八年级数学上册整式的乘法与因式分解单元测试与练习(word解析版)
一、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难）
1．先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、十字相乘法等等，其中十字相乘法在高中应用较多．
十字相乘法：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图），如：将式子232x x ++和223x x +-分解因式，如图：
()()23212x x x x ++=++；
()()223123x x x x +-=-+．
请你仿照以上方法，探索解决下列问题：
（1）分解因式：2712y y ；
（2）分解因式：2321x x --．
【答案】（1）（x ﹣3）（x ﹣4）；（2）（x ﹣1）（3x+1）．
【解析】
【分析】
（1）将1分成1乘以1，12分成-3乘以-4，交叉相乘的结果为-7，即可得到答案； （2）将3分成1乘以3，-1分成-1乘以1，由此得到分解因式的结果.
【详解】
（1）y 2﹣7y+12=（x ﹣3）（x ﹣4）；
（2）3x 2﹣2x ﹣1=（x ﹣1）（3x+1）.
【点睛】
此题考查十字相乘法分解因式，将二次项系数及常数项分解成两个因数相乘，交叉相乘的结果相加得到一次项的系数，能准确分解因数是解题的关键.
2．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A 种纸片边长为a 的正方形，B 中纸片是边长为b 的正方形，C 种纸片是长为a 、宽为b 的长方形．并用A 种纸片一张，B 种纸片一张，C 种纸片两张拼成如图2的大正方形．
（1）请问两种不同的方法求图2大正方形的面积．
方法1：s =____________________；方法2：s =________________________； （2）观察图2，请你写出下列三个代数式：()2
22,,a b a b ab ++之间的等量关系． _______________________________________________________；
（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：225,11a b a b +=+=，求ab 的值；
②已知()()22202020195a a -+-=，则()()20202019a a --的值是____． 【答案】（1）()2a b +，222a ab b ++；（2）()2
222a b a ab b +=++；（3）①7ab =，②2-
【解析】
【分析】
（1）依据正方形的面积计算公式即可得到结论；
（2）依据（1）中的代数式，即可得出（a+b ）2，a 2+b 2，ab 之间的等量关系；
（3）①依据a+b=5，可得（a+b ）2=25，进而得出a 2+b 2+2ab=25，再根据a 2+b 2=11，即可得到ab=7；②设2020-a=x ，a-2019=y ，即可得到x+y=1，x 2+y 2=5，依据（x+y ）2=x 2+2xy+y 2，即可得出xy=
()222()2
x y x y +-+=2-，进而得到()()20202019a a --=2-． 【详解】 解：（1）图2大正方形的面积=()2a b +，图2大正方形的面积=222a ab b ++
故答案为：()2a b +，222a ab b ++；
（2）由题可得()2a b +，22a b +，ab 之间的等量关系为：()2222a b a ab b +=++故答案为：()2222a b a ab b +=++；
（3）①()()2222a b a b ab +-+=
2251114ab ∴=-=
7ab ∴=
②设2020-a=x ，a-2019=y ，则x+y=1，
∵()()22
202020195a a -+-=，
∴x 2+y 2=5，
∵（x+y ）2=x 2+2xy+y 2，
∴xy=()222()2
x y x y +-+=-2， 即()()202020192a a --=-．
【点睛】
本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
3．材料：数学兴趣一小组的同学对完全平方公式进行研究：因()20a b -≥，将左边展开得到2220a ab b -+≥，移项可得：222a b ab +≥.
数学兴趣二小组受兴趣一小组的启示，继续研究发现：对于任意两个非负数m 、n ，都存
在m n +≥m 、n 的和一定存在着一个最小值. 根据材料，解答下列问题：
（1）()()
2225x y +≥__________（0x >，0y >）；221x x ??+≥ ???___________（0x >）；
（2）求()5602x x x
+>的最小值； （3）已知3x >，当x 为何值时，代数式92200726
x x ++-有最小值，并求出这个最小值.
【答案】（1）20xy ，2；（2）3）当92x =时，代数式92200726x x ++-的最小值为2019.
【解析】
【分析】
（1）根据阅读材料即可得出结论；
（2）根据阅读材料介绍的方法即可得出结论；
（3）把已知代数式变为926201326
x x -+
+-，再利用阅读材料介绍的方法，即可得到结论．
【详解】
（1）∵0x >，0y >，
∴()()222522520x y x y xy +≥??=，
∵0x >， ∴2
21122x x x x ??+≥?= ???
；
（2）当x 0>时，2x ，
52x 均为正数，
∴562x x +≥=
所以，562x x
+的最小值为 （3）当x 3>时，2x ，
926x -，2x-6均为正数， ∴92200726
x x ++- 92x 6201326x =-+
+-
20132013≥= 2019= 由()20a b -≥可知，当且仅当a b =时，22a b +取最小值， ∴当92626x x -=-，即92
x =时，有最小值．
∵x 3> 故当92x =时，代数式92200726
x x ++-的最小值为2019． 【点睛】 本题考查了完全平方公式的变形应用，解答本题的关键是理解阅读材料所介绍的方法．
4．若一个正整数x 能表示成22a b -(,a b 是正整数，且a b >)的形式，则称这个数为“明礼崇德数”，a 与b 是x 的一个平方差分解. 例如：因为22532=-，所以5是“明礼崇德数”，3与2是5的平方差分解；再如：22222222()M x xy x xy y y x y y =+=++-=+-(,x y 是正整数)，所以M 也是“明礼崇德数”，()x y +与y 是M 的一个平方差分解.
(1)判断：9_______“明礼崇德数”(填“是”或“不是”)；
(2)已知2246N x y x y k =-+-+(,x y 是正整数，k 是常数，且1x y >+)，要使N 是“明礼崇德数”，试求出符合条件的一个k 值，并说明理由；
(3)对于一个三位数，如果满足十位数字是7，且个位数字比百位数字大7，称这个三位数为“七喜数”.若m 既是“七喜数”，又是“明礼崇德数”，请求出m 的所有平方差分解.
【答案】（1）是；（2）k=-5；（3）m=279，222794845=-，222792011=-.
【解析】
【分析】
(1)根据9=52-42，确定9是“明礼崇德数”；
(2)根据题意分析N 应是两个完全平方式的差，得到k=-5，将k=-5代入计算即可将N 平方差分解，得到答案；
(3)确定“七喜数”m 的值，分别将其平方差分解即可.
【详解】
(1)∵9=52-42，
∴9是“明礼崇德数”，
故答案为：是；
(2)当k=-5时，N 是“明礼崇德数”，
∵当k=-5时，
22465N x y x y =-+--，
=224649x y x y -+-+-，
=22(44)(69)x x y y ++-++，
=22(2)(3)x y +-+，
=(23)(23)x y x y ++++--
=(5)(1)x y x y ++--.
∵,x y 是正整数，且1x y >+，
∴N 是正整数，符合题意，
∴当k=-5时，N 是“明礼崇德数”；
(3)由题意得：“七喜数”m=178或279，
设m=22a b -=（a+b ）（a-b ），
当m=178时，
∵178=2?89，
∴892a b a b +=??-=?，得45.543.5a b =??=?
（不合题意，舍去）； 当m=279时，
∵279=3?93=9?31，
∴①933a b a b +=??-=?，得4845
a b =??=?，∴222794845=-， ②319a b a b +=??-=?，得2011
a b =??=?，∴222792011=-， ∴既是“七喜数”又是“明礼崇德数”的m 是279，222794845=-，222792011=-.
【点睛】
此题考查因式分解，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解此题的前提，(3)是此题的难点，解题时需根据百位与个位数字的关系确定具体的数据，再根据“明礼崇德数”的要求进行平方差分解.
5．若一个整数能表示成22a b +（a ，b 是整数）的形式，则称这个数为“完美数”.例如，5是“完美数”，因为22521=+.再如，
()2
22222M x xy y x y y =++=++（x ，y 是整数），所以M 也是“完美数”. （1）请你再写一个小于10的“完美数”，并判断29是否为“完美数”；
（2）已知224412S x y x y k =++-+（x ，y 是整数，是常数），要使S 为“完美数”，试求出符合条件的一个2200-0=值，并说明理由.
（3）如果数m ，n 都是“完美数”，试说明mn 也是“完美数”．.
【答案】（1）8、29是完美数（2）S 是完美数（3）mn 是完美数
【解析】
【分析】
（1）利用“完美数”的定义可得；
（2）利用配方法，将S 配成完美数，可求k 的值
（3）根据完全平方公式，可证明mn 是“完美数”；
【详解】
(1) 22228,8+=∴是完美数；
222925,29=+∴是完美数 (2) ()222)2313S x y k =++-+-（ 13.k S ∴=当时，是完美数
(3) 2222,m a b n c d 设=+=+,则()()()()22
2222mn a b
c d ac bd ad bc =++=++- 即mn 也是完美数.
【点睛】
本题考查了因式分解的应用，完全平方公式的运用，阅读理解题目表述的意思是本题的关键．
6．图①是一个长为2m 、宽为2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．（1）请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积： 方法1： 方法2：
（2）观察图②请你写出下列三个代数式：（m+n ）2，（m ﹣n ）2，mn 之间的等量关系． ；
（3）根据（2）题中的等量关系，解决：已知：a ﹣b=5，ab=﹣6，求：（a+b ）2的值；
【答案】（1）（m-n ）2；（m+n ）2-4mn ；（2）（m-n ）2=（m+n ）2-4mn ；（3）1.
【解析】
【分析】
（1）方法1：表示出阴影部分的边长，然后利用正方形的面积公式列式；
方法2：利用大正方形的面积减去四周四个矩形的面积列式；
（2）根据不同方法表示的阴影部分的面积相同解答；
（3）根据（2）的结论整体代入进行计算即可得解．
【详解】
解：（1）方法1：∵阴影部分的四条边长都是m-n,是正方形，
∴阴影部分的面积=（m-n）2
方法2：∵阴影部分的面积=大正方形的面积减去四周四个矩形的面积
∴阴影部分的面积=（m+n）2-4mn；
（2）根据（1）中两种计算阴影部分的面积方法可知（m-n）2=（m+n）2-4mn；
（3）由（2）可知（a+b）2=（a-b）2+4ab，
∵a-b=5，ab=-6，
∴（a+b）2=（a-b）2+4ab=52+4×（-6）=25-24=1.
【点睛】
本题考查几何图形与完全平方公式，应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；主要围绕图形面积展开分析．
7．观察以下等式：
（x+1)(x2-x+1)=x3＋1
（x+3）（x2-3x+9）=x3+27
（x+6）（x2-6x+36）=x3+216
．．．．．．．．．．．．
(1)按以上等式的规律，填空：（a+b）（___________________）=a3+b3
(2)利用多项式的乘法法则，证明（1）中的等式成立.
(3)利用（1）中的公式化简：（x+y）（x2-xy+y2）-（x-y）（x2+xy+y2）
【答案】（1）a2-ab+b2；（2）详见解析；（3）2y3．
【解析】
【分析】
（1）根据所给等式可直接得到答案（a+b）（a2-ab+b2）=a3+b3；（2）利用多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加进行计算即可得到答案；（3）结合题目本身的特征，利用（1）中的公式直接运用即可．
【详解】
（1）（a+b）（a2-ab+b2）=a3+b3；
（2）（a+b）（a2-ab+b2）
=a3-a2b+ab2+a2b-ab2+b3
=a3+b3；
（3）（x+y）（x2-xy+y2）-（x-y）（x2+xy+y2）
=x3+y3-（x3-y3）
=2y3．
【点睛】
本题考查了多项式乘以多项式，关键是掌握多项式乘法法则，注意观察所给例题，找出其中的规律是解决本题的基本思路．
8．观察下列等式：
12×231=132×21，
13×341=143×31，
23×352=253×32，
34×473=374×43，
62×286=682×26，
…
以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”．
（1）根据上述各式反映的规律填空，使式子称为“数字对称等式”：
①52×=×25；
②×396=693×．
（2）设这类等式左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，且2≤a+b≤9，写出表示“数字对称等式”一般规律的式子（含a、b），并证明．
【答案】解：（1）①275；572.
②63；36.
（2）“数字对称等式”一般规律的式子为：
（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a），
证明见解析.
【解析】
【分析】
根据题意可得三位数中间的数等于两数的和，根据这一规律然后进行填空，从而得出答案；根据题意得出一般性的规律，然后根据多项式的计算法则进行说明理由．
【详解】
（1）①275,572; ②63,36；
（2）“数字对称等式”一般规律的式子为：
（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a）.
证明如下：
∵左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，
∴左边的两位数是10a+b，三位数是100b+10（a+b）+a，
右边的两位数是10b+a，三位数是100a+10（a+b）+b，
∴左边=（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]=（10a+b）（100b+10a+10b+a）
=（10a+b）（110b+11a）=11（10a+b）（10b+a），
右边=[100a+10（a+b ）+b]×（10b+a ）=（100a+10a+10b+b ）（10b+a ）
=（110a+11b ）（10b+a ）=11（10a+b ）（10b+a ），
∴左边=右边.
∴“数字对称等式”一般规律的式子为：
（10a+b ）×[100b+10（a+b ）+a]=[100a+10（a+b ）+b]×（10b+a ）.
考点：规律题
9．观察：22213-=；2222432110-+-=；22222265432121-+-+-=． 探究：（1）2222222287654321-+-+-+-= ．（直接写出答案）
（2）222222(2)(21)(22)(23)21n n n n --+---+-= ．（直接写出答案）
应用：（3）如图，20个圆由小到大套在一起，从外向里相间画阴影，最外面一层画阴影，最外面的圆的半径为20cm ，向里依次为19cm 、18cm 、……1cm ，那么在这个图形中，所有阴影部分的面积和是多少？（结果保留π）
【答案】（1）36；（2）83n -；（3）210π
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件，直接结算可得；
（2）根据观察可得规律：结果就是底数和；其实是运用平方差公式得到；
（3）根据题意列出式子，
()()()()()22222222222019181716154321ππππππππππ-+-+-++-+-，再根据上面规律简便运算．
【详解】
（1）2222222287654321-+-+-+-=15+21=36；
（2）222222(2)(21)(22)(23)21n n n n --+---+-
=
[][][][]()()2(21)2(21)(22)(23)(22)(23)2121n n n n n n n n +-?--+-+-?---++?-2(21)(22)(23)21n n n n =+-+-+-++
=83n -；
（3）由题意可得
阴影面积是：
()()()()()22222222222019181716154321ππππππππππ-+-+-++-+- =2019181716154321ππππππππππ++++++++++ =
()1202012
π??+ =210π
【点睛】 考核知识点：因式分解在运算中的应用．观察并找出规律，利用平方差公式分析问题是关键．
10．（观察）
1×49=49，2×48=96，3×47=141，…，23×27=621，24×26=624，25×25=625，26×24=624，27×23=621，…，47×3=141，48×2=96，49×1=49．
（发现）根据你的阅读回答问题：
（1）上述内容中，两数相乘，积的最大值为 ；
（2）设参与上述运算的第一个因数为a ，第二个因数为b ，用等式表示a 与b 的数量关系是 ．
（类比）观察下列两数的积：
1×59，2×58，3×57，4×56，…，m×n ，…，56×4，57×3，58×2，59×1．
猜想mn 的最大值为 ，并用你学过的知识加以证明．
【答案】（1）625；（2）a+b=50； 900；证明见解析.
【解析】
【分析】
发现：（1）观察题目给出的等式即可发现两数相乘，积的最大值为625；
（2）观察题目给出的等式即可发现a 与b 的数量关系是a ＋b ＝50；
类比：由于m ＋n ＝60，将n ＝60?m 代入mn ，得mn ＝?m 2＋60m ＝?（m?30）2＋900，利用二次函数的性质即可得出m ＝30时，mn 的最大值为900．
【详解】
解：发现：（1）上述内容中，两数相乘，积的最大值为625．
故答案为625；
（2）设参与上述运算的第一个因数为a ，第二个因数为b ，用等式表示a 与b 的数量关系是a+b=50．
故答案为a+b=50；
类比：由题意，可得m+n=60，将n=60﹣m 代入mn ，
得mn=﹣m 2+60m=﹣（m ﹣30）2+900，
∴m=30时，mn 的最大值为900．
故答案为900．
【点睛】
本题考查了因式分解的应用，配方法，二次函数的性质，是基础知识，需熟练掌握．
八年级数学《因式分解》单元测试题(有答案)
八年级数学《因式分解》单元测试题（有答案） 一、选择题 1．下列分解因式正确的是（） A. -x2＋4x＝-x(x＋4) B. x2＋xy＋x＝x(x＋y) C. x(x－y)＋y(y－x)＝(x－y)2 D. x2－4x＋4＝(x＋2)(x－2) 【分析】根据因式分解的步骤：先提取公因式，再用公式法分解即可求得答案，注意分解要彻底。 解：A.-x2＋4x＝-x(x－4),此项错误； B.x2＋xy＋x＝x(x＋y＋1),此项错误； C.x(x－y)＋y(y－x)＝(x－y)2正确； D.x2－4x＋4＝(x－2)2,此项错误。 【答案】C 【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式．注意因式分解的步骤：先提公因式，再 用公式法分解．注意分解要彻底． 2. 下列各式由左边到右边的变形，属于因式分解的是（） A．(x＋1)(x－1)＝x2－1 B．x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1 C．a2－4b2＝(a＋2b)(a－2b) D．a(x－y)＝ax－ay 【答案】C 3.多项式15a3b3＋5a2b－20a2b3中各项的公因式是（） A．a3b3B．a2b C．5a2b D．5a3b3 【答案】C 4．已知x2＋px＋q＝(x＋5)(x－1)，则p，q的值为（）A．4，5 B．4，－5 C．－4，5 D．－4，－5 【答案】B 5．若a为实数，则整数a2(a2－1)－a2＋1的值（） A．不是负数B．恒为正数C．恒为负数D．不等于0 【答案】A 6．下列多项式中不能用公式法分解的是（） A．－a2－b2＋2ab B．a2＋a＋1 4
C．－a2＋25b2D．－4－b2 【答案】D 7．把代数式3x3－12x2＋12x分解因式，结果正确的是（） A．3x(x2－4x＋4) B．3x(x－4)2C．3x(x＋2)(x－2) D．3x(x－2)2【答案】D 8．已知多项式x＋81b4可分解为(4a2＋9b2)(2a＋3b)(3b－2a)，则x的值是（）A．16a4B．－16a4C．4a2D．－4a2 【答案】B 二、填空题 9．分解因式：16﹣x2=__________． 【解析】16和x2都可写成平方形式，且它们符号相反，符合平方差公式特点，利用平方差 公式进行因式分解即可． 解：16-x2=（4+x）（4-x）． 【答案】（4+x）（4﹣x） 【点评】本题考查利用平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键． 10．分解因式：2x3﹣6x2+4x=__________． 【解析】首先提取公因式2x，再利用十字相乘法分解因式得出答案． 解：2x3﹣6x2+4x =2x（x2﹣3x+2） =2x（x﹣1）（x﹣2）． 【答案】2x（x﹣1）（x﹣2）． 【点评】此题主要考查了提取公因式法以及十字相乘法分解因式，正确分解常数项是解题关键． 11．分解因式：a2-5a =________． 【分析】利用提公因式法，将各项的公因式a提出，将各项剩下的因式写在一起，作为因式。解：原式=a(a-5) 【答案】a（a-5） 【点评】本题考查了用提公因式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止.
八年级数学因式分解与分式
八年级数学因式分解与分式测试题 一、选择题（每小题3分，共54分） 1.下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A ．(a +3)(a -3)=a 2-9 B.x 2+x -5=(x -2)(x +3)+1 C.a 2b +ab 2=ab (a +b ) D.x 2+1=x (x +x 1 ) 2.多项式xyz z y x z y x 682222643-+-可提出的公因式是（ ） A. 222z y x - B. xyz - C. xyz 2- D.2222z y x - 3、 已知的值是则22,4,6xy y x xy y x --==+（ ） A. 10 B.—10 C. 24 D.—24 4.若多项式()281n x -能分解成()()()2 49 2323x x x ++-，那么n=( ) A 、2 B 、4 C 、6 D 、8 5、 两个连续奇数是自然数）的平方差是和x x x (1212-+ （ ） A. 16的倍数 B.6的倍数 C.8的倍数 D.3的倍数 6、 等于20092008)2(2-+ （ ） A. 20082 B.20092 C. 20082- D.20092- 7、 下列各式中，不能用完全平方公式分解的是( ) A. xy y x 222++ B.xy y x 222++- C.xy y x 222+-- D.xy y x 222--- 8、 无论的值都是取何值，多项式、136422++-+y x y x y x （ ） A. 正数 B. 负数 C. 零 D. 非负数 9、若0≠-=y x xy ，则分式 =-x y 1 1（ ） A 、 xy 1 B 、x y - C 、1 D 、－1 10、三角形的三边a 、b 、c 满足()2230a b c b c b -+-=，则这个三角形的形状是( ) A 、等腰三角形 B 、等边三角形 C 、直角三角形 D 、等腰直角三角形 11.化简a b a b a b - -+等于( ) A.2222a b a b +- B.222()a b a b +- C.2222a b a b -+ D.222()a b a b +-
人教版初中八年级数学上因式分解教案
14．3因式分解 第1课时提公因式法 教学目标 1．了解因式分解公因式等相关的概念及与整式乘法的关系． 2．能找出多项式的公因式，会用提公因式法分解简单的多项式． 教学重点 会用提公因式法分解因式． 教学难点 正确理解因式分解的概念，准确找出公因式． 教学设计一师一优课一课一名师(设计者：) 教学过程设计 一、创设情景，明确目标 同学们，我们先来看下面两个问题： 1．630能被哪些数整除，说说你是怎么想的？ (2，3，5，7，9，10等) 2．当a＝101，b＝99时，求a2－b2的值． 对于问题1我们必须对630进行质因数分解，对于问题2，虽然可以直接代值进行计算，但有没有简单的方法使计算变得简单呢？这就是我们这节课要解决的问题． 二、自主学习，指向目标 自学教材第114页至115页，思考下列问题： 1．把一个多项式化成几个整式积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解 2．因式分解与整式的乘法之间的关系是互逆变形的关系． 3．公因式确定的方法是：①系数是各项系数的最大公约数，②因式的字母取各项都含有的字母；③因式的指数取最低次数． 三、合作探究，达成目标 探究点一因式分解的定义 活动一：填空并观察： (1)计算： x(x＋1)＝________； (x＋1)(x－1)＝________. (2)请你将下列各式写成乘积的形式： ①x2＋x＝________； ②x2－1＝________； ③am＋bm＋cm＝________. 展示点评：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫
做把这个多项式分解因式． 小组讨论：因式分解与整式乘法有什么关系？ 反思小结：因式分解是由一个多项式到几个整式积的变形，整式乘法是几个整式的积到一个多项式的变形，它们之间是互逆变形． 针对训练：见《学生用书》相应部分 探究点二公因式 活动二：填空： ①6与9的最大公约数是________； ②多项式ma＋mb＋mc的公因式是________． 展示点评：公因式的定义：组成多项式的各项都有一个公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式． 小组讨论：归纳确定公因式的方法 【反思小结】确定公因式的方法：(1)公因式的系数应取各项系数的最大公约数；(2)因式取各项相同的因式；(3)因式的指数取次数最低的 针对训练：见《学生用书》相应部分 探究点三提取公因式法分解因式 活动三：1.把多项式ma＋mb＋mc写成两个整式积的形式是： ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)，其中m是组成多项式各项的公因式，另一个因式a＋b＋c是ma＋mb＋mc除以m所得的商2．一般的，如果多项式的各项都有公因式，可以先把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式法．3．分解因式： (1)8a3b2＋12ab3c； (2) 2a(b＋c)－3(b＋c) 小组讨论：应用提取公因式法分解因式时，其关键是什么？另一个因式如何确定？ 展示点评：关键是确定公因式；另一个因式就是所要分解的多项式除以公因式所得的商解答过程见课本P115例1，例2 【反思小结】(1)应特别强调确定公因式的三个条件，以免漏取，即系数、所有相同的字母、指数；(2)当多项式的某一项恰好是公因式时，这项应看成它与1的乘积，提取公因式后剩下的应是1，1作为项的系数时可以省略，但如果单独成一项时不能漏掉．提取公因式后的项数应与原多项式的项数相等，这样可以检查是否漏项．(3)提取公因式时应先观察第一项系数的符号，或是负号时应用添括号法则提出负号，此时一定要把每一项都变号，然后再提取公因式． 针对训练：见《学生用书》相应部分 四、总结梳理，内化目标 1．因式分解与整式乘法之间的关系：整式乘法互逆变形因式分解； 2．确定公因式的方法． 3．提取公因式法分解因式应注意：①找公因式，提公因式，注意符号及不要漏项；②分解结果到每个因式不能再分解为止． 五、达标检测，反思目标 1．下列各式从左到右的变形为因式分解的是( C ) A．(a－2)(a＋2)＝a2－4 B．m2－1＋n2＝(m＋1)(n－1) C．8x－8＝8(x－1) D．x2－2x＋1＝x(x－2)＋1 2．多项式8a3b2－12ab3c＋16ab的公因式是__4ab__．
因式分解单元测试题及答案
因式分解单元测试题及 答案 集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN#
因式分解单元测试题 一、选择题(每小题3分，共30分) 1、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是( ) A 、()()2339a a a +-=- B 、()()22a b a b a b -=+- C 、()24545a a a a --=-- D 、23232m m m m m ??--=-- ?? ? 2、下列各式的分解因式：①()()2210025105105p q q q -=+- ②()()22422m n m n m n --=-+-③()()2632x x x -=+-④2 21142x x x ??--+=-- ???其中正确的个数有( ) A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 3、下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是( ) A 、()()4x y y x xy +-- B 、2224a ab b -+ C 、2144 m m -+ D 、()2221a b a b ---+ 4、当n 是整数时，()()222121n n +--是( ) A 、2的倍数 B 、4的倍数 C 、6的倍数 D 、8的倍数 5、设()()()()1112,1133 M a a a N a a a =++=-+，那么M N -等于( ) A 、2a a + B 、()()12a a ++ C 、21133a a + D 、()()1123 a a ++ 6、已知正方形的面积是()22168x x cm -+(x >4cm)，则正方形的周长是( ) A 、()4x cm - B 、()4x cm - C 、()164x cm - D 、()416x cm - 7、若多项式()281n x -能分解成()()()2492323x x x ++-，那么n=( ) A 、2 B 、4 C 、6 D 、8 8、已知48 21-可以被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数分别是( )
人教版八年级数学因式分解方法技巧.doc
学习资料收集于网络，仅供参考 因式分解方法技巧 专题一 分解因式的常用方法：一提二套三分，即先考虑各项有无公因式可提；再考虑能否运用公式来分解；最后检查每个因式是否还可以继续分解，以及分解的结果是否正确。 常见错误： 1、漏项，特别是漏掉 2、变错符号，特别是公因式有负号时，括号内的符号没变化 3、分解不彻底 ［例题］把下列各式因式分解： 1 2 x(y-x)+y(y-x)-(x-y) 5 2. a -a 2 2 3. 3(x -4x) -48 ［点拨］看出其中所含的公式是关键练习 3 1、3x -12x 2 2 2 2、2a(x 1) -2ax 2 3、3a 6a 5、一4a3+ 16a2b—26ab2 4 4 6、m -16 n
学习资料收集于网络，仅供参考 专题二 二项式的因式分解：二项式若能分解，就一定要用到两种方法：1提公因式法2平方差公 式法。先观察二项式的两项是否有公因式，然后再构造平方差公式，运用平方差公式 a 2-b 2=(a+b)(a-b)时，关键是正确确定公式中 a,b 所代表的整式，将 一个数或者一个整式化 成整式，然后通过符号的转换找到负号，构成平方差公式，记住要分解彻底。 平方差公式运用时注意点： 根据平方差公式的特点：当一个多项式满足下列条件时便可用平方差公式分解因式： A 、 多项式为二项式或可以转化成二项式； B 、 两项的符号相反； C 、 每一项的绝对值均可以化为某个数的平方，及多项式可以转化成平方差的形式； D 、 首项系数是负数的二项式，先交换两项的位置，再用平方差公式； E 、 对于分解后的每个因式若还能分解应该继续分解；如有公因式的先提取公因式 ［例题］分解因式：3(x+y)2-27 ［点拨］先提取公因式，在利用平方差公式分解因式，一次不能分解彻底的，应继续分解 练习 2 1 2 2 4)9a — b . 5) 25 — 16x ; 4 专题三 三项式的分解因式：如果一个能分解因式, 公 式法。先观察三项式中是否含有公因式, 或者a 2-2ab+b 2的形式 完全平方公式运用时注意点： A. 多项式为三项多项式式； B. 其中有两项符号相同，且这两项的绝对值均可以化为某两数(或代数式)的平方; C. 第三项为B 中这两个数(或代数式)的积的 2倍，或积的2倍的相反数。 1)x 5— x 3 2)m 4 -16 n 4 2 3)25 — 16x 6) 9a 2— - b 2. 4 「般用到下面2种方法：1提公因式法 2完全平方 然后再看三项式是否是完全平方式， 即a 2+2ab+b 2
八年级数学《因式分解》教案
因式分解 多项式ma+mb+mc 中的每一项都含有一个相同的因式m ，我们称之为公因式，把公因式提出来，ma+mb+mc=m(a+b+c)，这种方法叫做提取公因式法。 2222 2 2 )b a (b ab 2a ) b a (b ab 2a -=+-+=++ )b a )(b a (b a 2 2 -+=- 它们实际上是利用乘法公式对多项式进行因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法。 （二）典型例题 例1. 把下列多项式分解因式： ab 9a 3)2(a 25a 5)1(22 -+- 222 2 y 4xy 4x )4(y 16x 25)3(++- 解：)5a (a 5a 25a 5)1(2--=+- （2）)b 3a (a 3ab 9a 32 -=- )y 4x 5)(y 4x 5()y 4()x 5(y 16x 25)3(2 2 2 2 -+=-=- 22222)y 2x ()y 2(y 2x 2x y 4xy 4x )4(+=+??+=++
例2. 把下列多项式分解因式： 233 223xy 12x 3)2(xy y x 4y x 4)1(-++ 分析：这两个多项式都较为复杂，因为每个字母的指数都不为1，这种题目首先观察有无公因式，先提公因式，然后再利用公式分解因式。 解：)y xy 4x 4(xy xy y x 4y x 4)1(223223++=++ 2 22) y x 2(xy ]y y x 22)x 2[(xy +=+??+= )y 4x (x 3xy 12x 3)2(2223-=- ) y 2x )(y 2x (x 3] )y 2(x [x 322-+=-= 例3. 对下列多项式进行因式分解： 1m 9 4 )2()x y (b 2)y x (a 4)1(23 2---- 222y )x y (x 4)4(xy 8y 16x )3(--++ 分析：（1）题中(y-x)3 =[-(x-y)]3 =-(x-y)3 ，所以这两项中都有2(x-y)2 ，可先提取公因式。 （2）题观察“1”，1=12 ，故可用平方差公式分解。 （3）题利用加法交换律得x 2+8xy+16y 2 ，符合完全平方公式。 （4）题将多项式展开为4xy-4x 2-y 2=-4x 2+4xy-y 2=-（4x 2-4xy+y 2 ）符合完全平方公式，可用公式分解。 解：3 2 3 2 )y x (b 2)y x (a 4)x y (b 2)y x (a 4)1(-+-=--- ) by bx a 2()y x (2)]y x (b a 2[)y x (22 2-+-=-+-= )1m 3 2 )(1m 32(1)m 32(1m 94) 2(222-+=-=- 2 2 2 2 2 )y 4x (y 16xy 8x xy 8y 16x )3(+=++=++ 2 2 2 2 2 2 )y x 2()y xy 4x 4(y x 4xy 4y )x y (x 4)4(--=+--=--=-- 说明：（1）分解因式前一般不能直接分解的因式按某字母的降幂整理； （2）首项为“－”时可考虑用添括号法则使其变为“＋”； （3）运用公式时，应从项数、符号以及各项是否完全符合公式特征着手，不能滥用公式。 （4）在分解因式时，首先看是否有公因式。 例4. 将下列多项式进行因式分解：
八年级下因式分解单元测试
八年级下因式分解单元测 试 Prepared on 22 November 2020
大田二中八年级下数学《分解因式》单元试卷 (说明:考试时间90分钟, 总分100分 班级____________学号_____________姓名_____________ 一、选择题（把正确答案填写在答案表上，每小题2分，共20分） 1.下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（ ） (A)(a+3)(a-3)=a 2-9 (B)x 2 +x-5=(x-2)(x+3)+1 (C)a 2b+ab 2=ab(a+b) (D)x 2+1=x(x+x 1) 2.下列各式的因式分解中正确的是（ ） (A)-a 2+ab-ac= -a(a+b-c) (B)9xyz-6x 2y 2=3xyz(3-2xy) (C)3a 2x-6bx+3x=3x(a 2-2b) (D)21xy 2+21x 2y=2 1xy(x+y) 3.把多项式m 2(a-2)+m(2-a)分解因式等于（ ） (A)(a-2)(m 2+m) (B)(a-2)(m 2-m) (C)m(a-2)(m-1) (D)m(a-2)(m+1) 4.下列多项式能分解因式的是（ ） (A)x 2-y (B)x 2+1 (C)x 2+y+y 2 (D)x 2-4x+4 5.下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是（ ） (A)412m m ++ (B)222y xy x -+- (C)224914b ab a ++- (D)13292+-n n 6、c b a 、、是△ABC 的三边，且bc ac ab c b a ++=++222，那么△ABC 的形状是（ ） A 、直角三角形 B 、等腰三角形 C 、等腰直角三角形 D 、等边 三角形 7、分解因式14-x 得（ ） (A))1)(1(22-+x x (B)22)1()1(-+x x (C))1)(1)(1(2++-x x x （D)3)1)(1(+-x x 8.下列多项式中不能用平方差公式分解的是（ ）
初二数学整式的乘法与因式分解单元测试卷(A卷)
甲 乙 整式的乘法与因式分解单元测试卷(A 卷) 说明：请将答案或解答过程直接写在各题的空白处.本卷满分100分.考试时间90分钟 一、选择题：（每小题3分，共30分） 1.下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ） A 、bx ax b a x -=-)( B 、2 2 2 )1)(1(1y x x y x ++-=+- C 、)1)(1(12 -+=-x x x D 、c b a x c bx ax ++=++)( 2.分解因式14 -x 得（ ） A 、)1)(1(2 2-+x x B 、2 2)1()1(-+x x C 、)1)(1)(1(2 ++-x x x D 、3 )1)(1(+-x x 3.一个多项式分解因式的结果是)2)(2(3 3b b -+，那么这个多项式是（ ） A 、46 -b B 、6 4b - C 、46+b D 、46 --b 4.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ） A 、22)(b a -+ B 、mn m 2052- C 、22y x -- D 、92 +-x 5.如果2592 ++kx x 是一个完全平方式，那么k 的值是（ ） A 、15 B 、±5 C 、30 D 、±30 6.下列各式不能．． 继续因式分解的是 ( ) A 、41x - B 、22x y - C 、2()x y - D 、2 2a a + 7.下列多项式：① 16x 5-x ② (x-1)2 -4(x-1)+4 ③ (x+1)4 -4(x+1)2 +4x 2 ④ -4x 2 +4x-1 分解因式后，结果中含有相同因式的是 （ ） A 、① ② B 、③ ④ C 、① ④ D 、② ③ 8.已知多项式c bx x ++2 2分解因式为)1)(3(2+-x x ，则c b ,的值为（ ） A 、1,3-==c b B 、2,6=-=c b C 、4,6-=-=c b D 、6,4-=-=c b 9.从边长为a 的大正方形纸板中挖去一个边长为b 的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙）．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为 （ ） A ．222()a b a b -=- B ．222 ()2a b a ab b +=++ C ．222()2a b a ab b -=-+ D ．22 ()()a b a b a b -=+- 10.△ABC 的三边满足a 2-2bc=c 2 -2ab ，则△ABC 是（ ） A 、等腰三角形 B 、直角三角形 C 、等边三角形 D 、锐角三角形 二、填空题（每小题3分，共24分） 11.因式分解：2()1xy -= ． 12.多项式2,12,2 223--+++x x x x x x 的公因式是___________. 13.若x 2 +2(m-3)x+16是完全平方式，则m=___________. 14.已知正方形的面积是2 269y xy x ++ （x>0，y>0）,利用分解因式，写出表示该正方形的边长的代数 式 。 15.因式分解：=-a a 422 ． 16.因式分解：3ab 2＋a 2b ＝_______． 17.分解因式 m 3 – 4m = . 18.= 2271.229.7－； =?-?+?84.086.788.2 . 三、解答题（本部分共5题，合计46分） 19.（12分）把下列各式因式分解 （1）2 2 4 124n mn m ++ （2） 3123x x - （3） y 3－4 y 2＋4y （4）2 2168y x xy --
八年级下册数学《因式分解》笔记
《因式分解》单元复习 一、一把地，对于两个多项式f 与g ，如果有多项式h 使得f=gh,那么我们把g 叫做f 的一个因式，此时，h 也是g 的一个因式。 二、一般地，把一个多项式表示成若干个多项式的乘积的形式，称把这个多项式因式分解。 练一练：下列各式由左边到右边的变形，哪些是因式分解？ （1）.222)(2b a b ab a +=++2)2)(3(42+-+=-+m m m m （2）.1)2(41842--=--x x x x （3）. )1(22--=--bx ax x x bx ax 三、因式分解的注意事项：有公因式的先提公因式； 括号内要合并同类项； 括号内首项系数要为正；括号内不能再分解。 四、因式分解的方法 1.提公因式法:形如ma mb mc m a b c ++=++() 练一练：把下列多项式因式分解： （1）-2ab 2+4a 2b-10b （2） )2(3)2(---x x x （3）)2(3)2(x x x --- （4）22))(())((a b c a b a c a ----+ 2、 公式法:平方差公式: a b a b a b 22-=+-()()； 完全平方公式：a ab b a b 2222±+=±() 练一练：①把16-(x+y)2 因式分解 ②计算：222012201240262013+?-
3、十字相乘法 ： x p q x pq x p x q 2+++=++()()() 练一练：把2914x x ++分解因式 4、分组分解法 （①分组后能直接提公因式 ②分组后能直接运用公式）。 练一练： ①bn bm an am +++： ②2222c b ab a -+-
因式分解单元测试卷(附答案)
第3章 因式分解水平测试 （总分：120分，时间：90分钟） 学校 班级 座号 姓名 一、选择题（每题3分，共24分） 1.－（3a+5）（3a －5）是多项式（ ）分解因式的结果. A 、9a 2－25 B 、9a 2+25 C 、－9a 2－25 D 、－9a 2+25 2、多项式9x m y n － 1－15x 3m y n 的公因式是（ ） －1 －1 3.已知54－1能被20~30之间的两个整数整除，则这两个整数是（ ） A 、25，27 B 、26，28 C 、24，26 D 、22，24 4、如果多项式－ 51abc +51ab 2－a 2b c 的一个因式是－5 1 ab ,那么另一个因式是（ ） －b +5ac +b －5ac －b +51ac +b －5 1 ac 5、用提取公因式法分解因式正确的是（ ） －9a 2b 2=3abc (4－3ab ) －3xy +6y =3y (x 2－x +2y ) C.－a 2+ab －ac =－a (a －b +c ) +5xy －y =y (x 2+5x ) 6、64－（3a －2b ）2分解因式的结果是（ ）. A 、（8+3a －2b ）（8－3a －2b ） B 、（8+3a+2b ）（8－3a －2b ） C 、（8+3a+2b ）（8－3a+2b ） D 、（8+3a －2b ）（8－3a+2b ） 7、8a (x －y )2－4b (y －x )提取公因式后，剩余的因式是（ ） +2ay+b +2ay-b +b 8、下列分解因式不正确的是（ ）. A 、4y 2－1=（4y ＋1）（4y －1） B 、a 4+1－2a 2=（a －1）2（a+1）2 C 、 2 291314923x x x ?? -+=- ??? D 、－16+a 4=（a 2＋４） （a －2）（a ＋2） 二、填空题（每题3分，共24分） 1、将9（a+b ）2－64（a －b ）2分解因式为____________. 2、－xy 2(x +y )3+x (x +y )2的公因式是__ ______. 3、x 2+6x+9当x=___________时，该多项式的值最小，最小值是_____________. 4、5(m －n )4－(n －m )5可以写成________与________的乘积. 5、100m 2+（_________）mn 2+49n 4=（____________）2. 6、计算：36×29－12×33=________. 7、将多项式42 +x 加上一个整式，使它成为完全平方式，试写出满足上述条件的三个整式： ， ， . 8、)(22?=+++n n n n a a a a 三、解答题（共72分） 1、分解因式：(24分） （1）(x 2+y 2)2-4x 2y 2 （2）x 2-2xy +y 2-mx +my （3）a (x －a )(x +y )2－b (x －a )2(x +y ) (4)12ab －6（a 2＋b 2） (5)196（a+2）2－169（a+3）2 (6) ()()2 2141m m m --- 2、若a =－5,a +b +c =－，求代数式a 2(－b －c )－(c +b )的值.（6分）
初中数学-《因式分解》单元测试卷(有答案)
初中数学-《因式分解》单元测试卷 一、选择 1．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（） A．x（a﹣b）=ax﹣bx B．x2﹣1+y2=（x﹣1）（x+1）+y2 C．x2﹣1=（x+1）（x﹣1）D．ax+bx+c=x（a+b）+c 2．将多项式﹣6a3b2﹣3a2b2+12a2b3分解因式时，应提取的公因式是（） A．﹣3a2b2B．﹣3ab C．﹣3a2b D．﹣3a3b3 3．下列各式是完全平方式的是（） A．x2+2x﹣1 B．1+x2C．x2+xy+1 D．x2﹣x+ 4．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（） A．a2+（﹣b）2B．5m2﹣20mn C．﹣x2﹣y2D．﹣x2+9 5．下列各式中，不含因式a+1的是（） A．2a2+2a B．a2+2a+1 C．a2﹣1 D． 6．多项式①2x2﹣x，②（x﹣1）2﹣4（x﹣1）+4，③（x+1）2﹣4x（x+1）+4，④﹣4x2﹣1+4x；分解因式后，结果含有相同因式的是（） A．①④ B．①② C．③④ D．②③ 7．下面的多项式中，能因式分解的是（） A．m2+n B．m2﹣m+1 C．m2﹣n D．m2﹣2m+1 二、填空 8．5x2﹣25x2y的公因式为． 9．a2﹣2ab+b2、a2﹣b2的公因式是． 10．若x+y=1，xy=﹣7，则x2y+xy2= ． 11．简便计算：﹣= ． 12．若|a﹣2|+b2﹣2b+1=0，则a= ，b= ． 13．若x2+2（m﹣1）x+36是完全平方式，则m= ． 14．如图所示，根据图形把多项式a2+5ab+4b2因式分解= ． 三、解答题 15．因式分解：
八年级下册数学 因式分解
八年级下册数学因式分解 因式分解 考点一：因式分解的概念 例1 （2013?株洲）多项式x2+mx+5因式分解得（x+5）（x+n），则m= ，n= ． 思路分析：将（x+5）（x+n）展开，得到，使得x2+（n+5）x+5n与x2+mx+5的系数对应相等即可．解：∵（x+5）（x+n）=x2+（n+5）x+5n，∴x2+mx+5=x2+（n+5）x+5n ∴ 5 55 n m n += ? ? = ? ，∴ 1 6 n m = ? ? = ? ， 故答案为6，1． 点评：本题考查了因式分解的意义，使得系数对应相等即可． 对应训练 1．（2013?河北）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（） A．a（x-y）=ax-ay B．x2+2x+1=x（x+2）+1 C．（x+1）（x+3）=x2+4x+3 D．x3-x=x（x+1）（x-1） 考点二：因式分解 例2 （2013?无锡）分解因式：2x2-4x= ． 思路分析：首先找出多项式的公因式2x，然后提取公因式法因式分解即可． 解：2x2-4x=2x（x-2）． 故答案为：2x（x-2）． 点评：此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是掌握找公因式的方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的． 例3 （2013?南昌）下列因式分解正确的是（） A．x2-xy+x=x（x-y）B．a3-2a2b+ab2=a（a-b）2 C．x2-2x+4=（x-1）2+3 D．ax2-9=a（x+3）（x-3） 思路分析：利用提公因式法分解因式和完全平方公式分解因式进行分解即可得到答案． 解：A、x2-xy+x=x（x-y+1），故此选项错误； B、a3-2a2b+ab2=a（a-b）2，故此选项正确； C、x2-2x+4=（x-1）2+3，不是因式分解，故此选项错误； D、ax2-9，无法因式分解，故此选项错误．
初二数学因式分解讲解
十字相乘法 一、导入 二、前一节课我们学习了关于x2+（p+q）x+pq这类二次三项式的因式分解，这类式子的特点是：二次项系数为1，常数项是两个数之积，一次项系数是常数项的两个因数之和。 因此，我们得到x2+（p+q）x+pq=（x+p）(x+q). 课前练习：下列各式因式分解 1．- x2+2 x+15 2．（x+y）2-8（x+y）+48； 3．x4-7x2+18；4．x2-5xy+6y2。 答：1．-（x+3）（x-5）；2．（x+y-12）（x+y+4）； 3．（x+3）（x-3）（x2+2）；4．（x-2y）（x-3y）。 我们已经学习了把形如x2+px+q的某些二次三项式因式分解，也学习了通过设辅助元的方法把能转化为形如x2+px+q型的某些多项式因式分解。 对于二次项系数不是1的二次三项式如何因式分解呢？这节课就来讨论这个问题，即把某些形如ax2+bx+c的二次三项式因式分解。 二、新课 例1 把2x2-7x+3因式分解。 分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数。 分解二次项系数（只取正因数）： 2=1×2=2×1； 分解常数项： 3=1×3=3×1=（-3）×（-1）=（-1）×（-3）。 用画十字交叉线方法表示下列四种情况： 1 1 1 3 1 -1 1 -3 2 × 3 2 ×1 2 ×-3 2 ×-1 1×3+2×1 1×1+2×3 1×（-3）+2×（-1）1×（-1）+2×（-3） =5 =7 = -5 =-7 经过观察，第四种情况是正确有。这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数-7。 解2x2-7x+3=（x-3）（2x-1）。 一般地，对于二次三项式ax2+bx+c（a≠0），如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2排列如下： a1c1 a2×c2 a1c2 + a2c1 按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即 ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2）。 像这种借助开十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法。 例2把6x2-7x-5分解因式。 分析：按照例1的方法，分解二次项系数6及常数项-5，把它们分别排列，可有8种不同的排列方法，其
因式分解单元测试题
因式分解单元测试题 一、选择题(每小题3分，共30分) 1、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是( ) A 、()()2339a a a +-=- B 、()()22a b a b a b -=+- C 、()24545a a a a --=-- D 、2 3232m m m m m ??--=-- ??? 2、下列各式的分解因式： ①()()2 2 10025105105p q q q -=+- ②()()2 2 422m n m n m n --=-+- ③()()2 632x x x -=+- ④2 21142x x x ??--+=-- ?? ? 其中正确的个数有( ) A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 3、下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是( ) A 、()()4x y y x xy +-- B 、2 2 24a ab b -+ C 、2 144 m m -+ D 、()2 221a b a b ---+ 4、当n 是整数时，()()2 2 2121n n +--是( ) A 、2的倍数 B 、4的倍数 C 、6的倍数 D 、8的倍数 5、设()()()()11 12,1133 M a a a N a a a = ++=-+，那么M N -等于( ) A 、2 a a + B 、()()12a a ++ C 、21133a a + D 、()()1123 a a ++ 6、已知正方形的面积是( )2 2 168x x cm -+(x >4cm)，则正方形的周长是( ) A 、()4x cm - B 、()4x cm - C 、()164x cm - D 、()416x cm - 7、若多项式 () 281n x -能分解成()()()2492323x x x ++-，那么n=( ) A 、2 B 、4 C 、6 D 、8 8、已知48 2 1-可以被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数分别是( ) A 、61，62 B 、61，63 C 、63，65 D 、65，67
八年级数学上册整式的乘法与因式分解单元测试卷(含答案)
1 第十四章 整式的乘法与因式分解 (时间：60分钟 满分：100分) 一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分） 1.下列各式运算正确的是（ ） A.532a a a =+ B.532a a a =? C.632)(ab ab = D.5210a a a =÷ 2. 计算232(3)x x ?-的结果是（ ） A. 56x B. 62x C.62x - D. 56x - 3．计算32)21 (b a -的结果正确的是（ ） A. 2441 b a B.3681b a C. 3681b a - D.53 18a b - 4. 44221625)(______)45(b a b a -=+-括号内应填（ ） A 、2245b a + B 、2245b a + C 、2245b a +- D 、2245b a -- 5.如图，阴影部分的面积是( ) A ．xy 27 B ．xy 29 C ．xy 4 D ．xy 2 6.()()22x a x ax a -++的计算结果是( ) A. 3232x ax a +- B. 33x a - C.3232x a x a +- D.222322x ax a a ++- 7．下面是某同学在一次测验中的计算摘录 ①325a b ab +=； ②33345m n mn m n -=-；③5236)2(3x x x -=-?； ④324(2)2a b a b a ÷-=-； ⑤()235a a =；⑥()()32a a a -÷-=-． 其中正确的个数有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D. 4个 8.下列分解因式正确的是( ) A.32(1)x x x x -=-． B.2(3)(3)9a a a +-=- C. 29(3)(3)a a a -=+-. D.22()()x y x y x y +=+-. 9. 如(x ＋m )与(x ＋3)的乘积中不含x 的一次项，则m 的值为( )． A ．0 B ．3 C ．－3 D ． 1
八年级数学因式分解过关练习题有答案.doc
2019-2020 年八年级数学因式分解过关练习题有答案 1．将下列各式分解因式 （ 1） 3p 2 ﹣6pq 2．将下列各式分解因式 3 （ 1） x y ﹣ xy 3．分解因式 （ 1） a 2 （ x ﹣ y ） +16 （y ﹣ x ） 2 （ 2） 2x +8x+8 3 2 2 （ 2） 3a ﹣ 6a b+3ab ． 2 2 2 2 2 （ 2）（ x +y ） ﹣ 4x y 4．分解因式： （1） 2x 2 ﹣x 2 （ 3） 6xy 2 ﹣ 9x 2 3 （ 4） 4+12（ x ﹣ y ）+9 （ x ﹣y ） 2 （2） 16x ﹣ 1 y ﹣ y 5．因式分解： 2 ﹣ 8a （ 2）4x 3 2 2 （1） 2am +4x y+xy 6．将下列各式分解因式： （1） 3x ﹣ 12x 3 2 2 2 2 2 （ 2）（ x +y ） ﹣ 4x y 2 2 3 2 2 7．因式分解： （ 1） x y ﹣ 2xy +y （2）（ x+2y ） ﹣ y 8．对下列代数式分解因式：
（1） n 2 （ m﹣ 2）﹣ n（ 2﹣m）（2）（x﹣1）（x﹣3）+1 2 2 9．分解因式： a ﹣ 4a+4﹣ b 2 2 10．分解因式： a ﹣ b ﹣ 2a+1 11．把下列各式分解因式： 4 2 4 2 2 （1） x ﹣ 7x +1 （ 2） x +x +2ax+1 ﹣ a 2 2 2 4 （1﹣ y）2 4 3 2 （3）（ 1+y）﹣ 2x （ 1﹣ y ） +x （4） x +2x +3x +2x+1 12．把下列各式分解因式： 3 ﹣ 31x+15；2 2 2 2 2 2 4 4 4 ； 5 （1） 4x （ 2）2a b +2a c +2b c ﹣ a ﹣ b ﹣ c （3） x +x+1 ； 3 2 4 3 2 （4） x +5x +3x ﹣ 9；（ 5）2a ﹣ a ﹣ 6a ﹣a+2．
因式分解单元检测
因式分解单元检测 一、选择题 1．若a 2-b 2=14 ，a-b=12，则a+b 的值为（ ） A ．-12 B ．1 C ．12 D ．2 【答案】C 【解析】 【分析】 已知第二个等式左边利用平方差公式分解后，将第一个等式变形后代入计算即可求出． 【详解】 ∵a 2－b 2=（a+b ）(a-b)=12(a+b)=14 ∴a+b= 12 故选C. 点睛：此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 2．下列多项式不能使用平方差公式的分解因式是( ) A ．22m n -- B ．2216x y -+ C ．22b a - D ．22449a n - 【答案】A 【解析】 【分析】 原式各项利用平方差公式的结构特征即可做出判断． 【详解】 下列多项式不能运用平方差公式分解因式的是22m n --． 故选A ． 【点睛】 此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 3．把代数式322363x x y xy -+分解因式，结果正确的是（ ） A ．(3)(3)x x y x y +- B ．223(2)x x xy y -+ C ．2(3)x x y - D ．23()x x y - 【答案】D 【解析】 此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有3项，可采用完全平方公式继续分解．
解答：解：322363x x y xy -+， =3x （x 2-2xy+y 2）， =3x （x-y ）2． 故选D ． 4．已知12,23x y xy -==，则43342x y x y -的值为( ) A ．23 B ．2 C ．83 D ．163 【答案】C 【解析】 【分析】 利用因式分解以及积的乘方的逆用将43342x y x y -变形为(xy)3(2x-y)，然后代入相关数值进 行计算即可． 【详解】 ∵12,23x y xy -==， ∴43342x y x y - =x 3y 3(2x-y) =(xy)3(2x-y) =23×13 =83 ， 故选C ． 【点睛】 本题考查了因式分解的应用，代数式求值，涉及了提公因式法，积的乘方的逆用，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． 5．下列等式从左到右的变形属于因式分解的是（ ） A ．a 2﹣2a +1＝（a ﹣1）2 B ．a （a +1）（a ﹣1）＝a 3﹣a C ．6x 2y 3＝2x 2?3y 3 D ．mx ﹣my +1＝m （x ﹣y ）+1 【答案】A 【解析】 【分析】 直接利用因式分解的定义分析得出答案． 【详解】 解：A 、a 2﹣2a+1＝（a ﹣1）2，从左到右的变形属于因式分解，符合题意； B 、a （a+1）（a ﹣1）＝a 3﹣a ，从左到右的变形是整式乘法，不合题意；