6.全等三角形全章复习与巩固知识讲解

全等三角形全章复习与巩固（提高）

【学习目标】

1. 了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；

2?探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式； 3?会作角的平分线，了解角的平分线的性质，能利用三角形全等证明角的平分线的性质,

会利用角的平分线的性质进行证明 ?

【知识网络】

【要点梳理】 要点一、全等三角形的判定与性质

一般三角形 直角三角形

判定

边角边（SAS 角边角

（ASA 角角边（AAS 边边边（SSS

两直角边对应相等 一边一锐角对应相等 斜边、直角边定理

（HL ）

性质

对应边相等，对应角相等

（其他对应兀素也相等,

如对应边上的高相等） 备注 判定三角形全等必须有 组对应边相等

要点二、全等三角形的证明思路

已知两角严夹边

T

ASA

找任一边t AAS

要点三、角平分线的性质

1. 角的平分线的性质定理

找夹角t SAS

已知两边丿找直角t HL

找另一边t SSS ‘边为角的对边

已知一边一角 』 边为角的邻边

r 找任一角r AAS 找夹角的另一边—? SAS

找夹边的另一角—? ASA

找边的对角＞ AAS

角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等

2.角的平分线的判定定理

角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上

3.三角形的角平分线

三角形角平分线交于一点，且到三边的距离相等4?与角平分线有关的辅助线

在角两边截取相等的线段，构造全等三角形；

在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段?

要点四、全等三角形证明方法

全等三角形是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形、相似图形、圆等图形性质的有力工具，是解决与线段、角相关问题的一个出发点?运用全等三角形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几何

问题?可以适当总结证明方法?

1.证明线段相等的方法：

(1)证明两条线段所在的两个三角形全等?

(2)禾U用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等

(3)等式性质.

2.证明角相等的方法：

(1)利用平行线的性质进行证明?

(2)证明两个角所在的两个三角形全等?

(3)利用角平分线的判定进行证明?

(4)同角(等角)的余角(补角)相等

(5)对顶角相等?

3.证明两条线段的位置关系(平行、垂直)的方法：

可通过证明两个三角形全等，得到对应角相等，再利用平行线的判定或垂直定义证明.

4.辅助线的添加：

(1)作公共边可构造全等三角形；

(2)倍长中线法；

(3)作以角平分线为对称轴的翻折变换全等三角形；

(4)利用截长(或补短)法作旋转变换的全等三角形?

5.证明三角形全等的思维方法：

(1)直接利用全等三角形判定和证明两条线段或两个角相等，需要我们敏捷、快速地发现两条

线段和两个角所在的两个三角形及它们全等的条件

(2)如果要证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件不充分时，则应根据图形的

其它性质或先证明其他的两个三角形全等以补足条件

(3)如果现有图形中的任何两个三角形之间不存在全等关系，此时应添置辅助线，使之出现全

等三角形，通过构造出全等三角形来研究平面图形的性质

【典型例题】

类型一、巧引辅助线构造全等三角形

(1) ?倍长中线法

1、已知，如图，△ ABC中，D是BC中点，DEL DF,试判断BE+ CF与EF的大小关系，并证

明你的结论.

【思路点拨】因为D是BC的中点，按倍长中线法，倍长过中点的线段DF,使DG= DF,证明△ EDG^A EDF △ FDC^AGDB这样就把BE CF与EF线段转化到了△BEG中，利用两边之和大于第三边可证.

【答案与解析】BE+ CF> EF;

证明：延长FD到G 使DG= DF,连接BG EG

VD是BC中点

? BD= CD

又v DEL DF

在厶EDG^DA EDF中

ED =ED

0DG =NEDF

DG =DF

???△ EDG^A EDF( SAS

??? EG= EF

在厶FDC与厶GDB中

CD 二BD

■

DF 二DG

???△ FDC^A GDB(SAS)

?CF= BG

?/ BG^ BE> EG

?BE+ CF> EF

【总结升华】有中点的时候作辅助线可考虑倍长中线法（或倍长过中点的线

段）

举一反三:

【变

式】

已知：如图所示，CE CB分别是△ ABCM^ ADC的中线，且/ ACB=Z ABC

求证：CD= 2CE

【答

案】

证明：

延长CE至F使EF= CE连接BF.

??? EC为中线，

AE = BE

AE 二BE,

|

在厶人￡。与厶BEF中，.AEC二.BEF,

CE =EF,

???△ AEC^A BEF （SAS.

??? AC = BF, / A=Z FBE.（全等三角形对应边、角相等）

又??? / ACB=Z ABC / DBC=Z AC聊/ A,Z FBC=Z ABOZ A.

?AC = AB Z DBC=Z FBC

?AB = BF.

又??? BC ADC的中线，

?AB = BD 即BF= BD.

BF 二BD,

I

在厶FCB与厶DCB中，f ZFBC Z DBC ,

BC 二BC,

?△ FCB^A DCB（SAS）.

?CF = CD 即CD= 2CE.

（2）?作以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形

2、已知：如图所示，在△ ABC中，Z C= 2Z B,Z 1 = Z 2.求证：AB= AC+ CD

【答案与解析】

证明：在AB上截取AE= AC.

AE = AC（已作）, 在厶AED与△ ACD中，<=N2（已知）, AD =AD（公用边）,

?△ AED^A ACD（SAS）.

?ED = CD

?Z AED=Z C（全等三角形对应边、角相等）. 又??? Z C=

2Z B ?/AED= 2Z B .

由图可知：Z AED=Z B+Z EDB

? 2 Z B=Z B+Z EDB

Z B=Z EDB

?BE = ED 即BE= CD.

?AB = AE+ BE= AC+ CD（等量代换）.

【总结升华】本题图形简单，结论复杂，看似无从下手，结合图形发现AB> AC.故用截长

补短法.在AB上截取AE= AC.这样AB就变成了AE+ BE,而AE= AC.只需证BE= CD即可.从

而把AB= AO CD 转化为证两线段相等的问题. 举一反三：

【变式】如图，AD 是 ABC 的角平分线，H, G 分别在AC, AB 上，且HD= BD.

⑴求证：/ B 与/ AHD 互补；

(2)若/ B + 2/DGA= 180°,请探究线段 AG 与线段AH HD 之间满足的等量关系，并加 以证明.

【思路点拨】 因为AB>AC,所以可在 AB 上截取线段 AE = AC,这时BE = AB- AC,如果连接 EM 在厶

BME 中 ,显然有 MB- M 氐BE 这表明只要证明 ME= MC 则结论成立.

【答案与解析】

【答案】

证明：（1）在AB 上取一点M,使得AM= AH,连接DM.

?/ / CAD=Z BAD, AD= AD, ??? △ AHD^A AMD. ??? HD= MD, / AHD=Z AMD. ?/ HD = DB,

? DB = MD. ? / DM=Z B.

?/ / AMD-Z DMB= 180 , ? Z AH —Z B= 180 . 即ZB 与Z AHD 互补.

（2）

由（1）Z

AHD=Z AMD, HD= MD, Z AH —Z B =

180 .

?/ Z B+ 2Z DGA= 180 ,

? Z AHD= 2Z DGA. ? Z AM= 2Z DGM.

?/ ZAMD=Z DG —Z GDM. ? 2 Z DG=Z DG —Z GDM. ? Z DG=Z GDM. ? MD= MG. ? HD = MG.

?/ AG = AM — MG, ? AG = AH — HD.

（3） .利用截长（或补短）法作构造全等三角形

M 是AD 上任意一点

,

C

证明：因为 AB> AC 则在AB 上截取AN AC,连接ME 在厶MBE 中，MB- M 氐BE （三角形两边之差小于

第三边） 在厶 AMC^A AME 中,

AC 二 AE （所作），

.CAM EAM （角平分线的定义）, AM 二AM （公共边）,

??? △ AMC^A AME（ SAS.

??? MC = ME （全等三角形的对应边相等）.

又??? BE = AB — AE, ? BE = AB- AC ? MB — MC< AB- AC.

【总结升华】充分利用角平分线的对称性，截长补短是关键 举一反三: 【变式】如图， 人。是厶ABC 的角平分线，AB> AC,求证：AB- AC > BD- DC

【答案】

证明：在 AB 上截取AE = AC,连结DE ???人。是厶ABC 的角平分线，

???/ BAD=Z CAD

在厶AED 与厶ACD 中

AE =AC Y BAD =NCAD AD = AD

J

? △ AED^AADC( SAS ? DE= DC

在厶 BED 中，BE > BD- DC 即 AB- AE > BD- DC ? AB- AC > BD- DC

（4）.在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段

4、如图所示，已知 E 为正方形 ABCD 勺边CD 的中点，点F 在BC 上，且/ DAE=Z FAE.

求证：AF = AD+ CF.

B D C

【思路点拨】四边形ABCD为正方形，则/ 4 90°.而/ DAE^Z FAE说明AE为/ FAD的平分线，按常规过角平分线上的点作出到角两边的距离，而E到AD的距离已有，只需作E到

AF的距离EM即可，由角平分线性质可知ME= DE AE= AE Rt△ AME与Rt△ ADE全等有AD

=AM而题中要证AF= AD+ CF.根据图知AF= AW MF.故只需证MF= FC即可.从而把证AF= AD+ CF转化为证两条线段相等的问题.

【答案与解析】

证明：作MEL AF于M连接EF.

???四边形ABCD为正方形，

z C=Z D=Z EMA= 90° .

又??? Z DAE=Z FAE

.AE为Z FAD的平分线，

.ME = DE

- - 出「AE = AE（公用边）,

在Rt △ AME与Rt △ ADE中，

[DE = ME（已证）,

.Rt △ AME2 Rt △ ADE（HL）.

.AD = AM全等三角形对应边相等）.

又??? E 为CD中点，. DE = EC.

.ME = EC

- 亠’ME=CE（已证），

在Rt △ EMF与Rt △ ECF中，彳

[EF =EF （公用边）,

.Rt △ EM宦Rt △ ECF（HL）.

.MF = FC（全等三角形对应边相等）.

由图可知：AF= AW MF,

.AF = AD^ FC（等量代换）.

【总结升华】与角平分线有关的辅助线：在角两边截取相等的线段，构造全等三角形；在

角的平分线上取一点向角的两边作垂线段?

^^5、如图所示，在△ ABC中，AC=BC Z ACB=90 , D是AC上一点，且AE垂直BD的延

1

长线于E, AE =2 BD，求证：BD是Z ABC的平分线.

【答案与解析】

证明：（1）v AEL I , BFL I , ?/ AEC=/ CFB= 90°,/ 1 + / 2 = 90 ?// ACB= 90°, ?/ 2+/

3 = 90°

【答案与解析】

证明：延长AE 和BC 交于点F ,

??? ACL BC, BE! AE,/ ADEN BDC （对顶角相等）， ???/ EAD+/ ADE / CBD+Z BDC 即/ EAD / CBD 在 Rt

△ ACF 和 Rt △ BCD 中.

厶cy 二级乞二9『（己知），

二 （己知），

AEAC^ACBD ｛己证）， 所以 Rt △ ACF ^

Rt △ BCD （ ASA . 则AF=BD （全等三角形对应边

相等）. ?/ AE=1 BD ? AE=1 AF,

2 2

即 AE=EF

在 Rt △ BEA 和 Rt △ BEF 中,

^AE =貯（己证），

< ZAEB = AFEB = 9『（己知）, 脳二

财（公共迦"

贝U Rt △ BEA^ Rt △ BEF （ SAS . 所以/ ABE=/ FBE （全等三角形对应角相等）， 即BD 是/ ABC 的平分线.

【总结升华】如果由题目已知无法直接得到三角形全等，

不妨试着添加辅助线构造出三角形

全等的条件，使问题得以解决.平时练习中多积累一些辅助线的添加方法 类型二、全等三角形动态型问题

【高清课堂：379111直角三角形全等的判定，巩固练习

5】

6、在厶ABC 中，/ ACB= 90°, AC= BC,直线I 经过顶点C,过A , B 两点分别作I 的垂 线

AE, BF,垂足分别为E , F.

(1) 如图1当直线I 不与底边AB 相交时，求证：EF = AE + BF.

(2) 将直线I 绕点C 顺时针旋转，使I 与底边AB 相交于点D,请你探究直线I 在如下位

置时，EF 、AE 、BF 之间的关系，① AD> BD ②AD= BD ③AD <

BD.

.??/ 1 =/ 3。

???在△ ACE和△ CBF 中,

AEC 二CFB

1 C A. B

???△ ACE^A CBF( AAS

??? AE= CF, CE= BF

?/ EF= CE+ CF,「. EF= AE+ BF。

(2)①EF= AE— BF,理由如下：

?/ AE± l , BF丄l ,

???/AEC=Z CFB= 90°,/ 1 + Z 2 = 90°

???/ACB= 90°, ?/ 2+Z 3 = 90°, ?/ 1 = / 3。

???在△ ACE和△ CBF 中

AEC =/CFB

0 —3

AC = BC

?△ ACE^A CBF( AAS

?AE= CF, CE= BF

?/ EF= CF—CE,「. EF= AE- BF。

②EF= AE- BF

③EF= BF- AE

证明同①?

【总结升华】解决动态几何问题时要善于抓住以下几点：

(1)变化前的结论及说理过程对变化后的结论及说理过程起着至关重要的作用；

(2)图形在变化过程中，哪些关系发生了变化，哪些关系没有发生变化；原来的线段之间、角之间的位置与数量关系是否还存在是解题的关键；

(3)几种变化图形之间，证明思路存在内在联系，都可模仿与借鉴原有的结论与过程，

其结论有时变化，有时不发生变化.

举一反三：

【变式】已知：在厶ABC中，/ BAC= 90°, AB= AC,点D为射线BC上一动点，连结AD,以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF

(1)当点D在线段BC上时(与点B不重合)，如图1,求证：CF= BD

(2)当点D运动到线段BC的延长线上时，如图2，第(1)问中的结论是否仍然成立，并说

明理由?