离散数学图论作业3-图的连通性

Problem1

判断下列各图是否是强连通的，如果不是，再判断是否是弱连通的。

(1)(2)(3)

Problem2

证明：简单图G是二部图（bipartite graph），当且仅当G没有包含奇数条边的回路。

Problem3

a)证明或反驳：存在函数f:N→N使得对于所有k∈N，最小度至少为f(k)的图一定是k-连通的。

b)证明或反驳：存在函数f:N→N使得对于所有k∈N，边连通度至少为f(k)的图一定是k-连通的。Problem4

。（λ(G)表示G的边连通度）

证明：κ(G)=1的r-正则图G，若r>1，总满足λ(G)≤r

Problem5

证明：G是2-边连通图当且仅当G中任意两个顶点之间至少有两条不含公共边的通路。

（提示：证明过程中可使用Whitney定理，但需注意和本题的差异）

Problem6

证明：若G是k?边连通图，从G中任意删除k条边，最多得到2个连通分支。

Problem7

对于任意的简单连通图G，

1.证明V(G)=E(G)时，G中有且仅有1个简单回路。（可直接使用V(G)=E(G)?1时图G中无简单

回路的结论）

2.该结论能否推广为E(G)≥V(G)时G中有且仅有E(G)?V(G)+1个简单回路？

*题中简单回路不存在重复的边，可能存在大于1个重复顶点（见P573定义1）

Problem8

证明：若简单图G是不连通的，则G的补图是连通图。

Problem9

证明：任意简单连通图G包含一条长度至少为min{2δ(G),|V(G)|?1}的顶点和边均不重复的通路。

（提示：证明过程中可以考虑图G中最长的[顶点和边均不重复的]通路）

离散数学图论与系中有图题目

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图论中有图题目一、没有一个简单的办法能确定图的色数以及用尽可能少的颜色给图的节点着色。Welch-Powell 给出了一个使颜色数尽可能少（不一定最少）的结点着色方法，在实际使用中比较有效：第1步、将图的结点按度数的非增顺序排列；第2步、用第1种颜色给第1个结点着色，并按照结点排列顺序，用同一种颜色给每个与前面已着色的结点不邻接的结点着色；第3步、换一种颜色对尚未着色的结点按上述方法着色，如此下去，直到所有结点全部着色为止。例1 分别求右面两图的色数（1）由于（1）中图G 中无奇数长的基本回路，由定理可知()2G χ=。（2）由于（2）中图G 含子图轮图4W ，由于()44W χ=，故()4G χ≥。又因为此图的最大度()4G ?=，G 不是完全图，也不是奇数长的基本回路，由定理可知()()4G G χ≤?=，因而()4G χ=。（对n 阶轮图n W ，n 为奇数时有()3n W χ=，n 为偶数时有()4n W χ=；对n 阶零图n N ，有()1n N χ=；完全图n K ，有()n K n χ=；对于二部图12,,,G V V E E =<>=Φ时即()1n N χ=，E ≠Φ时即()2G χ=；在彼得森图G 中，存在奇数长的基本回路，因而()3G χ≥，又彼得森图既不是完全图也不是长度为奇数的基本回路，且()3G ?=，由定理()3G χ≤，故()3G χ=）例 2 给右边三个图的顶点正常着色，每个图至少需要几种颜色。答案：（1） ()2G χ=；（2） ()3G χ=；（3）()4G χ= 例3 有8种化学品A,B,C,D,P,R,S,T 要放进贮藏室保管。出于安全原因，下列各组药品不能贮在同一个室内：A-R, A-C, A-T, R-P, P-S, S-T, T-B, B-D, D-C, R-S, R-B, 4个结点、6个结点和8个结点的三次正则图 (2) (1) (3) (2)(1)

图论讲义第2章-连通性

第二章图的连通性在第一章中已经定义连通图是任二顶点间都有路相连的图。对于连通图，其连通的程度也有高有低。例如，下列三个图都是连通图。对于图G 1，删除一条边或一个顶点便可使其变得不连通；而对于图G 2，至少需要删除两条边才能使其不连通，也可以删除一个顶点使其不连通；对于图G 3，要破坏其连通性，则至少需要删除三条边或三个顶点。本章主要讨论如何通过图的顶点集、边集和不交的路集合的结构性质来获知图的连通性程度。通过研究割边和割点来刻画1连通图的特性；定义连通度和边连通度来度量连通图连通程度的高低；通过不交路结构和元素的共圈性质来反映图的2连通和k 连通性。 §2.1 割点和割边定义2.1.1 设)(G V v ∈，如果)()(G w v G w >?，则称v 为G 的一个割点。（注：该定义与某些著作中的定义有所不同，主要是在环边的顶点是否算作割点上有区别）。例如，下图中u , v 两点是其割点。定理2.1.1 如果点v 是简单图G 的一个割点，则边集E (G)可划分为两个非空子集1E 和2E ，使得][1E G 和][2E G 恰好有一个公共顶点v 。证明留作习题。推论2.1.1 对连通图G ，顶点v 是G 的割点当且仅当v G ?不连通。定理2.1.2 设v 是树T 的顶点，则v 是T 的割点当且仅当1)(>v d 。证明：必要性：设v 是T 的割点，下面用反证法证明1)(>v d 。若0)(=v d ，则1K T ?，显然v 不是割点。若1)(=v d ，则v T ?是有1)(??v T ν条边的无圈图，故是树。从而)(1)(T w v T w ==?。因此v 不是割点。以上均与条件矛盾。充分性：设1)(>v d ，则v 至少有两个邻点u ,w 。路uvw 是T 中一条),(w u 路。因T 是树，uvw 是T 中唯一的),(w u 路，从而)(1)(T w v T w =>?。故v 是割点。证毕。

离散数学测验题--图论部分(优选.)

离散数学图论单元测验题一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分) 1、在图G ＝中，结点总度数与边数的关系是( ) (A) deg(v i )=2∣E ∣ (B) deg(v i )=∣E ∣ (C)∑∈=V v E v 2)deg( (D) ∑∈=V v E v )deg( 2、设D 是n 个结点的无向简单完全图，则图D 的边数为( ) (A) n (n －1) (B) n (n +1) (C) n (n －1)/2 (D) n (n +1)/2 3、设G ＝为无向简单图，∣V ∣=n ，?(G )为G 的最大度数，则有 (A) ?(G )n (D) ?(G )≥n 4、图G 与G '的结点和边分别存在一一对应关系，是G ≌G '(同构)的( ) (A) 充分条件 (B) 必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件 5、设},,,{d c b a V =，则与V 能构成强连通图的边集合是( ) (A) },,,,,,,,,{><><><><><=c d b c d b a b d a E (B) },,,,,,,,,{><><><><><=c d d b c b a b d a E (C) },,,,,,,,,{><><><><><=c d a d c b a b c a E 6、有向图的邻接矩阵中，行元素之和是对应结点的( )，列元素之和是对应结点的( ) (A)度数 (B) 出度 (C)最大度数 (D) 入度 7、设图G 的邻接矩阵为 ?? ?? ?? ? ? ????????0101010010000011100000100 则G 的边数为( )． A ．5 B ．6 C ．3 D ．4 8、设m E n V E V G ==>=<,,,为连通平面图且有r 个面，则r ＝( ) (A) m －n +2 (B) n －m －2 (C) n +m -2 (D) m +n +2 9、在5个结点的二元完全树中，若有4条边，则有 ( )片树叶。 (A) 2 (B) 3 (C) 5 (D) 4 10、图2是( ) (A) 完全图 (B)欧拉图 (C) 平面图 (D) 哈密顿图

图的连通性总结

图的连通性总结 boboo 目录 1.图的遍历及应用 1.1.DFS遍历 1.2.DFS树的边分类 1.3.DFS树的性质 1.4.拓补排序 1.5.欧拉回路 2.无向图相关 2.1求割顶 2.2求图的桥 2.3求图的块 3.有向图相关 3.1求强连通分量（SCC划分） 3.2求传递闭包 4.最小环问题

一、图的遍历及应用 1.1 DFS遍历 DFS是求割顶、桥、强连通分量等问题的基础。 DFS对图进行染色，白色：未访问；灰色：访问中（正在访问它的后代）；黑色：访问完毕一般在具体实现时不必对图的顶点进行染色，只需进行访问开始时间和访问结束时间的记录即可，这样就可以得出需要的信息了。 -发现时间D[v]:变灰的时间 -结束时间f[v]:变黑的时间 -1<=d[v]

离散数学 ( 第1次 )

第1次作业一、单项选择题（本大题共30分，共 15 小题，每小题 2 分） 1. 图G所示平面图deg(R3)为 A. 4 B. 5 C. 6 D. 3 2. 在完全m叉树中，若树叶数为t，分枝点数为i，则有（）。 A. (m-1)it-1

C. (m-1)i=t-1 D. (m-1)i≤t-1 3. 命题a）：如果天下雨，我不去。写出命题a）的逆换式。 A. 如果我不去，天下雨。 B. 如果我去，天下雨。 C. 如果天下雨，我去。 D. 如果天不下雨，我去。 4. 设无向图中有6条边，3度与5度顶点各1个，其余顶点都是2度点，问该图有多少个顶点（） A. 5 B. 4

C. 2 D. 6 5. 假设A={a,b,c,d},考虑子集S={{a,b},{b,c},{d}}，则下列选项正确的是（）。 A. S是A的覆盖 B. S是A的划分 C. S既不是划分也不是覆盖 D. 以上选项都不正确 6. 没有不犯错误的人。M(x)：x为人。F（x）：x犯错误。则命题可表示为（）。 A. (?x)(M(x)→F(x) B. (?x)(M(x)?F(x) C.

（?x）(M(x)?F(x)) D. (?x)(M(x)→F(x) 7. 命题逻辑演绎的CP规则为（） A. 在推演过程中可随便使用前提 B. 在推演过程中可随便使用前面演绎出的某些公式的逻辑结果 C. 如果要演绎出的公式为B→C形式，那么将B作为前提，演绎出C D. 设?(A)是含公式A的命题公式，B<=>A，则可以用B替换?(A)中的A 8. 设G是有6个结点的完全图，从G中删去（）条边，则得到树。 A. 6 B. 9 C. 10 D.

离散数学的基础知识点总结

离散数学的基础知识点总结第一章命题逻辑 1.前键为真，后键为假才为假；＜—＞，相同为真，不同为假；2?主析取范式：极小项（m）之和；主合取范式：极大项（M）之积； 3.求极小项时，命题变元的肯定为1，否定为0,求极大项时相反； 4.求极大极小项时，每个变元或变元的否定只能出现一次，求极小项时变元不够合取真，求极大项时变元不够析取假； 5.求范式时，为保证编码不错，命题变元最好按P,Q,R的顺序依次写; 6.真值表中值为1的项为极小项，值为0的项为极大项； 7.n个变元共有2n个极小项或极大项，这2n为（0~2n-1）刚好为化简完后的主析取加主合取； 8.永真式没有主合取范式，永假式没有主析取范式； 9.推证蕴含式的方法（=＞）:真值表法；分析法（假定前键为真推出后键为真，假定前键为假推出后键也为假） 10.命题逻辑的推理演算方法：P规则，T规则 ①真值表法；②直接证法；③归谬法；④附加前提法；第二章谓词逻辑 1.一元谓词：谓词只有一个个体，一元谓词描述命题的性质；多元谓词：谓词有n个个体，多元谓词描述个体之间的关系； 2.全称量词用蕴含T,存在量词用合取“； 3.既有存在又有全称量词时，先消存在量词，再消全称量词；

第四章集合 1.N，表示自然数集，1,2,3……，不包括0; 2.基：集合A中不同元素的个数，|A|; 3.幕集：给定集合A，以集合A的所有子集为元素组成的集合，P(A)； 4.若集合A有n个元素，幕集P(A)有2°个元素，|P(A)|= 2|A|= 2； 5.集合的分划：(等价关系) ①每一个分划都是由集合A的几个子集构成的集合； ②这几个子集相交为空，相并为全(A)； 6.集合的分划与覆盖的比较：分划：每个元素均应出现且仅出现一次在子集中；覆盖：只要求每个元素都出现，没有要求只出现一次；第五章关系 1.若集合A有m个元素，集合B有n个元素，则笛卡尔AXB的基数为mn , A到B上可以定义2mn种不同的关系； 2.若集合A有n个元素，则|A X\|= n2, A上有2n个不同的关系； 3.全关系的性质：自反性，对称性，传递性；空关系的性质：反自反性，反对称性，传递性；全圭寸闭环的性质：自反性，对称性，反对称性，传递性； 4.前域（domR）:所有元素x组成的集合；

离散数学知识点总结

总结离散数学知识点第二章命题逻辑 1.→，前键为真，后键为假才为假；<—>，相同为真，不同为假； 2.主析取范式：极小项(m)之和；主合取范式：极大项(M)之积； 3.求极小项时，命题变元的肯定为1，否定为0，求极大项时相反； 4.求极大极小项时，每个变元或变元的否定只能出现一次，求极小项时变元不够合取真，求极大项时变元不够析取假； 5.求范式时，为保证编码不错，命题变元最好按P,Q,R的顺序依次写； 6.真值表中值为1的项为极小项，值为0的项为极大项； 7.n个变元共有n2个极小项或极大项，这n2为(0~n2-1)刚好为化简完后的主析取加主合取； 8.永真式没有主合取范式，永假式没有主析取范式； 9.推证蕴含式的方法(=>)：真值表法；分析法(假定前键为真推出后键为真，假定前键为假推出后键也为假) 10.命题逻辑的推理演算方法：P规则，T规则 ①真值表法；②直接证法；③归谬法；④附加前提法；第三章谓词逻辑 1.一元谓词：谓词只有一个个体，一元谓词描述命题的性质；多元谓词：谓词有n个个体，多元谓词描述个体之间的关系；

2.全称量词用蕴含→，存在量词用合取^; 3.既有存在又有全称量词时，先消存在量词，再消全称量词；第四章集合 1.N，表示自然数集，1,2,3……，不包括0； 2.基：集合A中不同元素的个数，|A|； 3.幂集：给定集合A，以集合A的所有子集为元素组成的集合，P(A)； 4.若集合A有n个元素，幂集P(A)有n2个元素，|P(A)|=||2A=n2； 5.集合的分划：(等价关系) ①每一个分划都是由集合A的几个子集构成的集合； ②这几个子集相交为空，相并为全(A)； 6.集合的分划与覆盖的比较：分划：每个元素均应出现且仅出现一次在子集中；覆盖：只要求每个元素都出现，没有要求只出现一次；第五章关系 1.若集合A有m个元素，集合B有n个元素，则笛卡尔A×B的基 2种不同的关系；数为mn，A到B上可以定义mn 2.若集合A有n个元素，则|A×A|=2n，A上有22n个不同的关系；

图的连通性判断

基于MATLAB的实现，此方法可以知道有几个连通域,并且知道各个顶点的归属。Branches中显示各个节点的归属，同一行的为同一连通分支中的节点。其第一列为它的分类数。例如下图，有五个连通分支，1、2、3在同一个连通分支中。这是上图的邻接矩阵，同一节点间为0。 Branches中的显示内容，第一列为连通分支数，后边跟着的是给连通分支中的节点。第一行就表示1、2、3为一个连通分支，4自己在一个连通分支中等等。 function [Branches,numBranch]=Net_Branches(ConnectMatrix) % ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ % This program is designed to count the calculate connected components in networks. % Usage [Cp_Average, Cp_Nodal] = Net_ClusteringCoefficients(ConnectMatrix,Type) % Input: % ConnectMatrix --- The connect matrix without self-edges. % Output: % Branches --- A matrix, each rows of which represents the

% different connected components. % numBranch --- The numbers of connected components in network % % +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ % Refer: % Ulrik Barandes % Written by Hu Yong, Nov,2010 % E-mail: carrot.hy2010@https://www.360docs.net/doc/ad1477254.html, % based on Matlab 2008a % Version (1.0),Copywrite (c) 2010 % Input check-------------------------------------------------------------% [numNode,I] = size(ConnectMatrix); if numNode ~= I error('Pls check your connect matrix'); end % End check---------------------------------------------------------------% Node = [1:numNode]; Branches = []; while any(Node) Quence = find(Node,1); %find a non-zero number in Node set subField=[]; %one component % start search while ~isempty(Quence) currentNode = Quence(1); Quence(1) = []; %dequeue subField=[subField,currentNode]; Node(currentNode)=0; neighborNode=find(ConnectMatrix(currentNode,:)); for i=neighborNode if Node(i) ~= 0 %first found Quence=[Quence,i]; Node(i)=0; end end end subField = [subField,zeros(1,numNode-length(subField))]; Branches = [Branches;subField]; %save end numBranch = size(Branches,1);