高考数学压轴题：导数与不等式

高考数学压轴题：导数与不等式

利用导数证明不等式是近几年高考命题的一种热点题型．利用导数证明不等式，关键是要找出与待证不等式紧密联系的函数，然后以导数为工具来研究该函数的单调性、极值、最值(值域)，从而达到证明不等式的目的，这时常常需要构造辅助函数来解决．题目本身特点不同，所构造的函数可有多种形式，解题的繁简程度也因此而不同，这里给出几种常用的构造技巧．

类型一 “比较法”构造差函数证明不等式 【例1】已知函数()ln f x ax x =-. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；

（Ⅱ）若21,a e ??∈-∞-

???

，求证：()1

2ax f x ax xe -≥-. 【解析】（Ⅰ）由题意得()11

'ax f x a x x

-=-

=， ①当0a ≤时，则()'0f x <在()0,+∞上恒成立， ∴()f x 在()0,+∞上单调递减. ②当0a >时， 则当1,x a ??

∈+∞

???

时，()()'0f x f x >，单调递增， 当10x a ??∈ ???

，时，()()0f x f x '<，单调递减．

综上：当0a ≤时，()f x 在()0,+∞上单调递减； 当0a >时，()f x 在10,

a ?? ???上单调递减，在1,a ??

+∞ ???

上单调递增.

（Ⅱ）令()()1

2ax g x f x ax xe -=-+ 1ln ax xe ax x -=--，

则()1

1

1'ax ax g x e

axe

a x --=+-- ()()()

1

11111ax ax ax xe ax e x x --+-??=+-= ??

?，

设()1

1ax r x xe

-=-，

则()()1

'1ax r x ax e

-=+，

∵10ax e ->, ∴当10,x a ??

∈-

???

时，()()'0r x r x >， 单调递增； 当1,x a ??

∈-

+∞ ???

时，()()0r x r x '<， 单调递减． ∴()2max

1110r x r a ae ????=-=-+≤ ? ?????

（因为21a e ≤-）， ∴1

1

0ax e

x --

≤. ∴()g x 在10,a ??-

??

?上单调递减，在1,a ??

-+∞ ???

上单调递增，

∴()min 1g x g a ??

=- ???

， 设(

21

0,t e a

?=-

∈?， 则()2

2

1ln 1(0)t g h t t t e a e ??-==-+<≤ ???

， ()211'0h t e t

=

-≤，()h t 在(

2

0,e ??上递减， ∴()()2

0h t h e

≥=；

∴()0g x ≥，故()1

2ax f x ax xe -≥-.

说明：判断1

1

ax e

x

--

的符号时，还可以用以下方法判断： 由1

10ax e x --=得到1ln x a x -=， 设()1ln x p x x -=，则()2

ln 2

'x p x x -=，

当2x e >时，()'0p x >；当20x e <<时，()'0p x <. 从而()p x 在(

)2

0,e 上递减，在()2

,e +∞上递增.

∴()()2

2

min 1p x p e e ==-.

当2

1a e ≤-

时，1ln x a x -≤，即1

10ax e x

--≤.

当题目中给出简单的基本初等函数，例如()()3 f x x g x ln x ＝，＝，进而证明在某个取值范围内不等式()()f x g x ≥成立时，可以类比作差法，构造函数

()()()()()()h x f x g x x g x f x ?＝－或＝－，进而证明()()00min max h x x ?≥≤或即可，

在求最值的过程中，可以利用导数为工具．此外，在能够说明()()()

00g x f x >>的前提下，也可以类比作商法，构造函数()()()

()()

f x f x h x x

g x g x ?＝(()=)，进而证明()()()11min max

h x x ?≥≤．

例题：已知函数1

()ln (1),f x x a a R x

=+-∈. （Ⅰ）若()0f x ≥，求实数a 取值的集合；

（Ⅱ）证明：21

2ln (2)x

e x x e x x

+

≥-++-. 【解析】（Ⅰ）由已知，有22

1()(0)a x a

f x x x x x

-'=-=> 当0a ≤时，1

()ln 202

f a =-+<，与条件()0f x ≥矛盾,

当0a >时，若(0,)x a ∈，则()0f x '<，()f x 单调递减,若(,)x a ∈+∞，则()0f x '>，则()f x 单调递增.

所以()f x 在(0,)+∞上有最小值1

()ln (1)ln 1f a a a a a a

=+-=+-， 由题意()0f x ≥，所以ln 10a a +-≥. 令()ln 1g x x x =-+，所以11()1x g x x x

-'=

-=， 当(0,1)x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增；当(1,)x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以()g x 在(0,)+∞上有最大值(1)0g =，所以()ln 10g x x x =-+≤，ln 10a a -+≤，

ln 10a a -+=，1a =，

综上，当()0f x ≥时，实数a 取值的集合为{}1；

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知：1a =时，()0f x ≥，即1

ln 1x x

≥-在0x >时恒成立. 要证21

2ln (2)x

e x x e x x

+

≥-++-，只需证当0x >时，2(2)10x e x e x ----≥ 令2

()(2)1(0)x

h x e x e x x =---->

()2(2)x h x e x e '=---，令()2(2)x u x e x e =---，

则()2x

u x e '=-，令()20x

u x e '=-=，解得ln 2x =，

所以，函数()u x 在(0,ln 2)内单调递减，在(ln 2,)+∞上单调递增. 即函数()h x '在(0,ln 2)内单调递减，在(ln 2,)+∞上单调递增. 而(0)1(2)30h e e '=--=->.(ln 2)(1)0h h '<'=

∴存在0(0,ln 2)x ∈，使得0()0h x '=

当0(0,)x x ∈时，()0,()h x h x '>单调递增；当0(,1)x x ∈时，()0,()h x h x '<单调递减. 当(1,)x ∈+∞时，()0,()h x h x '>单调递增， 又(0)110,(1)11(2)0h h e e =-==----=，

∴对0,()0x h x ?>≥恒成立，即2(2)10x e x e x ----≥，

综上可得：21

2ln (2)x

e x x e x x

+

≥-++-成立. 类型二 “拆分法”构造两函数证明不等式 【例2】设函数()1

f x x x

=-

，()ln g x t x =，其中()0,1x ∈，t 为正实数. （1）若()f x 的图象总在函数()g x 的图象的下方，求实数t 的取值范围；

（2）设()()()22

1ln 1e 11x H x x x x x ??=-++--

???

，证明：对任意()0,1x ∈，都有()0H x >.

【解析】（1）因为函数()f x 的图象恒在()g x 的图象的下方， 所以()()1

ln 0f x g x x t x x

-=-

-<在区间0,1上恒成立.

设()1

ln F x x t x x

=-

-，其中()0,1x ∈， 所以()222

11

1t x tx F x x x x

-+'=+-=，其中24t ?=-，0t >. ①当240t -，即02t <时，()0F x '，

所以函数()F x 在0,1上单调递增，()()10F x F <=， 故

()()0f x g x -<成立，满足题意.

②当240t ->，即2t >时，设()()2

101x x tx x θ=-+<<， 则()x θ图象的对称轴12

t

x =

>，()01θ=，()120t θ=-<， 所以()x θ在0,1上存在唯一实根，设为1x ，则()1,1x x ∈，()0x θ<，()0F x '<， 所以()F x 在()1,1x 上单调递减，此时()()10F x F >=，不合题意. 综上可得，实数t 的取值范围是(]

0,2.

（2）证明：由题意得()()2

1e ln 1e 1x

x H x x x x ??=---+ ???()()21e 1e ln x x x x x x x

--+=-， 因为当()0,1x ∈时，e 10x x x -+>，ln 0x <， 所以()()()2

1e 10e ln x x

x x x H x x x

--+>?>

2e 1

e 1ln x x x x x x x

-?<

-+. 令()()e 101x

h x x x =--<<，则()e 10x

h x '=->，

所以()h x 在0,1上单调递增，()()00h x h >=，即e 1x x >+，

所以()2

e 1111x

x x x x x x -+>+-+=+，从而2e e e 11

x x

x x x x <

-++. 由（1）知当2t =时，12ln 0x x x --<在()0,1x ∈上恒成立，整理得21

2ln x x x

->.

令()()2e 011

x

m x x x =<<+，则要证()0H x >，只需证()2m x <.

因为()()

()

2

2

2

e 101x x m x x

-'=

>+，所以()m x 在0,1上单调递增，

所以()()e

122

m x m <=

<，即()2m x <在0,1上恒成立. 综上可得，对任意()0,1x ∈，都有()0H x >成立.

当所要证明的不等式由几个基本初等函数通过相乘以及相加的形式组成时，如果对其直接求导，得到的导函数往往给人一种“扑朔迷离”“不知所措”的感觉．这时可以将原不等式合理拆分为()()f x g x ≤的形式，进而证明()()max min f x g x ≤即可，此时注意配合使用导数工具．在拆分的过程中，一定要注意合理性的把握，一般以能利用导数进行最值分析为拆分标准．

例题：已知函数2

2

()1ln ()f x x a x ax a R =-+-∈. （1）讨论()f x 的单调区间； （2）当0a =且(0,1)x ∈，求证：

()1

1x f x x e x

+-<. 【解析】（1）函数()f x 定义域为(0,)+∞，

2

1()2f x a x a x '=-+-2221(21)(1)a x ax ax ax x x

--+-==

. ①若0a =时，则()0f x <，()f x 在(0,)+∞上单调递减；

②若0a >时，1102a a >>-，令1

()02f x x a >?<-或1x a

>. 又0x >，

()f x ∴在10,a ?? ???上单调递减，在1,a ??

+∞ ???

上单调递增；

③若0a <时，11

02a a

-

>>，

令1()0f x x a

>?<或12x a >-.

又0x >，

()f x ∴在10,2a ??- ???上单调递减，在1,2a ??

-+∞ ???

上单调递增；

（2）要证

()11x f x x e x +-<，只需证1ln 11x x x e x

-+-<， (0,1)x ∈，只需证()

2(1ln )1x x x x x e -<+-，

设()(1ln )g x x x =-，(

)2

()1x

h x x x

e

=+-，

()ln 0g x x '=->在(0,1)x ∈上恒成立，

所以()g x 在(0,1)上单调递增. 所以()(1)1g x g <=，

()2()2(2)(1)0x x h x x x e x x e '=--+=-+->，

所以()h x 在(0,1)上单调递增， 所以()(0)1h x h >=，

所以当(0,1)x ∈时，()()g x h x <， 即原不等式成立.

类型三 “换元法”构造函数证明不等式

【例3】已知函数()()1x

f x e a x =--有两个零点.

（1）求实数a 的取值范围；

（2）设1x 、2x 是()f x 的两个零点，证明：1212x x x x <+?. 【解析】（1）函数()()1x

f x e a x =--，

所以()x

f x e a '=-，

当0a ≤时，()0f x '>在R 上恒成立，所以()f x 在R 上单调递增，

()f x 至多只有一个零点，不符合题意，

当0a >时，由()0f x '=得ln x a =，

所以(),ln x a ∈-∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，

()ln ,x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，

所以ln x a =时()f x 取得极小值，也是最小值，

()f x 要有两个零点，则()ln 0f a <，

即()2ln 0a a -<，解得2a e >， 所以ln 2a >，

当1ln x a =<时，得()10f e =>，

当2ln ln x a a =>时，()()2

2ln 2ln 2ln 1f a a a a a a a a =-+=-+，

设()2ln 1a a a ?=-+，则()2210a a a a

?-'=-=> 所以()a ?单调递增，则()()2

2

140a e

e

??>=+->，

所以()()2ln 2ln 10f a a a a =-+>，

所以()f x 在区间()1,ln a 上有且只有一个零点，在()ln ,2ln a a 上有且只有一个零点，

所以满足()f x 有两个零点的a 的取值范围为2

()e +∞.

（2）1x 、2x 是()f x 的两个零点，则()()120f x f x ==， 要证1212x x x x <+?，即证()()12111x x --<， 根据()()120f x f x ==， 可知()111x

e a x =-，()2

21x e

a x =-，

即证()()12

122

111x x e x x a

+--=<， 即证122x x e a +<，即证122ln x x a +<， 即证212ln x a x <-， 设1ln x a <，2ln x a >，

由（1）知()f x 在()ln ,a +∞上单调递增， 故只需证明()()212ln f x f a x <-，

而()()21f x f x =，所以只需证()()112ln f x f a x <- 令()()()2ln g x f a x f x =--，且ln x a <

所以()2

22ln x x a g x e ax a a e =-+-，ln x a <，

()22222x x x

x x

a a e ae g x e a e e

+-'=--+=- ()

2

0x x

e a e

-=-

<

所以()g x 在(),ln a -∞上单调递减，

所以()()()()ln 2ln ln ln 0g x g a f a a f a >=--=， 所以()()2ln f a x f x ->在(),ln a -∞上恒成立， 所以()()112ln f a x f x ->， 故原命题得证.

若两个变元x 1，x 2之间联系“亲密”，我们可以通过计算、化简，将所证明的不等式整体转化为关于m(x 1，x 2)的表达式(其中m(x 1，x 2)为x 1，x 2组合成的表达式)，进而使用换元令m(x 1，x 2)＝t ，使所要证明的不等式转化为关于t 的表达式，进而用导数法进行证明，因此，换元的本质是消元．

例题：已知函数2

()2ln f x x x x =++.

（1）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程.

（2）若正实数12,x x 满足12()()4f x f x +=，求证：122x x +≥. 【解析】（1）2

(1)2ln111=2f =++，切点为(1,2).

2

()21f x x x

'=

++，(1)5k f '==.

切线为：25(1)y x -=-，即530x y --=.

（2）22

12111222()()2ln 2ln 4f x f x x x x x x x +=+++++=

221112222ln 2ln 4x x x x x x +++++=. 212121212()()42(ln )x x x x x x x x +++=+-

令12x x t =， ()ln g t t t =-，0t >，

11

()1t g t t t

-'=-=，

(0,1)t ∈，()0g t '<，()g t 为减函数，

(1,)t ∈+∞，()0g t '>，()g t 为增函数，

min ()(1)1g t g ==，所以()1g t ≥.

即2

1212()()426x x x x +++≥+=.

得：1212(3)(2)0x x x x +++-≥， 得到1220x x +-≥，即：122x x +≥. 类型四 “转化法”构造函数证明不等式 【例4】已知函数． （1）讨论的单调性；

（2）若存在两个极值点，证明：

．

【解析】（1）的定义域为，.

（i ）若，则，当且仅当，时，所以在单调递减.

（ii ）若，令得，

1

()ln f x x a x x

=

-+()f x ()f x 12,x x ()()

1212

2f x f x a x x -<--()f x ()0,+∞()222

11

1a x ax f x x x x -+=--+-'=2a ≤()0f x '≤2a =1x =()0f x '=()f x ()0,+∞2a >()0f x '=x =x =

当时，； 当时，.所以在单调递减，在单调递

增.

（2）由（1）知，存在两个极值点当且仅当.

由于的两个极值点满足，所以，不妨设，则.由于

， 所以

等价于

. 设函数，由（1）知，在单调递减，又，从而当时，.

所以，即.

在关于x 1，x 2的双变元问题中，若无法将所要证明的不等式整体转化为关于m(x 1，x 2)的表达式，则考虑将不等式转化为函数的单调性问题进行处理，进而实现消元的目的． 例题：已知函数，．

（Ⅰ）若在内单调递减，求实数的取值范围； （Ⅱ）若函数有两个极值点分别为，，证明：． 【解析】（I ）．

x ??

∈?+∞ ? ?????()0f x '

<22a a x ??

∈?

? ???

()0f x '>()f

x 0,,22a a ???++∞ ? ? ????

?22a a ?+ ???

()f x 2a >()f x 12,x x 210x ax -+=121x x =12x x <21x >()()121212212

121212

22ln ln ln ln 2ln 1

1221f x f x x x x x x a a a

x x x x x x x x x x ----=-

-+=-+=-+----()()1212

2f x f x a x x -<--222

1

2ln 0x x x -+<()1

2ln g x x x x

=

-+()g x ()0,+∞()10g =()1,x ∈+∞()0g x <22212ln 0x x x -+<()()1212

2f x f x a x x -<--()2

ln 2f x x x ax x =-+a ∈R ()f x ()0,∞+a ()f x 1x 2x 121

2x x a

+>()ln 24f x x ax +'=-

∴在内单调递减，

∴在内恒成立， 即在内恒成立． 令，则， ∴当时，，即在内为增函数； 当时，，即在内为减函数． ∴的最大值为，

∴

（Ⅱ）若函数有两个极值点分别为，， 则在内有两根，， 由（I ），知． 由，两式相减，得．

不妨设， ∴要证明，只需证明．

即证明

，亦即证明． 令函数

．

()f x ()0,∞+()ln 240f x x ax =+-≤()0,∞+ln 2

4x a x x ≥

+()0,∞+()ln 2x g x x x =

+()2

1ln x

g x x --'=10e x <<

()0g x '>()g x 10,e ??

???

1x e >

()0g x '<()g x 1,e ??

+∞ ???

()g x 1g e e ??

= ???

e

,4a ??∈+∞????

()f x 1x 2x ()ln 240f x x ax =+-='()0,∞+1x 2x e

04

a <<

112

2ln 240

ln 240x ax x ax +-=??

+-=?()1212ln ln 4x x a x x -=-120x x <<1212x x a

+>

()()121212142ln ln x x a x x a x x +<--()121212

2ln ln x x x x x x ->-+12112

2

21ln 1x x x x x x ??

- ???>+

∴，即函数在内单调递减． ∴时，有，∴

． 即不等式成立． 综上，得． 练习

1.已知，函数.

（1）是函数数的导函数，记，若在区间上为单调函

数，求实数a 的取值范围；

（2）设实数，求证：对任意实数，总有成立.

附：简单复合函数求导法则为.

【解析】（1）由已知得，记，则.

①若，，在定义域上单调递增，符合题意； ②若，令解得，自身单调递增， 要使导函数在区间上为单调函数， 则需，解得， 此时导函数在区间上为单调递减函数.

综合①②得使导函数在区间上为单调函数的的取值范围是

2

2

(1)'()0(1)

x h x x x --=≤+()h x (]0,1()0,1x ∈()()10h x h >=2(1)

ln 1

x x x ->+12112

2

21ln 1x x x x x x ??- ???>+1212x x a

+>a R ∈2

()x

f x e ax =+()f x '

()f x ()()g x f x '=()g x (,1]-∞0a >12,x x ()12x x ≠()()121222f x f x x x f ++??<

???

[()]()f ax b af ax b ''+=+()2x

f x e ax '=+()2x

g x e ax =+()2x

g x e a '=+0a ≥()0g x '>()g x 0a <()0g x '=()ln 2x a =-()g x '()g x (],1-∞()ln 21a -≥2

e

a ≤-

()g x (],1-∞()f x '(],1-∞a

.

（2）因为，不妨设，取为自变量构造函数，

，则其导数为 0a >在R 上单调递增

而且

， 所以， 即.

故关于的函数单调递增， 即证得. 2. 已知函数. （Ⅰ）求的极值；

（Ⅱ）若，，，求证：.

【解析】（Ⅰ）， 当时，恒成立，则在上单调递减，无极值； 当时，令，得；令，得， 则在上单调递减，在上单调递增，有极小值为，无极大值；

[),0,2e ??-∞-+∞

???

12x x ≠12x x <1x ()()()1212122f x f x x x F x f ++??=-

???()()11211222f x x x F x f '+??''=

- ???()121122x x f f x ?+?

??''=- ???????

()2x

f x e ax ∴'=+12211022x x x x

x +--=>()1212x x f f x +??

''>

???

()10F x '>1x ()1F x ()()120F x F x <=()()121222f x f x x x f ++??<

???

()ln f x ax x =-()f x 1a =-1b ≥()()x

g x f x be =+()0g x >()()1

0f x a x x

'=-

>0a ≤()0f x '<()f x ()0,∞+()f x 0a >()0f x '>1x a >

()0f x '<10x a

<<()f x 10,a ?? ???1,a ??

+∞ ???

()f x 1ln a +

（Ⅱ）当，时，，， 令，则， 所以在上单调递增.又，， 所以，使得，即，

所以函数在上单调递减，在上单调递增，

所以函数的最小值为， 又函数在上是单调减函数，所以，

又，， 故．

3.已知函数.

（1）若对恒成立，求实数的值；

（2）若存在不相等的实数，，满足，证明：. 【解析】（1）令， 则，

由题意，知对恒成立，等价.

当时，由知在上单调递增.

因为，所以不合题意； 当时，若，

则，若，则，

1a =-1b =()()ln 0x

g x e x x x =-->()1

1x

g x e x

'=-

-()()h x g x '=()2

1

0x

h x e x =+

>'()h x ()0,∞

+1302h ??

=<

???

()120h e =->01,12x ???∈

???

()000110x h x e x =--=0011x

e x =+()g x ()00,x ()0,x +∞()g x ()0

000000

1

ln 1ln x g x e x x x x x =--=

+--11ln y x x x

=

+--1,12??

???()011ln1110g x >+--=>1b ≥()()x

x

f x be f x e +≥+()0

g x >2

()1f x e x e =+--()f x ax e ≥-x ∈R a 1x 2x 12()()0f x f x +=122x x +<()()()(1)1x

g x f x ax e e a x =--=+--()1x

g x e a '=+-()0g x ≥x ∈R min ()0g x ≥1a ≤()0g x '≥()(1)1x

g x e a x =+--R 1

(1)(1)10g a e

-=

---<1a ≤1a >(,ln(1))x a ∈-∞-()0g x '<(ln(1),)x a ∈-+∞()0g x '>

所以，在单调递减，在上单调递增. 所以 记， 则.

易知在单调递增，在单调递减， 所以， 即.

而， 所以，解得. （2）因为， 所以. 因为，

所以

令，

则. 记，

则，所以在上单调递增.

又，由， 得，

所以，即.

4．已知函数，其中是自然对数的底数，

是函数的导数.

()g x (,ln(1))a -∞-(ln(1),)a -+∞min ()(ln(1))2(1)ln(1)0g x g a a a a =-=-+--≥()2(1)ln(1)(1)h a a a a a =-+-->()ln(1)h a a '=--()h a (1,2)(2,)+∞max ()(2)0h a h ==2(1)ln(1)0a a a -+--≤min ()2(1)ln(1)0g x a a a =-+--≥2(1)ln(1)0a a a -+--=2a =()()120f x f x +=12122(1)x

x

e e x x e +++=+121

2

2

122,

x x x x e e

e

x x ++≥≠12122

2x x x x e e e ++>12x x t +=2

2220t e t e +--<2()2220t

m t e t e =+--<2()10t m t e '

=+>()m t R (2)0m =22220t

e t e +--<()(2)m t m <2t <122x x +<()11

114x x e e ax a f x ++??=-+- ???

2.718e =???()()'g x f x =()f x

（1）若是上的单调函数，求的值； （2）当时，求证：若，且，则. 【解析】（1），，由题意恒成立，由于，所以，解得.

方法一：消元求导死算 （2），

令，，不妨设，，

令，

原题即证明当时，()2H t >，

()1711712882

88't t t t e e t e e H t t --????=---+- ? ????? ()()()()171288

t t t t t t t t

e e e e t e e e e ----=

+--+-- ()()()()711208216

t t t t t t t t e e e e t e e e e ----????=

+--+-+-≥??????，其中 ()()11'1022t t t t e e t e e --??--=+-≥????

，因为()02H =，所以当0t >时，()2H t >，得证.

5.已知函数()()2e 12e x x

f x a a x =+--.

（1）当0a <时，讨论()f x 的单调性；

（2）若()f x 有两个不同零点1x ，2x ，证明：1a >且120x x +<.

【解析】（1）()()()()

22e 12e 1e 12e 1x x x x

f x a a a '=+--=-+.

因为0a <，由()0f x '=得，0x =或1ln 2x a ??

=- ???

.

()g x R a 7

8

a

12x x ≠122x x +=-()()122f x f x +>()()1

112'1x x e e ax g x f x ++??=-- ?=??

()()

11

'1x x e e x g x a a ++=---()1

10x e

ax a G x +=---≥()10G -=()'10G -=1a =()1

1171488x x e

x e f x ++??=-- ???()11

1731484x x e e x ++??=-++ ???

1x t 120t t +=210t x =+>()1734

84t t

h e e t t ??=-+ ???()()()H t h t h t =+-1731

734844

84t

t t t e e t e e t --????=-++++

? ?????0t >

i ）1ln 02a ??

-< ???即12

a <-时，()f x 在1,ln 2a ????-∞- ? ?????单调递减，在1ln ,02a ????- ? ?????单调递

增，在()0,∞+单调递减；

ii ）1ln 02a ??

-= ???即12

a =-时，()f x 在(),-∞+∞单调递减；

iii ）1ln 02a ??

-> ?

??即102a -<<时，()f x 在(),0-∞单调递减，在10,ln 2a ????- ? ?????单调递增，在1ln ,2a ??

??-+∞ ? ?????

单调递减. （2）由（1）知，12

a <-

时，()f x 的极小值为111ln 1ln 10242f a a a ??????

-=--->> ? ? ???????， 1

02

a -<<时，()f x 的极小值为()0110f a =->>， 1

2

a =-时，()f x 在(),-∞+∞单调，

故0a <时，()f x 至多有一个零点.

当0a ≥时，易知()f x 在(),0-∞单调递减，在()0,∞+单调递增.

要使()f x 有两个零点，则()00f <，即120a a +-<，得1a >.

令()()()F x f x f x =--，（0x >），则()()()F x f x f x '''=+-()()

22e 12e 1x x

a a =+--

()()22e 12e 1x x a a --++--()()()2e e 1e e 2e e 20x x x x x x a ---=+++-++-≥，所以()F x 在

0x >时单调递增，()()00F x F >=，()()f x f x >-.

不妨设12x x <，则10x <，20x >，20x -<， ()()()122f x f x f x =>-. 由()f x 在(),0-∞单调递减得，12x x <-，即120x x +<. 6.已知函数()()sin ,ln f x x a x g x x m x =-=+. (1)求证:当1a ≤时,对任意()()0,,0x f x ∈+∞>恒成立; (2)求函数()g x 的极值;

(3)当1

2a =

时,若存在()12,0,x x ∈+∞且12x x ≠,满足()()()()1122f x g x f x g x +=+,求证:12249

x x m <.

【解析】(1)()()sin 1cos f x x a x f x a x '=-∴=-，

1cos 1x -≤≤,()1

1cos 0a f x a x '∴≤=-≥，, ()sin f x x a x =-在()0+∞，上为增函数,

所以当()0,x ∈+∞时,恒有()()00f x f >=成立; (2)由()()()ln ,10m x m

g x x m x g x x x x

+'=+∴=+

=> 当()00m g x '≥>，()g x 在()0+∞，

上为增函数,无极值 当()()0,00;0m x m g x x m g x ''<<<-<>->，，

()g x 在()0m -，上为减函数,在(),m -+∞上为增函数,

()x m x ∴=-，g 有极小值()ln m m m -+-,无极大值,

综上知:当()0m g x ≥，无极值,

当()0m g x <，有极小值()ln m m m -+-,无极大值. (3)当()11

sin 22

a f x x x =

=-，在()0+∞，

上为增函数, 由(2)知,当0m ≥,()g x 在()0+∞，

上为增函数, 这时,()()f x g x +在()0+∞，

上为增函数, 所以不可能存在()12,0,x x ∈+∞,

满足()()()()1122f x g x f x g x +=+且12x x ≠ 所以有0m <

现不防设()()()()1211220x x f x g x f x g x <<+=+，得:

11122211

2sin ln 2sin ln 22

x x m x x x m x -+=-+

()()()2121211

ln ln 2sin sin 2

m x x x x x x --=---①

1122sin sin x x x x -<-

()()212111

sin sin 22

x x x x -

->--② 由①②式可得:()()()2121211

ln ln 22

m x x x x x x -->--- 即()()21213

ln ln 02

m x x x x -->

-> 又1221ln ln ,ln ln 0x x x x <->

2121

302ln ln x x m x x -∴->

?>-③ 又要证

12249x x m <，即证2

1294

m x x > 120,0m x x <<<

即证m ->

所以由③式知,只需证明

:

2121

ln ln x x x x ->-

2

121

ln 1

x x

x x -> 设211x t x =

>,

只需证1ln t t

->即证

()ln 01t t ->> 令(

)()ln 1h t t t =

> 由(

)

()()2

101h t t h t '=

>>，在()1

+∞，上为增函数, ()()10h t h

∴>=21

21

ln ln x x x x -∴

>-,

所以由③知,0m ->>成立, 所以

1224

9

x x m <成立. 7. 已知函数. （1）求曲线

在点

处的切线方程；