积求高的方法求解． 例6
高中数学平面向量知识点总结82641
平面向量知识点总结 第一部分：向量的概念与加减运算，向量与实数的积的运算。 一．向量的概念： 1． 向量：向量是既有大小又有方向的量叫向量。 2． 向量的表示方法： （1）几何表示法：点—射线 有向线段——具有一定方向的线段 有向线段的三要素：起点、方向、长度 记作（注意起讫） （2）字母表示法：可表示为 3.模的概念：向量的大小——长度称为向量的模。 记作：|| 模是可以比较大小的 4.两个特殊的向量： 1?零向量——长度（模）为0的向量，记作。的方向是任意的。 注意与0的区别 2?单位向量——长度（模）为1个单位长度的向量叫做单位向量。 二．向量间的关系： 1．平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。 记作：∥∥ 规定：与任一向量平行 2． 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 记作：= 规定：= 任两相等的非零向量都可用一有向线段表示，与起点无关。 3． 共线向量：任一组平行向量都可移到同一条直线上 ， 所以平行向量也叫共线向量。 三．向量的加法： 1．定义：求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。 注意：；两个向量的和仍旧是向量（简称和向量） 2．三角形法则： 强调： a b c a + b A A A B B B C C a +b a + b a a b b b a a
1?“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点 2?可以推广到n 个向量连加 3?a a a =+=+00 4?不共线向量都可以采用这种法则——三角形法则 3.加法的交换律和平行四边形法则 1?向量加法的平行四边形法则（三角形法则）： 2?向量加法的交换律：+=+ 3?向量加法的结合律：(+) +=+ (+) 4.向量加法作图：两个向量相加的和向量，箭头是由始向量始端指向终向量末端。 四．向量的减法： 1.用“相反向量”定义向量的减法 1?“相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量。记作 -a 2?规定：零向量的相反向量仍是零向量。-(-a ) = a 任一向量与它的相反向量的和是零向量。a + (-a ) = 0 如果a 、b 互为相反向量，则a = -b , b = -a , a + b = 0 3?向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差。 即：a - b = a + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法。 2.用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算： 若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a - b 3.向量减法做图：表示a - b 。强调：差向量“箭头”指向被减数 总结：1?向量的概念：定义、表示法、模、零向量、单位向量、平行向量、 相等向量、共线向量 2?向量的加法与减法：定义、三角形法则、平行四边形法则、运算定律 五：实数与向量的积（强调：“模”与“方向”两点) 1.实数与向量的积 实数λ与向量a ρ的积，记作：λa ρ 定义：实数λ与向量a ρ的积是一个向量，记作：λa ρ 1?|λa ρ|=|λ||a ρ | 2?λ>0时λa ρ与a ρ方向相同；λ<0时λa ρ与a ρ方向相反；λ=0时λa ρ = 2．运算定律：结合律：λ(μa ρ)=(λμ)a ρ ① 第一分配律：(λ+μ)a ρ=λa ρ+μa ρ ② 第二分配律：λ(a ρ+b ρ)=λa ρ +λb ρ ③ 3.向量共线充要条件：
2019-2020学年高中数学 第二章 平面向量章末小结导学案新人教A版必修4.doc
2019-2020学年高中数学第二章平面向量章末小结导学案新人教A版必修4 【本章知识体系】
【题型归纳】 专题一、平面向量的概念及运算 包含向量的有关概念、加法、减法、数乘。向量的加法遵循三角形法则和平行四边形法则，减法可以转化为加法进行运算。利用向量证明三点共线时，应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线． 1、1.AB →＋AC →－BC →＋BA →化简后等于( ) A ．3A B → B.AB → C.BA → D.CA → 2、在平行四边形ABCD 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，则下列运算正确的是( ) A ．a ＋b ＋c ＋d ＝0 B ．a －b ＋c －d ＝0 C ．a ＋b －c －d ＝0 D ．a －b －c ＋d ＝0 3、已知圆O 的半径为3，直径AB 上一点D 使AB →＝3AD →，E 、F 为另一直径的两个端点， 则DE →·DF →＝( ) A ．－3 B ．－4 C ．－8 D ．－6 4、如图，在正方形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BD →＝c ，则在以a ， b 为基底时，AC →可表示为________，在以a ， c 为基底时，AC →可表示为 ________． 5、下列说法正确的是( ) A ．两个单位向量的数量积为1 B ．若a ·b ＝a ·c ，且a ≠0，则b ＝c C ．AB →＝OA →－OB → D ．若b⊥c ，则(a ＋c )·b ＝a ·b 专题二、平面向量的坐标表示及坐标运算 向量的坐标表示及运算强化了向量的代数意义。若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标，解题过程中，常利用向量相等，则其坐标相同这一原则。 6、已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则|a |等于( ) A ．1 B. 2 C ．2 D ．4 7、设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b －2c,2(a －c )，d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则d ＝( ) A ．(2,6) B ．(－2,6) C ．(2，－6) D ．(－2，－6) 8、已知a ＝(1,1)，b ＝(1,0)，c 满足a ·c ＝0，且|a |＝|c |，b ·c >0，则c ＝________. 专题三、平面向量的基本定理 平面向量的基本定理解决了所有向量之间的相互关系，为我们研究向量提供了依据。 9、已知AD 、BE 分别为△ABC 的边BC 、AC 上的中线，设AD →＝a ，BE →＝b ，则BC →等于( ) A.43a ＋23b B.23a ＋43 b C.23a －43b D ．－23a ＋43 b
平面向量方法总结大全
平面向量应试技巧总结一．向量有关概念：：既有大小 又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，．向量的概念1。如：注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）rruuua （答：_____＝（－1,3按向量已知A（1,2），B（4,2），则把向量）平移后得到的向量是AB）（3,0）0；，注意：长度为2．零向量0零向量的方向是任意的的向量叫零向量，记作：ruuu ruuu AB共线的单位向量是：长度为一个单位长度的 向量叫做单位向量(与)；3．单位向量AB ruuu?||AB相等向量：长度相等且 方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；4．baba，、记作：：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，∥5．平行向量（也叫共线向量）。规定零向量和任何向量平行：提醒①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；但两, ②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线条直线平行不包含两条直线重合；r0)；（因为有③平行向 量无传递性！ruuuuuur、ACAB?共线共线；④三点C、B、A aa。如：长度相等 方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－6．相反向量rrrr）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终2，则）若。（（下列命题： 1ba?ba?ruuuuuuruuruuruu。）若（是平行四边形。，则43点相同。（）若是平行四边形，则DCDCAB??ABABCDABCD． rrrrrrrrrrrr_______）若（5，则。（6）若，则。其中正确的是cb//a//a?b,b?cb,ca?ca// 4（答：（）（5））二．向量的表示方法：1，注意起点在前，终点在后；．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如ABcab，．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，2等；i为轴、轴方向相同的两个单位向量，3．坐标表示法： 在平面内建立直角坐标系，以与y x jrrr????aaa yx,＝为向量基底，则平面内的 任一向量，称可表示为的坐标，yx,?axi?yj???a y,x的坐标表示。如果向量的起 点在原点，叫做向量那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。 ee是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的：如果和三．平面向量 的基本定理21?aeea。如=任一向量，有且只有一对实数、＋，使???212211rrrr，则若______（1）1,2)(1,(??1),c?a?(1,1),b??crr31）；（答：ba?22（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 uruururuur A. B. (5,7)??1,2),2)ee?(?e(0,0),e?(1,?2112uruurruruu13 C. D.
人教课标版高中数学必修4《平面向量》章末基础测评
《平面向量》章末基础测评 (总分：150分；时间：120分钟) ―、选择题(每小题5分，共60分) 1.如图,AB DC AC =，与BD 相交于点,O 则相等的向量是（ ） A.AD 与CB B.OA 与OC C.AC 与DB D.DO 与OB 2.将()223233a b a b b a ????? ?---+- ? ????????? 化成最简式为（ ） A.45 33a b -+ B.45a b -+ C.4533a b - D.45a b - 3.如图，已知空间四边形,ABCD 设G 是CD 的中点，则() 1 2 AB BD BC ++等于（ ）
A.AG B.CG C.BC D.1 2 BC 4.设向量()(),4,1,,a x b x =-=-若向量a 与b 同向，则x =（ ） A.O B.-2 C.2± D.2 5.在一平面内，线段AB 的中点为,M O 为线段AB 外一点，则（ ） A.() 1 2 OA OM MB = + B.() 1 2 OB OM OA = + C.() 1 2 OM MA MB = + D.() 1 2 OM OA OB = + 6.如图，点,A B 在圆C 上，则AB AC ?的值（ ）
A.只与圆C 的半径有关 B.只与弦AB 的长度有关 C.既与圆C 的半径有关，又与弦AB 的长度有关 D.是与圆C 的半径和弦AB 的长度均无关的定值 7.如图，向量12,,e e a 的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a 可用基底 12,e e 表示为（ ） A.12e e + B.122e e -+ C.122e e - D.122e e + 8.点C 在线段AB 上，且2 ,5 AC AB = 若,AC BC λ=则λ等于（ ） A.23 B.32 C.23 -
平面向量-章末检测
第二章 平面向量(B) (时间：120分钟 满分：150分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．已知向量a ＝(4,2)，b ＝(x,3)，且a ∥b ，则x 的值是( ) A ．－6 B ．6 C ．9 D ．12 2．下列命题正确的是( ) A ．单位向量都相等 B ．若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线 C ．若|a ＋b |＝|a －b |，则a ·b ＝0 D ．若a 与b 都是单位向量，则a ·b ＝1. 3．设向量a ＝(m －2，m ＋3)，b ＝(2m ＋1，m －2)，若a 与b 的夹角大于90°，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－4 3 ，2) B ．(－∞，－4 3)∪(2，＋∞) C ．(－2，4 3 ) D ．(－∞，2)∪(4 3 ，＋∞) 4．平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则AD →·BD → 等于( ) A ．8 B ．6 C ．－8 D ．－6 5．已知|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则向量a 与向量b 的夹角是( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2 6．关于平面向量a ，b ，c ，有下列四个命题： ①若a ∥b ，a ≠0，则存在λ∈R ，使得b ＝λa ； ②若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0； ③存在不全为零的实数λ，μ使得c ＝λa ＋μb ； ④若a ·b ＝a ·c ，则a ⊥(b －c )． 其中正确的命题是( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④ 7．已知|a |＝5，|b |＝3，且a ·b ＝－12，则向量a 在向量b 上的投影等于( ) A ．－4 B ．4 C ．－125 D.12 5 8．设O ，A ，M ，B 为平面上四点，OM →＝λOB →＋(1－λ)·OA → ，且λ∈(1,2)，则( ) A ．点M 在线段AB 上 B ．点B 在线段AM 上 C ．点A 在线段BM 上 D ．O ，A ，B ，M 四点共线 9．P 是△ABC 内的一点，AP →＝13 (AB →＋AC → )，则△ABC 的面积与△ABP 的面积之比为( ) A.3 2 B ．2 C ．3 D ．6 10．在△ABC 中，AR →＝2RB →，CP →＝2PR →，若AP →＝m AB →＋n AC → ，则m ＋n 等于( ) A.23 B.79 C.8 9 D ．1 11．已知3a ＋4b ＋5c ＝0，且|a |＝|b |＝|c |＝1，则a ·(b ＋c )等于( )
重点高中数学平面向量知识点总结
重点高中数学平面向量知识点总结
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平面向量知识点总结 第一部分：向量的概念与加减运算，向量与实数的积的运算。 一．向量的概念： 1． 向量：向量是既有大小又有方向的量叫向量。 2． 向量的表示方法： （1）几何表示法：点—射线 有向线段——具有一定方向的线段 有向线段的三要素：起点、方向、长度 记作（注意起讫） （2）字母表示法：AB 可表示为a 3.模的概念：向量AB 的大小——长度称为向量的模。 记作：|AB | 模是可以比较大小的 4.两个特殊的向量： 1?零向量——长度（模）为0的向量，记作0。0的方向是任意的。 注意0与0的区别 2?单位向量——长度（模）为1个单位长度的向量叫做单位向量。 二．向量间的关系： 1．平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。 记作：a ∥b ∥c 规定：0与任一向量平行 2． 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 记作：a =b 规定：0=0 任两相等的非零向量都可用一有向线段表示，与起点无关。 3． 共线向量：任一组平行向量都可移到同一条直线上 ， 所以平行向量也叫共线向量。 三．向量的加法： 1．定义：求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。 注意：；两个向量的和仍旧是向量（简称和向量） 2．三角形法则： 强调： a b c a + A A A B B B C C C a + a + a a b b b a a
1?“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点 2?可以推广到n 个向量连加 3?a a a =+=+00 4?不共线向量都可以采用这种法则——三角形法则 3.加法的交换律和平行四边形法则 1?向量加法的平行四边形法则（三角形法则）： 2?向量加法的交换律：a +b =b +a 3?向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c ) 4.向量加法作图：两个向量相加的和向量，箭头是由始向量始端指向终向量末端。 四．向量的减法： 1.用“相反向量”定义向量的减法 1?“相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量。记作 -a 2?规定：零向量的相反向量仍是零向量。-(-a ) = a 任一向量与它的相反向量的和是零向量。a + (-a ) = 0 如果a 、b 互为相反向量，则a = -b , b = -a , a + b = 0 3?向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差。 即：a - b = a + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法。 2.用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算： 若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a - b 3.向量减法做图：AB 表示a - b 。强调：差向量“箭头”指向被减数 总结：1?向量的概念：定义、表示法、模、零向量、单位向量、平行向量、 相等向量、共线向量 2?向量的加法与减法：定义、三角形法则、平行四边形法则、运算定律 五：实数与向量的积（强调：“模”与“方向”两点) 1.实数与向量的积 实数λ与向量a ρ的积，记作：λa ρ 定义：实数λ与向量a ρ的积是一个向量，记作：λa ρ 1?|λa ρ|=|λ||a ρ | 2?λ>0时λa ρ与a ρ方向相同；λ<0时λa ρ与a ρ方向相反；λ=0时λa ρ =0 2．运算定律：结合律：λ(μa ρ)=(λμ)a ρ ① 第一分配律：(λ+μ)a ρ=λa ρ+μa ρ ② 第二分配律：λ(a ρ+b ρ)=λa ρ +λb ρ ③ 3.向量共线充要条件：
高中数学《平面向量》章末复习
《平面向量》 知识系统整合 规律方法总结 1．本章我们学习的向量具有大小和方向两个要素．用有向线段
表示向量时，与有向线段的起点位置没有关系，同向且等长的有向线段都表示同一向量．数学中的向量指的是自由向量，根据需要可以进行平移． 2．共线向量条件和平面向量基本定理，揭示了共线向量和平面向量的基本结构，它们是进一步研究向量正交分解和用坐标表示向量的基础． 3．向量的数量积是一个数，当两个向量的夹角是锐角或零角时，它们的数量积为正数；当两个向量的夹角为钝角或180°角时，它们的数量积为负数；当两个向量的夹角是90°时，它们的数量积等于0.零向量与任何向量的数量积等于0. 通过向量的数量积，可以计算向量的长度(模)、平面内两点间的距离、两个向量的夹角，判断相应的两条直线是否垂直．4．平面向量的应用中，用平面向量解决平面几何问题，要注意“三部曲”；用向量解决物理问题，体现了数学建模的要求，要根据题意结合物理意义作出图形，转化为数学问题，再通过向量运算使问题解决． 5．学习本章要注意类比，如向量的运算法则及运算律可与实数相应的运算法则及运算律进行横向类比． 6．向量是数形结合的载体．在本章学习中，一方面通过数形结合来研究向量的概念和运算；另一方面，我们又以向量为工具，运用数形结合的思想解决数学问题和物理的相关问题．同时，向量的坐标表示为我们用代数方法研究几何问题提供了可能，丰富了我们研究问题的范围和手段． 热点问题归纳 一、向量的线性运算 向量的线性运算包含向量及其坐标运算的加法、减法、数乘，向量的加法遵循三角形法则和平行四边形法则，减法可以转化为加法进行运算，向量的加法满足交换律、结合律，数乘向量满足分配律，向量的线性运算也叫向量的初等运算，它们的运算法则在形式上很像实
(新)高三高考平面向量题型总结-经典
平面向量 一、平面向量的基本概念： 1.向量：既有大小又有方向的量叫做________.我们这里的向量是自由向量，即不改变大小和方向可以平行移动。 向量可以用_________来表示.向量的符号表示____________________. 2.向量的长度：向量的大小也是向量的长度（或_____），记作_________. 3.零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作________. 4.单位向量：__________________________. 5.平行向量和共线向量：如果向量的基线平行或重合，则向量平行或共线；两个非零向量方向相同或相反.记作________规定：___________________. 注意：理解好共线（平行）向量。 6.相等向量：_______________________. 例：下列说法正确的是_____ ①有向线段就是向量，向量就是有向线段； ②,,c b b a == 则c a = ；③ ,//,//c b b a c a // ④若CD AB =，则A ，B ，C ，D 四点是平行四边形的四个顶点； ⑤所有的单位向量都相等； 二、向量的线性运算： （一）向量的加法： 1.向量的加法的运算法则：____________、_________和___________. （1）向量求和的三角形法则：适用于任何两个向量的加法，不共线向量或共线向量；模长之间的不等式关系_______________________；“首是首，尾是尾，首尾相连” 例1.已知AB=8，AC=5，则BC 的取值范围__________ 例2.化简下列向量 （1）PM QP MN NQ +++ （2）)()()(MB PM AB CQ BC BP +++++ （2）平行四边形法则：适用不共线的两个向量，当两个向量是同一始点时，用平行四边形法则； a + 是以a ，b 为邻边的平行四边形的一条对角线，如图： 例1.（09 山东）设P 是三角形ABC 所在平面内一点，2=+，则 A.0=+ B.0=+ C.0=+ D.0=++ 例2.（13四川）在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AO AD AB λ=+ ，则.______=λ （3）多边形法则 2.向量的加法运算律：交换律与结合律 （二）向量的减法： 减法是加法的逆运算，A.-=-= （终点向量减始点向量）