约束Hamilton系统的稳定性研究

约束Hamilton 系统的稳定性研究

郑明亮1) 傅景礼 2)

1)(浙江理工大学 机械设计与控制学院 杭州 310018）

2)(浙江理工大学 理学院 杭州 310018）

摘要：本文给出了一种约束Hamilton 系统的稳定性判断方法。首先，提出将因系统奇异性导致的内在限制方程看作是非完整约束方程，采用Routh 方法导出了约束Hamilton 系统的运动正则方程。其次，将约束Hamilton 系统转化成力学梯度系统，给出转化微分方程表示的条件和表达形式；接着，根据梯度系统的性质结合李雅普诺夫的一次近似理论直接来判定约束Hamilton 系统的平衡位置稳定性。最后，举例说明结果的应用。 关键词：约束Hamilton 系统；梯度系统；李雅普诺夫；稳定性

PACS:45.10.Hj,02.30.Hq

1引言

力学系统的运动稳定性在数学、力学、航空、航海、航天、新技术和高技术中得到广泛应用，发挥了越来越大的作用[1]。关于稳定性的问题Lyapunov 首先给出了稳定性的严格数学定义，并提出一种研究运动稳定性的直接方法。Bottema [2]研究了在·ГAO Ⅱ?意义下，各种力学系统平衡位置的稳定性判断方法。Risito [3]和 Laloy [4]总结了保守系统和耗散系统的平衡和运动稳定性，得到线性、齐次、定常非完整系统平衡位置稳定与不稳定的一些更特殊的结果。我国著名力学专家梅凤翔[5]系统地论述了约束力学系统的运动稳定性问题。朱海平

[6]研究了非完整系统的稳定性。傅景礼等[7-8]研究了相对论性和转动相对论性Birkhoff 系统的平衡稳定性。Zhang [9]利用Noether 守恒量构造了Lyapunov 函数，研究了广义Birkhoff 系统的运动稳定性。姜文安等[10]研究了广义Hamilton 系统的运动稳定性。Cheng [11]研究了系统参数对带附加广义力项的约束力学系统运动稳定性的影响。

在Legendre 变换下，奇异Lagrange 系统在过渡到相空间用Hamilton 正则变量描述时,其正则变量之间存在固有约束，称之为约束Hamilton 系统[12]。机械工程和数学物理上许多重要的动力系统是约束Hamilton 系统，如非树形多体机器人系统动力学模型一般为微分/代数方程组形式[13]、光的横移现象和量子电动力学[14]等。但是，关于约束Hamilton 系统的稳定性研究一直鲜有报道。如果一个力学系统能够成为梯度系统，那么就可用梯度系统的特性来研究力学系统的性质, 特别是运动稳定性质[15]。本文研究仅含第二类约束的约束Hamilton 系统的稳定性，将其转化成梯度系统，直接利用Lyapunov 定理来研究其平衡稳定性。 2约束Hamilton 系统的正则方程

设力学系统的位形由n 个广义坐标),...,1(n s q s =来确定，系统的Lagrange 函数为

),,(q q t L ，广义动量为),...,1(n s q L p s s =??= ，设L 的Hess 矩阵??

???????k s q q L 2的秩为n r <。 引入系统的Hamilton 函数为),(1q p,t L q p H n

i i

i -=∑= ，将奇异Lagrange 系统描述过渡到Hamilton 系统描述时，在相空间中正则变量之间存在代数约束方程： ),...,1(,0),(r n j t j -==Φq p, (1)

则约束Hamiltom 系统的正则方程为[16]：

),...,1(,11n s Q q q H p p p H q s r n j s

j j s s r n j s j j s s =+?Φ?-??-=?Φ?+??=∑∑-=-=λλ ， (2) 其中))(,,(),(q p,q

q q p, t Q t Q s s =为非势广义力，j λ为约束乘子。 仅考虑约束(1)式为第二类约束，有{}）r n j i j i j i -=≠≠ΦΦ=,...,1,;(,0,det 0Φ，那么

所有Lagrange 乘子j λ可由约束的相容性条件确定成[17]：),(q p,t j j λλ=，则方程(2)可写为：

),...,1(,,n s Q q H p p H q s s s

s s s s =+Λ-??-=Θ+??= (3) 其中∑∑-=-=?Φ?=Λ=Λ?Φ?=

Θ=Θr n j s j j s s r n j s j j s s q t p t 11

),(,),(λλq p,q p,。 令∑-=Φ+=r n j j j

T H H 1λ为系统的总能量函数，引进泊松括号{}??，，则方程(3)可简写为：

{}{}),...,2,1(,,,n s Q H p p H q q

s T s s T s s =+== (4) 称方程(4)为与约束Hamilton 系统相应的完整系统的正则方程。如果运动的初始条件满足内在限制约束方程(1)，即),..,1(,0),(00r n j t j -==Φq ,p ，则相应完整系统(4)的解就给出约束Hamilton 系统的运动。

3 约束Hamilton 系统的梯度表示

梯度或者斜梯度系统的微分方程为[18]：

),...,2,1()()(m i a V A a a V a

j ij i i

i =??=??-=a a a ）（ (5)

其中)(a V V =称为势函数，并不是力学中的势能。而矩阵)()(a a ji ij A A -=是反对称的 为便于研究约束Hamilton 系统的梯度表示，将方程(4)表为如下形式：

)2,...,2,1,(n F a H a

T =+??Ω=νμμνμνμ (6) 其中，???? ??-=Ω=====????++n n n n n n n n s n s s s s n s s I I n s Q F F p a q a 00),,...,2,1,,0,,）（（μν。 方程(4)一般不是一个梯度系统，如果满足如下条件：

)2,...,2,1,,(,0)()(n F a

H a F a H a T T ==+??Ω??-+??Ω??ρνμρνρνμμνμνρ (7)

则方程(4)是一个梯度系统。进而，如果还满足条件

0=??-??μρρμa F a F (8) 则式(8)可变为：

)2,...,2,1,,(,0)()(n a H a a H a T T ==??Ω??-??Ω??ρνμν

ρνμνμνρ (9) 则可求得势函数)(a V V =使得，

μμνμνa

V F a H T ??-=+??Ω (10) 值得注意的是，对于一个确定的力学系统, 如果条件(7)不满足，还不能断定它不是一个梯度系统。因为，这与方程的一阶表示有关。

4 约束Hamilton 系统的稳定性

我们知道，如果一个力学系统可以化成梯度系统，那么就可以利用梯度系统的性质来研究力学系统的稳定性。梯度系统有如下重要性质[19]：1）势函数V 是力学系统的一个

Lyapunov 函数，并且0=V

，当且仅当a 是一个平衡点；2）设Z 是一个梯度流的解的α极限点或ω极限点，则Z 为平衡点；3）对于梯度系统，任一平衡点处的线性化系统都只有实特征值。对于约束Hamilton 系统，如果能够成为梯度系统，并使势函数V 成为系统一个Lyapunov 函数，那么就可利用Lyapunov 定理来研究这些系统的稳定性，由Rumyatsev 定理研究部分变量稳定性.同时，也可用梯度系统的第三条性质来研究稳定性。

约束Hamilton 系统的平衡位置0a 满足方程：

0=0a V 或)2,...,2,1,(0][n F a H T ==+??Ωνμμν

μν0a (11) 如果上述2n 个代数方程彼此独立，则平衡位置是孤立的。不同于非奇异系统，由于内在固有限制约束的影响，约束Hamilton 系统的平衡位置往往不是孤立的，而组成维数与限制方程有关的流形，其维数不小于齐次限制方程的数目。另外，约束Hamilton 系统的运动方程可能存在平稳解，但却没有循环积分，且限制方程中显含循环坐标。因此，严格来讲，约束Hamilton 系统的稳定性研究应包括关于全部变量稳定性和关于部分变量稳定性、平衡状态流形的稳定性等。

令μμν

μνf F a H T =+??Ω，则约束Hamilton 系统在平衡位置处的第一近似方程为： 0)(lim ),()(],...,,[0221=+-??????=→-a a a a a 0

a a 00a μμμμμμg g a f a f a f a n (12) 由于梯度系统平衡点处的线性化系统都只有实特征根，因此，特征根可为负，可为正，亦可为0。由Lyapunov 一次近似理论可得[17]：约束Hamilton 系统能够成为一个梯度系统，如果它的一次近似特征方程的根皆为负，则平衡位置是渐近稳定的；如果有正根，则是不稳定的；如果有零根，且是单根，其余无正根，则平衡位置是稳定的，但非渐近稳定；如果零根为重根，则平衡位置是不稳定的。

5 算例说明

设某力学系统的Lagrange 函数为[21]：

)(22212121q q q q q q L ++-=

其中非有势广义力021==Q Q 。试研究该系统平衡位置的稳定性。

系统的广义动量为：

12

2211,q q L p q q L p -=??==??= 易验证这是约束Hamilton 系统，系数矩阵的秩为20<=r ，系统哈密顿函数和约束方程为：

0),(,0),()(12221122212211=+=Φ=-=Φ+-=-+=q p t q p t q q L q p q p H q p,q p,，

有约束相容条件易得到[16]：1221,-q q ==λλ，则系统总能量函数1221p q p q H T -=。 将上式带入式(4）或者式(6)可得约束Hamilton 系统正则方程：

???????=-==-=????????=-==-=3443122112211221a

a a a

a a a a p p p p q q q q 容易验证，本例中02-1

1

22≠-=??-??a a a a ，梯度条件(7)满足。因此它不是一个梯度系统；但是很容易看出它满足斜梯度系统的条件，因此可得势函数就是系统的总能量函数也是系统的积分，即：

3241)(a a a a H V T -==a 。

容易验证系统的势函数是一个定负函数，可成为系统的一个Lyapunov 函数。

系统的平衡位置为：

00)(4321====?=a a a a V

a 系统的特征方程形式为：

0)1(100100

001

00122=+=------λλ

λλλ

特征根实部全是非正数，则此约束Hamilton 系统的平衡位置零解是稳定的。

6 结束语

本文将由于Lagrange 函数奇异性而存在的内在固有限制方程看作是非完整约束方程，

建立了约束Hamilton系统的正则方程，给出了系统的运动微分方程成为梯度或者斜梯度系统的条件，一般说来，约束Hamilton系统是严格梯度系统的条件是很不容易满足的，但不带附加非有势广义力项的约束Hamilton一定是个斜梯度系统。化成斜梯度系统后便可利用梯度系统的性质来研究这类系统的稳定性。文中内容表明：约束Hamilton的总能量函数或者系统的积分可以成为斜梯度系统的势函数，如果该势函数又是一个Lyapunov函数，则系统的平衡零解稳定。约束Hamilton系统的稳定性在现代数理科学和工程技术中占有重要地位并广为应用，值得广大科技工作者关注和深入研究。

参考文献：

[1] Wang Zhaolin. Stability of motion and its application. Beijing: Higher Education Press, 1992.(王照林.运动稳定性及其应用.北京:高等教育出版社,1992)

[2] Bottema O. On the small vibrations of nonholonomic systems.Proc Kon Ned Akad Wet,1949, 52(8): 8484~850

[3] Risito C. On the Lyapunov stability of a system with known first integrals. Meccaraica, 1967, 2(4):197-200.

[4] Laloy M .On the first approximation stahilitvy of nonhohnornic svsterns Ann Fac Sci de K inshasa, Section Math Phys, 1976,2( 1):91-107

[5] Mei Fengxiang, Shi Rongchang et al. Motion stability of Constrained Mechanical Systems [M]. Beijing: Beijing Institute of Technology press, 1997.(梅凤翔,史荣昌等.约束力学系统的运动稳定性[M].北京:北京理工大学出版社,1997.)

[6] Zhu Haiping, Mei Fengxiang. Stability of the relative equilibrium state manifold of nonlinear nonholonomic systems [J]. see: Proceedings of the -V1 MMM conference. Suzhou: Soochow University press, 1995 448~454. (朱海平,梅凤翔.非线性非完整系统相对平衡状态流形的稳定性[J].见:MMM -V1会议论文集.苏州:苏州大学出版社,1995. 448~454)

[7] Fu Jingli, Chen Liqun et al. Relativistic Birkhoff system dynamics research, Journal of physics, 2001, 14 (12), 2289-2295(傅景礼,陈立群等.相对论Birkhoff系统动力学研究,物理学报,2001,14(12),2289-2295)

[8] Fu Jingli, Chen Liqun et al. Equilibrium stability of relativistic Birkhoff systems, Chinese Journal of physics, 2002,51 (12), 2683-2689.(傅景礼等.相对论Birkhoff系统的平衡稳定性,物理学报,2002,51(12) , 2683-2689)

[9] ZHANG Yi. Stability of motion for generalized Birkhoffian systems[J].J China Ordnance,2010,6(3):161-165.

[10] Jiang Wenan, Luo Shaokai. Stability for manifolds of equilibrium states of generalized Hamiltonian system. Meccanica, 2012, 47: 379-383.

[11] Chen Xiangwei, Li Yanmin, Mei Fengxiang. Effects of two parameters on the stability of generalized Hamilton system.And mechanics, 2014, 35 (12): 1392-1397.(陈向炜, 李彦敏, 梅凤翔. 双参数对广义Hamilton 系统稳定性的影响. 应用数学和力学, 2014, 35(12): 1392-1397)

[12] Li Ziping. Constraint Hamiltonian system and its symmetry properties. Beijing: Beijing University of Technology press, 1999.(李子平.约束Hamiltonian系统及其对称性质.北京:北京工业大学出版社,1999) [13] Wang Yibing, Zhao Weijia, Pan Zhenkuan. A new numerical analysis method for a class of differential / algebraic equations of multibody system dynamics.Mathematics and mechanics, 1997,18 (9): 845-852.(王艺兵,赵维加,潘振宽.多体系统动力学微分/代数方程组的一类新的数值分析方法.应用数学和学,1997,18(9):845-852) [14] 张毅,薛纭.仅含第二类约束的约束Hamilton系统的Lie对称性[J].物理学报, 2001, 50(5): 816-819. Zhang Yi, Xue Y un. Lie symmetry [J]. Journal of physics, constrained Hamilton system with the second type of constraints 2001, 50 (5): 816-819.

[15] Hirsch MW, Smale S, Devaney RL.Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos.Singapore: Elsevier, 2008

[16] Dirac P A M 1964 Lecture on Quantum Mechanics.(NewYork:Yeshi-va University Press).

[17] Li Yuancheng, Zhang Yi, Liang Jinghui. Lie symmetries and conserved quantities of a class of nonholonomic

singular systems [J]. Journal of physics, 2002, 51 (10): 2186 -2190.(李元成,张毅,梁景辉.一类非完整奇异系统的Lie对称性与守恒量[J].物理学报, 2002, 51(10):2186 -2190)

[18] Mei F X, Wu H B 2013 Sci. Sin. : Physica Mechanica and Astrononica 43 538 (in Chinese) [梅凤翔, 吴惠彬2013 中国科学:物理学力学天文学43 538]

[19]Mei F X 2013 Analytical Mechanics II (Beijing: BeijingInst. Tech. Press) pp564–581 (in Chinese) [梅凤翔2013分析力学II(北京: 北京理工大学出版社) 第564-581页]

[20]Santilli R M 1983 Foundations of Theoretical MechanicsII (New York: Springer) pp253–267

[21] F. X. Mei, Applications of Lie Groups and Lie Algebras to Con-strained Mechanical Systems ( Science Press, Beijing, 1999), p.1(in Chinese) [梅凤翔,李群和李代数对约束力学系统的应用,科学出版社,北京,1999,第1页].