【变式4】如图，椭圆的中心在原点,()()2,0,0,1A B 是它的两个顶点，直线(0)y kx k =>交线段AB 于点D ，交椭圆于,E F 两点.
D
（1)若6ED DF =，求直线的斜率k ； （2）求四边形AFBE 的面积S 的最大值。
【变式5】椭圆
()22
2104x y b b
+=>的一个焦点是()1,0F - （1）求椭圆的方程；
（2）已知点P 是椭圆上的任意一点，定点M 为x 轴正半轴上的一点,若PM 的最小值为
8
5
，求定点M 的坐标; （3）若过原点O 作互相垂直两条直线，交椭圆分别于,A C 与,B D 两点,求四边形ABCD 面积的取值范围。
【变式6】在平面直角坐标系xOy中,动点P到定点())
,的距离之和为4,设点P的轨迹为曲线C,直线l E-，且与曲线C交于,A B两点.
过点(1,0)
（1)求曲线C的方程;
（2）以AB为直径的圆能否通过坐标原点？若能通过，求此时直线l的方程,若不能，说明理由.
∆的面积是否存在最大值？若存在,求出面积的最大值，以及此时的直线方程，若不存在，请说明理由. (3）AOB
例12、已知椭圆2222(0)x y a a +=>的一个顶点和两个焦点构成的三角形的面积为4． （1）求椭圆C 的方程;
（2）已知直线)1(-=x k y 与椭圆C 交于A 、B 两点,试问,是否存在x 轴上的点(),0M m ,使得对任意的k R ∈，
MA MB ⋅为定值，若存在，求出M 点的坐标,若不存在，说明理由。
【变式1】过椭圆22
182x y +=长轴上某一点(),0S s （不含端点）作直线l (不与x 轴重合）交椭圆于,M N 两点，若
点(),0T t 满足:8OS OT ⋅=,求证:MTS NTS ∠=∠.
【变式2】已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上,长轴长为4，且点⎛ ⎝⎭
在椭圆C 上．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设P 是椭圆C 长轴上的一个动点，过P 作方向向量()2,1d =的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，求证：2
2
PA PB +为定值．
【变式3】如图，A 为椭圆()22
22+10x y a b a b =>>上的一个动点，弦,AB AC
。当
AC x ⊥轴时,恰好123AF AF =
(1）求c
a
的值
（2）若111AF F B λ=,222AF F C λ=，试判断12λλ+是否为定值？若是，求出定值;若不是，说明理由.
【变式4】线段,A B 分别在x 轴,y 轴上滑动,且3AB =，M 为线段AB 上的一点,且1AM =，M 随,A B 的滑动而运动
（1）求动点M 的轨迹方程E ;
（2）过N 的直线交曲线E 于,C D 两点,交y 轴于P ，1PC CN λ=，2PD DN λ=，试判断12λλ+是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由。
2
F 1
F
【变式5】如图，已知椭圆C ：
22
2
21x y a b
+=，其左右焦点为()11,0F -及()21,0F ，过点1F 的直线交椭圆C 于,A B 两
点，线段AB 的中点为G ，
AB 的中垂线与x 轴和y 轴
分别交于,D E 两点，且
1AF 、12F F 、2AF 构成等差数列。
（1）求椭圆C 的方程；
(2）记△1GF D 的面积为1S ，△
OED （O 为原点）的面积为2S ． 试问:是否存在直线AB ，使得12S S =？说明理由．
x y
O A
B
1
F D G
E
2
F
【变式6】已知椭圆C 的方程为22
212
x y a +=(0)a >,其焦点在x 轴上，点Q 为椭圆上一点． (1)求该椭圆的标准方程；
（2）设动点P 00(,)x y 满足2OP OM ON =+,其中M 、N 是椭圆C 上的点，直线OM 与ON
的斜率之积为12
-,求证：22
00
2x y +为定值; （3)在（2)的条件下探究：是否存在两个定点,A B ，使得PA PB +为定值？
若存在,给出证明；若不存在，请说明理由．
例13、椭圆的一个顶点(0,1)A -，焦点在x 轴上，右焦点到直线0x y -+的距离为3. （1）求椭圆的方程;
（2)设椭圆与直线(0)y kx m k =+≠相交于不同两点,M N ，当AM AN =时，求实数m 的取值范围.
【变式1】已知A 、B 、C 是椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>上的三点,其中()
A ，BC 过椭圆的中心，且
0AC BC ⋅=,2BC AC =。
（1）求椭圆的方程；
（2）过点()0,M t 的直线l （斜率存在时）与椭圆交于两点,P Q ，设D 为椭圆与y 轴负半轴的交点，且DP DQ =。求实数t 的取值范围.
椭圆知识点总结
椭圆知识点 知识点一：椭圆的定义 平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； 若2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形. 知识点二：椭圆的简单几何性质 椭圆：12222=+b y a x )0(>>b a 与 122 22=+b x a y )0(>>b a 的简单几何性质 标准方程 122 22=+b y a x )0(>>b a 12 2 22=+b x a y )0(>>b a 图形 性质 焦点 )0,(1c F -，)0,(2c F ),0(1c F -，),0(2c F 焦距 c F F 221= c F F 221= 范围 a x ≤，b y ≤ b x ≤，a y ≤ 对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称 顶点 )0,(a ±，),0(b ± ),0(a ±，)0,(b ± 轴长 长轴长=a 2，短轴长=b 2 长半轴长=a ，短半轴长=b （注意看清题目） 离心率 )10(<<= e a c e
c a F A F A -==2211；c a F A F A +==1221；c a PF c a +≤≤-1； (p 是椭圆上一点)（不等式告诉我们椭圆上一点到焦点距离的范围） 注意：①与坐标系无关的椭圆本身固有的性质，如：长轴长、短轴长、焦距、离心率等；②与坐标系有关的性质，如：顶点坐标、焦点坐标等 知识点三：椭圆相关计算 1．椭圆标准方程中的三个量c b a ,,的几何意义 222c b a += 2.通径:过焦点且垂直于长轴的弦,其长a b 2 2 焦点弦：椭圆过焦点的弦。 3.最大角:p 是椭圆上一点，当p 是椭圆的短轴端点时，21PF F ∠为最大角。 4.椭圆上一点和两个焦点构成的三角形称为焦点三角形。
椭圆及其性质知识点及题型归纳总结
椭圆及其性质知识点及题型归纳总结 知识点精讲 一、椭圆的定义 平面内与两个定点12,F F 的距离之和等于常数2a （122||a F F >）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作2c ，定义用集合语言表示为： {}1212|||||2(2||20)P PF PF a a F F c +=>=> 注明：当22a c =时，点的轨迹是线段； 当22a c <时，点的轨迹不存在. 二、椭圆的方程、图形与性质 椭圆的方程、图形与性质所示.（如下表10-1） 焦点的位置 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 图形 标准方程 ()22 2210x y a b a b +=>> ()22 22 10y x a b a b +=>> 统一方程 221(m 0,n 0,)mx ny m n +=>>≠ 参数方程 cos ,[0,2]sin x a y b θ θθπθ=?∈? =? 为参数（） cos ,[0,2]sin x a y b θ θθπθ=?∈? =? 为参数（） 第一定义 到两定点21F F 、 的距离之和等于常数2a ，即21||||2MF MF a +=（212||a F F >） 范围 a x a -≤≤且 b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤ 顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,b B -、()20,b B ()10,a A -、()20,a A ()1,0b B -、()2,0b B 轴长 长轴长2a = 短轴长2b = 长轴长2a = 短轴长2b = 对称性 关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称
椭圆知识点(整理)
第一部分 椭圆相关知识点讲解 一．椭圆的定义及椭圆的标准方程： 1.椭圆的定义：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数 )2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦 点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 2.椭圆的标准方程 （1）当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：122 22=+b y a x )0(>>b a ，其中 222b a c -= （2）当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：122 22=+b x a y )0(>>b a ，其中 222b a c -=； 二．点与椭圆的位置关系： （1）点00(,)P x y 在椭圆外?22 00 221x y a b +>； （2）点00(,)P x y 在椭圆上?220 220b y a x +＝1； （3）点00(,)P x y 在椭圆内?2200 221 x y a b +< 三．椭圆的简单几何性质 椭圆：122 22=+b y a x )0(>>b a 的简单几何性质 ①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其 中长轴长为2a ，短轴长为2b ；④准线：两条准线2 a x c =±； ⑤ 离心率：c e a =，椭圆?01e <<，e 越小，椭圆越圆；e 越大， 椭圆越扁。⑥通径2 2b a 三．直线与椭圆的位置关系 （1）相交：0?>?直线与椭圆相交；
（2）相切：0?=?直线与椭圆相切； （3）相离：0?>b a 的区别和联系 6.弦长公式：若直线y kx b =+与圆锥曲线相交于两点A 、B ，且12,x x 分别为A 、B 的横坐标，则AB 12x -。 7.圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。 在椭圆122 22=+b y a x 中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=－0 202y a x b ；
椭圆知识点总结
一．椭圆及其标准方程 1．椭圆的定义：平面内与两定点F 1，F 2距离的和等于常数()212F F a >的点的轨迹叫做椭圆，即点集M={P| |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|=2c}； 这里两个定点F 1，F 2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c 。 （212F F a =时为线段21F F ，212F F a <无轨迹）。 2．标准方程： 2 22c a b =- ①焦点在x 轴上：122 22=+b y a x （a ＞b ＞0）； 焦点F （±c ，0） ②焦点在y 轴上：122 22=+b x a y （a ＞b ＞0）； 焦点F （0, ±c ） 注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，并且椭圆的焦点总在长轴上； ②两种标准方程可用一般形式表示：22 1x y m n + = 或者 mx 2+ny 2=1 二．椭圆的简单几何性质： 1.范围 （1）椭圆122 22=+b y a x （a ＞b ＞0） 横坐标-a ≤x ≤a ,纵坐标-b ≤x ≤b （2）椭圆122 22=+b x a y （a ＞b ＞0） 横坐标-b ≤x ≤b,纵坐标-a ≤x ≤a 2.对称性 椭圆关于x 轴y 轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心 3.顶点（1）椭圆的顶点：A 1（-a ，0），A 2（a ，0），B 1（0，-b ），B 2（0，b ） （2）线段A 1A 2，B 1B 2 分别叫做椭圆的长轴长等于2a ，短轴长等于2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 4．离心率（1）我们把椭圆的焦距与长轴长的比 22c a ，即a c 称为椭圆的离心率， 记作e （10<椭圆知识点总结
圆锥曲线与方程 椭 圆 知识点 一．椭圆及其标准方程 1．椭圆的定义：平面内与两定点F 1，F 2距离的和等于常数()212F F a >的点的轨迹叫做椭圆，即点集M={P| |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|=2c}； 这里两个定点F 1，F 2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c 。 （212F F a =时为线段21F F ，212F F a <无轨迹） 2．标准方程： 2 22c a b =- ①焦点在x 轴上：122 22=+b y a x （a ＞b ＞0）； 焦点F （±c ，0） ②焦点在y 轴上：122 22=+b x a y （a ＞b ＞0）； 焦点F （0, ±c ） 注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，并且椭圆的焦点总在长轴上； ②两种标准方程可用一般形式表示：22 1x y m n + = 或者 mx 2+ny 2=1 二．椭圆的简单几何性质： 1.范围 （1）椭圆122 22=+b y a x （a ＞b ＞0） 横坐标-a ≤x ≤a ,纵坐标-b ≤x ≤b （2）椭圆122 22=+b x a y （a ＞b ＞0） 横坐标-b ≤x ≤b,纵坐标-a ≤x ≤a 2.对称性 椭圆关于x 轴y 轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心
3.顶点 （1）椭圆的顶点：A 1（-a ，0），A 2（a ，0），B 1（0，-b ），B 2（0，b ） （2）线段A 1A 2，B 1B 2 分别叫做椭圆的长轴长等于2a ，短轴长等于2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 4．离心率 （1）我们把椭圆的焦距与长轴长的比 22c a ，即a c 称为椭圆的离心率， 记作e （10<>的内部2200 221x y a b ?+<. （2）点00(,)P x y 在椭圆22 22 1(0)x y a b a b +=>>的外部2200 221x y a b ?+>. 6.几何性质 （1） 最大角 （2）椭圆上的任一点p 到焦点的最近距离a-c;最远距离a+c （3）两焦点F 1,F 2与椭圆上的点P 构成焦点三角形△F 1F 2P 的周长2(a+c) △F 1F 2P 的面积122 12tan ..()2 F F P S b F PF θ θ?=∠=
椭圆知识点性质大全
椭圆知识点性质大全 1.122PF PF a += 2.标准方程22 221x y a b += 3.111PF e d =< 4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 5．PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 6．以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 7．以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 8．设A 1、A 2为椭圆的左、右顶点，则△PF 1F 2在边PF 2（或PF 1）上的旁切圆，必与A 1A 2所在的直线切于A 2（或A 1）. 9．椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的 直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22 221x y a b -=. 10．若000(,)P x y 在椭圆22 22 1x y a b +=上，则过0 P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 11．若000( ,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是 00221x x y y a b +=. 12．AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-. 13．若000(,)P x y 在椭圆 22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是22 00002222x x y y x y a b a b +=+. 14．若000(,)P x y 在椭圆 22 221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+.
高中数学椭圆知识点总结
高中数学椭圆知识点总结 第一篇：椭圆的定义及基本性质 一、椭圆的定义 椭圆是指平面内到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。两点F1和F2称为椭圆的焦点，中间的线段称为椭圆的长轴，垂直于长轴的线段称为椭圆的短轴，长轴的一半a称为椭圆的半长轴，短轴的一半b称为椭圆的半短轴。 二、椭圆的基本性质 1. 椭圆上的任意一点P到两焦点F1和F2的距离之和等于椭圆的长轴长度2a。 2. 椭圆上的任意一点P到两焦点F1和F2的距离之差等于椭圆的短轴长度2b。 3. 椭圆上与长轴平行的直线称为椭圆的次中心轴，垂直于长轴的直线称为椭圆的主中心轴。 4. 椭圆的离心率e等于焦点距离除以长轴长度，即 e=√(a²-b²)/a。 5. 椭圆的面积为πab。 6. 椭圆的周长无解析式，但可以通过积分求解。 7. 椭圆对称性：关于长轴、短轴、次中心轴和主中心轴都有对称轴。 三、椭圆的求解 椭圆的标准方程为(x²/a²)+(y²/b²)=1，其中a和b 分别为半长轴和半短轴的长度。椭圆的一般方程为
Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0，其中A、B、C、D、E、F为常数。常用的求解方法有以下几种： 1. 椭圆的标准方程变形法。通过移项、变形等方法将一般方程转化为标准方程。 2. 半坐标轴法。通过平移和旋转椭圆，使其长轴与坐标轴平行或垂直。 3. 矩阵法。通过矩阵运算，将一般方程转化为标准方程。 四、椭圆的应用 椭圆在生活和工程中有广泛的应用。例如，在太阳系中行星的运动轨迹、卫星的轨道以及天体的椭球形等都具有椭圆的特征。此外，在建筑设计中，椭圆形的建筑物也十分常见，如伦敦的温布利球场和巴黎的凯旋门等。椭圆也广泛应用于牙轮、机械手、调速器等机械制造中。
椭圆知识点总结
椭圆知识点 知识要点小结：知识点一：椭圆的定义 平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121 F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的 轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； 若)(2121 F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形. 知识点二：椭圆的标准方程 1．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b y a x )0(>>b a ，其中2 22b a c -= 2．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b x a y )0(>>b a ，其中2 22b a c -=；注意：1．只 有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时， 才能得到椭圆的标准方程； 2．在椭圆的两种标准方程中，都有)0(>>b a 和2 2 2 b a c -=； 3．椭圆的焦点总在长轴上. 当焦点在x 轴上时，椭圆的焦点坐标为)0,(c ，)0,(c -； 当焦点在y 轴上时，椭圆的焦点坐标为),0(c ，),0(c - 知识点三：椭圆的简单几何性质 椭圆：122 22=+b y a x )0(>>b a 的简单几何性质 （1）对称性：对于椭圆标准方程122 22=+b y a x )0(>>b a ：说明：把x 换成x -、或把y 换成y -、或把x 、 y 同时换成x -、y -、原方程都不变，所以椭圆122 22=+b y a x 是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，并 且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。 （2）范围： 椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足a x ≤， b y ≤。 （3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
(完整版)椭圆知识点归纳总结
(完整版)椭圆知识点归纳总结 1. 椭圆的定义 椭圆是平面上到两个给定点的距离之和等于常数的点的集合。 这两个给定点称为焦点，而常数称为离心率。椭圆的形状由焦点之 间的距离决定，离心率的大小则决定了椭圆的扁平程度。 2. 椭圆的基本性质 - 椭圆的长轴是焦点之间的距离，短轴是长轴的垂直中垂线。 - 椭圆的离心率介于0和1之间，且离心率为0时为圆。 - 椭圆有两个对称轴，分别是长轴和短轴的中垂线。 - 椭圆的焦点和任意一点的距离和等于离心率与该点到椭圆两 个焦点的距离之和。 - 椭圆的面积为π * a * b，其中a和b分别是长轴和短轴的一半。 3. 椭圆的方程 普通椭圆的方程为： (x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1 其中(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是椭圆长轴和短轴的 一半。
4. 椭圆的参数方程 椭圆的参数方程为： x = h + a * cos(t) y = k + b * sin(t) 其中(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是椭圆长轴和短轴的一半，t是参数。 5. 椭圆的焦点与直径 - 焦点到定点的距离等于椭圆的常数离心率。 - 椭圆的两个焦点与椭圆的直径的交点相同。 6. 椭圆与其他几何图形关系 - 椭圆与直线的关系：给定一条直线，椭圆上离直线距离之和最小的点在直线的垂直线上。 - 椭圆与双曲线的关系：双曲线可以看作是离心率大于1的椭圆。 - 椭圆与抛物线的关系：抛物线可以看作是离心率等于1的椭圆。
7. 椭圆的应用 椭圆在现实生活中有广泛的应用，例如： - 天体运动：行星、卫星等的轨道可以近似看作是椭圆。 - 椭圆滤波器：在信号处理中用于清除噪音。 - 光学器件：如折射球面镜、椭圆镜等。 以上是关于椭圆的常见知识点的归纳总结，希望能对你有所帮助。
椭圆几何性质知识点总结
椭圆几何性质知识点总结 1. 椭圆的定义 椭圆的定义是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。即 PF1+PF2=2a。其中F1和F2称为焦点，2a称为长轴长度。 椭圆的对称轴是通过两个焦点的连接线，称为长轴。椭圆的短轴是垂直于长轴，并且过椭圆中心的直线。 2. 椭圆的焦点和离心率 椭圆的焦点是椭圆的特殊点，它决定了椭圆的形状和大小。椭圆的离心率e定义为焦点到椭圆中心的距离与长轴长度a的比值。离心率的取值范围是0椭圆的相关知识点
椭圆的相关知识点 第一篇：椭圆的基本概念和性质 1.椭圆的定义 椭圆是平面上到两个定点（焦点）距离之和等于定长 （长轴）的点的轨迹，长轴的中点为圆心，短轴为长轴的一半。 2.椭圆的方程 椭圆的标准方程为 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，其中 a 和 b 分别 为长半轴和短半轴的长度。椭圆的一般方程为 $Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$，式中 A、B、C、D、E、F 均为 常数。 3.椭圆的对称性 椭圆有四个轴线：长轴和短轴，以及两个对称轴线（分 别为横向和纵向）。椭圆具有关于两个轴线的对称性，关于 圆心对称。 4.椭圆的几何性质 椭圆的周长公式为 $l=4aE(e)$，面积公式为 $S=\pi ab$。其中，$e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$ 为椭圆的离心率，$E(e)$ 为第一类的椭圆积分（椭圆弧长度）。 椭圆的内切圆为其一条边界切线上的圆，其直径长度为 短轴的长度，而斜切和垂直切的切线则分别过长轴的端点和中点。 椭圆的离心率决定了其形状的扁瘤程度，离心率越小则 椭圆越接近于圆形，越大则越接近于扁平的形状。
5.椭圆的应用 椭圆在数学、物理、工程、生物学和地球科学等领域中有广泛的应用。例如，它们可以用于描述球形天体的轨道、电子轨道、反射镜的形状、ATM 窗口的形状、荷载分布、地球的椭球形等等。 第二篇：椭圆的参数方程、焦点坐标和切线方程 1.椭圆的参数方程 对于椭圆的标准方程 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，我们可以将其表示为参数方程： $$ \begin{cases} x=a\cos\theta\\ y=b\sin\theta \end{cases} $$ 其中，$\theta$ 为参数，表示 $\overrightarrow{OP}$ 与 $x$ 轴正半轴的夹角。 2.椭圆的焦点坐标 椭圆有两个焦点，它们分别位于长轴上，与圆心的距离为 $c=\sqrt{a^2-b^2}$ ，其中 $a$ 和 $b$ 分别为长轴和短轴的长度。焦点的坐标为 $(\pm c, 0)$。 3.椭圆的切线方程 椭圆上一点 $P$ 的切线方程可以通过求出该点处的导数（斜率）来得到。设点 $P$ 的坐标为 $(x_0,y_0)$，则其切线方程的斜率为 $k=-\frac{b^2x_0}{a^2y_0}$。将该点处的斜率代入点斜式（或解析式）即可得到该点处的切线方程。
椭圆知识点总结
椭圆知识点总结 第一篇：椭圆的定义和基本性质 一、椭圆的定义 椭圆是平面上所有到两个定点距离之和恒定的点的轨迹。这两个定点称为椭圆的焦点，焦点之间的距离称为椭圆的焦距，椭圆的长轴是通过两个焦点的直线段，短轴是长轴的垂直平分线段。 二、椭圆的几何性质 1. 椭圆的对称轴：椭圆的中心点是长轴和短轴的交点，长轴和短轴的垂直平分线是椭圆的两个对称轴。 2. 椭圆的离心率：椭圆的离心率是用焦距和椭圆长轴之间的比值表示的。离心率越小，椭圆越圆；离心率越大，椭圆越扁平。当离心率等于1时，椭圆变成了一条直线，称为狭义上的椭圆。 3. 椭圆的面积：设椭圆的长轴和短轴长度分别为2a和2b，椭圆的面积为πab。 4. 椭圆的周长：由于椭圆没有公式可以求周长，但可以用参数方程表示，即x=a*cosθ，y=b*sinθ，其中 0≤θ≤2π。通过对参数θ的范围积分可以得到椭圆的周长为4aE(e)，其中E(e)为椭圆的第一类完全椭圆积分，e为椭圆的离心率。 5. 椭圆的切线：椭圆的切线与过切点的切线夹角等于该点到两个焦点的距离之差的倒数。 三、椭圆的数学性质
1. 椭圆是二次曲线的一种，可以表示为二次方程： Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0。 2. 椭圆可以看做是一个椭球在平面上的投影，因此椭圆在三维空间中也有很多有趣的性质，比如椭圆可以看做是一个旋转椭球的轨迹。 3. 椭圆也可以使用矩阵来表示，其中椭圆的矩阵表示为Q=[A B/2;B/2 C]，椭圆的参数表示为a²=b²+(b²- A²)/e²，其中e为椭圆的离心率。 总之，椭圆在几何学和代数学中都有着广泛的应用和重要性，为我们的科学探索做出了重要的贡献。
与椭圆相关的知识点
与椭圆相关的知识点 椭圆是一种几何图形，它具有很多特殊的属性，被广泛应用在地理学、天文学、密码学等学科中。本文将介绍椭圆在数学中的定义、性质以及相关的应用。 一、椭圆的定义和基本性质 椭圆是由平面上到两个点 F1、F2 的距离之和恒定的点 P 形成的图形，其中距离之和为定值的线段叫做主轴，主轴的中心点与P 点所在直线的交点叫做圆心，主轴两端的交点叫做顶点。 椭圆有一些基本的性质，包括： 1. 椭圆的长轴和短轴是对称的。 2. 椭圆的面积为πab，其中 a 和 b 分别是长轴和短轴的长度。 3. 椭圆上的任意两个点的距离之和等于长轴的长度。
二、椭圆的参数方程 椭圆可以使用参数方程形式表示，其中： x=a cos t y=b sin t 其中 a 和 b 分别代表长轴和短轴的长度，参数 t 代表椭圆上的每一个点。这种参数方程表示形式在计算机图形学和数值计算中被广泛应用。 三、椭圆在天文学中的应用 椭圆在天文学中被广泛应用，其中最著名的应用就是开普勒的第一定律，也叫“椭圆轨道定律”。 开普勒的第一定律指出，行星绕太阳的轨道是椭圆形状，而太阳处于椭圆的一个焦点位置，行星沿椭圆轨道周游的路程覆盖相等时间的面积也是相等的。
四、椭圆在密码学中的应用 椭圆在密码学中也有广泛的应用，被称为“椭圆曲线密码学”。 椭圆曲线密码学是一种密钥协商协议，它可以安全地传输加密的消息。这种密码学的优点在于密钥长度较短，且安全性强。 总结 综上所述，椭圆是一种重要的几何图形，在数学、天文学、密码学等学科中都有广泛的应用。掌握椭圆的基本定义和性质，以及它在不同领域中的应用，有助于我们更深入地理解这个几何图形，以及它的特殊性质和应用价值。
高中数学椭圆及其标准方程知识点
椭圆知识点 知识要点小结： 知识点一：椭圆的定义 平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121 F F a PF PF >=+ , 这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； 若)(2121 F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形. 知识点二：椭圆的标准方程 1．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：122 22=+b y a x )0(>>b a ，其中222b a c -= 2．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：122 22=+b x a y )0(>>b a ，其中222b a c -=； 注意：1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时， 才能得到椭圆的标准方程； 2．在椭圆的两种标准方程中，都有)0(>>b a 和222b a c -=； 3．椭圆的焦点总在长轴上. 当焦点在x 轴上时，椭圆的焦点坐标为)0,(c ，)0,(c -； 当焦点在y 轴上时，椭圆的焦点坐标为),0(c ，),0(c - 知识点三：椭圆的简单几何性质 椭圆：122 22=+b y a x )0(>>b a 的简单几何性质 （1）对称性：对于椭圆标准方程122 22=+b y a x )0(>>b a ：说明：把x 换成x -、或把y 换 成y -、或把x 、y 同时换成x -、y -、原方程都不变，所以椭圆122 22=+b y a x 是以x 轴、 y 轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称 为椭圆的中心。 （2）范围： 椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足
椭圆知识点总结
• •• • • 椭圆知识点 知识要点小结：知识点一：椭圆的泄义 平而一个动点P到两个泄点仟、F?的距离之和等于常数(卩斥\ + \PF2|=2«>|F,F2|),这个动点P的轨迹叫椭圆•这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距藹叫作椭圆的焦距. 注意：若(\PF} \ + \PF2 |=|F,F2|),则动点P的轨迹为线段片厲； 若(卩斤\ + \PF2 |<|片竹|)，则动点P的轨迹无图形. 知识点二：椭圆的标准方程 2 2 1.当焦点在兀轴上时，椭圆的标准方程：二+ ・ = l(d>b>0),其中c2=a2-b2 丫2 V2 2.当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程：= = 1(。>〃>0), •其 中疋=/一庆：注意：1.只cr X 有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时， 才能得到椭圆的标准方程; 2.在椭圆的两种标准方程中，都有(a>b>0)和疋=/—"2： 3.椭圆的焦点总在长轴上. 当焦点在x轴上时，椭圆的焦点坐标为(c,0), (-c,0)； 当焦点在y轴上时，椭圆的焦点坐标为(0,c), (0-c) 知识点三：椭圆的简单几何性质 X2 V2 椭圆：r + r = 1 @>”>0)的简单几何性质 C — f~ — (1)对称性:对于椭圆标准方程二+二=1 (a > b > 0)：说明：把x换成一x、或 把y换成一八或把I cr b •- y同时换成-X. _y、原方程都不变.所以椭圆二■ +二=1是以x轴.y轴为对称轴的轴对称图形，并a~ b~ 且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。 (2)围： 椭圆上所有的点都位于直线x = ±a和y = ±b所围成的矩形，所以椭圆上点的坐标满足卜|<«, |y \/7>0)与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为儿(-亿0), cr b"
椭圆及其性质知识点题型总结
椭圆 知识清单 1.椭圆的两种定义： ①平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于定长() 2122F F a a >的动点P 的轨迹，即点集M={P| |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|}；（212F F a =时为线段21F F ，212F F a <无轨迹）。其中两定点F 1，F 2叫焦点，定点间的距离叫焦距。 ②平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹，即点集M={P| e d PF =，0＜e ＜1的常数}。 （1=e 为抛物线；1>e 为双曲线） （利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化，定点为焦点，定直线为准线）. 2 标准方程：（1）焦点在x 轴上，中心在原点：122 22=+b y a x （a ＞b ＞0）； 焦点F 1（－c ，0）， F 2（c ，0）。其中22b a c -= （一个Rt 三角形） （2）焦点在y 轴上，中心在原点：122 22=+b x a y （a ＞b ＞0）； 焦点F 1（0，－c ），F 2（0，c ）。其中22b a c -= 注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，22b a c -= 并且椭圆的焦点总在长轴上； ②两种标准方程可用一般形式表示：Ax 2+By 2=1 （A ＞0，B ＞0，A ≠B ），当A ＜ B 时，椭圆的焦点在x 轴上，A ＞B 时焦点在y 轴上。 3 参数方程：焦点在x 轴，⎩⎨ ⎧==θ θ sin cos b y a x （θ为参数） 4 一般方程：)0,0(12 2 >>=+B A By Ax 5.性质：对于焦点在x 轴上，中心在原点：12 2 22=+b y a x （a ＞b ＞0）有以下性质： 坐标系下的性质： ① 范围：|x|≤a ，|y|≤b ； ② 对称性：对称轴方程为x=0，y=0，对称中心为O （0，0）； ③ 顶点：A 1（-a ，0），A 2（a ，0），B 1（0，-b ），B 2（0，b ），长轴|A 1A 2|=2a ，短轴|B 1B 2|=2b ； （a 半长轴长，b 半短轴长）； ④椭圆的准线方程：对于12222=+b y a x ，左准线c a x l 2 1:-=；右准线c a x l 22:=
椭圆知识点与性质大全
椭圆与方程 【知识梳理】 1、椭圆的定义 平面内，到两定点1F 、2F 的距离之和为定长()1222,0a F F a a <>的点的轨迹称为椭圆，其中两定点1F 、2F 称为椭圆的焦点，定长2a 称为椭圆的长轴长,线段12F F 的长称为椭圆的焦距.此定义为椭圆的第一定义． 2、椭圆的简单性质 3、焦半径 椭圆上任意一点P 到椭圆焦点F 的距离称为焦半径,且[],PF a c a c ∈-+,特别地，若00(,)P x y 为椭圆()22 2210x y a b a b +=>>上的任意一点，1(,0)F c -,2(,0)F c 为椭圆的左右焦点，则10||PF a ex =+,20||PF a ex =-，其中c e a = ． 4、通径 过椭圆()22 2210x y a b a b +=>>焦点F 作垂直于长轴的直线，交椭圆于A 、B 两点,称线段AB 为椭圆的通径，且 2 2b AB a =.
P 为椭圆()22 2210x y a b a b +=>>上的任意一点,1(,0)F c -,2(,0)F c 为椭圆的左右焦点，称12PF F ∆为椭圆的焦点三角形， 其周长为:1222F PF C a c ∆=+,若12F PF θ∠=,则焦点三角形的面积为:122tan 2 F PF S b θ ∆=. 6、过焦点三角形 直线l 过椭圆()22 2210x y a b a b +=>>的左焦点1F ，与椭圆交于11(,)A x y 、22(,)B x y 两点，称2ABF ∆为椭圆的过焦点三 角形，其周长为：24ABF C a ∆=，面积为212y y c S ABF -=∆． ７、点与椭圆的位置关系 ()00,P x y 为平面内的任意一点，椭圆方程为22 221(0)x y a b a b +=>>：若2200221x y a b +=，则P 在椭圆上;若22 00221x y a b +>,则P 在椭圆外;若22 00 221x y a b +<，则P 在椭圆内. ８、直线与椭圆的位置关系 直线:0l Ax By C ++=，椭圆Γ:22 221(0)x y a b a b +=>>,则 l 与Γ相交22222a A b B C ⇔+>; l 与Γ相切22222a A b B C ⇔+=; l 与Γ相离22222a A b B C ⇔+<. 9、焦点三角形外角平分线的性质(＊) 点(,)P x y 是椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上的动点，12,F F 是椭圆的焦点，M 是12F PF ∠的外角平分线上一点,且
