49函数新定义题

专题49、与函数有关的创新问题

过*()n n ∈N 个整点，则称函数()f x 为n 阶整点函数。给出下列函数：①()sin 2f x x =；②

3()g x x =；③1

()()3

x h x =；④()ln x x ?=，其中是一阶整点函数的是( )

，它的图象只经过一个整点(0,0)，所以它是一阶整点函数，排除

1,1),，所以它不是一阶整点函数，排除,,3),所以它不是一阶整点函数，排除C .

00000“优美点”。已知22,0

()2,0x x x f x kx x ?+<=?+≥?

，若曲线()f x 存在“优美点”，则实数k 的取值范围为

( )

.(,2A -∞- .[2B - .(,2C -∞+ .(0,2D +

函数()f x 与()g x 互为“n 度零点函数”，若函数2()31x f x -=-与2()x g e x x a =-互为“1度零点函数”，则实数a 的取值范围为( ) 214., A e e ?? ??? 214.,B e e ?? ??? 242.,C e e ?????? 3242D.,e e ?????? 【答案】B

【解析】由2()310x f x -=-=，解得2x =，可知{}2{}0|()M f αα===，函数2()31x f x -=-与2()x g e x x a =-互为“1度零点函数”，∴存在β，使得()0g β=，且|21|β-<，可得

【例4】已知具有性质：1()f f x x ??

=- ???的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：

①1()f x x x =-；②1

()f x x x =+；③,01()0,11

,

1x x f x x x x

?

?<?，其中满足“倒负”变换的函数是( )

【例5】若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域不相同，则称这些函数为“同值函数”，例如函数2],1,2[y x x =∈与函数2[],2,1y x x =∈--即为“同值函数”，给出下面四个函数，其中能够被用来构造“同值函数”的是( )

[].A y x =([]x 表示不超过x 的最大整数，例如[]0.10=) .B y x =+31

.log C y x x

=

- 1

.1

D y x x =+

+ 【答案】AD 【解析】根据题意，“同值函数”需满足：对于同一函数值，有不同的自变量与其对应．因此，能够被用来构造“同值函数”的函数必须满足在其定义域内不单调。

【例5】高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数。例如：

[]3[ 2.13 3.],1-=-=，已知函数23

()21

x x f x +=+，则函数[]()y f x =的值域为( )

}0,1{,2,3A ． }0,{1,2B ． }1,{2,3C ． 2{}1,D ． ,20,1x >∴)2x <时，，故选D .

数”。给出以下三个函数：①2()1f x x x =++；②()f x 2)si ()(n f x x =，其中是“限增

函数”的是( ) ,x a +≤2≤，当b ≥【例7】如果函数()y f x =在区间I 上是增函数，且函数y x

=在区间I 上是减函数，那么称函

数()y f x =是区间I 上的“缓增函数”，区间I 叫做“缓增区间”．若函数213

()22

f x x x =-+是区

间I 上的“缓增函数”，则“缓增区间”I 为( )

,[)1A +∞． B []0,1C ． D

11x -≤≤时，3()f x x =，则下列四个命题： ①()f x 是以4为周期的周期函数；

②()f x 在[]1,3上的解析式为3()()2x f x =-；

③()f x 在33,22f ??

?? ? ?????

处的切线方程为3450x y +-=；

④()f x 的图象的对称轴中，有1x =±. 其中正确的命题是( ) 【答案】D

【解析】()2f x -为周期的周期函数，①正确；

3时，11-≤.当11x -≤≤2)()x x =-，②正确；

()f x '=-33??31228?-=??

，又()f x 为奇函数，其图象关于，总存在非零常数T ，使得定义域任意实数x ，都有()()a T x f f x =+恒成立，此时T 为()f x 的类周期，函数()y f x =是M 上的a 级

类周期函数．若函数()y f x =是定义在区间[0,)+∞上的2级类周期函数，且2T =，当[)

0,2x ∈时，2

12,01

()2(2),12x x f x f x x ?-≤≤?=??-<

210()()g x f x -≤成立，则实数m 的取值范围是( )

5 . ,A ??-∞ ? 13. ,B ??-∞ ? 3. ,C ??-∞- ? 13. ,D ??

+∞??

【例10】若两函数具有相同的定义域、单调区间、奇偶性、值域，则称这两函数为“亲密函数”。下列三个函数22

||

2

21,,12

x x x y y y x =-==+中，与函数4()f x x =不是亲密函数的个数为( )

【例11】定义：如果在函数()y f x =定义域内的给定区间[],a b 上存在00()x a x b <<，满足

0)()

)((f b f a f x b a

-=

-，则称函数()y f x =是[],a b 上的“平均值函数”，0x 是它的一个均值点，如

4y x =是[]1,1-上的平均值函数，0就是它的均值点，现有函数2()1f x x mx =-++是[]1,1-上的平

均值函数，则实数m 的取值范围是________．

【例12】设()y f x =在],(1x ∈-∞上有定义，对于给定的实数K ，定义(),()(),()K f x f x K

f x K f x K ≤?=?>?

，给

出函数12(4)x x f x =-＋，若对于任意],(1x ∈-∞，恒有()()K f f x x =，则( )

.A K 的最大值为0 .B K 的最小值为0 .C K 的最大值为1 .D K 的最小值为1

【答案】D

【解析】根据题意可知，对于任意],(1x ∈-∞，恒有()()K f f x x =，则()f x K ≤在x≤1上恒成立，即()f x 的最大值小于或等于K 即可。令2x t =，则2(]0,t ∈，22()2(1)1f t t t t =-+=--+，可得

()f t 的最大值为1，1K ∴≥，故选D .

【例13】已知函数()y f x =和函数()y g x =的图象关于y 轴对称，当函数()y f x =和()y g x =在[],a b 上同时递增或同时递减时，[],a b 叫做函数()y f x =的“不动区间”。若[1,2]为函数

2x y t =＋的“不动区间”，则实数t 的取值范围为________．

[],a b 上的值域为[,22

]a b

，那么就称()y f x =为“半保值函数”，若函数2(()l )og x a f x a t =＋(0

a >且1a ≠)是“半保值函数”，则t 的取值范围为( )

1 . 0,4A ?? ??? 11. ,00,22B ????-? ? ????? 1. 0,2C ?? ??? 11. ,22D ??- ???

【例15】两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同形”函数，给出四个函数：

212223242()log (1),()log (2),()log ,()log (2)f x x f x x f x x f x x =+=+==，其中“同形”函数是( )

2.()A f x 与4()f x 1(.)B f x 与3()f x 1(.)C f x 与4()f x

3.()D f x 与4()f x

【答案】AC

【解析】232()log f x x =是偶函数，而其余函数无论怎样变换都不是偶函数，故其他函数图象经过平移后不可能与3()f x 的图象重合，故排除选项B D 、；422()log (2)1log f x x x ==+，将

22()log (2)f x x =+的图象沿着x 轴先向右平移两个单位得到2log y x =的图象，再沿着y 轴向上平

移一个单位可得到422()log (2)1log f x x x ==+的图象，可知选项A 是“同形”函数；将

12()log (1)f x x =+的图象沿着x 轴向右平移一个单位得到2log y x =的图象再沿着y 轴向上平移一个

单位可得到422()log (2)1log f x x x ==+的图象，可知选项C 是“同形”函数，故选.A C 、 【例16】若直角坐标系内,A B 两点满足：①点,A B 都在f(x)图象上；②点,A B 关于原点对称，则称点对(,)A B 是函数()f x 的一个“和谐点对”，(,)A B 与(),B A 可看作一个“和谐点对”。已知函

数22,0()2,0x x x x f x x e

?+

=?≥??，则函数()f x 的“和谐点对”有( )个。

的交点个数即可，

1212()12()()

''()f b f a f x f x b a

-==

-，则称函数()f x 是[],a b 上的“中值函数”。已知函数

3211

()f x x x m =-+是[0,]m 上的“中值函数”，则实数m 的取值范围是________．

【解析】由题意，知2

()

f x x x

'=-在[0,]m上存在

1212

)

,(0

x x x x m

<<<，满足

()2

12

()(0)11

''()

032

f m f

f x f x m m

m

-

===-

-

，所以方程22

11

32

x x m m

-=-在(0,)m上有两个不相等的解。令22

11

()(0)

32

g x x x m m x m

=--+<<，则

2

2

2

4

120,

3

11

(0)0

32

21

()0

32

m m

g m m

g m m m

?

?=+->

?

?

?

=-+>

?

?

?

=->

?

?

，解得33

42

m

<<。【例18】设()

f x与()

g x是定义在同一区间[]

,a b上的两个函数，若函数()()

y f x g x

=-在,

[]

x a b

∈

上有两个不同的零点，则称()

f x和()

g x在[]

,a b上是“关联函数”。若2

()34

f x x x

=-+与

()2

g x x m

=+在0,3上是“关联函数”，则m的取值范围为________．

【答案】9,2

4

??

--

?

??

【解析】由题意得，函数22

()()34254

y f x g x x x x m x x m

=-=-+--=-+-在[]

0,3上有两个不同的零点．

令2

()54

h x x x m

=-+-，则

(0)0

(2.5)0

(3)0

h

h

h

≥

?

?

<

?

?≥

?

，即

(40

9

4

20

m

m

m

-

?

??

--<

?

?

--≥

??

，解得92

4

m

-<≤-。

故答案为9,2

4

??

--

?

??

1222

点,

()

A m n位于函数

22

log2

y x

=+的图象上，如图，若ABC

?为正三角形，则_______

2n

m=

?。

【答案】12

【解析】由题意知，

2

log2

n m

=+，所以2

2n

m-

=，又

21

2

BC y y

=-=，且ABC

?为正三角形，所以可知(3,1)

B m n

+-在

2

log

y x

=的图象上，所以

2

1log(3)

n m

-=+，即1

23

n

m-

=-，所以243

n=，所以3

m=，所以234312

n

m?=?=。