组合变形的强度计算
第8章 组合变形的强度计算
8.1 组合变形的概念
在前面几章中，研究了构件在发生轴向拉伸(压缩)、剪切、扭转、弯曲等基本变形时的强度和刚度问题。在工程实际中，有很多构件在荷载作用下往往发生两种或两种以上的基本变形。若有其中一种变形是主要的，其余变形所引起的应力(或变形)很小，则构件可按主要的基本变形进行计算。若几种变形所对应的应力(或变形)属于同一数量级，则构件的变形为组合变形。例如，如图8.1(a)所示吊钩的AB 段，在力P 作用下，将同时产生拉伸与弯曲两种基本变形；机械中的齿轮传动轴(如图8.1(b)所示)在外力作用下，将同时发生扭转变形及在水平平面和垂直平面内的弯曲变形；斜屋架上的工字钢檀条(如图8.2(a)所示)，可以作为简支梁来计算(如图8.2(b)所示)，因为q 的作用线并不通过工字截面的任一根形心主惯性轴(如图8.2(c)所示)，则引起沿两个方向的平面弯曲，这种情况称为斜弯曲。
图8.1 吊钩及传动轴
屋架
屋面
檀条
q
(a)
(b)(c)
(a) (b) (c) 图8.2 斜屋架上的工字钢檀条
求解组合变形问题的基本方法是叠加法，即首先将组合变形分解为几个基本变形，然
材料力学
180
后分别考虑构件在每一种基本变形情况下的应力和变形。最后利用叠加原理，综合考虑各基本变形的组合情况，以确定构件的危险截面、危险点的位置及危险点的应力状态，并据此进行强度计算。实验证明，只要构件的刚度足够大，材料又服从胡克定律，则由上述叠加法所得的计算结果是足够精确的。反之，对于小刚度、大变形的构件，必须要考虑各基本变形之间的相互影响，例如大挠度的压弯杆，叠加原理就不能适用。
下面分别讨论在工程中经常遇到的几种组合变形。
8.2 斜 弯 曲
前面已经讨论了梁在平面弯曲时的应力和变形计算。在平面弯曲问题中，外力作用在截面的形心主轴与梁的轴线组成的纵向对称面内，梁的轴线变形后将变为一条平面曲线，且仍在外力作用面内。在工程实际中，有时会遇到外力不作用在形心主轴所在的纵向对称面内，如上节提到的屋面檀条的受力情况(如图8.2所示)。在这种情况下，杆件可考虑为在两相互垂直的纵向对称面内同时发生平面弯曲。实验及理论研究指出，此时梁的挠曲线不再在外力作用平面内，这种弯曲称为斜弯曲。
现在以矩形截面悬臂梁为例(如图8.3(a)所示)，分析斜弯曲时应力和变形的计算。这时梁在F 1和F 2作用下，分别在水平纵向对称面(Oxz 平面)和铅垂纵向对称面(Oxy 平面)内发生对称弯曲。在梁的任意横截面m —m 上，由F 1和F 2引起的弯矩值依次为
1y M F x =，2()z M F x a =-
在横截面m —m 上的某点(C y ,)z 处由弯矩M y 和M z 引起的正应力分别为
y y
M z I σ'=
，z
z
M y I σ''=-
根据叠加原理，σ'和σ''的代数和即为C 点的正应力，即
y z y z
M M
z y I I σσ'''+=- (8-1)
式中，I y 和I z 分别为横截面对y 轴和z 轴的惯性矩；M y 和M z 分别是截面上位于水平
和铅垂对称平面内的弯矩，且其力矩矢量分别与y 轴和z 轴的正向一致(如图8.3(b)所示)。在具体计算中，也可以先不考虑弯矩M y 、M z 和坐标y 、z 的正负号，以其绝对值代入，然后根据梁在F 1和F 2分别作用下的变形情况，来判断式(8-1)右边两项的正负号。
(a) (b)
图8.3 斜弯曲
第8章 组合变形的强度计算
181
为了进行强度计算，必须先确定梁内的最大正应力。最大正应力发生在弯矩最大的截面(危险截面)上，但要确定截面上哪一点的正应力最大(就是要找出危险点的位置)，应先确定截面上中性轴的位置。由于中性轴上各点处的正应力均为零，令00()y z ,代表中性轴上的任一点，将它的坐标值代入式(8-1)，即可得中性方程
00y z y z
M M
z I I -= (8-2) 从上式可知，中性轴是一条通过横截面形心的直线，令中性轴与y 轴的夹角为α，则
00tan tan y y
Z y z z
I I z M y M I I α?==?=
式中，角度?
是横截面上合成弯矩M y 轴的夹角(如图8.3(b)所
示)。一般情况下，由于截面的y z I I ≠，因而中性轴与合成弯矩M 所在的平面并不垂直。而截面的挠度垂直于中性轴(如图8.4(a)所示)，所以挠曲线将不在合成弯矩所在的平面内，这与平面弯曲不同。对于正方形、圆形等截面以及某些特殊组合截面，其中y z I I =，就是所有形心轴都是主惯性轴，故α?=，因而，正应力可用合成弯矩M 进行计算。但是，梁各横截面上的合成弯矩M 所在平面的方位一般并不相同，所以，虽然每一截面的挠度都发生在该截面的合成弯矩所在平面内，梁的挠曲线一般仍是一条空间曲线。可是，梁的挠曲线方程仍应分别按两垂直平面内的弯曲来计算，不能直接用合成弯矩进行计算。
图8.4 斜弯曲时横截面上的应力情况
确定中性轴的位置后，就可看出截面上离中性轴最远的点是正应力σ值最大的点。一般只要作与中性轴平行且与横截面周边相切的线，切点就是最大正应力的点。如图8.4(b)所示的矩形截面梁，显然右上角1D 与左下角2D 有最大正应力值，将这些点的坐标(y 1, z 1)或(y 2, z 2)代入式(8-1)，可得最大拉应力t,max σ和最大压应力c,max σ。
在确定了梁的危险截面和危险点的位置，并算出危险点处的最大正应力后，由于危险点处于单轴应力状态，于是，可将最大正应力与材料的许用正应力相比较来建立强度条
材料力学
182
件，进行强度计算。
【例题8.1】 一长2m 的矩形截面木制悬臂梁，弹性模量41.010MPa E =?，梁上作用有两个集中荷载1 1.3kN F =和2 2.5kN F =，如图8.5(a)所示，设截面0.6b h =，[]10MPa σ=。试选择梁的截面尺寸，并计算自由端的挠度。
图8.5 例题8.1图
解：
(1) 选择梁的截面尺寸。 将自由端的作用荷载1F 分解
11sin150.336kN y F F ==
11cos15 1.256kN z F F ==
此梁的斜弯曲可分解为在xy 平面内及xz 平面内的两个平面弯曲，如图8.5(c)所示。由图8.5可知M z 和M y 在固定端的截面上达到最大值，故危险截面上的弯矩
223
223
2.510.3362
3.172(kN m)
1.2562
2.215(kN m)11
0.60.16611
(0.6)0.0666
z y z y M M w bh h h h w hb h h h =?+?=?=?=?==??===??=
上式中M z 与M y 只取绝对值，且截面上的最大拉压应力相等，故 66
max 33
3.17210 2.512100.10.06y z z y M M W W h h σ??=+=+
第8章 组合变形的强度计算
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6
3
73.58710[]h σ?=≤
即
194.5(mm)h = 可取h =200mm ，b =120mm 。
(2) 计算自由端的挠度。分别计算y w 与z w ，如图8.5(c)所示，则
2
3
2123362y y z z l F F l l w l EI EI ?? ?????=--- ???
3333463
1
0.336102 2.5101(321)
2(m)13 1.010100.120.2
12
??+?????-=-??????
3
3.7210m 3.72(m m )-=-
?=- 333
1463
1.256102(m)133 1.010100.20.1212
z z y F l w EI ??==??????
0.0116m 11.6(m
==
12.18(mm)w =
11.6a r c t a n 72.45
3.7β??
== ???
8.3 拉伸(压缩)与弯曲的组合
拉伸或压缩与弯曲的组合变形是工程中常见的情况。如图8.6(a)所示的起重机横梁AB ，其受力简图如图8.6(b)所示。轴向力x F 和Ax F 引起压缩，横向力Ay F ，W ，y F 引起弯曲，所以杆件产生压缩与弯曲的组合变形。对于弯曲刚度EI 较大的杆，由于横向力引起的挠度与横截面的尺寸相比很小，因此，由轴向力引起的弯矩可以略去不计。于是，可分别计算由横向力和轴向力引起的杆横截面上的正应力，按叠加原理求其代数和，即得横截面上的正应力。下面我们举一简单例子来说明。
悬臂梁AB (如图8.7(a)所示)，在它的自由端A 作用一与铅直方向成?角的力F (在纵向对称面xy 平面内)。将F 力分别沿x 轴y 轴分解，可得
sin cos x y F F F F ?
?
==
x F 为轴向力，对梁引起拉伸变形(如图8.7(b)所示)；y F 为横向力，引起梁的平面弯曲
(如图8.7(c)所示)。
距A 端x 的截面上的内力为
轴力 N sin x F F F ?==
材料力学
184
弯矩 cos z y M F x F x ?=-=-?
图8.6 起重机
在轴向力x F 作用下，杆各个横截面上有相同的轴力N x F F =。而在横向力作用下，固定端横截面上的弯矩最大，max cos M F l ?=-?，故危险截面是在固定端。
图8.7 拉弯组合变形
第8章 组合变形的强度计算
185
与轴力N F 对应的拉伸正应力t σ在该截面上各点处均相等，其值为
N t sin x F F F A A A
?
σ===
而与max M 对应的最大弯曲正应力b σ，出现在该截面的上、下边缘处，其绝对值为 max b cos z z
M Fl W W ?
σ=
= 在危险截面上与N F ，max M 对应的正应力沿截面高度变化的情况分别如图8.8(a)和 图8.8(b)所示。将弯曲正应力与拉伸正应力叠加后，正应力沿截面高度的变化情况如
图8.8(c)所示。
若t σ＞b σ，则min σ为拉应力；若t σ＜b σ，则min σ为压应力。
所以min σ之值须视轴向力和横向力分别引起的应力而定。如图8.7(c)所示的应力分布图是在t σ＜b σ的情况下作出的。显然，杆件的最大正应力是危险截面上边缘各点处的拉应力，其值为
max sin cos z
F Fl A W ??
σ=
+
(8-3) 由于危险点处的应力状态为单轴应力状态，故可将最大拉应力与材料的许用应力相比
较，以进行强度计算。
应该注意，当材料的许用拉应力和许用压应力不相等时，杆内的最大拉应力和最大压应力必须分别满足杆件的拉、压强度条件。
若杆件的抗弯刚度很小，则由横向力所引起的挠度与横截面尺寸相比不能略去，此时就应考虑轴向力引起的弯矩。
图8.8 拉弯组合变形的应力叠加
【例题8.2】 最大吊重8kN W =的起重机如图8.9(a)所示。若AB 杆为工字钢，材料为Q235钢，[]100MPa σ=，试选择工字钢型号。
解：
(1) 先求出CD 杆的长度为
2.62(m)l ==
(2) 以AB 为研究对象，其受力如图8.9(b)所示，由平衡方程
∑=0A
M
，得
0.8
2.58(2.5 1.5)02.62
F ?
?-?+= kN 42=F
材料力学
186
图8.9 例题8.2图
把F 分解为沿AB 杆轴线的分量x F 和垂直于AB 杆轴线的分量y F ，可见AB 杆在AC 段内产生压缩与弯曲的组合变形。
2.5
40(kN)2.62x F F =?=
0.8
12.8(kN)2.62
y F F =?=
作AB 杆的弯矩图和AC 段的轴力图如图8.9(c)所示。从图中看出，在C 点左侧的截面上弯矩为最大值，而轴力与其他截面相同，故为危险截面。
开始试算时，可以先不考虑轴力N F 的影响，只根据弯曲强度条件选取工字钢。这时
3
333max 6
12101210(m )120(cm )[]10010
M W σ-?==?=?≥ 查型钢表，选取16号工字钢，3cm 141=W ，2cm 126.A =。选定工字钢后，同时考虑轴力N F 及弯矩M 的影响，再进行强度校核。在危险截面C 的上边缘各点有最大压应力，且为
33N max max
46
4010121026.11014110F M A W σ-??=+=--?? 6100.510(Pa)100.5(MPa)=?=
结果表明，最大压应力与许用应力接近相等，故无需重新选择截面的型号。
第8章 组合变形的强度计算
187
8.4 偏心拉伸(压缩)
作用在直杆上的外力，当其作用线与杆的轴线平行但不重合时，将引起偏心拉伸或偏心压缩。钻床的立柱(如图8.10(a)所示)和厂房中支承吊车梁的柱子(如图8.10(b)所示)即为偏心拉伸和偏心压缩。
图8.10 偏心拉(压)实例
8.4.1 偏心拉(压)的应力计算
现以横截面具有两对称轴的等直杆承受距离截面形心为 e (称为偏心距)的偏心拉力F (如图8.11(a)所示)为例，来说明偏心拉杆的强度计算。设偏心力F 作用在端面上的K 点，其坐标为(z y e e ,)。将力F 向截面形心O 点简化，把原来的偏心力F 转化为轴向拉力F ；作用在xz 平面内的弯曲力偶矩z ey e F M ?=；作用在xy 平面内的弯曲力偶矩y ez e F M ?=。
在这些荷载作用下(如图8.11(b)所示)，杆件的变形是轴向拉伸和两个纯弯曲的组合。当杆的弯曲刚度较大时，同样可按叠加原理求解。在所有横截面上的内力——轴力和弯矩均保持不变，即
F F =N ，z ey y e F M M ?==，y ez z e F M M ?==
叠加上述三内力所引起的正应力，即得任意横截面m —m 上某点),(z y B 的应力计算式
z y y z z z y y I y Fe I z Fe A F I y M I z M A F ++=++=σ (a)
式中，A 为横截面面积；y I 和z I 分别为横截面对y 轴和z 轴的惯性矩。利用惯性矩与惯性半径的关系(参见附录A)，有
2
y y i A I ?=，2z z i A I ?=
于是式(a)可改写为
???
? ??++=
22
1z y y z i y e i z e A F σ (b)
材料力学
188
图8.11 偏心拉伸的应力分析
式(b)是一个平面方程，这表明正应力在横截面上按线性规律变化，而应力平面与横截面相交的直线(沿该直线0=σ)就是中性轴(如图8.12所示)。将中性轴上任一点),(00y z C 代入式(b)，即得中性轴方程为
012020=++z
y y z i y e i z
e (8-4)
图8.12 中性轴及应力分布
显然，中性轴是一条不通过截面形心的直线，它在y 、z 轴上的截距y a 和z a 分别可以从式(8-4)计算出来。在上式中，令00=z ，相应的0y 即为y a ，而令00=y ，相应的0z 即为z a 。由此求得
y
z y e i a 2
-=，z y z e i a 2-= (8-5)
式(8-5)表明，中性轴截距y a ，z a 和偏心距y e ，z e 符号相反，所以中性轴与外力作用点K 位于截面形心O 的两侧，如图8.12所示。中性轴把截面分为两部分，一部分受拉应
力，另一部分受压应力。
第8章 组合变形的强度计算
189
确定了中性轴的位置后，可作两条平行于中性轴且与截面周边相切的直线，切点1
D 与2D 分别是截面上最大拉应力与最大压应力的点，分别将),(111y z D 与),(222y z D 的坐标代入式(a)，即可求得最大拉应力和最大压应力的值
??
??
?
??+
+=++=z y y z D z y y z D I y Fe I z Fe A F I y Fe I z Fe A F 221121σσ (8-6) 由于危险点处于单轴应力状态，因此，在求得最大正应力后，就可根据材料的许用应
力[]σ来建立强度条件。
应该注意，对于周边具有棱角的截面，如矩形、箱形、工字形等，其危险点必定在截面的棱角处，并可根据杆件的变形来确定，无需确定中性轴的位置。
【例题8.3】 试求如图8.13(a)所示杆内的最大正应力。力F 与杆的轴线平行。
(a) (b)
图8.13 例题8.3图
解：横截面如图8.13(b)所示，其面积为 212424a a a a a A =?+?= 形心C 的坐标为
a a
a a a a a a a a a y C 22442444=?+???+??=
0=C z 形心主惯性矩
4232
3324212)2(4)2(412)4(a a a a a a a a a a a I C z =??+?+??+?=
3341
[2(4)4]1112
C
y I a a a a a =?+?=
力F 对主惯性轴C y 和C z 之矩
Fa a F M C y 22=?=，Fa a F M C z 22=?=
比较如图8.13(b)所示截面4个角点上的正应力可知，角点4上的正应力最大
材料力学
190
24424572.0112232221222a
F a a Fa a a Fa a F I a M I a M A F C C C C y y z z =?+?+=?+?+=
σ 8.4.2 截面核心
式(8-6)中的2y 、2z 均为负值。因此当外力的偏心距(即y e ,z e )较小时，横截面上就可能不出现压应力，即中性轴不与横截面相交。同理，当偏心压力F 的偏心距较小时，杆
的横截面上也可能不出现拉应力。在工程中，有不少材料抗拉性能差，但抗压性能好且价格比较便宜，如砖、石、混凝土、铸铁等。在这类构件的设计计算中，往往认为其拉伸强度为零。这就要求构件在偏心压力作用下，其横截面上不出现拉应力，由公式(8-5)可知，对于给定的截面，y e 、z e 值越小，y a 、z a 值就越大，即外力作用点离形心越近，中性轴距形心就越远。因此，当外力作用点位于截面形心附近的一个区域内时，就可保证中性轴不与横截面相交，这个区域称为截面核心。当外力作用在截面核心的边界上时，与此相对应的中性轴就正好与截面的周边相切(如图8.14所示)。利用这一关系就可确定截面核心的 边界。
为确定任意形状截面(如图8.14所示)的截面核心边界，可将与截面周边相切的任一直线①看作是中性轴，其在y 、z 两个形心主惯性轴上的截距分别为1y a 和1z a 。由式(8-5)确定与该中性轴对应的外力作用点1，即截面核心边界上一个点的坐标(11,y z e e )：
12
1y z y a i e -=，1
21z y z a i e -=
图8.14 截面核心
同样，分别将与截面周边相切的直线②，③，…等看作是中性轴，并按上述方法求得与其对应的截面核心边界上点2，3，…的坐标。连接这些点所得到的一条封闭曲线，即
为所求截面核心的边界，而该边界曲线所包围的带阴影线的面积，即为截面核心(如 图8.14所示)，下面举例说明截面核心的具体作法。
【例题8.4】 一矩形截面如图8.15所示，已知两边长度分别为b 和h ，求作截面核心。 解：先作与矩形四边重合的中性轴①、②、③和④，利用式(8-5)得
y z y a i e 2
-=，z
y z a i e 2-=
第8章 组合变形的强度计算
191
式中1212232h bh bh A I i y y === ，12
1223
2b bh hb A I i z z ===，y a 和z a 为中性轴的截距，y e 和z e 为相应的外力作用点的坐标。
对中性轴①，有2
b
a y =，z a =∞，代入式(8-5)，得
62
12221b b b a i e y z y -=-=-
=，2
21120y z z h i e a =-=-=∞ 即相应的外力作用点为图8.15上的点1。
对中性轴②，有y a =∞，2
h
a z -=，代入式(8-5)，得
2
22120z y y
b i e a =-=-=∞ ，62
12222h h h a i e z y
z =--=-
= 即相应的外力作用点为图8.15上的点2。
同理，可得相应于中性轴③和④的外力作用点的位置如图上的点3和点4。
图8.15 例题8.4图
至于由点1到点2，外力作用点的移动规律如何，我们可以从中性轴①开始，绕截面点A 作一系列中性轴(图中虚线)，一直转到中性轴②，求出这些中性轴所对应的外力作用点的位置，就可得到外力作用点从点1到点2的移动轨迹。根据中性轴方程式(8-4)，设y e 和z e 为常数，0y 和0z 为流动坐标，中性轴的轨迹是一条直线。反之，若设0y 和0z 为常数，y e 和z e 为流动坐标，则力作用点的轨迹也是一条直线。现在，过角点A 的所有中性轴有一个公共点，其坐标22b h ??
- ???
,为常数，相当于中性轴方程(8-4)中的0y 和0z ，而需求
的外力作用点的轨迹，则相当于流动坐标y e 和z e 。于是可知，截面上从点1到点2的轨
迹是一条直线。同理可知，当中性轴由②绕角点B 转到③，由③绕角点C 转到④时，外力作用点由点2到点3，由点3到点4的轨迹，都是直线。最后得到一个菱形(图中的阴影区)。即矩形截面的截面核心为一菱形，其对角线的长度为截面边长的三分之一。
材料力学
192
对于具有棱角的截面，均可按上述方法确定截面核心。对于周边有凹进部分的截面(例如槽形或工字形截面等)，在确定截面核心的边界时，应该注意不能取与凹进部分的周边相切的直线作为中性轴，因为这种直线显然与横截面相交。
【例题8.5】 一圆形截面如图8.16所示，直径为d ，试作截面核心。
图8.16 例题8.5图
解：由于圆截面对于圆心O 是极对称的，因而，截面核心的边界对于圆心也是极对称的，即为一圆心为O 的圆。在截面周边上任取一点A ，过该点作切线①作为中性轴，该中性轴在y 、z 两轴上的截距分别为
21d
a y =，1z a =∞
而圆形截面的16
22
2d i i z y ==，将以上各值代入式(8-5)，即可得
82
162
121d d d a i e y z y -=-=-
=，0121=-=z y z a i e 从而可知，截面核心边界是一个以O 为圆心、以8
d
为半径的圆，即图中带阴影的
区域。
8.5 扭转与弯曲
机械中的传动轴与皮带轮、齿轮或飞轮等连接时，往往同时受到扭转与弯曲的联合作用。由于传动轴都是圆截面的，故以圆截面杆为例，讨论杆件发生扭转与弯曲组合变形时的强度计算。
设有一实心圆轴AB ，A 端固定，B 端连一手柄BC ，在C 处作用一铅直方向力F ，如图8.17(a)所示，圆轴AB 承受扭转与弯曲的组合变形。略去自重的影响，将力F 向AB 轴端截面的形心B 简化后，即可将外力分为两组，一组是作用在轴上的横向力F ，另一组为在轴端截面内的力偶矩Fa M =e (如图8.17(b)所示)，前者使轴发生弯曲变形，后者使轴发生扭转变形。分别作出圆轴AB 的弯矩图和扭矩图(如图8.17(c)和图8.17(d)所示)，可见，轴的固定端截面是危险截面，其内力分量分别为
第8章 组合变形的强度计算
193
Fl M =，Fa M T ==e
在截面A 上弯曲正应力σ和扭转切应力τ均按线性分布(如图8.17(e)和图8.17(f)所示)。危险截面上铅垂直径上下两端点1C 和2C 处是截面上的危险点，因在这两点上正应力和切应力均达到极大值，故必须校核这两点的强度。对于抗拉强度与抗压强度相等的塑性材料，只需取其中的一个点1C 来研究即可。1C 点的弯曲正应力和扭转切应力分别为
W
M
=σ，P W T =τ (a) 对于直径为d 的实心圆截面，抗弯截面系数与抗扭截面系数分别为
332d W π=， 3
P 216
d W W π== (b) 围绕1C 点分别用横截面、径向纵截面和切向纵截面截取单元体，可得1C 点处的应力状态(如图8.17(g)所示)。显然，1C 点处于平面应力状态，其三个主应力为
222142
1
2τσσσσ+±
=???，02=σ
图8.17 弯扭组合变形
对于用塑性材料制成的杆件，选用第三或第四强度理论来建立强度条件，即r []σσ≤。
若用第三强度理论，则相当应力为
r313σσσ=-= (8-7a)
若用第四强度理论，则相当应力为
r4σ (8-7b)
将(a)、(b)两式代入式(8-7)，相当应力表达式可改写为
材料力学
194
r3σ==
(8-8a)
r 4σ==
(8-8b) 在求得危险截面的弯矩M 和扭矩T 后，就可直接利用式(8-8)建立强度条件，进行强度计算。式(8-8)同样适用于空心圆杆，而只需将式中的W 改用空心圆截面的弯曲截面 系数。
应该注意的是，式(8-7)适用于如图8.17(g)所示的平面应力状态，而不论正应力σ是由弯曲还是由其他变形引起的，不论切应力是由扭转还是由其他变形引起的，也不论正应力和切应力是正值还是负值。工程中有些杆件，如船舶推进轴，有止推轴承的传动轴等除了承受弯曲和扭转变形外，同时还受到轴向压缩(拉伸)，其危险点处的正应力σ等于弯曲正应力与轴向拉(压)正应力之和，相当应力表达式(8-7)仍然适用。但式(8-8)仅适用于扭转与弯曲组合变形下的圆截面杆。
通过以上举例，对传动轴等进行静力强度计算时一般可按下列步骤进行。 (1) 外力分析(确定杆件组合变形的类型)。 (2) 内力分析(确定危险截面的位置)。 (3) 应力分析(确定危险截面上的危险点)。
(4) 强度计算(选择适当的强度理论进行强度计算)。
【例题8.6】 机轴上的两个齿轮(如图8.18(a)所示)，受到切线方向的力kN 51=P ，kN 102=P 作用，轴承A 及D 处均为铰支座，轴的许用应力[]100MPa σ=，求轴所需的直
径d 。
解：
(1) 外力分析。把1P 及2P 向机轴轴心简化成为竖向力1P 、水平力2P 及力偶矩
3
21e 1215010100.75(kN m)222
d d M P P -?=?
=?=?=? 两个力使轴发生弯曲变形，两个力偶矩使轴在BC 段内发生扭转变形。 (2) 内力分析。BC 段内的扭矩为
e 0.75(kN m)T M ==?
轴在竖向平面内因1P 作用而弯曲，弯矩图如图8.18(b)所示，引起B 、C 处的弯矩分别为
11()2B P l a a M l a
+=+，a l a P M C 2211+= 轴在水平面内因2P 作用而弯曲，在B 、C 处的弯矩分别为
a l a P M B 2222
+=
，22()2C P l a a
M l a
+=+
第8章 组合变形的强度计算
195
图8.18 例题8.6图
B 、
C 两个截面上的合成弯矩为
0.676(kN m)B M ==
=?
1.14(kN m)C M ==? 轴内每一截面的弯矩都由两个弯矩分量合成，且合成弯矩的作用平面各不相同，但因
为圆轴的任一直径都是形心主轴，抗弯截面系数W 都相同，所以可将各截面的合成弯矩画在同一张图内(如图8.18(c)所示)。
(3) 强度计算
按第四强度理论建立强度条件
r4[]σσ=
3
32d W π=解之得
51mm m 0510==.d
杆件的强度计算公式资料讲解
杆件的强度、刚度和稳定性计算 1.构件的承载能力，指的是什么？ 答：构件满足强度、刚度和稳定性要求的能力称为构件的承载能力。 (1)足够的强度。即要求构件应具有足够的抵抗破坏的能力，在荷载作用下不致于发生破坏。 (2)足够的刚度。即要求构件应具有足够的抵抗变形的能力，在荷载作用下不致于发生过大的变形而影响使用。 (3)足够的稳定性。即要求构件应具有保持原有平衡状态的能力，在荷载作用下不致于突然丧失稳定。 2.什么是应力、正应力、切应力？应力的单位如何表示？ 答：内力在一点处的集度称为应力。 垂直于截面的应力分量称为正应力或法向应力，用σ表示；相切于截面的应力分量称切应力或切向应力，用τ表示。 应力的单位为Pa。 1 Pa=1 N／m2 工程实际中应力数值较大，常用MPa或GPa作单位 1 MPa=106Pa 1 GPa=109Pa 3.应力和内力的关系是什么？ 答：内力在一点处的集度称为应力。 4.应变和变形有什么不同？ 答：单位长度上的变形称为应变。单位纵向长度上的变形称纵向线应变，简称线应变，以ε表示。单位横向长度上的变形称横向线应变，以ε/表示横向应变。 5.什么是线应变？什么是横向应变？什么是泊松比？ 答：（1）线应变 单位长度上的变形称纵向线应变，简称线应变，以ε表示。对于轴力为常量的等截面直杆，其纵向变形在杆内分布均匀，故线应变为 l l? = ε （4-2） 拉伸时ε为正，压缩时ε为负。线应变是无量纲（无单位）的量。 （2）横向应变 拉(压)杆产生纵向变形时，横向也产生变形。设杆件变形前的横向尺寸为a，变形后为a1，则横向变形为 a a a- = ? 1 横向应变ε/为
第八章组合变形构件的强度习题
第八章组合变形构件的强度习题 一、填空题 1、两种或两种以上基本变形同时发生在一个杆上的变形,称为（）变形。 二、计算题 1、如图所示的手摇绞车，最大起重量Q=788N，卷筒直径D=36cm,两轴承间的距离l=80cm,轴的许用应力[]σ=80Mpa。试按第三强度理论设计轴的直径d。 2、图示手摇铰车的最大起重量P=1kN，材料为Q235钢，[σ]=80 MPa。试按第三强度理论选择铰车的轴的直径。 3、图示传动轴AB由电动机带动，轴长L=1.2m,在跨中安装一胶带轮，重G=5kN,半径R=0.6m,胶带紧边张力F1=6kN,松边张力F2=3kN。轴直径d=0.1m，材料许用应力[σ]=50MPa。试按第三强度理论校核轴的强度。 4、如图所示，轴上安装有两个轮子，两轮上分别作用有F=3kN及重物Q，该轴处于
平衡状态。若[σ]=80MPa。试按第四强度理论选定轴的直径d。 5、图示钢质拐轴，AB轴的长度l AB=150mm, BC轴长度l BC=140mm，承受集中载荷F 的作用，许用应力[σ]=160Mpa，若AB轴的抗弯截面系数W z=3000mm3，。试利用第三强度理论，按AB轴的强度条件确定此结构的许可载荷F。(注：写出解题过程) 6、如图所示，由电动机带动的轴上，装有一直径D=1m的皮带轮，皮带紧边张力为2F=5KN，松边张力为F=2.5KN，轮重F P=2KN，已知材料的许用应力[σ]=80Mpa，试按第三强度理论设计轴的直径d。 7、如图所示，有一圆杆AB长为l，横截面直径为d，杆的一端固定，一端自由，在自由端B处固结一圆轮，轮的半径为R，并于轮缘处作用一集中的切向力P。试按第三强度理论建立该圆杆的强度条件。圆杆材料的许用应力为[σ]。
弯扭组合变形实验报告
弯扭组合变形实验报告 水工二班 叶九三 1306010532 一、实验目的 1用电测法测定薄壁圆管弯扭组合变形时表面任一点的主应力值和主方向，并与理论值进行比较。 2测定分别由矩和扭矩引起的应力w σ和n τ，熟悉半桥和全桥的接线方法。 二、实验设备 仪器名称及型号：静态电阻应变仪 精度：1μm 三、试件尺寸及有关数据 试件材料：铝合金 弹性模量：70GPa 泊松比μ=0.33 应变片灵敏系数K=2.20 试件外径D=40mm 试件内径d=36mm 自由端端部到测点的距离L=300mm 臂长a=200mm 试件弯曲截面系数z W =2.16*610-3m 试件扭转截面系数P W =4.32*610-3m 四、实验数据与整理 1.实测数据 弯ε（W ε） 扭ε（n ε） 0ε 45ε 90ε 荷载F （N ） 读数με 增量με 读数με 增量με 读数με 增量με 读数με 增量με 读数με 增量με 0F 0 396 0 358 0 150 0 193 0 -19 1F 396 358 150 193 -19 393 363 150 194 -21 2F 789 721 300 387 -40 391 353 150 193 -20 3F 1180 1074 450 580 -60 394 357 149 192 -21 4F 1574 1431 599 772 -81 平均增量 393.50 357.75 150 193 -20 计算结果： εⅠ=218.7με εⅡ=-88.7με 0?=o 2.28
1σ=14.9MPa 2σ=-1.3MPa W E εσ?=*w =13.7725MPa ||1n n E εμ τ?+= =4.7072MPa 误差分析 w σ（MPa ） n τ（MPa ） I σ ∏σ 0? 实测值 13.7725 4.7072 14.9 -1.3 28.2 理论值 13.8889 4.6296 15.2 -1.4 33 相对误差% 0.84 1.68 1.9 7.1 14.5 思考题 1可以，因为主应力大小与方向是唯一的，不论应变片延哪个方向粘贴， 只要测出平面应力状态下的三要素，就可以计算出主应力的大小与主平 面方向。 2半桥自补偿法好，精度比半桥外补偿法高。 3不需要，因为采用的全桥测法已经将温度影响消除了。
组合变形的强度计算
§9.1 组合变形概述 前面研究了杆件在拉伸（压缩）、剪切、扭转和弯曲四种基本变形时的强度和刚度问题。但在工程实际中，许多构件受到外力作用时，将同时产生两种或两种以上的基本变形。例如建筑物的边柱，机械工程中的夹紧装置，皮带轮传动轴等。 我们把杆件在外力作用下同时产生两种或两种以上的基本变形称为组合变形。常见的组合变形有： 1.拉伸（压缩）与弯曲的组合； 2.弯曲与扭转的组合； 3.两个互相垂直平面弯曲的组合（斜弯曲）； 4.拉伸（压缩）与扭转的组合。 本章只讨论弯曲与扭转的组合。 处理组合变形问题的基本方法是叠加法，将组合变形分解为基本变形，分别考虑在每一种基本变形情况下产生的应力和变形，然后再叠加起来。组合变形强度计算的步骤一般如下： (1) 外力分析将外力分解或简化为几种基本变形的受力情况； (2) 内力分析分别计算每种基本变形的内力，画出内力图，并确定危险截面的位置； (3) 应力分析在危险截面上根据各种基本变形的应力分布规律，确定出危险点的位置及其应力状态。 (4) 建立强度条件将各基本变形情况下的应力叠加，然后建立强度条件进行计算。 §9.2 弯扭组合变形强度计算 机械中的转轴，通常在弯曲和扭转组合变形下工作。现以电机为例，说明此种组合变形的强度计算。图10-1a所示电机轴，在轴上两轴承中端装有带轮，工作时，电机给轴输入一定转矩，通过带轮的皮带传递给其它设备。带紧边拉力为F T1，松边拉力为F T2，不计带轮自重。
图10-1 (1) 外力分析将作用于带上的拉力向杆的轴线简化，得到一个力和一个力偶，如图10-1(b)，其值分别为 力F使轴在垂直平面内发生弯曲，力偶M1和电机端产生M2的使轴扭转，故轴上产生弯曲和扭转组合变形。 (2) 内力分析画出轴的弯矩图和扭矩图，如图10-1(c)、(d)所示。由图知危险截面为轴上装带轮的位置，其弯矩和扭矩分别为
材料力学_强度理论与组合变形1
第八章强度理论与组合变形 §8-1 强度理论的概念 １．不同材料在同一环境及加载条件下对“破坏”（或称为失效）具有不同的抵抗能力（抗力）。 例1常温、静载条件下，低碳钢的拉伸破坏表现为塑性屈服失效，具有屈服极限 σ， s 铸铁破坏表现为脆性断裂失效，具有抗拉强度 σ。图9-1a,b b ２．同一材料在不同环境及加载条件下也表现出对失效的不同抗力。 例2常温静载条件下，带有环形深切槽的圆柱形低碳钢试件受拉时，不再出现塑性变形，而沿切槽根部发生脆断，切槽导致的应力集中使根部附近出现两向和三向拉伸型应力状态。图（9-2a,b）
例3 常温静载条件下，圆柱形铸铁试件受压时，不再出现脆性断口，而出现塑性变形，此时材料处于压缩型应力状态。图（9-3a ） 例4 常温静载条件下，圆柱形大理石试件在轴向压力和围压作用下发生明显的塑性变形，此时材料处于三向压缩应力状态下。图９－３b ３．根据常温静力拉伸和压缩试验，已建立起单向应力状态下的弹性失效准则，考虑安全系数后，其强度条件为 []σσ≤ ，根据薄壁圆筒扭转实验，可建立起纯剪应力状态下的弹性失效准则，考虑安全系数后，强度条件为 []ττ≤ 。 建立常温静载一般复杂应力状态下的弹性失效准则——强度理论的基本思想是： １）确认引起材料失效存在共同的力学原因，提出关于这一共同力学原因的假设； ２）根据实验室中标准试件在简单受力情况下的破坏实验（如拉伸），建立起材料在复杂应力状态下共同遵循的弹性失效准则和强度条件。 ３）实际上，当前工程上常用的经典强度理论都按脆性断裂和塑性屈服两类失效形式，分别提出共同力学原因的假设。 §8-２四个强度理论 １．最大拉应力准则（第一强度理论） 基本观点：材料中的最大拉应力到达材料的正断抗力时，即产生脆性断裂。 表达式：u σσ=+ max 复杂应力状态
弯扭组合变形实验报告
薄壁圆管弯扭组合变形应变测定实验 一．实验目的 1．用电测法测定平面应力状态下主应力的大小及方向； 2．测定薄壁圆管在弯扭组合变形作用下，分别由弯矩、剪力和扭矩所引起的 应力。 二．实验仪器和设备 1．弯扭组合实验装置； 2．YJ-4501A/SZ 静态数字电阻应变仪。 三．实验原理 薄壁圆管受力简图如图1所示。薄壁圆管在P 力作用下产生弯扭组合变形。 薄壁圆管材料为铝合金，其弹性模量E 为72 2m GN , 泊松比μ为0.33。薄壁圆管截 图1 面尺寸、如图2所示。由材料力学分析可知，该截面上的内力有弯矩、剪力和扭矩。Ⅰ-Ⅰ截面现有A 、B 、C 、D 四个测点，其应力状态如图3所示。每点处已按 –450、00、+450方向粘贴一枚三轴450应变花，如图4所示。 图2 图3 图4 四．实验内容及方法 1. 指定点的主应力大小和方向的测定 薄壁圆管A 、B 、C 、D 四个测点，其表面都处于平面应力状态，用应变花测出三个方向的线应变， 然后运用应变-应力换算关系求出主应力的大小和方向。若测得应变ε-45、ε0、ε45 ，则主应力大小的计算公式为 ()()()?? ? ???-+--±++-=--24502 0454******* 1211εεεεμεεμ μσσE
主应力方向计算公式为 ()()04545045 452εεεεεεα----= --tg 或 ()45 450454522εεεεεα+---=--tg 2. 弯矩、剪力、扭矩所分别引起的应力的测定 a. 弯矩M 引起的正应力的测定 只需用B 、D 两测点00方向的应变片组成图5（a ）所示半桥线路，就可测得弯矩M 引的正应变 2 Md M εε= 然后由虎克定律可求得弯矩M 引起的正应力 2 Md M M E E εεσ= = b. 扭矩M n 引起的剪应力的测定 图5 用A 、C 两被测点-450、450方向的应变片组成图5（b ）所示全桥线路，可 测得扭矩M n 在450方向所引起的线应变 4 nd n εε= 由广义虎克定律可求得剪力M n 引起的剪应力 ()214nd nd n G E εμετ=+= c. 剪力Q 引起的剪应力的测定 用A 、C 两被测点-450、450方向的应变片组成图5（c ）所示全桥线路，可测得剪力Q 在450方向所引起的线应变 4 Qd Q εε= 由广义虎克定律可求得剪力Q 引起的剪应力 () 2 14Qd Qd Q G E εμετ=+= 五．实验步骤 1. 接通测力仪电源，将测力仪开关置开。 2. 将薄壁圆管上A 、B 、C 、D 各点的应变片按单臂（多点）半桥测量接线方法接至应变仪测量通道上。 3. 预加50N 初始载荷，将应变仪各测量通道置零；分级加载，每级100N ，加至450N ，记录各级载荷作用下应变片的读数应变，然后卸去载荷。 4. 按图5各种组桥方式，从复实验步骤3，分别完成弯矩、扭矩、剪力所引起应变的测定。 六．实验数据及结果处理
第八章组合变形构件的强度
第八章 组合变形构件的强度 8．1概 述 到现在为止，我们所研究过的构件，只限于有一种基本变形的情况，例如拉伸(或压缩)、剪切、扭转和弯曲。而在工程实际中的许多构件，往往存在两种或两种以上的基本变形。例如图8—1a 中悬臂吊车的横梁AB ，当起吊重物时，不仅产生弯曲，由于拉杆BC 的斜向力作用，而且还有压缩(图8—lb)。又如图8—2a 所示的齿轮轴，若将啮合力P 向齿轮中心平移、则可简化成如图8—2b 所示的情况。载荷P 使轴产生弯曲变形；矩为C m 和D m 的两个力偶则使轴产生扭转变形。这些构件都同时存在两种基本变形，前者是弯曲与压缩的组合；后者则是弯曲与扭转的组合。在外力作用下，构件若同时产生两种或两种以上基本变形的情况，就称为组合变形。
由于我们所研究的都是小变形构件，可以认为各载荷的作用彼此独立，互不影响，即任一载荷所引起的应力或变形不受其他载荷的影响。因此，对组合变形构件进行强度计算，可以应用叠加原理，采取先分解而后综合的方法。其基本步骤是：(1)将作用在构件上的载荷进行分解，得到与原载荷等效的几组载荷，使构件在每组载荷作用下，只产生一种基本变形；(2)分别计算构件在每种基本变形情况下的应力；(3)将各基本变形情况下的应力叠加，然后进行强度计算。当构件危险点处于单向应力状态时，可将上述应力进行代数相加；若处于复杂应力状态，则需求出其主应力，按强度理论来进行强度计算。 本章将讨论弯曲与拉伸(或压缩)的组合以及弯曲与扭转的组合构件的强度问题。 8．2 弯曲与拉伸 (或压缩) 的组合 在外力作用下，构件同时产生弯曲和拉伸(或压缩)变形的情况，称为弯曲与拉伸(或压缩)的组合变形。图8—1所示悬臂吊的横梁同时受到横向载荷和纵向载荷的作用，这是弯曲与拉伸(或压缩)组合构件的一种受力情况。在工程实际中，常常还遇到这样一种情况，即载荷与杆件的轴线平行，但不通过横截面的形心，此时，杆件的变形也是弯曲与拉伸(或压缩)的组合，这种情况通常称为偏心拉伸(或压缩)。载荷的作用线至横截面形心的垂直距离称为偏心距。例如图8—3a 中的开口链环和图8—4a 中的厂房柱子，如果将其上的载荷P 向杆件横截面的形心平移，则作用于杆件上的外力可视为两部分：一个轴向力P 和一个矩为Pe M =0 的力偶(图8—3b 、8—4b)。轴向力P 将使杆件产生轴向拉伸(或压缩)；力偶将使杆件产生弯曲。由此可见，偏心拉伸(或压缩)实际上就是弯曲与拉伸(或压缩)的组合变形。 现在讨论弯曲与拉伸(或压缩)组合变形构件的应力和强度计算。 设一矩形截面杆，一端固定，一端自由(图8—5a)，作用于自由端的集中力P 位于杆的纵对称面Oxy 内，并与杆的轴线x 成一夹角?。将外力P 沿x 轴和y 轴方向分解，得到两个分力(图8—5b)： ?cos P P x = ?sin P P y = 其中，分力x P 为轴向外力，在此力的单独作用下，杆将产生轴向拉伸，此时，任一横
实验一----弯扭组合变形
实验一----弯扭组合变形
弯扭组合变形的实验报告 力学-938小组 一．实验目的 1.测定薄壁圆管表面上一点的主应力； 2.验证弯扭组合变形理论公式； 3.掌握电阻应变片花的使用。 二．实验设备和仪表 1.静态数字电阻应变仪； 2.弯扭组合试验台。 三．实验原理与分析 1.实验计算简图如下所示： 在D点作用一外力，通过BD杆作用在C点，同时产生 弯矩和扭矩； 2.应变测量常常采用电阻应变花，把几个敏感栅制作成特殊夹角 形式，组合在同一基片上。本实验采用45o直角应变花，在A，B，C，D四点（这四点分别布置在圆管正前方、正上方、正后
方，正下方）上各贴一片，分别沿-45o ，0o ，45o 方向，如图所示。测量并记录每一点三个方向的应变值-45εo 、0εo 、45εo 。 正上方和正下方（B 、D 点）处于弯扭组合情况下，同时作 用有弯曲正应力和扭转切应力，其中弯曲正应力上端受拉，下端受压，而前方和后方由于弯矩作用产生的切应力远远小于扭转产生的切应力，所以可以忽略不计，这样，在前后位置只受扭转剪应力。 3. 理论应变的计算公式及简单推导 弯曲正应力计算公式：()4432 z M PLD W D d σπ= = -； （1） 扭转剪应力计算公式：()44 16 n p M PaD W D d τπ== -； （2） 根据（1）（2）式可计算出理论上作用在每点的应力值。 由应力状态理论分析可知，薄壁圆管表面上各点均处于平面应力状态。若在被测位置x,y 平面内，沿x,y 方向的线应变
为,x y εε，剪应变为x y γ ，根据应变分析可知，该点任一方向 α的线应变计算公式为： 1 cos 2sin 22 2 2 x y x y xy αεεεεεαγα+-= + - （3） 将α分别用-45o ，0o ，45o 代替，可得到x,y 方向的应变方程 组： 0454504545x y xy εεεεεεγεε--?=? =+-?? =-?o o o o o o （4） 由此，可得到解出每点-45εo 、0εo 、45εo 值的公式： 0454522 x x y xy x y xy εεεεγεεεγε-? =?? +-? =?? ++?=??o o o （5） 另外，根据2中的分析，利用材料力学相关公式，可得,x y εε， x y γ的理论计算公式为： ()21x y x xy E G E σεεμεμττγ?= ??? =-?? +?==?? （6） 这样，将（1）（2）（6）式代入到（5）式中，即可求解每点 -45εo 、0εo 、45εo 的理论值。 4. 将计算得到的理论值直接与测试仪上显示的数据进行对比，分析 误差。 四． 实验步骤
组合变形及强度理论
组合变形和强度理论习题及解答 题1．图示，水平放置圆截面直角钢杆（2 ABC p ?），直径100d mm =，2l m =，1q k N m =，[]MPa 160=σ，试校核该杆的强度。 解： 1）各力向根部简化，根截面A 为危险面 扭矩：212nA M ql = ，弯矩 23 2 zA M ql =+，剪力2A Q ql = 2) 2348ZA M ql W d s p ==， 3132W d p =，3 116 p W d p =， 扭转剪应力：2 3 810.18n P M ql MPa W d t p ===， 3) []364.42r MPa s s = =<， ∴梁安全 题2、 平面曲杆在C 端受到铅重力P 作用。材料的 [σ]=160MPa 。若P=5KN ，l =1m ，a=0.6m 。试根据第四强度理论设计轴AB 的直径d. 解：属于弯扭组合变形 危险面A 处的内力为： 题3、平面曲拐在C 端受到铅垂力P 作用，材料的[σ]=160MPa ，E=2.1?10 5 MPa ，。 杆的直径 d=80mm ，l =1.4m ，a=0.6m ，l 1=1.0m 。若P=5KN (1) 试用第三强度理论校核曲拐的强度。 (2) 求1-1截面顶端处沿45?方向的正应变。 解： （1）危险A 上的内力为：5 1.4 7z M kN m =?? B
曲拐安全 （2）1-1截面内力：5,3z M kN m T kN m =?? 顶点的应力状态 题4. 图示一悬臂滑车架，杆AB 为18 号工字钢，其长度为 2.6l m =。试求当荷载F =25kN 作用在AB 的中点D 处时，杆内的最大正应力。设工字钢的自重可略去不计。 B 解：18号工字钢4 3421851030610.,.W m A m --=?? AB 杆系弯庄组合变形。 题5. 砖砌烟囱高30h m =，底截面m m -的外径13d m =，内径22d m =，自重 2000P kN =，受1/q kN m =的风力作用。试求： （1）烟囱底截面上的最大正应力； （2）若烟囱的基础埋深04h m =，基础及填土自重按21000P kN =计算，土壤的许用应力 []0.3MPa s =圆形基础的直径D 应为多大？ 注：计算风力时，可略去烟囱直径的变化，把它看作是等截面的。 解：烟囱底截面上的最大正应力：
弯扭组合变形的主应力测定
实验八 弯扭组合变形的主应力测定 一、实验目的 1．测定平面应力状态下主应力的大小及方向。 2．掌握电阻应变花的使用。 二、实验设备 1．弯扭组合实验装置。 2．静态电阻应变仪。 三、实验原理 平面应力状态下任一点的主应力方向无法判断时，应力测量常采用电阻应变花。应变花是把几个敏感栅制成特殊夹角形式，组合在同一基片上，如图8－1所示。如果已知三个方向的应变a ε、b ε及c ε，根据这三个应变值可以计算出主应变1ε及3ε的大小和方向，因而主应力的方向亦可确定（与主应变方向重合）。主应力的大小可由各向同性材料的广义胡克定律求得： （8－1） 式中，E 、μ分别为材料的弹性模量和泊松比。 图8－2为045直角应变花，所测得的应变分别为00ε、045ε及090ε，由下式计算出主应变1ε及3ε的大小和方向： 2 904524509003,100000 02 22 ）（）（εεεεεεε-+-± += （8－2）（8－3）
00 0090090045022an εεεεεα---=t （8－3） 图8－1 图8－2 图 8－3 本实验以图8－3所示空心圆轴为测量对象，该空心圆轴一端固定，另一端固结一横杆，轴与杆的轴线彼此垂直，并且位于水平平面内。今在横杆自由端加砝码，使空心圆轴发生扭转与弯曲的组合变形。在A －A 截面的上表面A 点采用045直角应变花，如图8－4所示，如果测得三个应变值00ε、045ε和090ε，即可确定A 点处主应力的大小及方向的实验值。 图 8－4 图 8－5 另由扭—弯组合理论可知，A －A 截面的上表面A 点的应力状态如图8－5
弯扭组合变形实验报告
创作编号： BG7531400019813488897SX 创作者：别如克* 薄壁圆管弯扭组合变形应变测定实验 一．实验目的 1．用电测法测定平面应力状态下主应力的大小及方向； 2．测定薄壁圆管在弯扭组合变形作用下，分别由弯矩、剪力和扭矩所引起的应力。 二．实验仪器和设备 1．弯扭组合实验装置； 2．YJ-4501A/SZ静态数字电阻应变仪。 三．实验原理 薄壁圆管受力简图如图1所示。薄壁圆 管在P力作用下产生弯扭组合变形。 薄壁圆管材料为铝合金，其弹性模量E 为722 GN, 泊松比μ为0.33。薄壁圆管截图1 m 面尺寸、如图2所示。由材料力学分析可知，该截面上的内力有弯矩、剪力和扭矩。Ⅰ-Ⅰ截面现有A、B、C、D四个测点，其应力状态如图3所示。每点处已按–450、00、+450方向粘贴一枚三轴450应变花，如图4所
示。 图2 图3 图4 四．实验内容及方法 1. 指定点的主应力大小和方向的测定 薄壁圆管A 、B 、C 、D 四个测点，其表面都处于平面应力状态，用应变花测出三个方向的线应变， 然后运用应变-应力换算关系求出主应力的大小和方向。若测得应变ε-45、ε0、ε45 ，则主应力大小的计算公式为 ()()()?? ? ???-+--±++-=--24502 04545 45231212 11εεεεμ εεμμσσE 主应力方向计算公式为 ()() 04545045 452εεεεεεα----= --tg 或 () 4545045 4522εεεεεα+--- =--tg 2. 弯矩、剪力、扭矩所分别引起的应力的测定 a. 弯矩M 引起的正应力的测定 只需用B 、D 两测点00方向的应变片组成图5（a ）所示半桥线路，就可测得弯矩M 引的正应变 2 Md M εε= 然后由虎克定律可求得弯矩M 引起的正应力 2 Md M M E E εεσ= = b. 扭矩M n 引起的剪应力的测定 图5 用A 、C 两被测点-450、450方向的应变片组成图5（b ）所示全桥线路， 可测得扭矩M n 在450方向所引起的线应变 4 nd n εε= 由广义虎克定律可求得剪力 M n 引起的剪应力 ()2 14nd nd n G E εμετ= += c. 剪力Q 引起的剪应力的测定 用A 、C 两被测点-450、450方向的应变片组成图5（c ）所示全桥线路，
第八章组合变形构件的强度习题
第八章 组合变形构件得强度习题 一、填空题 1、两种或两种以上基本变形同时发生在一个杆上得变形,称为( )变形。 二、计算题 1、如图所示得手摇绞车,最大起重量Q =788N,卷筒直径D =36cm ,两轴承间得距离l =80cm ,轴得许用应力=80Mpa 。试按第三强度理论设计轴得直径d 。 2、图示手摇铰车得最大起重量P =1kN,材料为Q 235钢,[σ]=80 MPa 。试按第三强度理论选择铰车得轴得直径。 3、图示传动轴AB 由电动机带动,轴长L =1、2m ,在跨中安装一胶带轮,重G =5kN,半径R =0、6m ,胶带紧边张力F 1=6kN ,松边张力F 2=3kN 。轴直径d =0、1m,材料许用应力[σ]=50MPa 。试按第三强度理论校核轴得强度。 kN 8.1? kN 2.4? 4、如图所示,轴上安装有两个轮子,两轮上分别作用有F =3kN 及重物Q ,该轴处于平衡状态。若[σ]=80MPa 。试按第四强度理论选定轴得直径d 。
5、图示钢质拐轴, AB轴得长度l AB=150mm, BC轴长度l BC=140mm,承受集中载荷F得作用,许用应力[σ]=160Mpa,若AB轴得抗弯截面系数W z=3000mm3,。试利用第三强度理论,按AB轴得强度条件确定此结构得许可载荷F。(注:写出解题过程) 6、如图所示,由电动机带动得轴上,装有一直径D=1m得皮带轮,皮带紧边张力为2F=5KN,松边张力为F=2、5KN,轮重F P=2KN,已知材料得许用应力[σ]=80Mpa,试按第三强度理论设计轴得直径d。 7、如图所示,有一圆杆AB长为l,横截面直径为d,杆得一端固定,一端自由,在自由端B处固结一圆轮,轮得半径为R,并于轮缘处作用一集中得切向力P。试按第三强度理论建立该圆杆得强度条件。圆杆材料得许用应力为[σ]。
第八章组合变形构建的强度习题答案.
第八章 组合变形构件的强度习题答案 一、填空题 1、组合 二、计算题 1、解：31 7888010157.610(N mm)4M =???=?? 336 78810141.8410(N mm)2T =??=?? 33 800.1r d σ= =≤ 解得 d ≥30mm 2 、解：(1) 轴的计算简图 画出铰车梁的内力图： 险截面在梁中间截面左侧,P T P M 18.02.0max == (2) 强度计算 第三强度理论:() ()[]σπσ≤+=+= 2 2 322318.02.032 P P d W T M Z r []()()()() mm m d 5.320325.010118.01012.010 8032 10118.01012.032 3 2 32 36 32 32 3==??+????=??+??≥πσπ 所以绞车的轴的最小直径为32.5mm 。 3、解：
m kN 8.1? m kN 2.4? （1）外力分析，将作用在胶带轮上的胶带拉力F 1、F 2向轴线简化，结果如图b ． 传动轴受竖向主动力： kN 1436521=++=++=F F G F ， 此力使轴在竖向平面内弯曲。 附加力偶为： ()()m kN 8.16.03621?=?-=-=R F F M e ， 此外力偶使轴发生变形。 故此轴属于弯扭组合变形。 （2）内力分析 分别画出轴的扭矩图和弯矩图如图（c ）、（d ） 危险截面上的弯矩m kN 2.4?=M ，扭矩m kN 8.1?=T （3）强度校核 ()() []σπσ≤=??+?= += MPa W T M Z r 6.4632 1.0108.110 2.43 2 32 32 23 故此轴满足强度要求。 4、解：1）外力分析 kN F Q Q F 625 .01==∴?=?Θ 2）内力分析，做内力图
弯扭组合变形的主应力测定
一、实验目的 1、测定薄壁圆管表面上一点的主应力的大小及方向。 2、验证弯扭组合变形理论公式。 3、通过现场对试验数据的分析，判断实验数据的准确性，加深对弯扭组合变形的理解。 二、实验设备 1、微机控制电子万能试验机。 2、静态电阻应变仪。 三、实验原理 1、薄壁圆管弯扭组和变形受力简图，如图1所示 图1：薄壁圆管弯扭组和变形受力简图 2、由试验确定主应力大小和方向 由应力状态分析可知，薄壁圆管表面上各点均处于平面应力状态。 若在被测位置想x,y 平面内，沿x,y 方向的线应变x ε，y ε剪应力为xy γ，根据应变分析可知，该点任一方向a 的线应变的计算公式为 a a xy y x y x a 2sin 21 2cos 2 2 γεεεεε--+ += 由此得到的主应变和主方向分别为 2 23,1)21 ()2 ( 2 xy y x y x γεεεεε+-±+= y x xy a εεγ-- =02tan
对于各向同性材料，主应变1ε，3ε和主应力1σ，3σ方向一致，主应力的大小可由各向同性材料的广义胡克定律求得： με ε μ μεεμσ （1） 式中，E 、μ分别为材料的弹性模量和泊松比。 在主应力无法估计时，应力测量主要采用电阻应变花，应变化是把几个敏感栅制成特殊夹角形式，组合在同一基片上。常用的应变花有450、600、900和1200等。 本实验采用的是45o 直角应变花，在A 、B 、C 、D 四点上各贴一片，分别沿着-450、00、450如图所示。根据所测得的应变分别为00ε、045ε及090ε，由下式计算出主应变1ε，3ε的大小和方向： 00εε=x 00004545εεεε-+=-y 004545εεγ-=-xy
组合变形构件的强度习题
一 、 填空题 1两种或两种以上基本变形同时发生在一个杆上的变形 ，称为（ ）变形 、计算题 1如图所示的手摇绞车，最大起重量Q=788N,卷筒直径D=36cm 两轴承间的距离l=80cm, 轴的许用应力 =80Mpa 。试按第三强度理论设计轴的直径 d o 2、图示手摇铰车的最大起重量 P=1kN ,材料为Q235钢，[q]=80 MPa 。试按第三强度理 论选择铰车的轴的直径。 400 -id n 3、图示传动轴AB 由电动机带动，轴长L=1.2m,在跨中安装一胶带轮，重 G=5kN,半径 R=0.6m,胶带紧边张力 F 1=6kN 松边张力 R=3kN 。轴直径 d=0.1m ，材料许用应力 [d =50MPa 。试按第三强度理论校核轴的强度。 4、如图所示，轴上安装有两个轮子，两轮上分别作用有 F=3kN 及重物Q ,该轴处于平 第八章 组合变形构件的强度习题 40-0
5 、图示钢质拐轴，AB轴的长度l AB=150mm, BC轴长度1BC=140mm,承受集中载荷F 的作用，许用应力［c）=160Mpa，若AB轴的抗弯截面系数W z=3000mm3,。试利用第三强度理论，按AB轴的强度条件确定此结构的许可载荷F。（注：写出解题过程） 6、如图所示，由电动机带动的轴上，装有一直径D =1m的皮带轮，皮带紧边张力为 2F=5KN松边张力为F=,轮重F P=2KN,已知材料的许用应力［q］=80Mpa，试按第三强度理论设计轴的直径d。 7、如图所示，有一圆杆AB长为I，横截面直径为d，杆的一端固定，一端自由，在自由端B处固结一圆轮，轮的半径为R,并于轮缘处作用一集中的切向力P。试按第三强度理论建立该圆杆的强度条件。圆杆材料的许用应力为［可。 衡状态。若［d=80MPa。试按第四强度理论选定轴的直径d
弯扭组合变形主应力实验
实验五弯扭组合变形主应力实验 一、实验目的 1、用电测法测定平面应力状态下一点的主应力的大小和方向； 2、在弯扭组合作用下，分别测定由弯矩和扭矩产生的应力值； 3、进一步熟悉电阻应变仪的使用，学会全桥法测应变的实验方法。 二、仪器设备 1、弯扭组合变形实验装置； 2、YD-2009型数字式电阻应变仪； 三、试件制备与实验装置 1、试件制备 本实验采用合金铝制薄壁圆管作为测量对象。为了测量圆管的应力大小和方向，在圆管某一截面的管顶B点、管底D点各粘贴了一个45o应变花（如图4-5-1），圆管发生弯扭组合变形后，其应变可通过应变仪测定。 图4-5-1 2、实验装置 如图4-5-1所示，将薄壁圆管一端固定在弯扭组合变形实验装置上，逆时针转动实验架上的加载手轮，通过薄壁圆管另一端的钢丝束施加载荷，使圆管产生变形。从薄壁圆管的内力图4-5-2可以发现：薄壁圆管除承受弯矩M作用之外，还受扭矩T的作用，圆管处于“组合变形”状态，且弯矩M=P?L，扭矩T= P?a
图4-5-2 内力图 图 4-5-3 单元体图
四、实验原理 1、主应力大小和方向的测定 如图4-5-3，若测得圆管管顶B 点的-45o、0o、45o三个方向（产生拉应变方向为45o，产生压应变的方向为-45o，轴向为0o）的线应变为ε-45o、ε0o、ε45o。由《材料力学》公式 αγαεεεεεα2sin 2 1 2cos 2 2 xy - + += -y x y x 可得到关于εx 、εy 、γxy 的线形方程组 ()[]()[] 45 2sin 2 145 2cos 2 2 xy 45-?--?+ += --γ εεεεεy x y x 2 2 0y x y x εεεεε-+ += ()() 452sin 2 1 452cos 22 xy 45?- ?+ += -γεεεεεy x y x 联立求解以上三式得 εx =ε0o εy =ε-45o+ε45o-ε0o γxy =ε-45o-ε45o 则主应变为 εγεεεεε2 xy 22,1222 ??? ??+??? ??±+= -y x y x y xy x εεγα--=02tg 由广义胡克定律 ()212 11μεεμ σ+-E = ()122 21μεεμ σ+-E = 得到圆管的管顶A 点主应力的大小和方向计算公式 ( )() () ()()2 45 02 45 045 452,10 12212-- - -+ ++E ± -E = εε εε μμεεσ 45 4504545022tg -----= εεεεεα 2、弯矩产生的应力大小测定 分析可知，圆管虽为弯扭组合变形，但管顶B 和管底D 两点沿x 轴方向的应变计只能测试因弯矩引起的线应变，且两者等值反向。因此，由上述主应力测试过程得知 ε=εx =ε0o
实验四 弯扭组合变形时地应力测定
实验四弯扭组合变形时的应力测定 一、实验目的 1．用电测法测定平面应力状态下的主应力大小及其方向，并与理论值进行比较。 2．测定弯扭组合变形杆件中的弯矩和扭矩分别引起的应变，并确定内力分量弯矩和扭矩的实验值。 3．进一步掌握电测法和电阻应变仪的使用。 了解半桥单臂，半桥双臂和全桥的接线方法。 二、实验仪器 1．弯扭组合实验装置。 2．YJ-28-P10R静态数字应变仪, 或者YJ-31电阻应变仪。 三、实验原理和方法 弯扭组合变形实验装置如图5-1所示，它由薄壁管1、扇臂2、钢索3、手轮4、加 图4-1 弯扭组合实验装置
载支座5、加载螺杆6、载荷传感器7、钢索接头8、底座9、电子秤10和固定支架11组成。钢索一端固定在扇臂端，另一端通过加载螺杆、载荷传感器与钢索接头固定，实验时转动手轮，加载螺杆和载荷传感器都向下移动，钢索受拉，载荷传感器就有电信号输出，此时电子秤数字显示出作用在扇臂的载荷值，扇臂端的作用力传递到薄壁管上，使管产生弯扭组合变形。 薄壁圆管材料为铝，其弹性模量E=70GPa、泊松比μ=0.33,管的平均直径D0=37mm,壁厚t=3mm。 Ⅰ-Ⅰ 图4-2 图4-3 A、B、C、D点应力状态
薄壁圆管弯扭组合变形受力如简图4-2所示。Ⅰ-Ⅰ截面为被测位置，该截面上的内力有弯矩和扭矩。取其前、后、上、下的A 、B 、C 、D 为被测的四个点，其应力状态见图4-3（截面Ⅰ-Ⅰ的展开图）。每点处按-450 、0、+450 方向粘贴一片450 的应变花，将截面Ⅰ-Ⅰ展开如图4-4（a ）所示。 四、 实验内容和方法 1．确定主应力大小及方向： 弯扭组合变形薄壁圆管表面上的点处于平面应力状态，用应变花测出三个方向的线应变后，可算出主应变的大小和方向，再应用广义胡克定律即可求出主应力的大小和方向。 主应力 ()()()?? ?? ??-+--±++-= ?+?-?+?-24502045454522.12 1211εεεεμεεμ μσE (1) 主方向 ()() 0454*******a εεεεεεα----= ?+?-? -?+n t (2) 式中：045-ε、0ε、045+ε分别表示与管轴线成045-ε、0ε、045+ε方向的线应变 2． 单一内力分量或该内力分量引起的应变测定： (1)弯矩M 及其所引起的应变测定 （a ）弯矩引起正应变的测定： 用上、下（即B 、D 两点）两测点两片方向的应变片组成图8-4b 所示半桥测量线路，测得B 、D 两处由于弯矩引起的正应变 2 ds M εε= (3) 式中：ds ε——应变仪的读数应变 M ε——由弯矩引起的轴线方向的应变 (b)弯矩M 的测定：
薄壁圆管弯扭组合变形实验
姓名： 学院： 专业： 学号： 薄壁圆管弯扭组合变形测定实验 一、实验目的 ①用点测法测定平面应力状态下 主应力的大小及方向。 二、实验设备名称及型号 ①弯矩组合实验装置。 ②静态电阻应变仪。 三、实验内容及方法 1.基本数据 材料常数：弹性模量E = 70 GPa 泊松比33.0=μ 装置尺寸：圆筒外径D = 40mm 圆筒内径d = 34mm 加载臂长l = 200 mm 测点位置L I-I =300 mm 2.计算方法 （1）指定点的主应力和主方向测定 实验值：主应力大小：()()()?? ????-+--±++-=--245020454545221212 11εεεεμ εεμμσσE 主应力方向：()()0454********εεεεεεα----=--tg 理论值：主应力大小：222122τσσσσ+??? ??±=；主应力方向：σ τα220-=tg 五．实验步骤 1.将传惑器与测力仪连接，接通测力仪电源，将测力仪开 关置开。 2.将薄壁圆管上A 、B 、C 、D 各点的应变片按单臂(多点)四分之一桥测量接 线方法接至应变仪测量通道上。 3.逆时针旋转手轮，预加50N 初始载荷．将应变仪各测量通道置零。 4.分级加载，每级100N ，加至450N ．记录各级载荷作用下应变片450 ，00，-450方向上的应变读数。 5.卸去载荷。 6.将薄壁圆管上B 、D 两点00方向的应变片按图5（a ）半桥测量接线方法接 至应变仪测量通道上．重复步骤3、4、5。
7.将薄壁四管上A、C两点-450、450方向的应变片按图5（b）全桥测量接线方法接至应变仪测量通道上，重复步骤3、4、5。 8.将薄壁圆管上A、C两点-450、450方向的应变片按图5（c）全桥测量接线方法接至应变仪测量通道上，重复步骤3、4、5。 五、实验数据记录与处理 1、合理的纪录实验数据。 2、计算A、B、C、D四点的主应力大小和方向。 3、计算I—I 截面上分别由弯矩、剪力、扭矩所引起的应力。 实验数据
组合变形的强度计算.
第8章 组合变形的强度计算 8.1 组合变形的概念 在前面几章中，研究了构件在发生轴向拉伸(压缩)、剪切、扭转、弯曲等基本变形时的强度和刚度问题。在工程实际中，有很多构件在荷载作用下往往发生两种或两种以上的基本变形。若有其中一种变形是主要的，其余变形所引起的应力(或变形)很小，则构件可按主要的基本变形进行计算。若几种变形所对应的应力(或变形)属于同一数量级，则构件的变形为组合变形。例如，如图8.1(a)所示吊钩的AB 段，在力P 作用下，将同时产生拉伸与弯曲两种基本变形；机械中的齿轮传动轴(如图8.1(b)所示)在外力作用下，将同时发生扭转变形及在水平平面和垂直平面内的弯曲变形；斜屋架上的工字钢檀条(如图8.2(a)所示)，可以作为简支梁来计算(如图8.2(b)所示)，因为q 的作用线并不通过工字截面的任一根形心主惯性轴(如图8.2(c)所示)，则引起沿两个方向的平面弯曲，这种情况称为斜弯曲。 图8.1 吊钩及传动轴 屋架 屋面 檀条 q (a) (b)(c) (a) (b) (c) 图8.2 斜屋架上的工字钢檀条 求解组合变形问题的基本方法是叠加法，即首先将组合变形分解为几个基本变形，然
材料力学 180 后分别考虑构件在每一种基本变形情况下的应力和变形。最后利用叠加原理，综合考虑各基本变形的组合情况，以确定构件的危险截面、危险点的位置及危险点的应力状态，并据此进行强度计算。实验证明，只要构件的刚度足够大，材料又服从胡克定律，则由上述叠加法所得的计算结果是足够精确的。反之，对于小刚度、大变形的构件，必须要考虑各基本变形之间的相互影响，例如大挠度的压弯杆，叠加原理就不能适用。 下面分别讨论在工程中经常遇到的几种组合变形。 8.2 斜 弯 曲 前面已经讨论了梁在平面弯曲时的应力和变形计算。在平面弯曲问题中，外力作用在截面的形心主轴与梁的轴线组成的纵向对称面内，梁的轴线变形后将变为一条平面曲线，且仍在外力作用面内。在工程实际中，有时会遇到外力不作用在形心主轴所在的纵向对称面内，如上节提到的屋面檀条的受力情况(如图8.2所示)。在这种情况下，杆件可考虑为在两相互垂直的纵向对称面内同时发生平面弯曲。实验及理论研究指出，此时梁的挠曲线不再在外力作用平面内，这种弯曲称为斜弯曲。 现在以矩形截面悬臂梁为例(如图8.3(a)所示)，分析斜弯曲时应力和变形的计算。这时梁在F 1和F 2作用下，分别在水平纵向对称面(Oxz 平面)和铅垂纵向对称面(Oxy 平面)内发生对称弯曲。在梁的任意横截面m —m 上，由F 1和F 2引起的弯矩值依次为 1y M F x =，2()z M F x a =- 在横截面m —m 上的某点(C y ,)z 处由弯矩M y 和M z 引起的正应力分别为 y y M z I σ'= ，z z M y I σ''=- 根据叠加原理，σ'和σ''的代数和即为C 点的正应力，即 y z y z M M z y I I σσ'''+=- (8-1) 式中，I y 和I z 分别为横截面对y 轴和z 轴的惯性矩；M y 和M z 分别是截面上位于水平 和铅垂对称平面内的弯矩，且其力矩矢量分别与y 轴和z 轴的正向一致(如图8.3(b)所示)。在具体计算中，也可以先不考虑弯矩M y 、M z 和坐标y 、z 的正负号，以其绝对值代入，然后根据梁在F 1和F 2分别作用下的变形情况，来判断式(8-1)右边两项的正负号。 (a) (b) 图8.3 斜弯曲