分式化简求值练习题带答案

分式的化简

一、比例的性质：

⑴比例的基本性质：a c

ad bc b d

=

?=，比例的两外项之积等于两内项之积. 知识点睛

中考要求

⑵更比性（交换比例的内项或外项）： ( ) ( ) ( )a b

c d a c d c

b d b a d b

c a ?=??

?=?=??

?=??

交换内项 交换外项 同时交换内外项

⑶反比性（把比例的前项、后项交换）：a c b d b d a c

=

?=

⑷合比性：a

c a b c

d b d b d ±±=

?=，推广：a c a kb c kd

b d b d

±±=?=

（k 为任意实数） ⑸等比性：如果....a c m b d n =

==，那么......a c m a b d n b

+++=+++（...0b d n +++≠） 二、基本运算

分式的乘法：a c a c

b d b d

??=

? 分式的除法：a c a d a d b d b c b c

?÷

=?=?

乘方：()n n

n n n a a a

a a a

a a

b b b

b b b

b b

?=?

=?个

个

n 个

＝(n 为正整数) 整数指数幂运算性质：

⑴m n m n a a a +?=(m 、n 为整数)

⑵()m n mn a a =(m 、n 为整数)

⑶()n n n ab a b =(n 为整数)

⑷m n m n a a a -÷=(0a ≠，m 、n 为整数)

负整指数幂：一般地，当n 是正整数时，1

n n a a

-=

(0a ≠)，即n a -(0a ≠)是n a 的倒数 分式的加减法法则：

同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，a b a b

c c c

+±=

异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式再加减，a c ad bc ad bc b d bd bd bd

±±

=±=

分式的混合运算的运算顺序：先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算．

结果以最简形式存在.

一、分式的化简求值

【例1】 先化简再求值：

2

11

1x x x

---，其中2x = 【考点】分式的化简求值

【难度】2星

【题型】解答

【关键词】2010年，湖南郴州

例题精讲

【解析】原式()()111x x x x x =

---()11

1x x x x

-==- 当2x =时，原式112x

==

【答案】12

【例2】 已知：22

21()111

a a a a a a a ---÷?-++，其中3a =

【考点】分式的化简求值

【难度】2星

【题型】解答

【关键词】

【解析】22

22

2

1(1)()4111(1)a a a a a a a a a ---+÷?=-=--++-

【答案】4-

【例3】 先化简，再求值：

22144

(1)1a a a a a

-+-÷

--，其中1a =- 【考点】分式的化简求值

【难度】2星

【题型】解答

【关键词】2010年，安徽省中考

【解析】()()222

1144211122a a a a a a a a a a a a --+-?

?-÷=?= ?----??

-

当1a =-时，原式11

2123a a -=

==---

【答案】1

3

【例4】 先化简，再求值：

22

91333x x x x x

??-? ?--+??其中1

3x =. 【考点】分式的化简求值

【难度】2星

【题型】解答

【关键词】2010年，湖南省长沙市中考试题

【解析】原式()()

()

331

3

3x x x x x +-=

?

-+ 当1

3

x =时，原式3=

【答案】3

【例5】 先化简，再求值：211(1)(2)11

x x x -

÷+-+-，其中x =.

【考点】分式的化简求值

【难度】2星

【题型】解答

【关键词】2010年，湖北省十堰市中考试题

【解析】原式()()()11

1121

x x x x x +-=

?+-+-+

当x =时，原式2

24=-=．

【答案】4

【例6】 先化简，后求值：22121

(1)24

x x x x -++÷

--，其中5x =-． 【考点】分式的化简求值

【难度】2星

【题型】解答

【关键词】2010年，广东省肇庆市中考试题

【解析】22121(1)24

x x x x -++÷

--=221

(1)2(2)(2)x x x x x -+-÷-+- =

2

1(2)(2)

2(1)x x x x x -+-?--

=

2

1

x x +-

当5-=x 时，原式21x x =

+-521

512

+-=-=-. 【答案】12

【例7】 先化简，再求值：53

2224

x x x x -??--

÷

?++?

?，其中3x =． 【考点】分式的化简求值

【难度】2星

【题型】解答

【关键词】2010年，湖北省武汉市中考试题

【解析】原式2453(3)(3)2(2)

22(2)22(3)3x x x x x x x x x x ---+-+=?=+++-=

÷+，当3x =时，原式

=。

【答案】

【例8】 先化简，再计算：231

124

a a a +??+

÷

?--??，其中3a =-． 【考点】分式的化简求值

【难度】2星

【题型】解答

【关键词】2010年，湖南省岳阳市中考试题

【解析】原式()()222

3221a a a a a a +--??=+? ?--+??

【答案】2a +

【例9】 当1

2x =-时，求代数式2222

6124111x x x x x x x x ??++-+-+÷ ?--+??

的值 【考点】分式的化简求值

【难度】3星

【题型】解答

【关键词】

【解析】原式2224(1)1

(1)(1)2413x x x x x x x x x x -++=

?==+--+-

【答案】13

【例10】 先化简分式22

222936931

a a a a a a a a a ---÷-

+-+-，然后在0，1，2，3中选一个你认为合适的a 值，代入求值．

【考点】分式的化简求值

【难度】2星

【题型】解答

【关键词】2010年，广东省深圳市中考试题

【解析】原式()()()

()2

2

3332313a a a a a a a a a a a a +-+-=?-=+=--+

当0123a =，，

，时，原式0246=，，， 【答案】0，2，4，6

【例11】 先化简：2222

2a b ab b a a ab a

??

-+÷+ ?-??

，当1b =-时，再从22a -<<的范围内选取一个合适的整数a 代入求值．

【考点】分式的化简求值

【难度】2星

【题型】解答

【关键词】2010年，贵州省贵阳市中考试题

【解析】原式()()()()22

221

a b a b a ab b a b a a a b a

a a b

a b +-+++=

÷=

?=-++

在22a -<<中，a 可取的整数为101-，，，而当1b =-时，

①若1a =-，分式22

2a b a ab

--无意义；

②若0a =，分式2

2ab b a

+无意义；

③若1a =，分式

1

a b

+无意义． 所以a 在规定的范围内取整数，原式均无意义（或所求值不存在）

【答案】a 在规定的范围内取整数，原式均无意义（或所求值不存在）

【例12】 已知212242

x

A B C x x x =

==

--+，，将它们组合成()A B C -÷或A B C -÷的形式，请你从中任选一种进行计算，先化简，再求值其中3=x ．

【考点】分式的化简求值

【难度】3星

【题型】解答

【关键词】2010年，河南省中考试题 【解析】选一：()()()21221

242222x x x A B C x x x x x x x +??-÷=-÷

=?=

?--++--??

当3x =时，原式1

132

=

=- 选二：()212121

24222x A B C x x x x x x x

-÷=

-÷=-=--+--， 当3x =时，原式13

=

【答案】选一：当3x =时，原式1

132

=

=-

选二：当3x =时，原式13

=

【例13】 先化简，再求值:

2

24125(2)2[2()](34)(2)a a a a a a a a

+++÷--÷-+，其中4a =

【考点】分式的化简求值

【难度】3星

【题型】解答

【关键词】

【解析】原式222

4(3)5(2)(2)[2](34)(2)a a a a a a a a +++=÷--÷-+4(3)(2)(2)5

(34)(2)2

a a a a a a +-+-=÷-++ 当4a =时，原式441

(34)(3)(344)(43)2

a a =

==--?--

本题含分式乘方、加、减、乘、除混合运算；与分式四则混合运算类似，分式的四则混合运算

的顺序是:先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算．

【答案】12

【例14】 已知20102009x y ==，，求代数式22xy y x y

x x x ??--- ???

÷的值． 【考点】分式的化简求值

【难度】2星

【题型】解答

【关键词】2010年，顺义一模试题

【解析】22xy y x y

x x x ??--- ???

÷ 当2010x =，2009y =时，原式=201020091x y -=-=．

【答案】1

【例15】 已知22a b =+=-a

b b a

-的值． 【考点】分式的化简求值

【难度】2星

【题型】解答

【关键词】2010年，湖北荆门市中考试题

【解析】∵22a b == ∴

4a b +=，a b -=1ab =

而a b b a

-22()()

a b a b a b ab ab -+-=

=

∴a

b b a -=

()()a b a b ab

+-=

=

【答案】

【例16】 先化简，再求值：

()()

x y

y x y x x y -

++，其中11x y =，． 【考点】分式的化简求值

【难度】2星

【题型】解答

【关键词】2010年，湖南湘潭市中考试题

【解析】原式()()

22

x y xy x y xy x y =-++

当11x y ==，

时， 【答案】2

【例17】 化简，再求值：1

1

-a b b a ??

+ ?+??

ab

a b ÷+.其中1a ,b . 【考点】分式的化简求值

【难度】3星

【题型】解答

【关键词】2010年，黄石市中考试题

【解析】原式()()()()()2

b a a b a b a b b a ab a b b ++-+=

?=

-+-

∵1a b ==，

∴原式1b ==，

∴

=

【例18】 先化简，再求值：22

112b

a b a b a ab b

??

-÷ ?-+-+??，其中11a b ==-【考点】分式的化简求值

【难度】3星

【题型】解答

【关键词】2010年，宣武一模试题

【解析】原式()()()()

()

()2

2a b a b a b a b a b a b b a b

+----=

?=

-++

当11a b ====

【答案】

【例19】 先化简，再求值：222

11x y

x y x y x y ??+÷ ?-+-??

，其中11x y =， 【考点】分式的化简求值

【难度】3星

【题型】解答

【关键词】2010年，广西桂林中考试题

【解析】原式2222222

x y x y x y

x y

x y x y ??+-=+÷ ?---??

当11x y =+=-，

原式2

2

1

31

xy

=

==

=-

【答案】1

【例20】 求代数式()()2

2

2

22222222a b c a b c ab ac a a ab ab a b a b -----+?÷-++-的值，其中1a =，12b =-，2

3

c =-

【考点】分式的化简求值

【难度】3星

【题型】解答

【关键词】

【解析】()()22

2

2222222

2a b c

a b c ab ac a a ab ab a b a b -----+?÷

-++-

()()()()()

()()()()2

a b c a a b c a b c a b a b a a b a b c a b c a b -+-+--+-=

??-+--++a b c

a b --=+． ∴当1a =，12b =-，23c =-时，原式12

123112

+

+

=

-1313263=?=． 【答案】

133

二、条件等式化简求值

1. 直接换元求值

【例21】 已知：2

2

44a b ab +=（0ab ≠），求2222

5369a b a b b

a b a ab b a b

--÷-++++的值． 【考点】分式的化简求值

【难度】3星

【题型】解答

【关键词】2010年，石景山二模 【解析】由2244a b ab +=得2b a =

原式2a b

a b

-=

+

当2b a =时，

原式42a a

a a

-=

+1=- 【答案】1-

【例22】 已知x y z ，，满足2

35x y z z x =

=

-+，则52x y

y z

-+的值为（） A.1B.1

3C.13- D.12

【考点】分式的化简求值

【难度】4星

【题型】选择

【关键词】2007年，全国初中数学联赛试题

【解析】B ；由235x

y z z x =

=-+得3

32

y x z x ==，，

∴

55312333

x y x x y z x x --==++ 【答案】13

【例23】 已知：3

4

x y =，求2222222x y xy y x xy y x xy -+÷-+-的值

【考点】分式的化简求值【难度】3星

【题型】解答

【关键词】

【解析】

222

2222

()()()3 2()()4 x y xy y x y x y y x y x

x xy y x xy x y x x y y -++-+

÷=÷== -+---

【答案】3

4

【例24】已知：220

x-=，求代数式

22

2

(1)

11

x x

x x

-

+

-+

的值．

【考点】分式的化简求值

【难度】2星

【题型】解答

【关键词】2010年，丰台一模

【解析】原式=

22 (1)

1)(1)1 x x x x x

-

+

+-+

（

=

2

1

11 x x x x

-

+

++

=

21

1

x x

x

+-

+

．

∵220x -=，∴22x =．

∴原式=

211

111

x x x x +-+==++．

【答案】1

【例25】 已知1

2

=x y ，求2222222-?+

-++-x x y y x xy y x y x y 的值． 【考点】分式的化简求值

【难度】2星

【题型】解答

【关键词】2010年，海淀一模

【解析】y x y y x y x y xy x x

-++-?+-222222

2 2()()

x y x y +=

-． 当

2

1

=y x 时，x y 2=. 原式2(2)

6(2)

x x x x +=

=--. 【答案】6-

【例26】 已知221547280x xy y -+=，求

x

y

的值.

【考点】分式的化简求值

【难度】3星

【题型】解答

【关键词】

【解析】221547280x xy y -+=，∴(37)(54)0x y x y ++=，∴370x y +=或540x y +=，

由题意可知:0y ≠，73x y =-或45

x y =-.

【答案】45

-

【例27】 已知22690x xy y -+=，求代数式

22

35(2)4x y

x y x y +?+-的值. 【考点】分式的化简求值

【难度】3星

【题型】解答

【关键词】2010年，海淀二模 【解析】22690x xy y -+=，2(3)0x y -=．

∴3x y =．