高等代数复习题精选

第一章多项式自测题

一、填空题

1. 设()()g x f x ，则()f x 与()g x 的一个最大公因式为 ．

2. 1110()[]n n n n f x a x a x a x a P x --=++

++∈,若|()x f x ,则0a = ;若1()x f x =是的根,则012n a a a a +++

+= .

3.若((),())1f x f x x '=+,则 是()f x 的 重根.

4.44x -在有理数域,实数域,复数域上的标准分解式为 , , . 二、选择题(以下所涉及的多项式,都是数域P 上的多项式)

1.设()|(),()|(),()0,()()x f x x g x x g x f x ???≠且与不全为0,则下列命题为假的是( ).

A.()|(()()()())x u x f x v x g x ?+

B.deg(())min{deg (),deg(())}x f x g x ?≤（deg 意思为次数）

C.若存在(),()u x v x ,使()()()()(),u x f x v x g x x ?+=则((),())()f x g x x ?=

D.若|(),x a x ?-则()()0f a g a ==

2.若((),())1f x g x =,则以下命题为假的是( ).

A.23((),())1f x g x =

B.1))()(),((=+x g x f x f

C.()|()()g x f x h x 必有()|()g x h x

D. 以上都不对 3.下列命题为假的是( ).

A.在有理数域上存在任意次不可约多项式

B.在实数域上3次多项式一定可约

C.在复数域上次数大于0的多项式都可约

D.在实数域上不可约的多项式在复数域上没有重根 4.下列命题为真的是( ).

A.若2()()p x f x ,则()()p x f x 是二重因式

B.若()(),(),()p x f x f x f x '''是的公因式,则()p x 的根是()f x 的三重根

C.()f x 有重根(),()f x f x ''?有一次因式

D.若()f x 有重根,则()f x 有重因式,反之亦然

三、判断题

1.设(),(),()[]f x g x h x P x ∈,若()g x 不能整除()h x ,则()g x 不整除(()()

f x h x + ( ) 2.零多项式能被任意多项式所整除,也能整除任意多项式. ( ) 3. 若()()()(),f x

g x q x r x =+则((),())((),()).f x g x g x r x = ( ) 4.如果()p x 是数域P 上的不可约多项式,那么对于任意的,c P ∈且0,()c cp x ≠也是P 上的不可约多项式. ( )

5.若一个整系数多项式在有理数域上可约, 则它一定能分解两个次数较低的整系数多项式之积.

第二章行列式 自测题

一、填空题

1.六级行列式6ij a 中的项1332465125a a a a a 的符号为 .

2.设ij n a d =,则ij n ka = .

3.已知行列式20020

0021003

a x y

b 中元素a b 与的代数余子式分别为-6和8则

x y += .

4.如果方程组12312321231x x ax x ax x a ax x x a

?++=?

++=??++=?有唯一的解,那么a 满足的条件是 .

5.设11

1213

21

3111

21

222322321231

32332333

13,a a a a a a a a a d a a a a a a a a a ==则 . 二、选择题

1.设1

23

1

111

1

23212

212

33

33

3

23,22a a a a a b c b b b a a b c c c c a a b c -=-=-则( ). A.3 B.-3 C.6 D.-6

2.行列式a b c

d

e f g h

k

中,元素f 的代数余子式为( ). A.

d e g h B.d e g h C. -a b g h D. a b

g h

3.1

11

1

11

2

2

222233

33

3

3

36322,3a b c a b c a b c a b c a b c a b c ==则( ). A.2 B.

23 C.13 D.1

2

4.下列等式成立的是( ).

A.

1122

1212

1122

1

2

12

a c a c a a c c

b d b d b b d d ++=+

++

B.ij ij

n n

n n

a a ??-=-

C.ij ij

ij

ij

n n

n n

n n

a b a b ???+=+

D. 11

121321

22232122

2331113212

331331323311

12

13

222a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =--- 5.下列命题为真的是( ).

A.将行列式对换两列后,再将其中一列的倍数加到另一行上,行列式的值不变

B.若

ij

n n

a ?中ij a 的代数余子式为(,1,2,3,

,)ij A i j n =则

1122(1)ij

i k i k in kn n n

a a A a A a A k n ?=++

+≤≤

C.行列式为0的充分必要条件是其两列对应成比例

D.系数行列式不为0的线性方程组的有且仅有一解 三、判断题

1、奇数次对换改变排列的奇偶性。 （ ） ２、33?∈P A ，则A A 82-=-。 （ ）

第三章线性方程组自测题

一、填空题

1. 矩阵的行向量组的秩与 的秩相等，对矩阵施行 不改变矩阵

的秩，对矩阵施行初等行变换，将矩阵化为阶梯形矩阵后，阶梯形矩阵中的 即为矩阵的秩.

2.设线性方程组

??????

?=+++=+++=+++s

n sn s s n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112

222212*********,, （1） 的系数矩阵与增广矩阵分别为A 和A ，则（1）有解的充要条件是 ，（1）有无穷多个解的充要条件是 .

3. n s ij a A ?=)(，A 的行向量组线性相关的充要条件是秩)(A ，秩n A =)(时，齐次线性方程组0=AX 的解为 .

4. 设),,2,1)(,,,(21n i in i i i ==αααα，则n ααα,,,21 线性无关的充要条件是行列式ij a

n 维向量β都是n ααα,,,21 的线性组合的充要条件是向量组n ααα,,,21 .

5.设数域P 上的线性方程组

①??????

?=+++=+++=+++s

n sn s s n n n n b x x x x x a b x x x x x a b x x x x x a 22112222212111212111,,

所对应的齐次线性方程组（①的导出组）②的一个基础解系为r n -ηηη,21 ，，，①有一个特解为T 0，则①的两个解之 是②的解，②的与这个基础解系等价

的 向量组仍为②的基础解系，①的任意一个解r 都可以表为 .

二、选择题

1.

设

n

n i P s i P ∈=∈βα),,,2,1( ，若存在

s s i k k k s i P k αααβ+++==∈ 2211),,2,1(,使，则下列结论错误的是（ ）. A.β是向量组s ααα,,,21 的线性组合 B. β可以由s ααα,,,21 线性表示 C. 向量组β，s ααα,,,21 线性相关 D. 向量组s ααα,,,21 的秩小于s 2.设),1,,,2,1(>=∈s s i P n i α则下列命题为真的是（ ）.

A.如果有一个)1(s i j ≤≤α是整个向量s i i i αααααα,,,,,,,1121 +-的线性组合，则该向量组线性相关

B. 如果有一个向量)1(s i j ≤≤α是不是其余向量的线性组合，哪么该向量组线

性无关

C. 如果向量组s ααα,,,21 线性相关，那么其中有零向量

D. 如果21,αα成比例，则n ααα,,,21 线性相关

3.设),1,,,2,1(>=∈s s i P n i α下列命题为真的是（ ）.

A. 如果存在),2,1(,s i P x i =∈使得02211=+++s s x x x ααα ，那么向量组线性相关

B. 如果存在全为0的数s k k k ,,,21 使得02211=+++s s k k k ααα ，那么向量组s ααα,,,21 线性无关

C. 如果02211=+++s s x x x ααα 只有零解，那么向量组s ααα,,,21 线性无关

D. 如果线性无关，那它可能有一个部份组it i i ααα,,,21 线性相关 4.设向量组s ααα,,,21 的秩为r ，则下列命题为假的是（ ）. A.如果r ααα,,,21 线性无关，则它与s ααα,,,21 等价

B.如果每个向量)1(s i i ≤≤α都可以由向量组s ααα,,,21 的一个部份组

it i i ααα,,,21 线性表出，则r t =

C.如果向量组t βββ,,,21 的秩为r ，则t βββ,,,21 与s ααα,,,21 等价

D. 如果向量组t βββ,,,21 与s ααα,,,21 等价，则t βββ,,,21 的任何r 个线性无关的向量都是它的极大线性无关组 三、判断题

１、若矩阵A 的秩为r ，则矩阵A 中所有r 阶子式全部为零。 （ ） ２、含有零向量的向量组一定线性相关。 （ ）

３、向量组中若存在某一个向量是其余向量的线性组合，则该向量组一定线性相关 （ ）

４、若两个向量组具有相同的秩，则这两个向量组一定等价。 （ ）

第四章矩阵自测题

一、填空题

1.若矩阵A 的秩为2,则(2,3)(3,2(3))P AP -的秩为 .

2.设55()ij A a ?=,则|-2A|= .

3.若2(),20,ij n n A a A A E ?=--=可逆且则1A -= .

4.设(),()(,,ij s n kj n m A a B b s n m ??==互不相同)则,,,A B A B AB BA +-中有意义的是 .

5.设A 、B 、C 都是n 阶可逆矩阵,且2,AC B CB =则1C -= . 二、选择题

1.A 、B 为n 阶方阵，下列结论正确的是（ ） A.AB BA = B.,AB AC B C ==若则 C.()AB B A '''= D. 0,00AB A B ===若则或

2.若A 是3阶方阵,则12A A -'-=( ).

A.3

B.1

3

C.1

D.-8

3. ()ij n n A a ?=,*A A 是的伴随矩阵,则下列命题为假的是( )

A.若*(),()A n A n ==秩则秩

B.若*()1,()1A n A =-=秩则秩

C.若*()1,()1A n A <-=秩则秩

D. 若*()2,()0A n A =-=秩则秩 4.设,A B n 为阶方阵,且0AB =,则下列结论错误的是( )

A.()()A B n +≤秩秩

B.()()()A B A B +≤+秩秩秩

C.()()()A B A B -≤-秩秩秩

D.()0()0A B ==秩或秩

第五章二次型 自测题

一、填空题

1.二次型4232434143218228),,,(x x x x x x x x x x x x f +++=的矩阵为 .

2.两个二次型等价的充要条件是它们的矩阵 .

3.两个n 元复二次型等价的充要条件是 .

4.两个n 元实二次型等价的充要条件是 .

5.n 元正定二次型的正惯性指数为 . 二、选择题

1.下列说法错误的是（ ）. A.若两个矩阵合同，则它们必等价

B.若两个矩阵合同，则它的秩相等，反之亦然

C.用非退化线性替换将二次型化为标准形，实质上是将二次型的矩阵施行合同变换化为对角形

D.n 元正定二次型的矩阵与n 阶单位矩阵合同

2.下列说法正确的是（ ）.

A.可用非退化线性替换将任意n 元二次型化为标准型，且标准型是唯一的

B.合同变换可能改变矩阵的秩或对称性

C.任意n 阶方阵都正交相似于一个对角形矩阵

D.二次型的规范形是唯一的，实二次型的规范形由其秩与正惯性指数唯一确定

3.实二次型2

2

212122212121),(22),(x x x x g x x x x x x f +=++=与的矩阵关系为（ ）.

A.等价但不合同

B.合同

C.互逆

D.相等

4.设A 、B 为n 阶实对称矩阵，则下列命题为假的是（ ）. A.若A 正定，则A -1也正定

B.若A 、B 正定，则A +B 也正定

C.若0>A ，则A 正定

D.若A 的主子式都大于0，则A 正定