高考数学理科模拟试卷(一)含答案解析

山东省聊城市高考模拟（一）

数学理试题

第Ⅰ卷（共50分）

一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知复数z 满足()113i z i +=+（i 是虚数单位），则z 的共轭复数为（ ） A ．1i - B ．1i + C ．2i - D ．2i +

2.已知集合{}12A x x =-≤，{}21,B x x n n Z ==-∈，则A B ?=（ ） A ．{}1,3 B ．{}0,2 C ．{}1 D ．{}1,1,3-

3.已知向量()1,2a =-，()2,b m =，()7,1c =，若//a b ，则b c ?=（ ） A ．8 B ．10 C ．15 D ．18

4.已知两条直线,m n 和两个不同平面,αβ，满足αβ⊥，=l αβ?,//m α,n β⊥,则 （ ）

A ．//m n

B ．m n ⊥ C.//m l D ．n l ⊥

5.“1a b +=”是“直线10x y ++=与圆()()2

2

2x a y b -+-=相切”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件

6.已知一个样本为,1,,5x y ，若该样本的平均数为2，则它的方差的最小值为 （ ） A ．5 B ．4 C.3 D ．2

7.执行如图所示的程序框图，若输入10n =，则输出的S =（ ）

A ．

49 B ．511 C. 613 D ．36

55

8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （ ）

A ．16163π-

B ．32163π- C. 1683π- D ．3283

π- 9.过双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左焦点F ，作圆222

4

a x y +=的一条切线，切点为

E ，延长FE 与双曲线的右支交于点P ，若E 是线段FP 的中点，则该双曲线的离心率为

（ ） A 10 B 1010210.已知数列{}n a 为等差数列，且1251,5,8a a a ≥≤≥，设数列{}n a 的前n 项和为S ，15S 的最大值为M ，最小值为m ，则M m + （ ） A ．500 B ．600 C. 700 D ．800

第Ⅱ卷（共100分）

二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）

11.已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当[]0,1x ∈时，()()2=log 1f x x +,则()

12f = ．

12.在区间[]1,1-上任取一个数a ，则曲线32

2132

y x x =-在点x a =处得切线的倾斜角为锐角的概率为 ．

13.若2n

x x ?

?- ??

?的展开式中第二项与第四项的二项式系数相等，则直线y nx =与曲线2

y x =围成的封闭图形的面积为 ．

14.已知函数()()()2sin ,0,f x x x R ω?ωπ?π=+∈>-<<的部分图象如图所示，若将函数

()f x 的图象向右平移6

π

个单位得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的解析式是 ．

15.对于函数()f x ，方程()f x x =的解称为()f x 的不动点，方程()f f x x =????的解称为

()f x 的稳定点.

①设函数()f x 的不动点的集合为M ，稳定点的集合为N ，则M N ?； ②函数()f x 的稳定点可能有无数个；

③当()f x 在定义域上单调递增时，若0x 是()f x 的稳定点，则0x 是()f x 的不动点； 上述三个命题中，所有真命题的序号是 ．

三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

16. 在锐角ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos cos 2cos a B b A c C +=. （Ⅰ）求角C ；

（Ⅱ）若23c =，求ABC ?周长的取值范围.

17.在四棱锥P ABCD -中，E 为棱AD 的中点，PE ⊥平面ABCD ，//AD BC ,90ADC ∠=?,2ED BC ==,3EB =,F 为棱PC 的中点.

（Ⅰ）求证：//PA 平面BEF ；

（Ⅱ）若二面角F BE C --为60°，求直线PB 与平面ABCD 所成角的正切值.

18.设,n n S T 分别是数列{}n a 和{}n b 的前n 项和，已知对于任意*n N ∈，都有323n n a S =+，数列{}n b 是等差数列，且51025,19T b ==.

（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）设()

1n n

n a b c n n =

+，数列{}

n c 的前n 项和为R ，求使n R >2017成立的n 的取值范围.

19. 以“赏中华诗词，寻文化基因，品生活之美”为宗旨的《中国诗词大会》,是央视科教

频道推出的一档大型演播室文化益智节目，每季赛事共分为10场，每场分个人追逐赛与擂主争霸赛两部分，其中擂主争霸赛在本场个人追逐赛的优胜者与上一场的擂主之间进行，一共备有9道抢答题，选手抢到并答对获得1分，答错对方得1分，当有一个选手累计得分达到5分时比赛结束，该选手就是本场的擂主.在某场比赛中，甲、乙两人进行擂主争霸赛，设每个题目甲答对的概率都为34，乙答对的概率都为5

12

，每道题目都有人抢答，且每人抢到答题权的概率均为

1

2

，各题答题情况互不影响. （Ⅰ）求抢答一道题目，甲得1分的概率；

（Ⅱ）现在前5道已经抢答完毕，甲得2分，乙得3分，在接下来的比赛中，设甲的得分为ξ，求ξ的分布列及数学期望E ξ.

20. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b

+=>>，一个顶点在抛物线24x y =的准线

上.

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）设O 为坐标原点，,M N 为椭圆上的两个不同的动点，直线,OM ON 的斜率分别为1k 和2k ，是否存在常数p ，当12k k p =时MON ?的面积为定值？若存在，求出p 的值；若

不存在，说明理由.

21. 已知函数()()

2x f x x a e =+（a 是常数， 2.71828

e =是自然对数的底数），曲线

()y f x =与x 轴相切. （Ⅰ）求实数a 的值；

（Ⅱ）设方程()2f x x x =+的所有根之和为S ，且(),1S n n ∈+，求整数n 的值； （Ⅲ）若关于x 的不等式()222x mf x x e ++<在(),0-∞内恒成立，求实数m 的取值范围.

试卷答案

一、选择题

1-5:CDBDA 6-10:CBDAB

二、填空题

11.12- 12.34 13. 32

3

14.()2sin 23g x x π?

?=+ ??

? 15.①②③

三、解答题

16.解：（Ⅰ）根据正弦定理，由cos cos 2cos a B b A c C +=， 得sin cos sin cos 2sin cos A B B A C C +=，

即()sin 2sin cos A B C C +=，从而sin 2sin cosC C C =. ∵sinC 0≠，∴1cos 2C =，又∵0C π<<，∴3

C π

=.

（Ⅱ）由正弦定理得

4sinA sinB sin a b c C

===，于是()4sin sin a b c A B ++=+

23

4sin sin 4sin 32A A A A π????

??=+-=+ ? ??? ???????

6A π?

?=++ ??

?，

因为ABC ?是锐角三角形，且3C π

=

，所以,62A ππ??

∈ ???

.

从而

2

,

633 A

π

ππ

??

+∈ ?

??

，

3

sin,1

6

A

π??

??

+∈ ?

?

????

,

所以(623,63

a b c?

++=∈+?.

因此ABC

?周长的取值范围为(623,63?

+?.

17.解：（Ⅰ）证明：连接AC交BE于点M，连接FM.

由//

AD BC及BC AE

=，得AM MC

=.

又因为PF FC

=，所以线段FM是PAC

?的中位线，所以//

FM AP.

又因为FM?平面BEF，PA?平面BEF，所以//

PA平面BEF .

（Ⅱ）因为//,

AD BC ED BC

=，所以四边形BCDE为平行四边形，又因为90

ADC

∠=?，所以四边形BCDE为矩形，于是AD BE

⊥.

因为PE⊥平面ABCD，所以,

PE BE PE ED

⊥⊥.

以E 为坐标原点，分别以,,

EB ED EP为x轴，y 轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系E xyz

-.

设PE a

=，则()()()()

0,0,0,3,0,0,0,0,,3,2,0

E B P a C

()

33

,1,,3,0,0,,1,

2222

a a

F EB EF

????

==

? ?

????

设平面BEF的一个法向量()

,,

n x y z

=，由

0,

0,

n EB

n EF

??=

?

?

?=

??

得

30

3

22

x

a

x y z

=

?

?

?

++=

??

令1

z=，得0,,1

2

a

n

??

=-

?

??

.

取平面ABCD的一个法向量为()

0,0,1

m=，

2

cos,

1

4

m n

m n

m n a

?

==

+

由二面角F BE C

--为60

2

1

2

1

4

a

=

+

，解得23

a=

因为PE⊥平面ABCD，所以PBE

∠就是直线PB与平面ABCD所成角.

在Rt PBE ?

中，因为tan PE PBE BE ∠=

因此，直线PB 与平面ABCD

18.解：（Ⅰ）由*323,n n a S n N =+∈，得，当1n =时，有13a =；当2n ≥时，11323n n a S --=+，

从而1332n n n a a a --=，即1=3n n a a -，∴1

0,

3n

n n a a a -≠=， 所以数列{}n a 是公比为3的等比数列，因此3n n a =.

设数列{}n b 的公差为d ，由51025,19T b ==，得11

51025,

919,b d b d +=??+=?

解得11,2b d ==，因此21n b n =-.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得()()

()()131321333111n n

n n n n n n c n n n n n n

+-+??-??=

===+++， 所以23211

1233333333212211n n n n n R c c c n n n ++????

??=++

+=-+-+

+-== ? ? ?++????

??

. 因为()()

21301n

n n c n n -=

>+，所以数列{}n R 单调递增.

又因为7=817.1252017R <，821842017R =>所以使n R >2017成立的n 的取值范围为8n ≥.

19.解：（Ⅰ）设“抢答一道题目，甲得1分”为事件A ，则事件A 发生的当且仅当甲抢到答题权后答对或乙抢到答题权后答错，所以 ()13152

1242123

P A ??=

?+?-= ???. （Ⅱ）在接下来的比赛中，甲的得分ξ可能的取值为0，1，2，3. 所以ξ的概率分布列为： ()2

21

0139

P ξ??=-= ???=，

()13222411313327

P C ξ?

???=?-?-=

? ?????=,

()2

2

32221241213

338127

P C ξ??

????=?-?-== ?

? ???

????=, ()14416

192727327

P ξ==

=---, 所以ξ的概率分布列为：

所以1441620

012392727279

E ξ=?+?+?+?=

. 20.解：（Ⅰ）抛物线2

4x y =的准线方程为1y =-，所以2

221,

3.b c a a b c =??

?=???=+?

解得2,1a b ==，因此，椭圆C 的方程为2

214

x y +=.

（Ⅱ）当直线MN 存在斜率时，设其方程为()0y kx m m =+≠. 由22

,14

y kx m x y =+???+=??，消去y ，得()

222418440k x kmx m +++-=. 设()()1122,,,M x y N x y ，则2121222844

,4141

km m x x x x k k --+==

++. 所以()()2

2

1212=

14MN k

x x x x ??++-??

()2

22

22

844144141km m k k k ??--??=+-??? ?++??????

()()2

224

141k

k m ++-=

点O 到直线y kx m =+的距离2

1

m d k =+.

22222224112124141MON

m k m m m S MN d k k ?+-??===- ?++??

. ()()()221212121212121212

kx m kx m k x x km x x m y y k k x x x x x x +++++===

22

2

222222244844141444441

m km k km m m k k k m m k --?+?+-++==--+.

设222

4=44

m k p m --，则()22

4144k p m p =-+，于是()222

2411441m m k p m p =+-++， 由MON S ?为定值，得2241m k +为定值，从而410p +=，解得1

4

p =-，此时=1MON S ?.

当直线MN 不存在斜率时，

若121

4

k k =-

，则MN =

d ，此时=1MON S ?.

综上，存在常数1

4

p =-，当12k k p =时，MON ?的面积为定值.

21.解：（Ⅰ）()()

22x f x x x a e '=++，x R ∈.

设曲线()y f x =与x 轴的切点为()0,0x ，则()()000,0.f x f x '?=??=??

即2

002020,0,

x x a x a ?++=??+=??解得0a =. （Ⅱ）方程()2f x x x =+可化为0x =或10x xe x --=， 而方程10x xe x --=的根就是函数()1

1x g x e x

=--的零点， 因为()21

0x g x e x

'=-

>，所以()g x 在(),0-∞内是增函数，在()0,+∞内也是增函数. 因为3

231

023g e -??-=-< ???

，()110g e -=>，所以函数()g x 在()0,+∞内有唯一零点1x ，且

13,12x ??

∈-- ???.

因为1302g ??

=< ???，()120g e =->，所以函数()g x 在()0,+∞内有唯一零点2x ，且

21,12x ??∈ ???

.

所以()1201,0S x x =++∈-，因此1n =. （Ⅲ）不等式()222x mf x x e ++<可化为21

102x m x x e

++-<， 设()21

12x m x h x x e

+=

+-，由题意得()0h x <在(),0x ∈-∞内恒成立.

()1x

h x x m e ?

?

'=- ???

，且11x e >在(),0-∞上恒成立.

①当1m ≤时，因为对于任意(),0x ∈-∞都有()0h x '>，所以函数()h x 在(),0-∞内是增函数.又因为()00h =，所以当0x <时，()0h x '<，即()0h x <在(),0-∞内恒成立. ②当1m >时，令()=0h x '得0x =或ln x m =-，因为对于任意[]ln ,0x m ∈-都有()0h x '<，所以，函数()h x 在(]ln ,0m -内是减函数.又因为()00h =，所以当()ln ,0x m ∈-时，都有

()0h x >，即()0h x <在(),0-∞内不能恒成立. 综上，实数m 的取值范围为1m ≤.