北师大八年级不等式培优上课讲义

第一章 一元一次不等式和一元一次不等式组

【知识总结】 一. 不等关系

※1. 一般地,用符号“<”(或“≤”), “>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式. ¤2. 要区别方程与不等式: 方程表示的是相等的关系;不等式表示的是不相等的关系.

※3. 准确“翻译”不等式,正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语.

非负数 <===> 大于等于0(≥0) <===> 0和正数 <===> 不小于0 非正数 <===> 小于等于0(≤0) <===> 0和负数 <===> 不大于0 二. 不等式的基本性质

※1. 掌握不等式的基本性质,并会灵活运用:

(1) 不等式的两边加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变,即:

如果a>b,那么a+c>b+c, a-c>b-c.

(2) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,即

如果a>b,并且c>0,那么ac>bc, c

b

c a >.

(3) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,即:

如果a>b,并且c<0,那么ac

b

c a <

三. 不等式的解集:

※1. 能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解;一个不等式的所有解,组成这个不等式的解集;求不等式的解集的过程,叫做解不等式.

※2. 不等式的解可以有无数多个,一般是在某个范围内的所有数,与方程的解不同.

¤3. 不等式的解集在数轴上的表示:

用数轴表示不等式的解集时,要确定边界和方向: ①边界:有等号的是实心圆圈,无等号的是空心圆圈; ②方向:大向右,小向左 四. 一元一次不等式:

※1. 只含有一个未知数,且含未知数的式子是整式,未知数的次数是1. 像这样的不等式叫做一元一次不等式.

※2. 解一元一次不等式的过程与解一元一次方程类似,特别要注意,当不等式两边都乘以一个负数时,不等号要改变方向. ※3. 解一元一次不等式的步骤:

①去分母; ②去括号; ③移项; ④合并同类项;

⑤系数化为1(不等号的改变问题) ※4. 一元一次不等式基本情形为ax>b(或ax

①当a>0时,解为a

b

x >;

②当a=0时,且b<0,则x 取一切实数; 当a=0时,且b ≥0,则无解;

③当a<0时, 解为a

b

x <;

五. 一元一次不等式组

※1. 定义: 由含有一个相同未知数的几个一元一次不等式组成的不等式组,叫做一元一次不等式组.

※2. 一元一次不等式组中各个不等式解集的公共部分叫做不等式组的解集.如果

这些不等式的解集无公共部分,就说这个不等式组无解. 几个不等式解集的公共部分,通常是利用数轴来确定. ※3. 解一元一次不等式组的步骤:

(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集;

(2)利用数轴求出这些解集的公共部分,即这个不等式组的解集. 两个一元一次不等式组的解集的四种情况(a 、b 为实数,且a

【培优训练】

一、选择题(每小题3分，共30分)

1..下列不等式一定成立的是( )

A.5a ＞4a

B.x +2＜x +3

C.－a ＞－2a

D.

a

a 2

4> 2.不等式－3x +6＞0的正整数有( )

A.1个

B.2个

C.3个

D.无数多个 3. .在数轴上与原点的距离小于8的点对应的x 满足( )

A.－8＜x ＜8

B.x ＜－8或x ＞8

C.x ＜8

D.x ＞8 4.若不等式组??

?>≤11

x m

x 无解，则m 的取值范围是( )

A.m ＜11

B.m ＞11

C.m ≤11

D.m ≥11

5.要使函数y =(2m －3)x +(3n +1)的图象经过x 、y 轴的正半轴，则m 与n 的取值应为( )

A.m ＞23，n ＞－31

B.m ＞3，n ＞－3

C.m ＜23，n ＜－31

D.m ＜23，n ＞－3

1 6. 如右图，当0

A 、2-

B 、2->x

C 、2

D 、2>x 7. 如果10<

A 、x x x 12

<

< B 、x x x 12<< C 、21x x x << D 、x x x

<<2

1 8. 若a>b>0, 则下列结论正确的是 （ ） (A) -a>-b (B)

b

a 1

1> (C)a 3<0 (D)a 2>b 2 9.某射击运动员在一次比赛中前6次射击共中52环,如果他要打破89环(10次射击)的记录，第七次射击不能少于（ ）环（每次射击最多是10环）

A 、5

B 、6

C 、7

D 、8

10.初三的几位同学拍了一张合影作留念，已知冲一张底片需要0.80元，洗一张相片需要0.35元．在每位同学得到一张

相片、共用一张底片的前提下，平均每人分摊的钱不足0.5元，那么参加合影的同学人数 . Ａ．至多6人

Ｂ．至少6人

Ｃ．至多5人

Ｄ．至少5人

11.不等式组?????

≤--

>8

4332x x 的最小整数解为 ( )

(A)–1 (B) 0 (C)1 (D) 4

12、如果10<

<

< B 、x x x 12<< C 、21x x x << D 、x x x

<<2

1

13、在平面直角坐标系内，点P （3-m ，5-m ）在第四象限，则m 的取值范围是（ ） A 、35<<-m B 、53<<-m C 、53<

二、填空题：（每题3分，共15分） 1、若

11

|

1|-=--x x ，则x 的取值范围是_______ 2、 如果关于x 的不等式5)1(+<-a x a 和42

3

3a

b -_____． 4、 点A （－5，1y ）、B （－2，2y ）都在直线x y 2-=上，则1y 与2y 的关系是 。 5、若不等式组??

?>-<-3

21

2b x a x 的解集为11<<-x ，那么)3)(3(+-b a 的值等于_______．

6、 不等式b ax >的解集是a

b

x <，则a 的取值范围是 。 三、解不等式(组)（每题5分）

（1）. ??

?

??-<-+≤-33

14)

3(265x x x x （2）. 0415212<---x x （3）.?

??-<-<-223

5x x

（4）???

??+<-≤+--)

1(31512

1

5312x x x x 四、解答题 （1）不等式组12,

3 5.a x a x -<<+??<

的解集是3＜x ＜a +2，则a 的取值范围

（2）若关于x 的不等式组21

1,30

x x x k -?>-?

??-

（3）若不等式组1,

21

x m x m <+??>-?无解，求m 的取值范围

（4）已知关于x ，y 的方程组?

?

?=+=+3135y x m

y x 的解为非负数，求整数m 的值

（5）画出函数y =3x +12的图象，并回答下列问题：（6分）

(1)当x 为什么值时，y ＞0？

(2)如果这个函数y 的值满足－6≤y ≤6，求相应的x 的取值范围.

（6）已知方程组???=+-=+2

212y x m

y x 的解x 、y 满足x +y ＞0，求m 的取值范围. （6分）

四.应用题

某汽车租赁公司要购买轿车和面包车共10辆．其中轿车至少要购买3辆，轿车每辆7万元，面包车每辆4万元，公司可投入的购车款不超过55万元．（10分）

（1）符合公司要求的购买方案有哪几种？请说明理由．

（2）如果每辆轿车的日租金为200元，每辆面包车的日租金为110元．假设新购买的这10辆车每日都可租出，要使这10 辆车的日租金收入不低于1500元，那么应选择以上哪种购买方案？

考点1 不等式

（1）不等式的概念：用不等号表示不等关系的式子叫做不等式。

（2）不等式的解、解集

能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解；一个含有未知数的不等式的解的全体叫做这个不等式的解集。不等式的解集包括不等式的每一个解。

（3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式。与解方程一样，解不等式的过程，就是要将不等式变形为ax>0或ax<0的形式。

（4）不等式的“解”和“解集”的区别与联系

①不等式的解是指在某一范围内的数，用它代替不等式中的未知数，不等式成立；

②不等式的解集是一个含有未知数的不等式的所有解组成的集合；不等式的解集是一个范围，在这个范围内的每一个值都是不等式的一个解；

③不等式的解和不等式的解集是两个不同的概念：不等式的解是满足这个不等式的未知数的某个值，而不等式的解集是指满足这个不等式的未知数的所有的值，解集中包含了每一个解。（5）不等式解集的表示方法

①用不等式表示不等式的解集，常见的形式有以下四种：

②用数轴表示不等式的解集，主要注意“两定”，即：一定“边界点”；二定“方向”。若含边界点，解集为实心点；若不含边界点，解集为空心圆圈。对于方向，相对于边界点而言，大于向右，小于向左。

用数轴表示不等式的解集，通常分三个步骤进行：ⅰ）画数轴；ⅱ）定边界点；ⅲ）定方向。（6）不等式的性质

不等式的性质1

不等号的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号

不等式的性质2：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

不等式的性质3

不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。即：

（7）不等式的对称性和传递性

对称性：

传递性：

考点2 一元一次不等式

（1）一元一次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，系数不等于0，这样的不等式叫做一元一次不等式。

一元一次不等式与一元一次方程在定义上类似。不同的是，前者是用“>”或“<”连接两个整式，后者是用“＝”连接两个整式。

（2）解一元一次不等式的一般步骤

①去分母（根据不等式的性质2）②去括号（根据整式的运算法则）

③移项（根据不等式的性质1）

④合并同类项（根据整式的运算法则）

⑤将系数化为1（根据不等式的性质2）

（3）列一元一次不等式解应用题的步骤

①审题：理解问题中的数量关系及对解答的要求；

②设未知数：根据所求问题设出合适的未知数；

③列不等式：根据题意中的数量之间的不等关系，列出正确的不等式；

④解不等式：求出不等式的解集；

⑤作答：对不等式的解集进行分析讨论，根据题意要求，作出答语。

考点3一元一次不等式组

（1）一元一次不等式组的概念

①一元一次不等式组：由几个含有同一个未知数的一次不等式组成的不等式组叫做一元一次不等式组。

②不等式组的解集：不等式组中所有不等式的解集的公共部分，叫做这个不等式组的解集。

③解不等式组：求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。

（2）解一元一次不等式组的步骤

①分别求出不等式组中各个不等式的解集；

②利用数轴求它们的公共部分即为不等式组的解集。

如果各个不等式的解集没有公共部分，那么这个不等式组无解，即解集为空集。

确定一元一次不等式组的解集的四种情况（口诀）：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小题无解。

（3）利用不等式组解应用题：列不等式组解应用题与列方程组解应用题的步骤大致相同。不同之处在于

前者找的是不等关系，后者找的是等量关系。利用不等式组解应用题，通常需要根据解集确定最优解。