@@@情境五,2 构件的基本变形与强度计算.
情景五构件的基本变形与强度计算
情境描述
本情境的研究对象是变形固体，属于材料力学的范畴。工程构件的基本变形与强度计算不仅是本情境的学习重点，也是工程力学课程的学习重点。已学过的刚体静力分析的基本概念与理论以及静力平衡问题（属于静力学范畴）为学习本情境打下了基础。情境五将重点讨论工程构件的四种基本变形和强度、刚度计算，除为后续课程（机械构件及工装夹具设计）提供最基本的原理和方法外，还力图为同学们的终身学习与职业生涯发展以及工程素养的培养寻求（奠定）科学支撑。学习目标
● 明确材料力学的任务、研究对象与方法，理解变形固体的基本假设，认知工程构件的四种基本变形，建立起强度、刚度、稳定性的概念。● 建立起内力、应力的概念，理解并测定材料的机械性能指标，能用截面法求拉（压）杆横截面上的正应力，并能对拉（压）杆进行强度校核、截面尺寸选择和确定结构的许用载荷。
● 理解连接件剪切与挤压破坏的受力和变形特点，能正确地判断剪切面和挤压面，能熟练运用剪切强度条件和挤压强度条件对连接件进行强度计算。
● 建立圆轴扭转变形的相关概念，正确绘制扭矩图，熟悉横截面上剪应力的分布规律，并能应用圆轴的强度、刚度条件对扭转圆轴进行设计计算。● 熟悉平面弯曲概念，会将实际受弯构件简化成梁的力学模型，熟悉纯弯曲时截面上正应力分布规律，能绘出弯矩图并对直梁进行弯曲强度计算，找出提高梁弯曲强度的主要措施。
● 培养工程意识、质量意识与社会责任意识。
学习任务
● 变形固体及其相关概念认知。
● 轴向拉（压）杆的变形及其强度计算。
● 连接件剪切与挤压变形及其实用计算。
● 圆轴的扭转变形及其强（刚）度计算。
● 直梁弯曲的强（刚）度计算。
任务五直梁弯曲的强（刚）度计算
【能力目标】
?能正确地建立剪力方程与弯矩方程并画出剪力图和弯矩图。?能计算纯弯曲梁横截面上的正应力。
?能运用弯曲强度条件进行设计计算，并能拟定提高梁抗弯曲能力的措施。?能运用梁的刚度条件校核其刚度。
?会查型钢表。
【知识目标】
?理解平面弯曲、弯矩、纯弯曲、弯曲正应力、惯性矩、抗弯截面模量、挠曲线、挠度和转角等基本概念。
?了解纯弯曲时梁的正应力公式推导过程，掌握纯弯曲时横截面上正应力的计算公式及其分布规律。
?掌握简单载荷作用下梁的变形计算方法。
【重点难点】
重点：绘制剪力图和弯矩图，梁弯曲时的正应力计算，强度计算，用叠加法计算弯曲变形，刚度条件。
难点：绘制剪力图和弯矩图，确定危险截面和危险点。
【学习资料导读】
5.5 直梁的弯曲
5.5.1 平面弯曲概念认知
一、平面弯曲
在工程结构和机械零件中，存在着大量的弯曲问题。例如图5-5-1所示的桥式起重机横梁AB，在载荷F和自重q的作用下将变弯。又如图5-5-2所示的车刀，在切削力P作用下也会发生弯曲。可见，当直杆受到垂直于轴线的外力（即横向力）作用，其轴线将由直线变为曲线。凡是以弯曲变形为主的杆件通常称为梁。梁是机器设备和工程结构中最常见的构件。
图5-5-1 桥式起重机图5-5-2 车刀工程结构与机器中的直梁，其横截面一般都具有一个对称轴y（见以上二图中的y y轴），则对称轴与梁的轴线所构成的
平面称为纵向对称平面（图5-5-3）。
当作用在梁上的所有外力（包括力
偶）都位于这个对称平面内，梁变
形以后的轴线将是此对称面内的一
条平面曲线，这种弯曲称为平面弯
曲。平面弯曲是弯曲问题中较为简
单而又经常遇到的情形。
二、梁及其载荷的类型
在工程实际中，梁的支座情况
和载荷作用形式是复杂多样的，为
了便于研究，对它们常作一些简化。
通过对支座的简化，一般将梁分为
下列三种基本形式：
1、简支梁如图5-5-1所示桥式起重机的横梁AB，可以简化成一端为固定铰链支座，另一端为活动铰链支座的梁。这样简化的支座，其约束力与实际结构是等效的，这种梁称为简支梁。
2、悬臂梁如图5-5-2所示的车刀，可简化成一端为固定端，一端为自由端的约束情况。因固定端可以阻止梁移动和转动，故有一约束反力和一约束反力偶，也与实际结构等效，这种梁称为悬臂梁。
3、外伸梁如图5-5-4所示的车床主轴，它的支座可简化成与简支梁一样的形式，但
梁的一端（或两端）向支座外伸出，并在外伸端有载荷作用。这种梁称为外伸梁。
图5-5-4 车床主轴
作用在梁上的外力包括载荷及约束反力。梁的载荷可分为三种情况（图5-5-3）： 1、集中载荷P 分布在很短的一段梁上的横向载荷，可视为集中作用于一点，这种载荷称为集中载荷。它的单位是N或kN等。
2、分布载荷q 载荷分布在梁的一段长度上，若是均匀分布则称为均布载荷，否则为非均布载荷。它的单位是Nm或kNm等。
3、集中力偶M 当载荷分布在很短一段梁上且形成一个力偶时称为集中力偶。它的单位是N?m或kN?m等。
作用在上述三种梁上的载荷和约束反力，构成一个平衡的平面力系，而且约束反力的未知量都不超过相应力系的平衡方程数，这种梁称为静定梁。为了减少梁的变形，工程上有时会增加支座约束的数量，这时单凭静力学平衡条件就不能完全求出约束反力，这种梁称为超静定梁（图5-5-5）。求解超静定梁的约束反力，需要考虑梁的变形条件。
（a）（b）图5-5-5 超静定梁
5.5.2 梁弯曲时的内力——剪力和弯矩
一、剪力和弯矩
梁在载荷作用下要发生变形，因而截面上将产生相互作用的内力，计算内力的方法仍然是截面法。
设一简支梁AB（图5-5-6a），长为
l，在纵向对称平面内作用有横向外力P
和集中力偶M。若约束反力RA和RB已求出，现计算横截面m-m上的内力。为此，用截面法假想沿m-m截面将梁分为两部分，取截面以左部分为研究对象，该
段梁应满足平衡条件。横截面上应有一个
与外力平衡的内力Q和一个位于纵向对称面内的内力偶矩M，Q和M分别称为该横截面的剪力和弯矩，如图5-5-6b所示。按平衡条件，有
∑Fy=0，Q=RA-P
∑mC(F)=0，M=RAx-P(x-a)+Mo
方程中的C为横截面的形心。若取梁的右段为研究对象，也可以求得截面m-m 上的剪力和弯矩，且数值与上述结果相等，但剪力的方向及弯矩的转向相反，因为它们是作用与反作用的关系，如图5-5-6c所示。
为使取左段和取右段得到的剪力和弯矩符号一致，可结合变形规定内力的正负：在截面附近的微段梁上，剪切变形左上右下则剪力为正，反之为负（图5-5-7）；弯曲变形上凹下凸则弯矩为正，反之为负（图5-5-8）。
根据上面的计算，可以总结出计算剪力与弯矩的规律：梁内任一横截面上的剪力，等于该截面任意一侧梁上所有横向外力的代数和；梁内任一横截面上的弯矩，等于该截面任意一侧梁上所有外力对该截面形心的力矩的代数和。
（a）（b）（a）（b）
图5-5-7 剪力的符号规定图5-5-8 弯矩的符号规定
二、剪力图和弯矩图
梁在外力作用下，不同截面上的剪力和弯矩一般是不相等的，其中剪力或弯矩最大的截面对梁来说都是危险截面，而这两种危险截面一般并不重合，要确定危险截面的位置，必须知道剪力和弯矩沿轴线的变化规律。为此，常取以梁的左端为原点向右为正的坐标为x轴，把梁上各截面的剪力和弯矩分别写成x的函数。
Q=Q(x)??M=M(x)?即（5-5-1）
上述两式称为剪力方程和弯矩方程。应该注意，在列剪力方程和弯矩方程时，应根据梁上载荷的分布情况分段进行，集中力（包括支座反力）、集中力偶的作用点和分布载荷的起、止点均为分段点。
为了直观地表明剪力和弯矩沿轴线的变化情况，通常按剪力方程和弯矩方程绘出函数图形，这种图形分别称为剪力图和弯矩图。画图时取一条与轴线平行的直线作为横坐标，表示
各截面的位置，用纵坐标表示相应截面上的剪力和弯矩，正内力画在横坐标的上侧，负内力画在下侧。
【例5-5-1】图5-5-9a所示的简支梁，受均布载荷q作用，试作此梁的剪力图和弯矩图。
解：（1
）求支座反力由平衡方程可求得
RA=ql2 RB=q2l
（2）列内力方程由于载荷均布在梁的全长上，中间又无其他外力，故全梁只有一组内力方程。
取距梁左端为x的任一横截面（图5-5-9a)，此截面上的内力方程为
Q=RA-qx=ql2-qx (0 2-qx 22 (0≤x≤l) (b) (3)作内力图式(a)表示剪力图是一条直线，当x=0时，Q=ql2；当x=l时，Q=- ql2。根据这两个坐标即可绘出剪力图，如图5-5-9b所示。 式(b)表示弯矩图为一抛物线，当x=0时，M=0；当x=l时，M=0；当x=l2时，M=ql28。结合抛物线特点，即可绘出弯矩图，如图5-5-9c所示。 由图可见，梁的两端剪力最大，而中点弯矩最大，且 Qmax=ql2 Mmax=ql2 【例5-5-2】简支梁AB（图5-5-10a)受一集中力P作用。求作剪力图和弯矩图。解：(1)求支座反力 RA=Pb RB=Pa (2)分段列内力方程集中力P作用在C点，梁在AC和CB两段的内力情况不同，故要分段研究。 在AC段内取距左端为x1的任一截面（图5-5-10a)，该截面的剪力方程和弯矩方程分 别是 Q=RA=Pbl (0＜x1＜a) (a) M=RAx1=Pbx1l (0≤x1≤a) (b) 在CB段内取距左端为x2的任一截面（图5-5-10a)，则该截面的剪力方程和弯矩方程 分别为 Q=RA-P=-Pal (a＜x2＜l) (c) M=RAx2-P(x2-a)=Pbx2l-P(x2-a) (a≤x2≤l) (d) (3)作内力图由式(a)和式(c)可知，剪力图是两水平直线（图5-5-10b）。由式(b)可知AC段的弯矩图是一条直线，且当x1=0时，M=0；当x1=a时，M=Pal。同理，由式(d)可知CB段的弯矩图也是一条直线，且当x2=a时， M=0。M=Pa；l当x2=l时，由以上四组坐标值即可绘出该梁的弯矩图，如图5-5-10c 所示。 若设a>b，则绝对值最大的剪力在CB段内，最大弯矩在C截面上，且 Qmax=Pal Mmax=Pab 【例5-5-3】图5-5-11a为一简支梁,在C点处受一集中力偶Mo作用。试作剪力图 和弯矩图。 解：(1)求支座反力： RA=Mol RB=-Mol 图5-5-11 集中力偶作用的简支梁内力图 (2)分段列出内力方程 AC段的内力方程为（图5-5-11a) Q=Mo （0＜x1≤a） (a) M=Mox1l （0≤x1＜a） (b) CB 段的内力方程为（图5-5-11a) Q=Mo (a≤x2＜l) (c) M=Mox2l-Mo (a＜x2≤l) (d) (3)作内力图由式(a)和式(c)可知，梁的剪力图是一条水平直线（图5-5-11b）。由式(b)可知，AC段内的弯矩图为一条直线，当x1=0时，M=0；当x1=a时， CB段内的弯矩图也是一条直线，M=Moal。M=-M0bl；由式(d)可知，当x2=a 时， 当x2=l时，M=0。于是可绘出弯矩图，如图5-5-11c所示。 由图可见，若b>a，则最大弯矩发生在C截面右侧，且M max =Mobl。 综合以上各例可见，在梁上集中力作用处，Q(x)不连续，Q图发生突变，突变的方向和数值与集中力相同（从左向右作图）；M图发生转折。集中力偶作用处，M(x)不连续， Q图无变化；M图发生突变，突变的数值与集中力偶矩相同，顺时转向向上突变，反之向 下突变（从左向右作图）。 5.5.3 梁弯曲时的应力及强度条件 一、纯弯曲梁的正应力 在确定了梁横截面上的内力之后，还要进一步研究截面上的应力。不仅要找出应力在截面上的分布规律，还要找出它和整个截面上的内力之间的定量关系，从而才能建立梁的强度条件，进行强度计算。 一般情况下，梁截面上既有弯矩，又有剪力。对于横截面上的某点而言，则既有正应力又有剪应力。但是，梁的强度主要取决于截面上的正应力，剪应力居于次要地位。所以本节将讨论梁在纯弯曲（截面上没有剪力）时横截面上的正应力。一简支梁在两个对称位置上受集中力P作用 时，梁的计算简图、剪力图和弯矩图如图5-5-13 所示。梁在AC和DB两段内，各横截面上既有弯 矩M又有剪力Q，这种弯曲称为剪切弯曲；而在 梁的CD段内，横截面上只有弯矩没有剪力，且全 段内弯矩为一常数，这种情况的弯曲称为纯弯曲。 纯弯曲是杆件的一种基本变形形式，也是弯曲问题 中最简单的情形。 为了研究纯弯曲梁横截面上的正应力，可取 一矩形等截面直梁（如CD段）进行实验。变形之 前，在梁的侧面画两条横向直线m1m1、m2m2，再 画两条纵向直线a1a2、b1b2。梁CD段是纯弯曲，相当于两端受力偶（力偶矩 M=pa）作 用，如图5-5-13a所示。观察纯弯曲时梁的变形，可以看到如下现象： (1) 纵向直线a1a2、b1b2变成弧线，近凹边的a1a2缩短，近凸边的b1b2伸长。 (2) 横向直线m1m1、m2m2还是直线，它们与变形后梁的轴线仍然垂直，但二者相对转 动了一个角度??。 （a）（b）（c） 图5-5-14 弯曲正应力分析 由此可提出纯弯曲梁的平面变形假设：在纯弯曲变形时，梁的各横截面仍保持平面，且仍垂直于变形后梁的轴线，只是绕横截面上的某个轴转动了一个角度。 设想梁是由许多层纵向纤维组成的，弯曲变形后，梁的上层纤维缩短，下层纤维伸长。由于变形的连续性，沿梁的高度一定有一层纵向纤维既不伸长又不缩短，这一纤维层称为中性层。中性层与横截面的交线称为中性轴（如图5-5-14c中的z 轴）。可见，纯弯曲梁的横截面上只有纤维拉伸或压缩时的正应力，而没有剪应力。 下面从变形几何关系、物理关系和静力学关系三个方面分析，建立正应力计算公式。 1、变形几何关系取梁的轴线为x轴，截面的对称轴为y轴，中性轴为z轴。设中性层弯曲后的曲率半径为ρ，如图5-5-14a所示。因为中性层的长度不变，因此两截面间的距离为O=ρ?? O1O2=O12 设直线b1b2到中性轴的距离为y，则变形后的长度 b=(ρ+y)?? b12 纵向线应变 b-bb)OO=[(ρ+y)??-ρ??](ρ??)=yρ ε=(b121212 即ε=yρ (a) 式(a)表明：纵向线应变与中性轴的距离y成正比。 2、物理关系假定组成梁的纵向纤维之间没有互相挤压作用，每一条纵向纤维就像简单拉压时一样伸缩，于是，在正应力不超过比例极限的前提下，就可应用虎克定律σ=Eε 将式(a)代入得 σ=Eyρ (b) 式(b)表明：横截面上任一点的正应力与该点到中性轴的距离y成正比。也就是说，正应力沿截面高度按线性规律分布。离中性轴越远，正应力的绝对值越大，中性轴上的正应力为零，如图5-5-14b所示。 3、静力学关系式(b)说明了正应力的分布规律，但因中性轴位置不知道，y坐标不能确定，且中性层的曲率半径ρ也不知道，为此，必须考虑静力学关系。 在梁的横截面上取一微小面积dA，微小面积上的微内力为σdA（图5-5-14c）。因为横截面上没有轴力N，所以 N=?AσdA=0 把式(b)代入，则 (Eρ)?ydA=0 A 因Eρ不等于零，故必有 ? A ydA=ycA=0 即截面形心C的坐标yC=0，这说明中性轴必须经过横截面形心C。这样就确定了中性轴z的位置。 同时，横截面上微内力对中性轴z的合力矩等于该截面上的弯矩M，即 ? 把式(b)代入得 A yσdA=M (Eρ)?ydA=M (c) A 2 令 Iz= ? A ydA (5-5-2) 4 4 2 它表示截面的一种几何性质，恒为正值，常用单位m或mm。 Iz称为截面对z轴的惯性矩，引入惯性矩Iz后，式(c)可写成 EIzρ=M 或1ρ=M(EIz) (d) 式中EIz称为梁的抗弯刚度。EIz愈大，曲率愈小。 由式(d)和式(b)即得等直梁纯弯曲时，横截面上任一点处的正应力公式 σ=MyIz (5-5-3) 实际使用时，式中M和y都取绝对值，由梁的变形直接判断应力σ的正负。 显然，当y达到最大时，应力σ的值最大。即 σmax=MymaxIz 式中Iz和ymax都是与截面尺寸、形状有关的几何量，故令 W=Izymax (5-5-4) 则σmax=M (5-5-5) 式中W称为抗弯截面模量，恒为正值，常用单位m或mm。 应该指出，式(5-5-3)和式(5-5-5)是从纯弯曲梁的变形推导出的，梁的材料要服从虎克定律，且拉伸和压缩时的弹性模量要相等。对剪切弯曲，由于剪力的存在，梁的横截面将发生翘曲，横向力又使纵向纤维之间产生挤压，梁的变形较为复杂。但是，根据实验和分析证 3 3 实，当梁的跨度l与横截面高度h之比l/h＞5时，横截面上正应力分布与纯弯曲很接近，剪力的影响很小，所以，式(5-5-3)和式(5-5-5)同样适应于剪切弯曲梁的正应力计算。 截面惯性矩Iz和抗弯截面模量W两个量，对于常用的简单形状的截面来说，可用积分 法求得。 图5-5-15系一矩形截面，高为h，宽为b。过形心C作对称轴y和中性轴z，在距中性轴为y处取微小面积dA=bdy，则截面对中性轴z的惯性矩为 h-h2h-h2Iz=?AydA=2?bydy=b?2ydy=2bh312 抗弯截面模量为 W=Izymax=Iz(h2)=bh62 圆形和圆环形截面对中性轴的惯性矩和抗弯截面模量，可用同样的方法求出。43圆形截面：Iz=πD64，W=πD32 圆环形截面： Iz=πD(1-α)64，W=πD(1-α) 4434 式中α=dD 对于工字钢等标准型钢，其横截面的几何性质 Iz和W等值，可从有关工程手册型钢表中查得。 二、梁弯曲时的正应力强度条件 为了保证梁能安全地工作，必须使梁具有足够的强度。对等截面梁来说，最大弯曲正应力发生在弯矩最大的截面的上、下边缘处。如果材料的许用应力为[σ]，则梁弯曲时的正应力强度条件为σmax=Mmax≤[σ] (5-5-6) 需要指出的是，式（5-5-6）只适用于许用拉应力和许用压应力相等的塑性材料。对于像铸铁之类的脆性材料，许用拉应力和许用压应力并不相等，应分别建立相应的强度条件。 根据梁的正应力强度条件，也可以解决三类强度计算问题：校核梁的强度、设计梁的截面尺寸和确定梁的许可载荷。 5.5.4梁弯曲时的变形及刚度条件 某些受弯曲应力的构件除要求有足够的强度外，还要求其不能有过大的弹性变形，即具有足够的刚度，否则也会影响构件的正常工作。例如齿轮轴弯曲变形过大，就会影响齿轮的正常啮合(图5-5-18)，从而产生噪音，加速磨损；若机床主轴的刚度不够，就会严重影响加工工件的精度。 在另外一些场合，却要求构件有较大的变形，以满足特定的工作要求。例如，车辆上的钢板弹簧（图5-5-19）就应有足够大的变形，以缓和车辆受到冲击而产生的振动等。为了更好地限制和利用梁的变形，应掌握其计算方法。 悬臂梁受外力P 作用后，其轴线由原来的直线变成了一条连续而光滑的曲线(图5-5-20)，此曲线称为梁的挠曲线。建立图示坐标系，则该平面曲线可用函数方程表示为 （5-5-7） y=f(x) 式（11-7）称为梁的挠曲线方程。 梁的变形可用两个基本量来表示： 挠度?梁上距离坐标原点为x的截 面的形心(图5-5-20)，沿垂直于x轴方向 的位移y，称为该截面的挠度。其单位为 mm。通常选取坐标系Oxy，原点在梁左 端，y轴正向向上，所以位移向上时挠度为正，向下时挠度为负。 转角?梁的任一横截面在弯曲变形过程中，绕中性轴转过的角位移θ，称为该截面的转角。因为变形前后横截面都垂直于梁的轴线，也可把x轴与挠曲线上某点(对应一截面)切线的夹角看成是梁上该截面的转角(图5-5-20)。转角的单位是弧度(rad)。转角的正负号规定是顺时针方向为负，逆时针方向为正。 二、用叠加法求梁的变形 求梁变形的基本方法是积分法。但该法的运算过程比较麻烦。为了应用方便，工程上已将常见梁的挠度和转角计算结果汇集成表，并给出了简单载荷作用下梁的挠度和转角的计算公式，（见拓展知识）以备查用。 三、梁的刚度条件 计算梁的变形，主要目的在于进行刚度计算。所谓梁要满足刚度要求，就是指梁在外力作用下，保证最大挠度ymax小于许用挠度[y]，最大转角θmax小于许用转角[θ]。这就是梁 的刚度条件，即 ymax≤[y] (5-5-7) θmax≤[θ] (5-5-8) [y]和[θ]的数值，是由具体工作条件决定的。例如 普通机床主轴[y]=(0.0001 0.0005)l≤0.1mm 滑动轴承[θ]=0.001rad 圆柱滚动轴承[θ]=0.0025rad 式中l是支承间的跨度。此外，也可参考有关规范、手册来确定[y]和[θ]的值。【回归任务——直梁弯曲的强（刚）度计算】 一、直梁弯曲的强（刚）度计算 杆件的强度、刚度和稳定性计算 1.构件的承载能力，指的是什么？ 答：构件满足强度、刚度和稳定性要求的能力称为构件的承载能力。 (1)足够的强度。即要求构件应具有足够的抵抗破坏的能力，在荷载作用下不致于发生破坏。 (2)足够的刚度。即要求构件应具有足够的抵抗变形的能力，在荷载作用下不致于发生过大的变形而影响使用。 (3)足够的稳定性。即要求构件应具有保持原有平衡状态的能力，在荷载作用下不致于突然丧失稳定。 2.什么是应力、正应力、切应力？应力的单位如何表示？ 答：内力在一点处的集度称为应力。 垂直于截面的应力分量称为正应力或法向应力，用σ表示；相切于截面的应力分量称切应力或切向应力，用τ表示。 应力的单位为Pa。 1 Pa=1 N／m2 工程实际中应力数值较大，常用MPa或GPa作单位 1 MPa=106Pa 1 GPa=109Pa 3.应力和内力的关系是什么？ 答：内力在一点处的集度称为应力。 4.应变和变形有什么不同？ 答：单位长度上的变形称为应变。单位纵向长度上的变形称纵向线应变，简称线应变，以ε表示。单位横向长度上的变形称横向线应变，以ε/表示横向应变。 5.什么是线应变？什么是横向应变？什么是泊松比？ 答：（1）线应变 单位长度上的变形称纵向线应变，简称线应变，以ε表示。对于轴力为常量的等截面直杆，其纵向变形在杆内分布均匀，故线应变为 l l? = ε （4-2） 拉伸时ε为正，压缩时ε为负。线应变是无量纲（无单位）的量。 （2）横向应变 拉(压)杆产生纵向变形时，横向也产生变形。设杆件变形前的横向尺寸为a，变形后为a1，则横向变形为 a a a- = ? 1 横向应变ε/为 第八章组合变形构件的强度习题 一、填空题 1、两种或两种以上基本变形同时发生在一个杆上的变形,称为（）变形。 二、计算题 1、如图所示的手摇绞车，最大起重量Q=788N，卷筒直径D=36cm,两轴承间的距离l=80cm,轴的许用应力[]σ=80Mpa。试按第三强度理论设计轴的直径d。 2、图示手摇铰车的最大起重量P=1kN，材料为Q235钢，[σ]=80 MPa。试按第三强度理论选择铰车的轴的直径。 3、图示传动轴AB由电动机带动，轴长L=1.2m,在跨中安装一胶带轮，重G=5kN,半径R=0.6m,胶带紧边张力F1=6kN,松边张力F2=3kN。轴直径d=0.1m，材料许用应力[σ]=50MPa。试按第三强度理论校核轴的强度。 4、如图所示，轴上安装有两个轮子，两轮上分别作用有F=3kN及重物Q，该轴处于 平衡状态。若[σ]=80MPa。试按第四强度理论选定轴的直径d。 5、图示钢质拐轴，AB轴的长度l AB=150mm, BC轴长度l BC=140mm，承受集中载荷F 的作用，许用应力[σ]=160Mpa，若AB轴的抗弯截面系数W z=3000mm3，。试利用第三强度理论，按AB轴的强度条件确定此结构的许可载荷F。(注：写出解题过程) 6、如图所示，由电动机带动的轴上，装有一直径D=1m的皮带轮，皮带紧边张力为2F=5KN，松边张力为F=2.5KN，轮重F P=2KN，已知材料的许用应力[σ]=80Mpa，试按第三强度理论设计轴的直径d。 7、如图所示，有一圆杆AB长为l，横截面直径为d，杆的一端固定，一端自由，在自由端B处固结一圆轮，轮的半径为R，并于轮缘处作用一集中的切向力P。试按第三强度理论建立该圆杆的强度条件。圆杆材料的许用应力为[σ]。 §9.1 组合变形概述 前面研究了杆件在拉伸（压缩）、剪切、扭转和弯曲四种基本变形时的强度和刚度问题。但在工程实际中，许多构件受到外力作用时，将同时产生两种或两种以上的基本变形。例如建筑物的边柱，机械工程中的夹紧装置，皮带轮传动轴等。 我们把杆件在外力作用下同时产生两种或两种以上的基本变形称为组合变形。常见的组合变形有： 1.拉伸（压缩）与弯曲的组合； 2.弯曲与扭转的组合； 3.两个互相垂直平面弯曲的组合（斜弯曲）； 4.拉伸（压缩）与扭转的组合。 本章只讨论弯曲与扭转的组合。 处理组合变形问题的基本方法是叠加法，将组合变形分解为基本变形，分别考虑在每一种基本变形情况下产生的应力和变形，然后再叠加起来。组合变形强度计算的步骤一般如下： (1) 外力分析将外力分解或简化为几种基本变形的受力情况； (2) 内力分析分别计算每种基本变形的内力，画出内力图，并确定危险截面的位置； (3) 应力分析在危险截面上根据各种基本变形的应力分布规律，确定出危险点的位置及其应力状态。 (4) 建立强度条件将各基本变形情况下的应力叠加，然后建立强度条件进行计算。 §9.2 弯扭组合变形强度计算 机械中的转轴，通常在弯曲和扭转组合变形下工作。现以电机为例，说明此种组合变形的强度计算。图10-1a所示电机轴，在轴上两轴承中端装有带轮，工作时，电机给轴输入一定转矩，通过带轮的皮带传递给其它设备。带紧边拉力为F T1，松边拉力为F T2，不计带轮自重。 图10-1 (1) 外力分析将作用于带上的拉力向杆的轴线简化，得到一个力和一个力偶，如图10-1(b)，其值分别为 力F使轴在垂直平面内发生弯曲，力偶M1和电机端产生M2的使轴扭转，故轴上产生弯曲和扭转组合变形。 (2) 内力分析画出轴的弯矩图和扭矩图，如图10-1(c)、(d)所示。由图知危险截面为轴上装带轮的位置，其弯矩和扭矩分别为 第八章 组合变形构件的强度 8．1概 述 到现在为止，我们所研究过的构件，只限于有一种基本变形的情况，例如拉伸(或压缩)、剪切、扭转和弯曲。而在工程实际中的许多构件，往往存在两种或两种以上的基本变形。例如图8—1a 中悬臂吊车的横梁AB ，当起吊重物时，不仅产生弯曲，由于拉杆BC 的斜向力作用，而且还有压缩(图8—lb)。又如图8—2a 所示的齿轮轴，若将啮合力P 向齿轮中心平移、则可简化成如图8—2b 所示的情况。载荷P 使轴产生弯曲变形；矩为C m 和D m 的两个力偶则使轴产生扭转变形。这些构件都同时存在两种基本变形，前者是弯曲与压缩的组合；后者则是弯曲与扭转的组合。在外力作用下，构件若同时产生两种或两种以上基本变形的情况，就称为组合变形。 由于我们所研究的都是小变形构件，可以认为各载荷的作用彼此独立，互不影响，即任一载荷所引起的应力或变形不受其他载荷的影响。因此，对组合变形构件进行强度计算，可以应用叠加原理，采取先分解而后综合的方法。其基本步骤是：(1)将作用在构件上的载荷进行分解，得到与原载荷等效的几组载荷，使构件在每组载荷作用下，只产生一种基本变形；(2)分别计算构件在每种基本变形情况下的应力；(3)将各基本变形情况下的应力叠加，然后进行强度计算。当构件危险点处于单向应力状态时，可将上述应力进行代数相加；若处于复杂应力状态，则需求出其主应力，按强度理论来进行强度计算。 本章将讨论弯曲与拉伸(或压缩)的组合以及弯曲与扭转的组合构件的强度问题。 8．2 弯曲与拉伸 (或压缩) 的组合 在外力作用下，构件同时产生弯曲和拉伸(或压缩)变形的情况，称为弯曲与拉伸(或压缩)的组合变形。图8—1所示悬臂吊的横梁同时受到横向载荷和纵向载荷的作用，这是弯曲与拉伸(或压缩)组合构件的一种受力情况。在工程实际中，常常还遇到这样一种情况，即载荷与杆件的轴线平行，但不通过横截面的形心，此时，杆件的变形也是弯曲与拉伸(或压缩)的组合，这种情况通常称为偏心拉伸(或压缩)。载荷的作用线至横截面形心的垂直距离称为偏心距。例如图8—3a 中的开口链环和图8—4a 中的厂房柱子，如果将其上的载荷P 向杆件横截面的形心平移，则作用于杆件上的外力可视为两部分：一个轴向力P 和一个矩为Pe M =0 的力偶(图8—3b 、8—4b)。轴向力P 将使杆件产生轴向拉伸(或压缩)；力偶将使杆件产生弯曲。由此可见，偏心拉伸(或压缩)实际上就是弯曲与拉伸(或压缩)的组合变形。 现在讨论弯曲与拉伸(或压缩)组合变形构件的应力和强度计算。 设一矩形截面杆，一端固定，一端自由(图8—5a)，作用于自由端的集中力P 位于杆的纵对称面Oxy 内，并与杆的轴线x 成一夹角?。将外力P 沿x 轴和y 轴方向分解，得到两个分力(图8—5b)： ?cos P P x = ?sin P P y = 其中，分力x P 为轴向外力，在此力的单独作用下，杆将产生轴向拉伸，此时，任一横 第八章 组合变形构件得强度习题 一、填空题 1、两种或两种以上基本变形同时发生在一个杆上得变形,称为( )变形。 二、计算题 1、如图所示得手摇绞车,最大起重量Q =788N,卷筒直径D =36cm ,两轴承间得距离l =80cm ,轴得许用应力=80Mpa 。试按第三强度理论设计轴得直径d 。 2、图示手摇铰车得最大起重量P =1kN,材料为Q 235钢,[σ]=80 MPa 。试按第三强度理论选择铰车得轴得直径。 3、图示传动轴AB 由电动机带动,轴长L =1、2m ,在跨中安装一胶带轮,重G =5kN,半径R =0、6m ,胶带紧边张力F 1=6kN ,松边张力F 2=3kN 。轴直径d =0、1m,材料许用应力[σ]=50MPa 。试按第三强度理论校核轴得强度。 kN 8.1? kN 2.4? 4、如图所示,轴上安装有两个轮子,两轮上分别作用有F =3kN 及重物Q ,该轴处于平衡状态。若[σ]=80MPa 。试按第四强度理论选定轴得直径d 。 5、图示钢质拐轴, AB轴得长度l AB=150mm, BC轴长度l BC=140mm,承受集中载荷F得作用,许用应力[σ]=160Mpa,若AB轴得抗弯截面系数W z=3000mm3,。试利用第三强度理论,按AB轴得强度条件确定此结构得许可载荷F。(注:写出解题过程) 6、如图所示,由电动机带动得轴上,装有一直径D=1m得皮带轮,皮带紧边张力为2F=5KN,松边张力为F=2、5KN,轮重F P=2KN,已知材料得许用应力[σ]=80Mpa,试按第三强度理论设计轴得直径d。 7、如图所示,有一圆杆AB长为l,横截面直径为d,杆得一端固定,一端自由,在自由端B处固结一圆轮,轮得半径为R,并于轮缘处作用一集中得切向力P。试按第三强度理论建立该圆杆得强度条件。圆杆材料得许用应力为[σ]。 构件的基本变形与强度练习题 构件的基本变形与强度练习题 一.填空题 1. --------------------------------------------------------- 杆件的基本变形有----------------------------- --------------------- 四种。 2.轴向拉伸与压缩的受力特点是： 变形特点是 --------- O 3?杆件所受其他物体的作用力都称为外力。它包括------------- 和 --------------- 杆件内 部由于外力的作用而产生的相互作用力称为 ---------- ，在某一范围内随外力的增大而4.单位面积上的内力称为 5?工程中一般把------------- 作为塑性材料的 极限应力，对于脆性材料，则把------------ 作为材料的极限应力。 6. -------------------------------------------- 安全系数反应了-------------------------- 。 7.对于重要的构件和哪些如果破坏会造成重大 事故的构件，应将安全系数取 &当细长杆所受压力达到某个极限时，就会突然 变弯而丧失工作能力，这种现象称为 ------------- ,简称 ----------------- ----------------- , 变形特点是 10?构件发 生剪切变形的同时往往在接触的作用 面之间发生 -------------------------- -------------------- 。变形特点是 12?圆轴扭转时，横截面上只有 --------------- 应力，而没有 ------------- 应力。 13 弯曲变形的受力特点是 ------------------- ,变形特点是 15?根据支 撑方式不同，梁分为 ,三种形式。 9 11 轴扭转的受力特点是 第八章 组合变形构件的强度习题答案 一、填空题 1、组合 二、计算题 1、解：31 7888010157.610(N mm)4M =???=?? 336 78810141.8410(N mm)2T =??=?? 33 800.1r d σ= =≤ 解得 d ≥30mm 2 、解：(1) 轴的计算简图 画出铰车梁的内力图： 险截面在梁中间截面左侧,P T P M 18.02.0max == (2) 强度计算 第三强度理论:() ()[]σπσ≤+=+= 2 2 322318.02.032 P P d W T M Z r []()()()() mm m d 5.320325.010118.01012.010 8032 10118.01012.032 3 2 32 36 32 32 3==??+????=??+??≥πσπ 所以绞车的轴的最小直径为32.5mm 。 3、解： m kN 8.1? m kN 2.4? （1）外力分析，将作用在胶带轮上的胶带拉力F 1、F 2向轴线简化，结果如图b ． 传动轴受竖向主动力： kN 1436521=++=++=F F G F ， 此力使轴在竖向平面内弯曲。 附加力偶为： ()()m kN 8.16.03621?=?-=-=R F F M e ， 此外力偶使轴发生变形。 故此轴属于弯扭组合变形。 （2）内力分析 分别画出轴的扭矩图和弯矩图如图（c ）、（d ） 危险截面上的弯矩m kN 2.4?=M ，扭矩m kN 8.1?=T （3）强度校核 ()() []σπσ≤=??+?= += MPa W T M Z r 6.4632 1.0108.110 2.43 2 32 32 23 故此轴满足强度要求。 4、解：1）外力分析 kN F Q Q F 625 .01==∴?=?Θ 2）内力分析，做内力图 一 、 填空题 1两种或两种以上基本变形同时发生在一个杆上的变形 ，称为（ ）变形 、计算题 1如图所示的手摇绞车，最大起重量Q=788N,卷筒直径D=36cm 两轴承间的距离l=80cm, 轴的许用应力 =80Mpa 。试按第三强度理论设计轴的直径 d o 2、图示手摇铰车的最大起重量 P=1kN ,材料为Q235钢，[q]=80 MPa 。试按第三强度理 论选择铰车的轴的直径。 400 -id n 3、图示传动轴AB 由电动机带动，轴长L=1.2m,在跨中安装一胶带轮，重 G=5kN,半径 R=0.6m,胶带紧边张力 F 1=6kN 松边张力 R=3kN 。轴直径 d=0.1m ，材料许用应力 [d =50MPa 。试按第三强度理论校核轴的强度。 4、如图所示，轴上安装有两个轮子，两轮上分别作用有 F=3kN 及重物Q ,该轴处于平 第八章 组合变形构件的强度习题 40-0 5 、图示钢质拐轴，AB轴的长度l AB=150mm, BC轴长度1BC=140mm,承受集中载荷F 的作用，许用应力［c）=160Mpa，若AB轴的抗弯截面系数W z=3000mm3,。试利用第三强度理论，按AB轴的强度条件确定此结构的许可载荷F。（注：写出解题过程） 6、如图所示，由电动机带动的轴上，装有一直径D =1m的皮带轮，皮带紧边张力为 2F=5KN松边张力为F=,轮重F P=2KN,已知材料的许用应力［q］=80Mpa，试按第三强度理论设计轴的直径d。 7、如图所示，有一圆杆AB长为I，横截面直径为d，杆的一端固定，一端自由，在自由端B处固结一圆轮，轮的半径为R,并于轮缘处作用一集中的切向力P。试按第三强度理论建立该圆杆的强度条件。圆杆材料的许用应力为［可。 衡状态。若［d=80MPa。试按第四强度理论选定轴的直径d 第8章 组合变形的强度计算 8.1 组合变形的概念 在前面几章中，研究了构件在发生轴向拉伸(压缩)、剪切、扭转、弯曲等基本变形时的强度和刚度问题。在工程实际中，有很多构件在荷载作用下往往发生两种或两种以上的基本变形。若有其中一种变形是主要的，其余变形所引起的应力(或变形)很小，则构件可按主要的基本变形进行计算。若几种变形所对应的应力(或变形)属于同一数量级，则构件的变形为组合变形。例如，如图8.1(a)所示吊钩的AB 段，在力P 作用下，将同时产生拉伸与弯曲两种基本变形；机械中的齿轮传动轴(如图8.1(b)所示)在外力作用下，将同时发生扭转变形及在水平平面和垂直平面内的弯曲变形；斜屋架上的工字钢檀条(如图8.2(a)所示)，可以作为简支梁来计算(如图8.2(b)所示)，因为q 的作用线并不通过工字截面的任一根形心主惯性轴(如图8.2(c)所示)，则引起沿两个方向的平面弯曲，这种情况称为斜弯曲。 图8.1 吊钩及传动轴 屋架 屋面 檀条 q (a) (b)(c) (a) (b) (c) 图8.2 斜屋架上的工字钢檀条 求解组合变形问题的基本方法是叠加法，即首先将组合变形分解为几个基本变形，然 材料力学 180 后分别考虑构件在每一种基本变形情况下的应力和变形。最后利用叠加原理，综合考虑各基本变形的组合情况，以确定构件的危险截面、危险点的位置及危险点的应力状态，并据此进行强度计算。实验证明，只要构件的刚度足够大，材料又服从胡克定律，则由上述叠加法所得的计算结果是足够精确的。反之，对于小刚度、大变形的构件，必须要考虑各基本变形之间的相互影响，例如大挠度的压弯杆，叠加原理就不能适用。 下面分别讨论在工程中经常遇到的几种组合变形。 8.2 斜 弯 曲 前面已经讨论了梁在平面弯曲时的应力和变形计算。在平面弯曲问题中，外力作用在截面的形心主轴与梁的轴线组成的纵向对称面内，梁的轴线变形后将变为一条平面曲线，且仍在外力作用面内。在工程实际中，有时会遇到外力不作用在形心主轴所在的纵向对称面内，如上节提到的屋面檀条的受力情况(如图8.2所示)。在这种情况下，杆件可考虑为在两相互垂直的纵向对称面内同时发生平面弯曲。实验及理论研究指出，此时梁的挠曲线不再在外力作用平面内，这种弯曲称为斜弯曲。 现在以矩形截面悬臂梁为例(如图8.3(a)所示)，分析斜弯曲时应力和变形的计算。这时梁在F 1和F 2作用下，分别在水平纵向对称面(Oxz 平面)和铅垂纵向对称面(Oxy 平面)内发生对称弯曲。在梁的任意横截面m —m 上，由F 1和F 2引起的弯矩值依次为 1y M F x =，2()z M F x a =- 在横截面m —m 上的某点(C y ,)z 处由弯矩M y 和M z 引起的正应力分别为 y y M z I σ'= ，z z M y I σ''=- 根据叠加原理，σ'和σ''的代数和即为C 点的正应力，即 y z y z M M z y I I σσ'''+=- (8-1) 式中，I y 和I z 分别为横截面对y 轴和z 轴的惯性矩；M y 和M z 分别是截面上位于水平 和铅垂对称平面内的弯矩，且其力矩矢量分别与y 轴和z 轴的正向一致(如图8.3(b)所示)。在具体计算中，也可以先不考虑弯矩M y 、M z 和坐标y 、z 的正负号，以其绝对值代入，然后根据梁在F 1和F 2分别作用下的变形情况，来判断式(8-1)右边两项的正负号。 (a) (b) 图8.3 斜弯曲 构件的基本变形与强度练习题 一.填空题 1.杆件的基本变形有------------------ -------------------- --------------------- ---------------------------------四种。 2.轴向拉伸与压缩的受力特点是：------------------------------------------------------------------------，变形特点是----------------------------------------------------------------。 3.杆件所受其他物体的作用力都称为外力。它包括--------------------和----------------------杆件内部由于外力的作用而产生的相互作用力称为-----------------，在某一范围内随外力的增大而----------------------------。 4.单位面积上的内力称为-------------------------------。 5.工程中一般把--------------------作为塑性材料的极限应力，对于脆性材料，则把---------------作为材料的极限应力。 6.安全系数反应了---------------------------。 7.对于重要的构件和哪些如果破坏会造成重大事故的构件，应将安全系数取------------------------。 8.当细长杆所受压力达到某个极限时，就会突然变弯而丧失工作能力，这种现象称为--------------------，简称------------------------。 9.剪切变形的受力特点是-----------------------------，变形特点是---------------------------------------。 10.构件发生剪切变形的同时往往在接触的作用面之间发生--------------------------------------。11圆轴扭转的受力特点是------------------------------。变形特点是----------------------------------------。 12.圆轴扭转时，横截面上只有-----------------------应力，而没有-------------------应力。 13弯曲变形的受力特点是--------------------------------，变形特点是----------------------------- 15.根据支撑方式不同，梁分为--------------------------，------------------------------------，--------------------------------------，三种形式。 16.构件在外力作用下，同时产生两种或两种以上的基本变形，称为----------------------------。 17.提高梁抗弯能力的措施有--------------------------------，------------------------------------------，-------------------------------------------。 18.要使零件在载荷的作用下安全，可靠地工作，零件必须具有足够的------------------------，------------------------------------，--------------------------------------------。 19.低碳钢拉伸时的四个阶段是--------------------阶段---------------------------------阶段------------------------------阶段----------------------------------阶段。 20.铸铁压缩时的抗压强度极限远-----------------于抗拉强度极限。 21.材料丧失正常工作能力时的应力，称为---------------------------------------------。 22.圆轴任一点的切应力与该横截面上的------------------------成正比，与该点所在圆周的 ---------------成正比。，方向与过该点的半径-----------------------。最大切应力在------------------------。 23.弯曲变形时，横截面绕-------------------转动。梁一侧的纤维受拉而------------------------另- 一侧的纤维受压而-------------------------------，横截面上只有----------------------------而没有--------------------------------、 23.梁的横截面上任意一点的正应力与该点到中性轴的距离成------------------------------。 24.挤压变形的特点是-----------------------------------------------------------------------------------。 第三节 轴向拉（压）杆的强度计算 教学目的： 1、学习材料在轴向作用力下拉伸、压缩状态下的正应力； 2、理解不同材料的工作应力、极限应力和许用应力值的概念。 3懂得应用轴向拉（压）杆的强度条件进行简单的计算 教学重点难点： 1、理解材料在拉伸、压缩状态下的正应力的计算，理解许用应力的含义，理解轴向拉（压）杆的强度条件内涵。 2、运用轴向拉（压）杆的强度条件计算一般工程力学问题（三种情况下的计算） 学情分析：建筑专业学生由于之前物理和数学知识的不足，再加上学生的学习兴趣不高，对本门学科较为理论性的学习接受能力差，因此教学中多采取实例和实物模型辅助教学的方法，提高本节课的教学成效。 教学教具：粗、细的木杆和钢杆；细绳、细铁丝、粗的铁丝。 教学过程： 新课引入：上节课我们学习了轴向拉、压杆横截面积上的正应力A F N =σ，大家知道不同材料其能承受的最大应力值不一样也反应材料的强度的不同，比如这根细绳和铁丝，那么怎样在工程中选用合适的材料做的杆件或者要对已确定材料的杆件进行校核其强度，才不致于出现安全事故呢？ 举例说明，展示实物，麻绳、细钢丝、粗钢丝。起重机起吊重物你会选择选择什么样绳子呢？是麻绳还是钢丝？是用细的钢丝还是粗一点的钢丝呢？为什吗呢？ 引导回答：同种截面的不同材质的绳子，其能承受的最大拉力是不一样的，即最大的应力值也是不同的，因此能起吊的重量也是不同的，应怎样选择呢？这就是我们今天这节的主要内容。 新课教学： 一、应力的基本概念： 工作应力：杆件在荷载作用下产生的实际应力值，它随杆件荷载的改变的而改变，但随荷载的增加，工作应力跟着增加，但应力的增加是用限度的，当应力超过一定限度，材料就会发生破坏。发生破坏的应力限度就称极限应力，也叫危险应力，用不同材料的 值是不同的，比如麻绳和钢丝； 许用应力：为了能使杆件在安全范围内工作，不仅不能使工作应力达到极限值，还要留用一定安全储备，我们把极限应力值处于大于1的N 作限度为工作应力的最高值，用][σ表示，][σ=N 而N>1的系数 二、轴向拉（压）杆的强度条件和强度计算 组合变形构件的强度 一、单项选择题： 1．在偏心拉伸（压缩）情况下，受力杆件中各点的应力状态为（ ）。 A ．单向应力状态； Ｂ．二向应力状态； Ｃ．单向或二向应力状态； Ｄ．单向应力状态或零应力状态。 2．圆截面折杆ABCDEF 在端部受一对集中力P 作用，力P 与Z 轴平行，如图所示。该折杆处于弯扭组合变形状态的部分是（ ）。 A ．杆BC 和杆DE ； Ｂ．杆CD ； Ｃ．杆BC 、杆CD 和杆DE ； Ｄ．无。 个那么好吗c3．圆截面悬臂梁受载如图，固定端横截面上的最大拉、压应力为（ ）。 A ． )( z y y W Mz W M + ±； Ｂ． )32( 3 2 2d M M z y π+±； Ｃ．)16(3 2 2d M M z y π+±； Ｄ． )(1 z y z M M W +± 。 题2图 题3图 4．图（1）杆件承受轴向拉力F ，若在杆上分别开一侧、两侧切口如图（2）、图（3）所示。令杆（1）、（2）、（3）中的最大拉应力分别为、m ax 1σ、m ax 2σ和m ax 3σ，则下列结论中（ ）是错误的。 A. m ax 1σ一定小于m ax 2σ B. m ax 1σ一定小于m ax 3σ C. m ax 3σ一定大于m ax 2σ D. m ax 3σ可能小于m ax 2σ 5．某构件横截面上危险点处的应力：弯曲正应力z W M =σ，扭 转切应力t W T = τ 。按第三强度理论的强度条件为（ ）。 A ．t W T M 22+= σ ≤[σ]； Ｂ．2 )(42)( t W T z W M += σ≤[σ]； Ｃ．2 )(32)( t W T z W M += σ≤[σ]； Ｄ．t W T z W M + = σ≤[σ]。 6．图示刚架BACD ，处于弯扭组合变形的是（ ）段。 A ．A B ,CD 段； Ｂ．A C ,C D 段； Ｃ．AB,AC 段； Ｄ．CD 段。 题7图 题4图 题6图 第7章组合变形构件的强度计算150 7.1 点的应力状态简介150 7.2 强度理论152 7.3 组合变形的概念155 7.4 拉伸（压缩）与弯曲的组合变形156 7.5 扭转和弯曲的组合变形160 第7章组合变形构件的强度计算 本章主要讲授一点应力状态的概念、强度理论；重点介绍弯曲和拉伸（压缩）组合作用下构件的强度计算、弯曲和扭转组合作用下构件的强度计算的方法。 7.1 点的应力状态简介 7.1.1 一点应力状态定义 构件受外力作用产生变形时，其同一截面上的内力元素往往不是单一的，而且各点的应力随该点在截面上的位置也不尽相同；通过同一点的不同截面上，应力的大小和方向也随截面的方向而变化。 受力构件内某一点在各个截面上的应力情况称为该点处的应力状态。在研究复杂受力时必须分析构件在一点处的应力状态。 7.1.2 研究目的 实际构件的受力往往要复杂得多（如图7-1的A点），需要全面的研究危险点处各斜截面上的应力情况，从而为建立与实际情况相符的强度条件提供理论基础。 7.1.3 研究方法 研究构件内的一点的应力状态时，通常是围绕该点 取出一个边长为无限小的立方体（简称单元体）作为研 究对象，当边长趋于零时，单元体就趋于所研究的点。 因此，单元体三对互垂侧面上的应力分量就代表了一点 的应力状态。以转轴受弯曲与扭转的组合作用（图7-1） 为例来说明单元体的取法。若研究A点处的应力状态， 可用两个横截面、一个外表面和三个纵向截面取出一个 单元体（图 7-lc）。两个横截面上有正应力σ和切应力τ，根据切应力互等定理可以确定A点处单元体各表面上的切应力。于是，A点的应力状态就完全确定了。图7-1 从这个单元体出发，采用截面法求出该单元体各个斜截面上的应力，即可求出圆轴表面上A点处各不同截面上的应力。应该指出，由于单元体三个方向的尺寸为无穷小，故可认为它的每个面上的应力是均匀分布的。另外，还可认为单元体任意两个平行面上的应力其大小和性质完全相同，而且两个相平行面上的应力即代表通过所研究的点且与上述两个面相平行的面上的应力。 7.1.4 应力状态分类、主应力、主平面 图7-lc中所示单元体的上、下两个面上，都没有切应力。通过某点处的各截面中，切应力等于零的截面称为该点的主平面。主平面上的正应力称为该点的主应力。一般来说，在受力物体内的任一点处都可截出每个面都是主平面的单元体。若单元体的三个互相垂直的面上都作用有主应力，则称这种应力状态为三向应力状态。图7-2所示的滚珠轴承中滚珠与外圈接触处的应力状态即是三向应力状态的实例。若在外圈与滚珠的接触点处取单元体（图7-2），滚珠与外圈的接触面上，有接触应力σ3。由于σ3的作用，接触点处的材料将向周围膨胀，于是引起周围材料对它的约束应力σ2和σ1，故A点处于三向应力状态。火车车轮与钢轨的接触点，也是三向应力状态。单元体上两个主应力等于零时，称为单向应力状态。图7-3所示拉杆中的任一点A即处于单向应力状态。单元体上一个主应力等于零时，称为二向应力状态。图7-4为薄壁容器圆筒部分的应力状态，从圆筒部分任一点取微体，则纵向截面上的应力为σ1＝pD／2t而横向截面上的应力为σ2=pD／4t，故为二向应力状态。二向应力状态也称为平面应力状态。一般把单向应力状态称为简单应力状态。而把二向和三向应力状态称为复杂应力状态。 图7-2 图7-3 一般情况下，受力物体内一点处都可找出三个主应力，并用σ1、σ2、σ3表示，其顺序按代数值的大小排列即σ1≥σ2≥σ3。 拉压杆的强大计算 1、极限应力、许用应力和安全系数 通过对材料力学性能的分析可知，任何工程材料能承受的应力都是有限的，一般把使材料丧失正常工作能力时的应力称为极限应力。对于脆性材料，当正应力达到抗拉强度b σ或强度bc σ时，会引起断裂破坏；对于塑性材料，当正应力达到材料的屈服点s σ（或屈服强度2.0σ）时，将产生显著的塑性变形。构件工作时发生断裂是不允许的；发生屈服或出现显著的塑性变形也是不允许的。所以，从强度方面考虑，断裂时构件是失效的一种形式；同样，发生屈服或出现显著的塑性变形也是构件失效的一种形式。这些失效现象都是强度不足造成的，因此，塑性材料的屈服点s σ（或屈服强度2.0σ）与脆性材料的抗拉强度b σ（或抗拉强度bc σ）都是材料的极限应力。 由于工程构件的受载难以精确估计，以及构件材质的均匀程度、计算方法的近似性等诸多因素，为确保构件安全，应使其有适当的强度储备，特别对于因失效将带来严重后果的构件，更应具备较大的强度储备。因此，工程中一般把极限应力除以大于1的系数n 作为工作应力的最大允许值，称为许用应力，用[]σ表示，即 塑性材料 []s s n σσ= 脆性材料 []b b n σσ= 式中，b s n n 、是与屈服点或抗拉强度对应的安全系数。 安全系数的选取是一个比较复杂的工程问题，如果安全系数取得过小，许用应力就会偏大，设计出的构件截面尺寸将偏小，虽能节省材料，但安全可靠性会降低；如果安全系数取得过大，许用应力就会偏小，设计出的构件截面积尺寸将偏大，虽构件能偏于安全，但需要多用材料而造成浪费。因此，安全系数的选取是否恰当当关系到构件的安全性和经济性。工程上一般在静载作用下，塑性材料的安全系数取5.2~5.1=s n 之间；脆性材料的安全系数取5.3~0.2=b n 之间。工程中对不同的构件选取安全系数，可查阅有关的设计手册。 2、；拉压杆的强度条件 为了保证拉压杆安全可靠地工作看，必须使杆内的最大工作应力不超过材料的拉压许用应力，即 []σσ≤=A F N max 式中，F N 和A 分别为危险截面的轴力和横截面面积。该式称为拉压杆的强度条件。 根据强度条件，可以解决下列三类强度计算问题： ⑴校核强度 若已知杆件的尺寸、所受的载荷及材料的许用应力，可用式（2-9）验算杆件 §3—7 拉（压）杆连接部分的强度计算 实际工程中的部件、构件之间，往往用连接件相互连接。例如螺栓连接中的螺栓（图3-21a ）钢结构中广泛应用的铆钉连接中的铆钉（3-21b ）。连接件对整个结构的牢固和安全起着重要作用，对其强度分析应予以足够重视。 图3-21a 连接件受力与变形的主要特点，用图3-22所示螺栓受力示意图来说明（图中用合力P 代替了侧面上的分布力）：杆件受到一对大小相等、方向相反、作用线相距很近并且垂直杆轴的力作用，两力间的横截面将沿力的方向发生相对错动。这种变形就是剪切变形。两力之间的截面称剪切面，当力P 足够大时，杆件将沿剪切面剪断。 图3-22 连接件在受剪切的同时，两构件接触面上，因为互相压紧会产生局部受压，称挤压。如图3-23a 所示的螺栓连接中，作用在钢板上的拉力P ，通过钢板与螺栓的接触面传递给螺栓，接触面上就产生挤压。两构件的接触面称挤压面，以j A 表示；作用于接触面的压力称挤压力，以j P 表示；挤压面上的压应力称挤压应力，以j 表示。当挤压力过大时，孔壁边缘将受压变形，螺杆局部压扁，使圆孔变成椭圆，连接松动（图3-23b ），这就是挤压破坏。 图3－23a t t 图3-23b 挤压面 t d 图3-23c 下面就来研究连接件的强度计算。 一、剪切的实用计算 剪切实用计算的基本点是：假定剪切面的切应力是均匀分布的。切应力的计算式为 A Q =τ （3-13） 式中：Q —剪切面上的剪力； A —剪切面的面积。 由此得出剪切强度条件为： []ττ≤= A Q （3-14） 许用切应力[]τ由剪切实验测定。 实践表明，这种计算方法是可靠的，可以满足工程需要。 二、挤压的实用计算 挤压的实用计算是假定挤压应力j σ在挤压面j A 上均匀分布。所以挤压应力为 j j j A P = σ （3-15） 式中j A 为挤压面的计算面积。当接触面为平面时，接触面的面积就是计算挤压面积；当接触面为半圆柱面时，取圆柱体的直径平面作为计算挤压面面积（图3-23c ）。这样计算所得的挤压应力和实际最大挤压应力值十分接近。由此可建立挤压强度条件： [] j j j j A P σσ≤= （3-16） 式中 []j σ为材料的许用挤压应力，由实验测得。 例3-9 用四个铆钉搭接两块钢板，如图3-24a 所示。已知拉力kN P 110=，铆钉直径mm d 16=，钢板宽度mm b 90=，厚mm t 10=。钢板与铆钉材料相同，[]MPa 140=τ， []MPa j 320=σ，[]MPa 160=σ。试校核此连接件的强度。 《杆件的四种基本变形及组合变形、 直杆轴向拉、压横截面上的内力》教学设计 剪切变形的受力特点是作用在构件上的横向外 力大小相等、方向相反、作用线平行且距离很近。 剪切变形的变形特点是介于两横向力之间的各 截面沿外力作用方向发生相对错动。 剪切面是指两横向力之间的横截面，破坏常在 剪切面上发生。 扭转变形的受力特点：在垂直于杆轴线的平面 内，作用有大小相等、转向相反的一对力偶。 扭转变形的变形特点：各横截面绕杆轴线发生 2．剪切 【工程实例】如图a所示为一个铆钉连接的简图。钢板在拉力F的作用下使铆钉的左上侧和右下侧受力（图b），这时，铆钉的上、下两部分将发生水平方向的相互错动（图c）。当拉力很大时，铆钉将沿水平截面被剪断，这种破坏形式称为剪切破坏。 3. 扭转 用改锥拧螺钉时，在改锥柄上手指的作用力构成了一个力偶，螺钉的阻力在改锥的刀口上构成了一个方向相反的力偶，这两个力偶都作用在垂直于杆轴的平面内，就使改锥产生了扭转变形，如图a所示。 例如汽车的转向轴（图b）。当驾驶员转动方向盘时，相当于在转向轴A端施加了一个力偶，与此同时，转向轴的B端受到了来自转向器的阻抗力偶。于是在轴AB的两端受到了一对大小相等、转向相反的力偶作用，使转向轴发生了扭转变形。 扭转角的概念，如图 3.2直杆轴向拉、压横截面上的内力内力的概念 轴力的计算 ）轴力 为了显示并计算杆件的内力，通常采用截面法。假设用一个截面m-m （图a ）将杆件“切”成左右两部分，取左边部分为研究对象（图b ），要保持这部分与原来杆件一样处于平衡状态，就必须在被切开处加上，这个内力F N 就是右部分对左部分的作用力。在轴向拉（压）杆中横截面中的内力称为由于直杆整体是平衡的，左部分也是平衡的，对这部分建立平衡方程： =0 0=-N F F 若取右部分为研究对象，则可得 0='-N F F 可以看出，取任一部分为研究对象，都可以得到相同的结果，其实F N 与F ′N 是一对作用力与反作用力，其数值必然相等。 § 9.1组合变形概述 前面研究了杆件在拉伸(压缩)、剪切、扭转和弯曲四种基本变形时的强度和刚度问题。但在工程实际中，许多构件受到外力作用时，将同时产生两种或两种以上的基本变形。例如建筑物的边柱，机械工程中的夹紧装置，皮带轮传动轴等。 我们把杆件在外力作用下同时产生两种或两种以上的基本变形称为组合变形。常见的组合变形有: 1?拉伸(压缩)与弯曲的组合； 2. 弯曲与扭转的组合； 3. 两个互相垂直平面弯曲的组合(斜弯曲)； 4?拉伸(压缩)与扭转的组合。 本章只讨论弯曲与扭转的组合。 处理组合变形问题的基本方法是叠加法，将组合变形分解为基本变形，分别考虑在每一种基本变形情况下产生的应力和变形，然后再叠加起来。组合变形强度计算的步骤一般如下： (1) 外力分析将外力分解或简化为几种基本变形的受力情况； (2) 内力分析分别计算每种基本变形的内力，画岀内力图，并确定危险截面的位置； (3) 应力分析在危险截面上根据各种基本变形的应力分布规律，确定岀危险点的位置及其应力状态。 (4) 建立强度条件将各基本变形情况下的应力叠加，然后建立强度条件进行计算。 § 9.2 弯扭组合变形强度计算 机械中的转轴，通常在弯曲和扭转组合变形下工作。现以电机为例，说明此种组合变形的强度计算。 图10-1a所示电机轴，在轴上两轴承中端装有带轮，工作时，电机给轴输入一定转矩，通过带轮的皮带传递给其它设备。带紧边拉力为F T1,松边拉力为F T2 ,不计带轮自重。 (1) 外力分析 将作用于带上的拉力向杆的轴线简化，得到一个力和一个力偶，如图 分别为 F = FTl + F r2 Ml = Cfrl - ?)y 力F 使轴在垂直平面内发生弯曲， 力偶M l 和电机端产生M 2的使轴扭转，故轴上产生弯曲和扭转组合 变形。 (2) 内力分析 画出轴的弯矩图和扭矩图， 如图10-1(C)、(d)所示。由图知危险截面为轴上装带轮 的 位置，其弯矩和扭矩分别为 10-1(b),其值 τ 第二章 轴向拉(压)变形 [习题2-1] 试求图示各杆1-1和2-2横截面上的轴力，并作轴力图。 （a ） 解：（1）求指定截面上的轴力 F N =-11 F F F N -=+-=-222 （2）作轴力图 轴力图如图所示。 （b ） 解：（1）求指定截面上的轴力 F N 211=- 02222=+-=-F F N （2）作轴力图 F F F F N =+-=-2233 轴力图如图所示。 （c ） 解：（1）求指定截面上的轴力 F N 211=- F F F N =+-=-222 （2）作轴力图 F F F F N 32233=+-=- 轴力图如图所示。 （d ） 解：（1）求指定截面上的轴力 F N =-11 F F a a F F F qa F N 22222-=+?--=+--=- （2）作轴力图 中间段的轴力方程为： x a F F x N ?- =)( ]0,(a x ∈ 轴力图如图所示。 [习题2-2] 试求图示等直杆横截面1-1、2-2和平3-3上的轴力，并作轴力图。若横截面面积 2400mm A =，试求各横截面上的应力。 解：（1）求指定截面上的轴力 kN N 2011-=- )(10201022kN N -=-=- )(1020102033kN N =-+=- （2）作轴力图 轴力图如图所示。 （3）计算各截面上的应力 MPa mm N A N 50400102023111 1-=?-==--σ MPa mm N A N 2540010102 3222 2-=?-==--σ MPa mm N A N 2540010102 3333 3=?==--σ [习题2-3] 试求图示阶梯状直杆横截面1-1、2-2和平3-3上的轴力，并作轴力图。若横截面面积 21200mm A =，22300mm A =，23400mm A =，并求各横截面上的应力。 解：（1）求指定截面上的轴力 kN N 2011-=- )(10201022kN N -=-=- )(1020102033kN N =-+=- （2）作轴力图 轴力图如图所示。 （3）计算各截面上的应力 M P a mm N A N 10020010202311111-=?-==--σ MPa mm N A N 3.3330010102 32222 2-=?-==--σ MPa mm N A N 2540010102 3333 3=?==--σ杆件的强度计算公式资料讲解
第八章组合变形构件的强度习题
组合变形的强度计算
第八章组合变形构件的强度
第八章组合变形构件的强度习题
构件的基本变形与强度练习题
第八章组合变形构建的强度习题答案.
组合变形构件的强度习题
组合变形的强度计算.
构件的基本变形与强度练习题
第三节 轴向拉、压杆的强度计算——公开课
组合变形构件的强度练习题
组合变形构件的强度计算.
拉压杆的强度计算
拉压杆件连接部分强度计算.
《杆件的四种基本变形及组合变形、 直杆轴向拉、压横截面上的内力》教学设计
组合变形的强度计算
《材料力学》第2章 轴向拉(压)变形 习题解