中考数学压轴题专题初中数学 旋转的经典综合题及详细答案

中考数学压轴题专题初中数学旋转的经典综合题及详细答案

一、旋转

1．操作与证明：如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边CB、CD上，连接AF．取AF中点M，EF的中点N，连接MD、MN．

（1）连接AE，求证：△AEF是等腰三角形；

猜想与发现：

（2）在（1）的条件下，请判断MD、MN的数量关系和位置关系，得出结论．

结论1：DM、MN的数量关系是；

结论2：DM、MN的位置关系是；

拓展与探究：

（3）如图2，将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°，其他条件不变，则（2）中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．

【答案】（1）证明参见解析；（2）相等，垂直；（3）成立，理由参见解析.

【解析】

试题分析：（1）根据正方形的性质以及等腰直角三角形的知识证明出CE=CF，继而证明出△ABE≌△ADF，得到AE=AF，从而证明出△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半和三角形中位线定理即可得出结论.位置关系是垂直，利用三角形外角性质和等腰三角形两个底角相等性质，及全等三角形对应角相等即可得出结论；（3）成立，连接AE，交MD于点G，标记出各个角，首先证明出

MN∥AE，MN=AE，利用三角形全等证出AE=AF，而DM=AF，从而得到DM，MN数量相等的结论，再利用三角形外角性质和三角形全等，等腰三角形性质以及角角之间的数量关系得到∠DMN=∠DGE=90°．从而得到DM、MN的位置关系是垂直.

试题解析：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF=90°，∵△CEF 是等腰直角三角形，∠C=90°，∴CE=CF，∴BC﹣CE=CD﹣CF，即BE=DF，

∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF，∴△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等，DM、MN的位置关系是垂直；∵在Rt△ADF中DM是斜边AF的中线，∴AF=2DM，∵MN 是△AEF的中位线，∴AE=2MN，∵AE=AF，∴DM=MN；∵∠DMF=∠DAF+∠ADM，

AM=MD，∵∠FMN=∠FAE，∠DAF=∠BAE，∴∠ADM=∠DAF=∠BAE，

∴∠DMN=∠FMN+∠DMF=∠DAF+∠BAE+∠FAE=∠BAD=90°，∴DM⊥MN；（3）（2）中的两个结论还成立，连接AE，交MD于点G，∵点M为AF的中点，点N为EF的中点，

∴MN∥AE，MN=AE，由已知得，AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF，CE=CF，又

∵BC+CE=CD+CF，即BE=DF，∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF，在Rt△ADF中，∵点M为AF的

中点，∴DM=AF，∴DM=MN，∵△ABE≌△ADF，∴∠1=∠2，∵AB∥DF，∴∠1=∠3，同理可证：∠2=∠4，∴∠3=∠4，∵DM=AM，∴∠MAD=∠5，

∴∠DGE=∠5+∠4=∠MAD+∠3=90°，∵MN∥AE，∴∠DMN=∠DGE=90°，∴DM⊥MN．所以（2）中的两个结论还成立.

考点：1.正方形的性质；2.全等三角形的判定与性质；3.三角形中位线定理；4.旋转的性质．

2．（操作发现）

（1）如图1，△ABC为等边三角形，先将三角板中的60°角与∠ACB重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转（旋转角大于0°且小于30°），旋转后三角板的一直角边与AB交于点D，在三角板斜边上取一点F，使CF=CD，线段AB上取点E，使∠DCE=30°，连接AF，EF．

①求∠EAF的度数；

②DE与EF相等吗？请说明理由；

（类比探究）

（2）如图2，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，先将三角板的90°角与∠ACB重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转（旋转角大于0°且小于45°），旋转后三角板的一直角边与AB交于点D，在三角板另一直角边上取一点F，使CF=CD，线段AB上取点E，使∠DCE=45°，连接AF，EF．请直接写出探究结果：

①∠EAF的度数；

②线段AE，ED，DB之间的数量关系．

【答案】（1）①120°②DE=EF；（2）①90°②AE2+DB2=DE2

【解析】

试题分析：（1）①由等边三角形的性质得出AC=BC，∠BAC=∠B=60°，求出

∠ACF=∠BCD，证明△ACF≌△BCD，得出∠CAF=∠B=60°，求出∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°；

②证出∠DCE=∠FCE，由SAS证明△DCE≌△FCE，得出DE=EF即可；

（2）①由等腰直角三角形的性质得出AC=BC，∠BAC=∠B=45°，证出∠ACF=∠BCD，由SAS证明△ACF≌△BCD，得出∠CAF=∠B=45°，AF=DB，求出∠EAF=∠BAC+∠CAF=90°；

②证出∠DCE=∠FCE，由SAS证明△DCE≌△FCE，得出DE=EF；在Rt△AEF中，由勾股定理得出AE2+AF2=EF2，即可得出结论．

试题解析：解：（1）①∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，

∠BAC=∠B=60°．∵∠DCF=60°，∴∠ACF=∠BCD．

在△ACF和△BCD中，∵AC=BC，∠ACF=∠BCD，CF=CD，∴△ACF≌△BCD（SAS），

∴∠CAF=∠B=60°，∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°；

②DE=EF．理由如下：

∵∠DCF=60°，∠DCE=30°，∴∠FCE=60°﹣30°=30°，∴∠DCE=∠FCE．在△DCE和△FCE 中，∵CD=CF，∠DCE=∠FCE，CE=CE，∴△DCE≌△FCE（SAS），∴DE=EF；

（2）①∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∴AC=BC，

∠BAC=∠B=45°．∵∠DCF=90°，∴∠ACF=∠BCD．在△ACF和△BCD中，∵AC=BC，

∠ACF=∠BCD，CF=CD，∴△ACF≌△BCD（SAS），∴∠CAF=∠B=45°，AF=DB，

∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=90°；

②AE2+DB2=DE2，理由如下：

∵∠DCF=90°，∠DCE=45°，∴∠FCE=90°﹣45°=45°，∴∠DCE=∠FCE．在△DCE和△FCE 中，∵CD=CF，∠DCE=∠FCE，CE=CE，∴△DCE≌△FCE（SAS），∴DE=EF．在Rt△AEF 中，AE2+AF2=EF2，又∵AF=DB，∴AE2+DB2=DE2．

3．（12分）如图1，在等边△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接BE，CD，点M、N、P分别是BE、CD、BC的中点．

（1）观察猜想：图1中，△PMN的形状是；

（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，△PMN的形状是否发生改变？并说明理由；

（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=1，AB=3，请直接写出△PMN 的周长的最大值．

【答案】(1) 等边三角形；(2) △PMN的形状不发生改变，仍然为等边三角形,理由见解析；（3）6

【解析】

分析：（1）如图1，先根据等边三角形的性质得到AB=AC，∠ABC=∠ACB=60°，则

BD=CE，再根据三角形中位线性质得PM∥CE，PM=1

2

CE，PN∥AD，PN=

1

2

BD，从而得到

PM=PN，∠MPN=60°，从而可判断△PMN为等边三角形；

（2）连接CE、BD，如图2，先利用旋转的定义，把△ABD绕点A逆时针旋转60°可得到△CAE，则BD=CE，∠ABD=∠ACE，与（1）一样可得PM=PN，∠BPM=∠BCE，

∠CPN=∠CBD，则计算出∠BPM+∠CPN=120°，从而得到∠MPN=60°，于是可判断△PMN为等边三角形．

（3）利用AB﹣AD≤BD≤AB+AD（当且仅当点B、A、D共线时取等号）得到BD的最大值为4，则PN的最大值为2，然后可确定△PMN的周长的最大值．

详解：（1）如图1．

∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∠ABC=∠ACB=60°．

∵AD=AE，∴BD=CE．

∵点M、N、P分别是BE、CD、BC的中点，

∴PM∥CE，PM=1

2CE，PN∥AD，PN=

1

2

BD，

∴PM=PN，∠BPM=∠BCA=60°，∠CPN=∠CBA=60°，

∴∠MPN=60°，∴△PMN为等边三角形；

故答案为等边三角形；

（2）△PMN的形状不发生改变，仍然为等边三角形．理由如下：连接CE、BD，如图2．

∵AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE=60°，

∴把△ABD绕点A逆时针旋转60°可得到△CAE，

∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，

与（1）一样可得PM∥CE，PM=1

2

CE，PN∥AD，PN=

1

2

BD，

∴PM=PN，∠BPM=∠BCE，∠CPN=∠CBD，

∴∠BPM+∠CPN=∠CBD+∠CBD=∠ABC﹣∠ABD+∠ACB+∠ACE=60°+60°=120°，∴∠MPN=60°，∴△PMN为等边三角形．

（3）∵PN=1

2

BD，∴当BD的值最大时，PN的值最大．

∵AB﹣AD≤BD≤AB+AD（当且仅当点B、A、D共线时取等号）

∴BD的最大值为1+3=4，∴PN的最大值为2，∴△PMN的周长的最大值为6．

点睛：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质和三角形中位线性质．

4．如图①，在等腰△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE=120°．

（1）求证：△ABD≌△ACE；

（2）把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图②的位置，连接CD，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点，连接MN、PN、PM，判断△PMN的形状，并说明理由；

（3）在（2）中，把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=4，AB=6，请分别求出

△PMN周长的最小值与最大值．

【答案】（1）证明见解析；（2）△PMN是等边三角形．理由见解析；（3）△PMN周长的最小值为3，最大值为15．

【解析】

分析：（1）由∠BAC=∠DAE=120°，可得∠BAD=∠CAE，再由AB=AC，AD=AE，利用SAS即可判定△ABD≌△ADE；（2）△PMN是等边三角形，利用三角形的中位线定理可得

PM=1

2

CE，PM∥CE，PN=

1

2

BD，PN∥BD，同（1）的方法可得BD=CE，即可得PM=PN，所

以△PMN是等腰三角形；再由PM∥CE，PN∥BD，根据平行线的性质可得∠DPM=∠DCE，∠PNC=∠DBC，因为∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC，所以

∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC，再由∠BAC=120°，可得∠ACB+∠ABC=60°，即可得

∠MPN=60°，所以△PMN是等边三角形；（3）由（2）知，△PMN是等边三角形，

PM=PN=1

2

BD，所以当PM最大时，△PMN周长最大，当点D在AB上时，BD最小，PM

最小，求得此时BD的长，即可得△PMN周长的最小值；当点D在BA延长线上时，BD最大，PM的值最大，此时求得△PMN周长的最大值即可.

详解：

（1）因为∠BAC=∠DAE=120°，

所以∠BAD=∠CAE，又AB=AC，AD=AE，

所以△ABD≌△ADE；

（2）△PMN是等边三角形．

理由：∵点P，M分别是CD，DE的中点，

∴PM=1

2

CE，PM∥CE，

∵点N，M分别是BC，DE的中点，

∴PN=1

2

BD，PN∥BD，

同（1）的方法可得BD=CE，

∴PM=PN，

∴△PMN是等腰三角形，

∵PM∥CE，∴∠DPM=∠DCE，

∵PN∥BD，∴∠PNC=∠DBC，

∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC，

∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC=∠BCE+∠DBC

=∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC，

∵∠BAC=120°，∴∠ACB+∠ABC=60°，

∴∠MPN=60°，

∴△PMN是等边三角形．

（3）由（2）知，△PMN是等边三角形，PM=PN=1

2 BD，

∴PM最大时，△PMN周长最大，

∴点D在AB上时，BD最小，PM最小，

∴BD=AB-AD=2，△PMN周长的最小值为3；

点D在BA延长线上时，BD最大，PM最大，

∴BD=AB+AD=10，△PMN周长的最大值为15．

故答案为△PMN周长的最小值为3，最大值为15

点睛：本题主要考查了全等三角形的判定及性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定，解决第（3）问，要明确点D在AB上时，BD最小，PM最小，△PMN周长的最小；

点D在BA延长线上时，BD最大，PM最大，△PMN周长的最大值为15.

5．已知△ABC是边长为4的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA=6，点D是射线OM 上的动点，当点D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连接DE．

（1）如图1，猜想：△CDE的形状是三角形．

（2）请证明（1）中的猜想

（3）设OD=m，

①当6＜m＜10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE周长的最小值；若不存在，请说明理由．

②是否存在m的值，使△DEB是直角三角形，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）等边；（2）详见解析；（3）3；②当m=2或14时，以D、E、B 为顶点的三角形是直角三角形．

【解析】

【分析】

（1）由旋转的性质猜想结论；

（2）由旋转的性质得到∠DCE=60°，DC=EC，即可得到结论；

（3）①当6＜m＜10时，由旋转的性质得到BE=AD，于是得到

C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，根据等边三角形的性质得到DE=CD，由垂线段最短得到当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，于是得到结论；

②存在，分四种情况讨论：a）当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形；

b）当0≤m＜6时，由旋转的性质得到∠ABE=60°，∠BDE＜60°，求得∠BED=90°，根据等边三角形的性质得到∠DEB=60°，求得∠CEB=30°，求得OD=OA﹣DA=6﹣4=2=m；

c）当6＜m＜10时，此时不存在；

d）当m＞10时，由旋转的性质得到∠DBE=60°，求得∠BDE＞60°，于是得到m=14．

【详解】

（1）等边；

（2）∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，∴∠DCE=60°，DC=EC，∴△CDE 是等边三角形．

（3）①存在，当6＜t＜10时，由旋转的性质得：BE=AD，

∴C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，由（1）知，△CDE是等边三角形，∴DE=CD，

∴C△DBE=CD+4，由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，此时，CD=23，∴△BDE的最小周长=CD+4=23+4；

②存在，分四种情况讨论：

a）∵当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，∴当点D与点B重合时，不符合题意；

b）当0≤m＜6时，由旋转可知，∠ABE=60°，∠BDE＜60°，∴∠BED=90°，由（1）可知，△CDE是等边三角形，∴∠DEB=60°，∴∠CEB=30°．

∵∠CEB=∠CDA，∴∠CDA=30°．

∵∠CAB=60°，∴∠ACD=∠ADC=30°，∴DA=CA=4，∴OD=OA﹣DA=6﹣4=2，∴m=2；

c）当6＜m＜10时，由∠DBE=120°＞90°，∴此时不存在；

d）当m＞10时，由旋转的性质可知，∠DBE=60°，又由（1）知∠CDE=60°，

∴∠BDE=∠CDE+∠BDC=60°+∠BDC，而∠BDC＞0°，∴∠BDE＞60°，∴只能∠BDE=90°，从而∠BCD=30°，∴BD=BC=4，∴OD=14，∴m=14．

综上所述：当m=2或14时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形．

【点睛】

本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，三角形周长的计算，直角三角形的判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．

6．如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接PA，PB，PC．将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P'CB的位置.

(1)设AB的长为a，PB的长为b(b

(2)若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC的长.

【答案】(1) S阴影=(a2-b2)；(2)PC=6.

【解析】

试题分析：（1）依题意，将△P′CB逆时针旋转90°可与△PAB重合，此时阴影部分面积=扇

形BAC的面积-扇形BPP'的面积，根据旋转的性质可知，两个扇形的中心角都是90°，可据此求出阴影部分的面积．

（2）连接PP'，根据旋转的性质可知：BP=BP'，旋转角∠PBP'=90°，则△PBP'是等腰直角三角形，∠BP'C=∠BPA=135°，∠PP'C=∠BP'C-∠BP'P=135°-45°=90°，可推出△PP'C是直角三角形，进而可根据勾股定理求出PC的长．

试题解析：（1）∵将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置，

∴△PAB≌△P'CB，

∴S△PAB=S△P'CB，

S阴影=S扇形BAC-S扇形BPP′=（a2-b2）；

（2）连接PP′，根据旋转的性质可知：△APB≌△CP′B，

∴BP=BP′=4，P′C=PA=2，∠PBP′=90°，

∴△PBP'是等腰直角三角形，P'P2=PB2+P'B2=32；

又∵∠BP′C=∠BPA=135°，

∴∠PP′C=∠BP′C-∠BP′P=135°-45°=90°，即△PP′C是直角三角形．

PC==6．

考点：1.扇形面积的计算；2.正方形的性质；3.旋转的性质．

7．如图1．在△ABC中，∠ACB＝90°，点P为△ABC内一点．

（1）连接PB、PC，将△BCP沿射线CA方向平移，得到△DAE，点B、C、P的对应点分别为点D、A、E，连接CE．

①依题意，请在图2中补全图形；

②如果BP⊥CE，AB＋BP＝9，CE＝33，求AB的长．

（2）如图3，以点A为旋转中心，将△ABP顺时针旋转60°得到△AMN，连接PA、PB、PC，当AC＝4，AB＝8时，根据此图求PA＋PB＋PC的最小值．

【答案】⑴①见解析，②AB＝6；⑵7.

【解析】

分析：（1）①根据题意补全图形即可；

②连接BD 、CD ．根据平移的性质和∠ACB ＝90°，得到四边形BCAD 是矩形，从而有CD ＝AB ，设CD ＝AB ＝x ，则PB ＝DE ＝9x -， 由勾股定理求解即可；

（2）当C 、P 、M 、N 四点共线时，PA ＋PB ＋PC 最小．由旋转的性质和勾股定理求解即可．

详解：（1）①补全图形如图所示；

②如图：连接BD 、CD ．

∵△BCP 沿射线CA 方向平移，得到△DAE ，

∴BC ∥AD 且BC ＝AD ，PB ＝DE ．

∵∠ACB ＝90°，

∴四边形BCAD 是矩形，∴CD ＝AB ，设CD ＝AB ＝x ，则PB ＝9x -，

DE ＝BP ＝9x -，

∵BP ⊥CE ，BP ∥DE ，∴DE ⊥CE ，

∴222CE DE CD +=，∴()()22

233

9x x +-=， ∴6x =，即AB ＝6；

（2）如图，当C 、P 、M 、N 四点共线时，PA ＋PB ＋PC 最小．

由旋转可得：△AMN ≌△APB ，∴PB ＝MN ．

易得△APM 、△ABN 都是等边三角形，∴PA ＝PM ，

∴PA ＋PB ＋PC ＝PM ＋MN ＋PC ＝CN ，

∴BN ＝AB ＝8，∠BNA ＝60°，∠PAM ＝60°，

∴∠CAN ＝∠CAB ＋∠BAN ＝60°＋60°＝120°，

∴∠CBN ＝90°．

在Rt △ABC 中，易得：22228443BC AB AC --=

∴在Rt △BCN 中，22486447CN BC BN =+=+=

点睛：本题属于几何变换综合题，主要考查了旋转和平移的性质、全等三角形的判定与性

质、矩形的性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造等边三角形和全等三角形，依据图形的性质进行计算求解．

8．如图，点A是x轴非负半轴上的动点，点B坐标为（0，4），M是线段AB的中点，将点M绕点A顺时针方向旋转90°得到点C，过点C作x轴的垂线，垂足为F，过点B作y 轴的垂线与直线CF相交于点E，连接AC，BC，设点A的横坐标为t．

（Ⅰ）当t=2时，求点M的坐标；

（Ⅱ）设ABCE的面积为S，当点C在线段EF上时，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；

（Ⅲ）当t为何值时，BC+CA取得最小值．

【答案】（1）（1，2）；（2）S=3

2

t+8（0≤t≤8）；（3）当t=0时，BC+AC有最小值

【解析】

试题分析：（I）过M作MG⊥OF于G，分别求OG和MG的长即可；

（II）如图1，同理可求得AG和OG的长，证明△AMG≌△CAF，得：AG=CF=1

2

t，

AF=MG=2，分别表示EC和BE的长，代入面积公式可求得S与t的关系式；并求其t的取值范围；

（III）证明△ABO∽△CAF，根据勾股定理表示AC和BC的长，计算其和，根据二次根式的意义得出当t=0时，值最小．

试题解析：解：（I）如图1，过M作MG⊥OF于G，∴MG∥OB，当t=2时，OA=2．∵M

是AB的中点，∴G是AO的中点，∴OG=1

2

OA=1，MG是△AOB的中位线，

∴MG=1

2OB=

1

2

×4=2，∴M（1，2）；

（II）如图1，同理得：OG=AG=1

2

t．∵∠BAC=90°，

∴∠BAO+∠CAF=90°．∵∠CAF+∠ACF=90°，∴∠BAO=∠ACF．∵∠MGA=∠AFC=90°，

MA=AC，∴△AMG≌△CAF，∴AG=CF=1

2

t，AF=MG=2，∴EC=4﹣

1

2

t，BE=OF=t+2，

∴S △BCE =12EC ?BE =12（4﹣12t ）（t +2）=﹣14t 2+32t +4； S △ABC =12?AB ?AC =12?216t +?21162t +=14t 2+4，∴S =S △BEC +S △ABC =32

t +8． 当A 与O 重合，C 与F 重合，如图2，此时t =0，当C 与E 重合时，如图3，AG =EF ，即 12t =4，t =8，∴S 与t 之间的函数关系式为：S =32

t +8（0≤t ≤8）； （III ）如图1，易得△ABO ∽△CAF ，∴

AB AC =OB AF =OA FC =2，∴AF =2，CF =12t ，由勾股定理得：AC =22AF CF +=22122t +（）=2144

t +，BC =22BE EC +=221242t t ++-（）（）=21544

t +（），∴BC +AC =（ 5+1）2144

t +，∴当t =0时，BC +AC 有最小值．

点睛：本题考查了几何变换综合题，知识点包括相似三角形、全等三角形、点的坐标、几何变换（旋转）、三角形的中位线等，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．

9．在△ABC 中，AB=AC ，∠A=300，将线段BC 绕点B 逆时针旋转600得到线段BD ，再将线段BD 平移到EF ，使点E 在AB 上，点F 在AC 上．

（1）如图1，直接写出∠ABD 和∠CFE 的度数；

（2）在图1中证明：AE=CF ；

（3）如图2，连接CE，判断△CEF的形状并加以证明．

【答案】（1）15°，45°；（2）证明见解析；（3）△CEF是等腰直角三角形，证明见解析.【解析】

试题分析：（1）根据等腰三角形的性质得到∠ABC的度数，由旋转的性质得到∠DBC的度数，从而得到∠ABD的度数；根据三角形外角性质即可求得∠CFE的度数.

（2）连接CD、DF，证明△BCD是等边三角形，得到CD=BD，由平移的性质得到四边形BDFE是平行四边形，从而AB∥FD，证明△AEF≌△FCD即可得AE=CF．

（3）过点E作EG⊥CF于G，根据含30度直角三角形的性质，垂直平分线的判定和性质即可证明△CEF是等腰直角三角形.

（1）∵在△ABC中，AB=AC，∠A=300，∴∠ABC=750.

∵将线段BC绕点B逆时针旋转600得到线段BD，即∠DBC=600．∴∠ABD= 15°.

∴∠CFE=∠A+∠ABD=45°．

（2）如图，连接CD、DF．

∵线段BC绕点B逆时针旋转60得到线段BD，∴BD=BC，∠CBD=600．∴△BCD是等边三角形．

∴CD=BD．

∵线段BD平移到EF，∴EF∥BD，EF=BD．

∴四边形BDFE是平行四边形，EF= CD．

∵AB=AC，∠A=300，∴∠ABC=∠ACB=750．∴∠ABD=∠ACD=15°．

∵四边形BDFE是平行四边形，∴AB∥FD．∴∠A=∠CFD.

∴△AEF≌△FCD（AAS）．

∴AE=CF．

（3）△CEF是等腰直角三角形，证明如下：

如图，过点E作EG⊥CF于G，

∵∠CFE =45°，∴∠FEG=45°．∴EG=FG．

∵∠A=300，∠AGE=90°，∴．

∵AE=CF，∴．∴．∴G为CF的中点．∴EG为CF的垂直平分线．

∴EF=EC．

∴∠CEF=∠FEG=90°．

∴△CEF是等腰直角三角形．

考点：1.旋转和平移问题；2．等腰三角形的性质；3．三角形外角性质；4．等边三角形的判定和性质；5.平行四边形的判定和性质；6.全等三角形的判定和性质；7．含30度直角三角形的性质；8．垂直平分线的判定和性质；9．等腰直角三角形的判定.

10．(1)观察猜想

如图(1)，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点D是BC的中点．以点D为顶点作正方形DEFG，使点A，C分别在DG和DE上，连接AE，BG，则线段BG和AE的数量关系是

_____；

(2)拓展探究

将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于0°，小于或等于360°），如图2，则(1)中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由.

(3)解决问题

若BC=DE=2，在(2)的旋转过程中，当AE为最大值时，直接写出AF的值．

【答案】（1）BG＝AE．

（2）成立．

如图②，

连接AD．∵△ABC是等腰三直角角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点．∴∠ADB＝90°，且BD＝AD．

∵∠BDG＝∠ADB－∠ADG＝90°－∠ADG＝∠ADE，DG＝DE．

∴△BDG≌△ADE，∴BG＝AE．…………………………………………7分

（3）由（2）知，BG＝AE，故当BG最大时，AE也最大．

正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转270°时，BG最大，如图③．

若BC＝DE＝2，则AD＝1，EF＝2．

在Rt△AEF中，AF2＝AE2＋EF2＝(AD＋DE)2＋EF2＝(1＋2)2＋22＝13．

∴AF＝

【解析】

解：（1）BG＝AE．

（2）成立．

如图②，连接AD．

∵△ABC是等腰三直角角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点．

∴∠ADB＝90°，且BD＝AD．

∵∠BDG＝∠ADB－∠ADG＝90°－∠ADG＝∠ADE，DG＝DE．

∴△BDG≌△ADE，∴BG＝AE．

（3）由（2）知，BG＝AE，故当BG最大时，AE也最大．Z+X+X+K]

因为正方形DEFG在绕点D旋转的过程中，G点运动的图形是以点D为圆心，DG为半径的圆，故当正方形DEFG旋转到G点位于BC的延长线上（即正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转270°）时，BG最大，如图③．

若BC＝DE＝2，则AD＝1，EF＝2．

在Rt△AEF中，AF2＝AE2＋EF2＝(AD＋DE)2＋EF2＝(1＋2)2＋22＝13．

∴AF＝．

即在正方形DEFG旋转过程中，当AE为最大值时，AF＝．

11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P顺时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ．

（1）如图1，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系．

（2）如图2，当点P在CB延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；

（3）如图3，当点P在BC延长线上时，若∠BPO=15°，BP=4，请求出BQ的长．

【答案】（1）BQ =CP ；（2）成立：PC =BQ ；（3）434-．

【解析】

试题分析：（1）结论：BQ =CP ．如图1中，作PH ∥AB 交CO 于H ，可得△PCH 是等边三角形，只要证明△POH ≌△QPB 即可；

（2）成立：PC =BQ ．作PH ∥AB 交CO 的延长线于H ．证明方法类似（1）；

（3）如图3中，作CE ⊥OP 于E ，在PE 上取一点F ，使得FP =FC ，连接CF ．设CE =CO =a ，则FC =FP =2a ，EF 3，在Rt △PCE 中，表示出PC ，根据PC +CB =4，可得方程62)24a a +=，求出a 即可解决问题；

试题解析：解：（1）结论：BQ =CP ．

理由：如图1中，作PH ∥AB 交CO 于H ．

在Rt △ABC 中，∵∠ACB =90°，∠A =30°，点O 为AB 中点，∴CO =AO =BO ，∠CBO =60°，∴△CBO 是等边三角形，∴∠CHP =∠COB =60°，∠CPH =∠CBO =60°，∴∠CHP =∠CPH =60°，∴△CPH 是等边三角形，∴PC =PH =CH ，∴OH =PB ，

∵∠OPB =∠OPQ +∠QPB =∠OCB +∠COP ，∵∠OPQ =∠OCP =60°，∴∠POH =∠QPB ，∵PO =PQ ，∴△POH ≌△QPB ，∴PH =QB ，∴PC =BQ ．

（2）成立：PC =BQ ．理由：作PH ∥AB 交CO 的延长线于H ．

在Rt △ABC 中，∵∠ACB =90°，∠A =30°，点O 为AB 中点，∴CO =AO =BO ，∠CBO =60°，∴△CBO 是等边三角形，∴∠CHP =∠COB =60°，∠CPH =∠CBO =60°，∴∠CHP =∠CPH =60°，∴△CPH 是等边三角形，∴PC =PH =CH ，∴OH =PB ，∵∠POH =60°+∠CPO ，

∠QPO =60°+∠CPQ ，∴∠POH =∠QPB ，∵PO =PQ ，∴△POH ≌△QPB ，∴PH =QB ，∴PC =BQ ．

（3）如图3中，作CE ⊥OP 于E ，在PE 上取一点F ，使得FP =FC ，连接CF ．

∵∠OPC =15°，∠OCB =∠OCP +∠POC ，∴∠POC =45°，∴CE =EO ，设CE =CO =a ，则FC =FP =2a ，EF 3a ，在Rt △PCE 中，PC 22PE CE +22(23)a a a ++=62)a ，∵PC +CB =4，∴(62)24a a =，解得a =4226，∴PC =434，由（2）可知BQ =PC ，∴BQ =434．

点睛：此题考查几何变换综合题、旋转变换、等边三角形的判定和性质全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．

12．正方形ABCD中，点E、F分别是边AD、AB的中点，连接EF．

（1）如图1，若点G是边BC的中点，连接FG，则EF与FG关系为：；

（2）如图2，若点P为BC延长线上一动点，连接FP，将线段FP以点F为旋转中心，逆时针旋转90°，得到线段FQ，连接EQ，请猜想BF、EQ、BP三者之间的数量关系，并证明你的结论．

（3）若点P为CB延长线上一动点，按照（2）中的作法，在图3中补全图形，并直接写出BF、EQ、BP三者之间的数量关系：．

【答案】（1）证明见解析（2）BF+EQ=BP（3）BF+BP=EQ

【解析】

试题分析：（1）EF与FG关系为垂直且相等（EF=FG且EF⊥FG）．证明如下：

∵点E、F、G分别是正方形边AD、AB、BC的中点，

∴△AEF和△BGD是两个全等的等腰直角三角形．

∴EF=FG，∠AFE=∠BFG=45°．∴∠EFG=90°，即EF⊥FG．

（2）取BC的中点G，连接FG，则由SAS易证△FQE≌△FPG，从而EQ=GP，因此

)

=-．

EF2BP EQ

（3）同（2）可证△FQE≌△FPG（SAS），得EQ=GP，因此，

))

===-=-．

EF GF2BG2GP BP2EQ BP

13．如图，在边长为1的正方形网格中，A（1，7）、B（5，5）、C（7，5）、D（5，1）．

（1）将线段AB绕点B逆时针旋转，得到对应线段BE．当BE与CD第一次平行时，画出点A运动的路径，并直接写出点A运动的路径长；

（2）线段AB与线段CD存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，直接写出这个旋转中心的坐标．

【答案】（1）见解析；5π；（2）旋转中心P的坐标为（3，3）或（6，6）．

【解析】

【分析】

（1）依据旋转的方向、旋转角和旋转中心即可得到点A运动的路径为弧线，再运用弧长计算公式即可解答；

（2）连接两对对应点，分别作出它们连线的垂直平分线，其交点即为所求.

【详解】

解：（1）点A运动的路径如图所示，出点A运动的路径长为

22

9024

180

π

??+

＝5π；

（2）如图所示，旋转中心P的坐标为（3，3）或（6，6）．

【点睛】

本题主要考查了利用旋转变换及其作图，掌握旋转的性质、旋转角以及确定旋转中心的方法是解答本题的关键.

14．如图，在△ABC中，∠CAB=70°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB,求∠BAB′的度数．

【答案】40°.

【解析】

【分析】

先根据平行线的性质，由CC′∥AB得∠AC′C=∠CAB=70°，再根据旋转的性质得AC=AC′，∠BAB′=∠CAC′，于是根据等腰三角形的性质有∠ACC′=∠AC′C=70°，然后利用三角形内角和定理可计算出∠CAC′=40°，从而得到∠BAB′的度数．

【详解】

∵CC′∥AB，

∴∠A CC′=∠CAB=70°，

∵△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，

∴AC=AC′，∠BAB′=∠CAC′，

在△ACC′中，∵AC=AC′

∴∠ACC′=∠AC′C=70°，

∴∠CAC′=180°-70°-70°=40°，

∴∠BAB′=40°．

【点睛】

本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．

15．已知∠AOB＝90°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与C 重合，它的两条直角边分别与OA，OB(或它们的反向延长线)相交于点D，E.

当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时(如图①)，易证：OD＋OE2OC；

当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，即在图②，图③这两种情况下，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立，线段OD，OE，OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．