1040 【图论基础】求连通子图的个数 1041 【图论基础】求最小生成树(prim)
【图论基础】求连通子图的个数
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Description
求一个无向图中连通子图的个数。
Input
第一行一个数n，表示无向图的顶点的数量（n<=5000），接下来从第2行到第n+1行，每行有n个数（1表示相应点有直接通路，0表示无直接通路），形成一个n*n的矩阵，用以表示这个无向图。示例：
Output
输出一个数，表示这个图含有连通子图的个数。
Sample Input
5
1 0 1 0 0
0 1 1 1 0
1 1 1 1 0
0 1 1 1 0
0 0 0 0 1
Sample Output
自己算吧！
Source
?var
? i,j,n,ans,x:longint;
? a:array[1..5000,0..5000] of longint;
? b:array[1..5000] of boolean;
?procedure dfs(x:longint);
?var i:longint;
?begin
? b[x]:=false;
? for i:=1 to a[x,0] do if b[a[x,i]] then ? dfs(a[x,i]);
?end;
?
?begin
? readln(n);
? for i:=1 to n do
? for j:=1 to n do begin
? read(x);
? if x=1 then begin
? inc(a[i,0]); a[i,a[i,0]]:=j; ? end;
? end;
? fillchar(b,sizeof(b),true);
? for i:=1 to n do if b[i] then begin
? inc(ans);
? dfs(i);
? end;
? writeln(ans);
?end.
【图论基础】求最小生成树（prim）
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Description
求一个图的最小生成树。这个图边较多，但点较少，宜用prim算法。
Input
第一行一个数n，表示无向图的顶点的数量（n<=1000），接下来从第2行到第n+1行，每行有n个数（0表示相应点之间无边直接相连，不为0表示相应点之间有边直接相连，其值即为相连边的权值），形成一个n*n的矩阵，用以表示这个无向图。
Output
一行，仅一个数，表示最小生成树的边权值和。
Sample Input
8
0 9 4 6 0 0 0 0
9 0 0 2 0 0 0 0
4 0 0 1 9 0 0 0
6 2 1 0 0 2 6 0
0 0 9 0 0 3 0 0
0 0 0 2 3 0 0 7
0 0 0 6 0 0 0 2
0 0 0 0 0 7 2 0
Sample Output
自己算。
Source
?var
? i,j,k,n,min:longint;
? a:array[1..1000,1..1000] of longint;
? b:array[1..1000] of longint;
? c:array[1..1000] of boolean;
?begin
? readln(n);
? for i:=1 to n do
? for j:=1 to n do read(a[i,j]);
? fillchar(c,sizeof(c),0);
? fillchar(b,sizeof(b),$7);
? k:=1;
? for i:=1 to n-1 do begin
? c[k]:=true;
? for j:=1 to n do
? if (a[k,j]<>0) and not c[j] and (a[k,j] ? min:=maxlongint; k:=0; ? for j:=1 to n do if (b[j] ? end; ? end; ? k:=0; ? for i:=2 to n do k:=k+b[i]; ? writeln(k); ?end. 第二章 图的连通性 在第一章中已经定义连通图是任二顶点间都有路相连的图。对于连通图，其连通的程度也有高有低。例如，下列三个图都是连通图。对于图G 1，删除一条边或一个顶点便可使其变得不连通；而对于图G 2，至少需要删除两条边才能使其不连通，也可以删除一个顶点使其不连通；对于图G 3，要破坏其连通性，则至少需要删除三条边或三个顶点。 本章主要讨论如何通过图的顶点集、边集和不交的路集合的结构性质来获知图的连通性程度。通过研究割边和割点来刻画1连通图的特性；定义连通度和边连通度来度量连通图连通程度的高低；通过不交路结构和元素的共圈性质来反映图的2连通和k 连通性。 §2.1 割点和割边 定义2.1.1 设)(G V v ∈，如果)()(G w v G w >?，则称v 为G 的一个割点。 （注：该定义与某些著作中的定义有所不同，主要是在环边的顶点是否算作割点上有区别）。 例如，下图中u , v 两点是其割点。 定理2.1.1 如果点v 是简单图G 的一个割点，则边集E (G)可划分为两个非空子集1E 和2E ，使得][1E G 和][2E G 恰好有一个公共顶点v 。 证明留作习题。 推论2.1.1 对连通图G ，顶点v 是G 的割点当且仅当v G ?不连通。 定理2.1.2 设v 是树T 的顶点，则v 是T 的割点当且仅当1)(>v d 。 证明：必要性：设v 是T 的割点，下面用反证法证明1)(>v d 。 若0)(=v d ，则1K T ?，显然v 不是割点。 若1)(=v d ，则v T ?是有1)(??v T ν条边的无圈图，故是树。从而)(1)(T w v T w ==?。因此v 不是割点。 以上均与条件矛盾。 充分性：设1)(>v d ，则v 至少有两个邻点u ,w 。路uvw 是T 中一条),(w u 路。因T 是树，uvw 是T 中唯一的),(w u 路，从而)(1)(T w v T w =>?。故v 是割点。证毕。 1、略 2、计算有向无圈图的根 输入一个有向无圈图DAG，计算和输出DAG的根r（即r到其他任何顶点都有一条路。若图中没有根，则输出“not found”）。 输入：顶点数n和边数e;以下为e行，每行为一条有向边的两个端点 输出：根r或者“not found” 算法分析 设 const mx=100;{顶点数的上限} var n,e,i,j,k,a,b:integer;{ 顶点数n、边数e} g:array[1..mx,1..mx]of boolean;{传递闭包} bn:boolean;{根存在标志} 1、输入信息，计算传递闭包 readln(n,e);{输入顶点数和边数} fillchar(g,sizeof(g),0);{ 有向无圈图初始化} for i:=1 to e do{输入信息，构造传递闭包的初始值} begin readln(a,b);g[a,b]:=true end; for k:=1 to n do{计算传递闭包} for i:=1 to n do for j:=1 to n do if g[i,j] or g[i,k] and g[k,j]then g[i,j]:=true; 2、计算DAG的根 然后枚举每一个顶点。根据传递闭包的信息，若当前顶点至其它所有顶点有路，则判定该顶点即为根。若没有一个顶点可作为DAG的根，则输出失败信息 for i:=1 to n do{枚举每一个可能的根} begin bn:=true;{设定I至其他所有顶点有路的标志} for j:=1 to n do{若I至任一个顶点无路，则返回bn为false} if (i<>j) and not g[i,j] then begin bn:=false; break end; if bn then break{若I至其他所有顶点有路，则输出根i} end; if bn then writeln(i) else writeln('not found'){若不存在根，则输出失败信息} 图的连通性总结 boboo 目录 1.图的遍历及应用 1.1.DFS遍历 1.2.DFS树的边分类 1.3.DFS树的性质 1.4.拓补排序 1.5.欧拉回路 2.无向图相关 2.1求割顶 2.2求图的桥 2.3求图的块 3.有向图相关 3.1求强连通分量（SCC划分） 3.2求传递闭包 4.最小环问题 一、图的遍历及应用 1.1 DFS遍历 DFS是求割顶、桥、强连通分量等问题的基础。 DFS对图进行染色， 白色：未访问； 灰色：访问中（正在访问它的后代）； 黑色：访问完毕 一般在具体实现时不必对图的顶点进行染色，只需进行访问开始时间和访问结束时间的记录即可，这样就可以得出需要的信息了。 -发现时间D[v]:变灰的时间 -结束时间f[v]:变黑的时间 -1<=d[v] 基于MATLAB的实现，此方法可以知道有几个连通域,并且知道各个顶点的归属。Branches中显示各个节点的归属，同一行的为同一连通分支中的节点。其第一列为它的分类数。 例如下图，有五个连通分支，1、2、3在同一个连通分支中。 这是上图的邻接矩阵，同一节点间为0。 Branches中的显示内容，第一列为连通分支数，后边跟着的是给连通分支中的节点。第一行就表示1、2、3为一个连通分支，4自己在一个连通分支中等等。 function [Branches,numBranch]=Net_Branches(ConnectMatrix) % ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ % This program is designed to count the calculate connected components in networks. % Usage [Cp_Average, Cp_Nodal] = Net_ClusteringCoefficients(ConnectMatrix,Type) % Input: % ConnectMatrix --- The connect matrix without self-edges. % Output: % Branches --- A matrix, each rows of which represents the % different connected components. % numBranch --- The numbers of connected components in network % % +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ % Refer: % Ulrik Barandes % Written by Hu Yong, Nov,2010 % E-mail: carrot.hy2010@https://www.360docs.net/doc/62219798.html, % based on Matlab 2008a % Version (1.0),Copywrite (c) 2010 % Input check-------------------------------------------------------------% [numNode,I] = size(ConnectMatrix); if numNode ~= I error('Pls check your connect matrix'); end % End check---------------------------------------------------------------% Node = [1:numNode]; Branches = []; while any(Node) Quence = find(Node,1); %find a non-zero number in Node set subField=[]; %one component % start search while ~isempty(Quence) currentNode = Quence(1); Quence(1) = []; %dequeue subField=[subField,currentNode]; Node(currentNode)=0; neighborNode=find(ConnectMatrix(currentNode,:)); for i=neighborNode if Node(i) ~= 0 %first found Quence=[Quence,i]; Node(i)=0; end end end subField = [subField,zeros(1,numNode-length(subField))]; Branches = [Branches;subField]; %save end numBranch = size(Branches,1); 复杂网络基础理论 第二章网络拓扑结构与静态特征 第二章网络拓扑结构与静态特征 l2.1 引言 l2.2 网络的基本静态几何特征 l2.3 无向网络的静态特征 l2.4 有向网络的静态特征 l2.5 加权网络的静态特征 l2.6 网络的其他静态特征 l2.7 复杂网络分析软件 2 2.1 引言 与图论的研究有所不同，复杂网络的研究更侧重 于从各种实际网络的现象之上抽象出一般的网络几何 量，并用这些一般性质指导更多实际网络的研究，进 而通过讨论实际网络上的具体现象发展网络模型的一 般方法，最后讨论网络本身的形成机制。 统计物理学在模型研究、演化机制与结构稳定性 方面的丰富的研究经验是统计物理学在复杂网络研究 领域得到广泛应用的原因；而图论与社会网络分析提 供的网络静态几何量及其分析方法是复杂网络研究的 基础。 3 2.1 引言 静态特征指给定网络的微观量的统计分布或宏观 统计平均值。 在本章中我们将对网络的各种静态特征做一小结 。由于有向网络与加权网络有其特有的特征量，我们 将分开讨论无向、有向与加权网络。 4 返回目录 2.2 网络的基本静态几何特征 ￠2.2.1 平均距离 ￠2.2.2 集聚系数 ￠2.2.3 度分布 ￠2.2.4 实际网络的统计特征 5 2.2.1 平均距离 1.网络的直径与平均距离 网络中的两节点v i和v j之间经历边数最少的一条简 单路径（经历的边各不相同），称为测地线。 测地线的边数d ij称为两节点v i和v j之间的距离（或 叫测地线距离）。 1／d ij称为节点v i和v j之间的效率，记为εij。通常 效率用来度量节点间的信息传递速度。当v i和v j之间没 有路径连通时，d ij＝∞，而εij＝0，所以效率更适合度 量非全通网络。 网络的直径D定义为所有距离d ij中的最大值 6 图论基本知识 对于网络的研究，最早是从数学家开始的，其基本的理论就是图 论，它也是目前组合数学领域最活跃的分支。我们在复杂网络的研究中将要遇到的各种类型的网络，无向的、有向的、加权的……这些都可以用图论的语言和符号精确简洁地描述。图论不仅为物理学家提供了描述网络的语言和研究的平台，而且其结论和技巧已经被广泛地移植到复杂网络的研究中。图论，尤其是随机图论已经与统计物理并驾齐驱地成为研究复杂网络的两大解析方法之一。考虑到物理学家对于图论这一领域比较陌生，我在此专辟一章介绍图论的基本知识，同时将在后面的章节中不加说明地使用本章定义过的符号。进一步研究所需要的更深入的图论知识，请参考相关文献[1-5]。 本章只给出非平凡的定理的证明，过于简单直观的定理的证明将 留给读者。个别定理涉及到非常深入的数学知识和繁复的证明，我们将列出相关参考文献并略去证明过程。对于图论知识比较熟悉的读者可以直接跳过此章，不影响整体阅读。 图的基本概念 图G 是指两个集合(V ，E)，其中集合E 是集合V×V 的一个子集。 集合V 称为图的顶点集，往往被用来代表实际系统中的个体，集合E 被称为图的边集，多用于表示实际系统中个体之间的关系或相互作用。若{,}x y E ，就称图G 中有一条从x 到y 的弧（有向边），记为x→ y ，其中顶点x 叫做弧的起点，顶点y 叫做弧的终点。根据定义，从任意顶点x 到y 至多只有一条弧，这是因为如果两个顶点有多种需要区分的关系或相互作用，我们总是乐意在多个图中分别表示，从而不至于因为这种复杂的关系而给解析分析带来困难。如果再假设图G 中不含自己到自己的弧，我们就称图G 为简单图，或者更精确地叫做有向简单图。以后如果没有特殊的说明，所有出现的图都是简单图。记G 中顶点数为()||G V ν=，边数为()||G E ε=，分别叫做图G 的阶和规模，显然有()()(()1)G G G ενν≤-。图2.1a 给出了一个计算机分级网络的示意图，及其表示为顶点集和边集的形式。 图2.1：网络拓扑结构示意图。图a 是10阶有向图，顶点集为 {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，边集为{1→2,1→3,1→4,2→5,2→6,2→7,3→6,4→7,4→8,6→9,7→9,8→10}；图b 是6阶无向图，顶点集为{1,2,3,4,5,6}，边集为{13,14,15,23,24,26,36,56}。 从定义中可以看到，从任意顶点x 到y 不能连接两条或以上 边，本文所讨论的图，均符合上述要求，既均为不含多重边的图。如 图的连通性 图的连通性2010-07-23 21 ：02 图的连通性 第十三章图的基本概念 第三节图的连通性 一.连通性概念 图中两点的连通：如果在图G中u、v 两点有路相通，则称顶点u、v 在图G中连通。 连通图(connected graph) ：图G中任二顶点都连通。 图的连通分支(connected brch,component) ：若图G 的顶点集 V(G)可划分为若干非空子集V 1,V 2, ?,V w, 使得两顶点属于同一子集当且仅当它们在G 中连通，则称每个子图G为图G的一个连通分支(i=1,2, ?,w) 。 注：(1) 图G的连通分支是G的一个极大连通子图。 (2)图G连通当且仅当w=1。 例13.5 设有2n 个电话交换台，每个台与至少n 个台有直通线路，则该交换系统中任二台均可实现通话。 证明：构造图G如下：以交换台作为顶点，两顶点间连边当且仅当对应的两台间有直通线路。问题化为：已知图G有2n 个顶点，且 δ(G) ≥n，求证G连通。 事实上，假如G不连通，则至少有一个连通分支的顶点数不超过n。在此连通分支中，顶点的度至多是n–1。这与δ(G)≥n 矛盾。 证毕 例13.6 若图中只有两个奇度顶点，则它们必连通。 证明：用反证法。假如u与v 不连通，则它们必分属于不同的连通分支。将每个分支看成一个图时，其中只有一个奇度顶点。这与推论13.1 矛盾。证毕 在连通图中，连通的程度也有高有低。 例如 后面将定义一种参数来度量连通图连通程度的高低。 二.割点 定义13.2 设v∈V(G)，如果w(G–v)w(G) ，则称v 为G的一个割点。( 该定义与某些著作有所不同，主要是在有环边的顶点是否算作割点上有区别) 。 例如 定理13.3 如果点v 是图G的一个割点，则边集E(G)可划分为两个非空子集E 1和E 2，使得G[E 1]和G[E 2]恰好有一个公共顶点 v。 推论13.2 对连通图G，顶点v 是G的割点当且仅当G–v 不连通。 以上两个结论的证明留作习题。 三.顶点割集 定义13.3 对图G，若V(G)的子集V' 使得 w(G–V')w(G), 则称V'为图G的一个顶点割集。含有k 个顶点的顶点割集称为k-顶点割集 【图论基础】求连通子图的个数 Time Limit:10000MS Memory Limit:65536K Total Submit:42 Accepted:30 Description 求一个无向图中连通子图的个数。 Input 第一行一个数n，表示无向图的顶点的数量（n<=5000），接下来从第2行到第n+1行，每行有n个数（1表示相应点有直接通路，0表示无直接通路），形成一个n*n的矩阵，用以表示这个无向图。示例： Output 输出一个数，表示这个图含有连通子图的个数。 Sample Input 5 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 Sample Output 自己算吧！ Source ?var ? i,j,n,ans,x:longint; ? a:array[1..5000,0..5000] of longint; ? b:array[1..5000] of boolean; ?procedure dfs(x:longint); ?var i:longint; ?begin ? b[x]:=false; ? for i:=1 to a[x,0] do if b[a[x,i]] then ? dfs(a[x,i]); ?end; ? ?begin ? readln(n); ? for i:=1 to n do ? for j:=1 to n do begin ? read(x); ? if x=1 then begin ? inc(a[i,0]); a[i,a[i,0]]:=j; ? end; ? end; ? fillchar(b,sizeof(b),true); ? for i:=1 to n do if b[i] then begin ? inc(ans); ? dfs(i); ? end; ? writeln(ans); ?end. 第二章 图的连通性 连通图：任二顶点间有路相连。 例 可见在连通图中，连通的程度也是有高有低。 本章的目的就是定义一种参数来度量连通图连通程度的高低。 §2.1 割边、割点与连通度 一、割点： 定义2.1.1 设)(G V v ∈，如果)()(G w v G w >?，则称v 为G 的一个割点。（该定义与某些著作有所不同，主要是在有环边的顶点是否算作割点上有区别）。 例 定理2.1.1 如果点v 是图G 的一个割点，则边集E (G)可划分为两个非空子集1E 和2E ，使得 ][1E G 和][2E G 恰好有一个公共顶点v 。 推论2.1.1 对连通图G ，顶点v 是G 的割点当且仅当v G ?不连通。 以上两个结论的证明留作习题。 定理2.1.2 设v 是树T 的顶点，则v 是T 的割点当且仅当1)(>v d 。 证明：必要性：设v 是T 的割点，下面用反证法证明1)(>v d 。 若0)(=v d ，则1K T ?，显然v 不是割点。 若1)(=v d ，则v T ?是有1)(??v T ν条边的无圈图，故是树。从而)(1)(T w v T w ==?。因此v 不是割点。 以上均与条件矛盾。 充分性：设1)(>v d ，则v 至少有两个邻点u ,w 。路uvw 是T 中一条),(w u 路。因T 是树，uvw 是T 中唯一的),(w u 路，从而)(1)(T w v T w =>?。故v 是割点。证毕。 推论2.1.2 每个非平凡无环连通图至少有两个顶点不是割点。 证明：设T 是G 的生成树，则T 至少有两个叶子u ,v ，由上一定理知，u ,v 都不是T 的割点，即1)()(==?T w u T w 。由于u T ?是图u G ?的生成树，故 )(1)()()(G w T w u T w u G w ===?=?， 离散数学图论作业3-图的连通性 Problem1 判断下列各图是否是强连通的，如果不是，再判断是否是弱连通的。 (1)(2)(3) Problem2 证明：简单图G是二部图（bipartite graph），当且仅当G没有包含奇数条边的回路。 Problem3 a)证明或反驳：存在函数f:N→N使得对于所有k∈N，最小度至少为f(k)的图一定是k-连通的。 b)证明或反驳：存在函数f:N→N使得对于所有k∈N，边连通度至少为f(k)的图一定是k-连通的。Problem4 。（λ(G)表示G的边连通度） 证明：κ(G)=1的r-正则图G，若r>1，总满足λ(G)≤r 2 Problem5 证明：G是2-边连通图当且仅当G中任意两个顶点之间至少有两条不含公共边的通路。 （提示：证明过程中可使用Whitney定理，但需注意和本题的差异） Problem6 证明：若G是k?边连通图，从G中任意删除k条边，最多得到2个连通分支。 Problem7 对于任意的简单连通图G， 1.证明V(G)=E(G)时，G中有且仅有1个简单回路。（可直接使用V(G)=E(G)?1时图G中无简单 回路的结论） 2.该结论能否推广为E(G)≥V(G)时G中有且仅有E(G)?V(G)+1个简单回路？ *题中简单回路不存在重复的边，可能存在大于1个重复顶点（见P573定义1） Problem8 证明：若简单图G是不连通的，则G的补图是连通图。 Problem9 证明：任意简单连通图G包含一条长度至少为min{2δ(G),|V(G)|?1}的顶点和边均不重复的通路。 （提示：证明过程中可以考虑图G中最长的[顶点和边均不重复的]通路） 第七章 平面图 §7.1 平面图的概念 定义7.1.1 如果图G 能画在曲面S 上，使得任意两边互不交叉，则称G 可嵌入曲面S 。若图G 可嵌入平面，则称G 是可平面图或平面图，画出的无交叉边的图形称为图G 的平面嵌入。 例如，下面是三个平面图及其平面嵌入。 根据定义，下列定理是显然的。 定理7.1.1 若图G 是平面图，则G 的任何子图都是平面图。 定理7.1.2 若图G 是非平面图，则G 的任何母图都是非平面图。 定理7.1.3 若图G 是平面图, 则在G 中添加重边或环边后所得之图仍是平面图。 注：由以上定理知 (1) K n ( n ≤4 ) 和 K 1,n (n ≥ 1)及其所有子图都是平面图。 (2) 环边和重边不影响图的平面性。故以下讨论平面性时总假定图G 是简单图。 定义7.1.2 设图G 是平面图 (已平面嵌入)，G 的边将平面划分出的若干区域都称为图G 的面。其中面积无限的面称为无限面或外部面，面积有限的面称为有限面或内部面。包围一个面的所有边称为该面的边界。一个面边界上的边数称为该面的次数 (割边按两次计)，面R 的次数记为deg (R )。 定理7.1.4 平面图G 中所有面的次数之和等于G 的边数的两倍，即 其中R 1, R 2, … , R r 是G 的所有面。 证明： 对G 的任何一条边e ，若e 是两个面 R i 和 R j 的公共边界，则在计算R i 和 R j 的次数时，e 各提供了1；若e 只是某一个面的边界，则在计算该面的次数时，e 提供了2。可见每条边在计算总次数时，都提供2。因而结论成立。 1 deg()2().r i i R G ε==∑ 基本知识点： 一、图的基本定义： 平凡图：只有一个顶点无边的图。 非平凡图：其他所有图。 空图：边集合为空的图。 简单图：既没有环也没有重边的图。 复合图：其他所有的图。 同构图：顶点集合之间存在双射（一一对应关系），对应边重数和端点对应相等。 标定图：给图的点和边标上符号。非标定图：不标号。非标定图代表一类相互 同构的图。 完全图：每两个不同顶点之间都有一条边相连的简单图。N 个顶点的完全图只有一个，记为n K 。 偶图（二部图）：具有二分类(,)X Y 的图，他的点集可以分解为两个（非空）子集X 和Y ，使得每条边的一个端点在X 中，另一个端点在Y 中。 完全偶图 ：指具有二分类(,)X Y 的简单偶图，其中X 的每个顶点与Y 的每个顶点相连。若,X m Y n ==，则这样额完全偶图记为：,m n K 。 k —正则图：设(,)G V E =为简单图，如果对所有的结点v V ∈，有()d v k =，称G 为k —正则图。 完全图和完全偶图,n n K 均是正则图。 图划分：若一个n 阶简单图G 各点的度为i d ，则分正整数k 为n 个部分的划分i d ∑称为是图划分。 子图：边集合和点集合均是原图的子集，且待判定图中的边的重数不超过原图中对应的边的重数。 生成子图：点集合相等，边集合为原图子集的图。 导出子图：由顶点集为原图G 真子集的所有点，及两端点均在该集合中的边的全体组成的 子图V ‘。 '[]G V 和G v -。 边导出子图：由原图G 边的真子集，该图中边的断点全体为顶点组成的子图E ‘。 ' []G E 和{}G e -。 图的运算： 并，交，差，对称差，联图，积图，合成图，极图 路与图的联通性： 途径： 迹：边互不相同的途径。 路：边和点都互不相同的途径。 连通的：两个顶点之间存在路。 连通图：每一对顶点之间都有一条路。 图与网络模型及方法 §1 概论 图论起源于18世纪。第一篇图论论文是瑞士数学家欧拉于1736 年发表的“哥尼斯堡的七座桥”。1847年，克希霍夫为了给出电网络方程而引进了“树”的概念。1857年，凯莱在计数烷22 n n H C 的同分异构物时，也发现了“树”。哈密尔顿于1859年提出“周游世界”游戏，用图论的术语，就是如何找出一个连通图中的生成圈，近几十年来，由于计算机技术和科学的飞速发展，大大地促进了图论研究和应用，图论的理论和方法已经渗透到物理、化学、通讯科学、建筑学、生物遗传学、心理学、经济学、社会学等学科中。 图论中所谓的“图”是指某类具体事物和这些事物之间的联系。如果我们用点表示这些具体事物，用连接两点的线段（直的或曲的）表示两个事物的特定的联系，就得到了描述这个“图”的几何形象。图论为任何一个包含了一种二元关系的离散系统提供了一个数学模型，借助于图论的概念、理论和方法，可以对该模型求解。哥尼斯堡七桥问题就是一个典型的例子。在哥尼斯堡有七座桥将普莱格尔河中的两个岛及岛与河岸联结起来问题是要从这四块陆地中的任何一块开始通过每一座桥正好一次，再回到起点。当 然可以通过试验去尝试解决这个问题，但该城居民的任何尝试均未成功。欧拉为了解决 这个问题，采用了建立数学模型的方法。他将每一块陆地用一个点来代替，将每一座桥用连接相应两点的一条线来代替，从而得到一个有四个“点”，七条“线”的“图”。问题成为从任一点出发一笔画出七条线再回到起点。欧拉考察了一般一笔画的结构特点，给出了一笔画的一个判定法则：这个图是连通的，且每个点都与偶数线相关联，将这个判定法则应用于七桥问题，得到了“不可能走通”的结果，不但彻底解决了这个问题，而且开创了图论研究的先河。 图与网络是运筹学（Operations Research ）中的一个经典和重要的分支，所研究的问题涉及经济管理、工业工程、交通运输、计算机科学与信息技术、通讯与网络技术等诸多领域。下面将要讨论的最短路问题、最大流问题、最小费用流问题和匹配问题等都是图与网络的基本问题。 我们首先通过一些例子来了解网络优化问题。 例1 最短路问题（SPP －shortest path problem ） 一名货柜车司机奉命在最短的时间内将一车货物从甲地运往乙地。从甲地到乙地的公路网纵横交错，因此有多种行车路线，这名司机应选择哪条线路呢？假设货柜车的运行速度是恒定的，那么这一问题相当于需要找到一条从甲地到乙地的最短路。 例2 公路连接问题 某一地区有若干个主要城市，现准备修建高速公路把这些城市连接起来，使得从其中任何一个城市都可以经高速公路直接或间接到达另一个城市。假定已经知道了任意两 第六章习题图论基础 6.1下列各组数中，那些能构成无向图的度数列？那些能构成无向简单图的度数列？ （1）1，1，1，2.3 (2)2, 2, 2, 2 , 2 (3)1,2,3,4,5 (4)1,3,3,3 6.2设有向简单图D的度数为2，2，3，3，入度列0，0，2，3，试求D的除度列。 6.3设是4阶有向简单图，度数列为3，3，3，3.它的入度列9或出度列）能为1，1，1，1 吗？ 6.4设( )为一正整数序列，互不相同，问此序列能构成n阶无向图的度数列吗？为什么？ 6.5下面无向图中有几个顶点？ （1）16条边，每个顶点都是2度顶点. （2）21条边，3个4度顶点，其余的都是3度顶点. （3）24条边，各顶点的度数是相同的. 6.6 35条边，每个顶点的度数至少为3的图最多有几个顶点? 6.7设n阶无向简单图中，（G）=n-1，问（G）应为多少？ 6.8一个n（n２）阶无向简单图Ｇ中，ｎ为奇数，已知Ｇ中有ｒ各奇度顶点，问Ｇ的补图中有几个奇度顶点？ 6.9设Ｄ是ｎ阶有向简单图，是Ｄ的子图，已知的边数＝ｎ（ｎ－１），问Ｄ的边数ｍ为多少？ 6.10画出－－－的所有非同构的子图，其中有几个是子图？生成子图中有几个是连通图？ 6.11设Ｇ为ｎ阶简单图（无向图或有向图），－－为Ｇ的补图，若Ｇ－－－－，则称Ｇ为自补图，――的生成子图中有几个非同构的自补图？ 6.12．设无向图G有10条边，3度与4度顶点各2个，其余顶点的度数均小于3，问G 中至少有几个顶点？在最少顶点的情况下，写出G的度数列、Δ(G)、δ(G). 6.13．设n阶图G中有m条边，证明：δ(G)≤2m/n≤Δ(G). 6.14．设无向图中有6条边，3度与5度顶点各一个，其余的都是2度顶点，问该图有 几个顶点？ 6.15．证明空间中不可能存在有奇数个面且每个面都有奇数条棱的多面体。 6.16．阶2-正则图有几种非同构的情况？ 6.17．设n阶无向图为3-正则图，且边数m与n满足2n-3=m，问这样的无向图有几种非同构的情况？ 6.18画出３阶有完全图所有非同构的子图，问其中有几个是生成子图？生成子图中有几个是自补图？ 6.19设－－－－均为４阶无向简单图，他们均由两条边，他们能彼此均非同构吗？为什莫？ 6.20已知ｎ阶无向图Ｇ中有ｍ条边，各顶点的度数均为３，又已知２ｎ－３＝ｍ，问在同构的意义下，Ｇ是唯一的吗？又若Ｇ为简单时，是否唯一？ 6.22在－－的边上涂上红色或蓝色，证明对于任意一种随意的涂法，总存在红色――或蓝色――？ §2-1 网络图论的基本概念 对于一个电路图，如果用点表示其节点，用线段表示其支路，得到一个由点和线段组成的图，这个图被称为对应电路图的拓扑图，通常用符号G 表示。例如：图2-1-1（a ）所示电路，其对应的拓扑图如图2-1-1 (b) 所示。 拓扑图是线段和点组成的集合，它反映了对应的电路图中的支路数、节点数以及各支路与节点之间相互连接的信息。 在拓扑图中，如果任意两点之间至少有一条连通的途径，那么这样的图称为连通图，例如图2-1-1（b ）所示的图，否则称为非连通图，例如图2-1-2（b ）所示的图。如果图G 1中所有的线段与点均是图G 中的全部或部分线段与点，且线段与点的连接关系与图G 中的一致，那么图G 1称为图G 的子图。例如图2-1-3（b ）（c ）（d ）（e ）均是图2-1-3（a ）的子图。 图 2-1-1 图2-1-2 图2-1-3 下面介绍网络图论中非常重要的一个概念——树。树是连通图G 的一个特殊子图，必须同时满足以下三个条件： （1）子图本身是连通的； （2）包括连通图G 所有节点； （3）不包含任意回路。 组成树的支路称为树支，不包含在树上的支路称为连支（或链支）。如果用t n 表示树支的数目，则： 1t n n =- （式2-1-1） 连支的数目l 等于支路数b 减去树支的数目，即 1l b n =-+ （式2-1-2） 如果将一个电路铺在一个平面上，除节点之外再没有其他交点，这样的电路被称为平面电路，否则，称为非平面电路。 在平面电路中，内部没有任何支路的回路称为网孔。它是一种特殊的回路。 一个有b 条支路、n 个节点的连通平面图的网孔数m 为： 1m b n =-+ （式2-1-3） 接下来介绍割集的概念。割集是连通图G 的一个子图，它满足以下两个条件： （1）移去该子图的全部支路，连通图G 将被分为两个独立部分； （2）当少移去该子图中任一条支路时，则图仍然保持连通。 一个具有n 个节点的连通图，有（n-1）条树，有（n-1）个单树支割集。 (a) (b) 图2-1-7 人脑是自然界中最复杂的系统之一, 在复杂系统研究方面，网络研究的方法在21世纪以来被深度应用在多个领域； 在神经科学研究领域中，无论从微观的多个神经元、神经元集群的角度看还是从宏观的多个脑区相互连接成庞杂的结构网络和通过相互作用构建的功能网络看，网络方法都已经延伸到了神经科学研究中的方方面面。 在网络研究中，通过图论方法来表征复杂网络的拓扑关系是研究网络中不同节点、不同连边以及网络的整体特性的重要手段。 但在实际的研究中，研究者往往根据自己的研究目的特定地选择网络属性，因而导致很多研究人员无法全面的了解图论研究中多种指标的实际含义； 同时，随着图论方法的发展，许多新的指标也不断出现。全面和准确的理解图论指标对于使用图论方法研究复杂网络具有重要的意义，只有选对指标才能更好地说明你的研究问题，达到事半功倍的效果。 因此，思影科技汇总了当前网络研究中被研究者经常使用的图论指标，并结合图表示、数学公式的严格定义以及解析的方法对每个指标进行了详述，以更好的帮助各位希望使用网络方法和图论指标进行脑科学研究的研究者。 首先我们来简单的回顾下网络中的不同对象，以便在后文阅读中能够清楚不同术语所描述的网络对象。 下图是一个由11个节点组成的网络，即圆圈，它们表示了网络中的基本对象，连接不同的节点的连线被称为“边”； 在脑网络研究中，节点是被按照不同分割依据所分割的脑区，连边在功能网络中往往通过对不同脑区的时间序列信号的相关计算所得，而结构网络中分为DTI连接和基于灰质变化的协变网络连边。 在这个小的网络中，我们可以看到不同节点由数量不等的连边互相连接起来，为了能够全面的分析这个网络的拓扑结构，我们需要使用不同的图论指标。 接下来我们来一起了解不同的网络指标。 （1）度（node degree） 在网络研究中，最基本和最广泛使用的度量指标是“度”，对于给定节点，度就是与它连接的邻居个数。第i个节点的度计算公式是： 这里，Cij表示节点i和节点j之间的连接状态，当节点i和节点j之间有连接时，Cij=1,当节点i和节点j之间无连接时，Cij=0；图论讲义第2章-连通性
图论基础
图的连通性总结
图的连通性判断
复杂网络基础2(M.Chang)
图论基础知识
图的连通性
1040 【图论基础】求连通子图的个数 1041 【图论基础】求最小生成树(prim)
图论讲义2连通性
离散数学图论作业3-图的连通性
图论讲义第7章-平面图
图论基础知识点
图论基础知识汇总(适合建模)
高数-图论基础
§2-1网络图论的基本概念
脑网络研究中的图论指标详解_69