4.1三角函数的概念与基本公式

第四章 三角函数

知识结构网络

4.1 三角函数的概念与基本公式

——三角函数阐述了自然界中奇妙有趣的数量关系，是非常有用，而且益智的数学知识

一、明确复习目标

1.熟悉任意角的概念、弧度制与角度制的互化、弧度制下的有关公式;

2.掌握任意角的三角函数概念、符号、同角三角函数公式和诱导公式;

二．建构知识网络

1． 角的定义：一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。 角按其旋转方向可分为：正角，零角，负角。

2.角在直角坐标系中的表示：角的顶点在原点，始边在x 轴的非负半轴上. (1) 象限角:角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。

(2) 象间角:角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象间角。 (3) 与α角终边相同的角的集合：{β|β=k360°+α,k∈Z}

终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍。

(4) 正确理解：“ 90~0间的角” “第一象限的角”，“锐角”，“小于 90的角”，这四种角的集合分别表示为：

00{|090}θθ≤<{}Z k k k ∈+?<

{}

900

<<θθ， {}

90<θθ。

3．弧度制: 规定

(1)等于半径长的弧所对的圆心角叫做一弧度的角,作为弧度制的单位; (2) 任一已知角α的弧度数的绝对值r

l =α。

(3) 正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零。

这种以“弧度”作为单位来度量角的制度叫做弧度制。 比值l/r 与所取圆的半径大小无关，而仅与角的大小有关。 4．弧度与角度的换算：1800=π（弧度），1弧度=（180/π）0≈57018＇。

5．弧长公式:r l ?=α; 扇形的面积公式： 22

1

21r lr S ?==α扇形。

6. 任意角三角函数的定义:在角α的终边上任意一点P （x ，y ）与原点的距离是r （r =22y x +＞0）

，

三角函三

角综合运用

差倍角公式

弦定理角函数图象和性质

导公式角三角函数三角

则sin α=

r y ，cos α=r x

，tan α=x

y .

三角函数两件事:一是符号,二是比值,且比值与P 上在终边上的位置无关. 7.同角三角函数关系式: sin 2α+cos 2α=1（平方关系）；

α

α

cos sin =tan α（商数关系）；tan αcot α=1（倒数关系）. 8.诱导公式

α+2k π（k ∈Z ）、－α、π±α、2π－α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.——函数名不变，符号看象限。

另外：sin （

2π－α）=cos α，cos （2

π

－α）=sin α.——函数名改变。 三、双基题目练练手

1.已知sin

2α

=

53，cos 2

α =－54

，那么α的终边在 （ ）

A.第一象限

B.第三或第四象限

C.第三象限

D.第四象限

2. (2005全国Ⅲ)设02x π≤≤,sin cos x x =-,则 （ ） A. 0x π≤≤ B.

74

4x π

π≤≤

C. 544x ππ≤≤

D. 322

x ππ≤≤ 3. 角α的终边过点P （－8m ，－6cos60°）且cos α=－5

4

，则m 的值是（ ） A.

2

1

B.－

2

1

C.－23

D.23

4. 已知cos α=31，且－2

π＜α＜0，则ααααtan cos π2sin πcot ?-+?--）（）

（）（=_________.

5. 已知sin β=31

，sin （α+β）=1，则sin （2α+β）=_________.

6. 已知sin θ=a

a +-11，cos θ=a a +-11

3，若θ是第二象限角，则实数a =______

简答:1-3.DCA; 4.

42; 5. 31

; 6. 19

.

1.结合三角函数线知

3322,442422

k k k k παπππππαππ+

<<++<<+α在第四象限. 答案：D 法2: sin α=－

2524＜0，cos α= 25

7

＞0，∴α终边在第四象限. 3. cos α=

9

6482+-m m =－

54.∴m =21或m =－2

1

（舍去）答案：A 4.从cos α=3

1

中可推知sin α、cot α的值，再用诱导公式即可求之.

5. ∵sin （α+β）=1，∴α+β=2k π+

2

π

. ∴sin （2α+β）=sin ［2（α+β）－β］=sin β=3

1

.

6.依题意得???

?

?

?

???=+-++-<+-<-<+-<.11131101131111022）（）（，

，a a a a a a a a

解得a =91或a =1（舍去）. 四、经典例题做一做

【例1】已知α是第二象限的角

（1） 指出α／2所在的象限，并用图象表示其变化范围； （2） 若α还满足条件|α+2|≤4，求α的取值区间;

（3） 若

2

π

αβπ<<<,求α－β的范围.

解：依题意，2kπ+π/2＜α＜2kπ+π（k ∈Z ） （1） 所以kπ+π/4＜α/2＜kπ+π/2（k ∈Z ），若k 为偶数，

则α/2

是第一象限的角；若k 为奇数，则α/2是第三象限的角；

其变化范围如图中的阴影部分所示（不含边界） （2） 因为|α+2|≤4，所以－6≤α≤2， 即α∈（2kπ+π/2，2kπ+π）∩[－6，2]，

结合数轴可知，α∈（－3π/2，－π）∪（π/2，2]。 (3)

,,2

2

2

2

π

π

π

π

αππβαβ<<-<-<-

∴-

<-<

又,02

π

αβαβ<∴-

<-<

◆提炼方法: 理解象限角、终边相同的角、区间角的概念，掌握α角的取值范围与2α、α/2角的取值

范围间的相互关系。

【例2】化简（1）

())

cos(])1sin[(])1cos[(sin απαπαπαπ+?++--?-k k k k （Z k ∈） （2）α

αα

α4

266sin sin cos sin 1---; (3) 若sin α·cos α＜0，sin α·tan α＜0，化简

2

sin

12sin

1α

α+-+2

sin

12sin 1α

α-+.

解：（1）当k 为偶数时，原式=

α

αααcos sin )

cos (sin --?-=－1；当k 为奇数时同理可得，原式=－1，故当Z

k ∈时，原式=-1。

（2）原式=

()(

)(

)

α

αααα

ααα22222

2222sin 1sin ]

cos sin 3cos sin [cos sin 1-?-++-=3

(3)由所给条件知α是第二象限角，则

2

α

是第一或第三象限角.

原式=

2

sin 12sin

12

sin

12

α

α

α

-++-=

|

2

cos |2

α

=???

????-.

22sec 222sec 2是第三象限角）（是第一象限角），（αααα

◆关键点注:（1）分清k 的奇偶，决定函数值符号是关键；

（2）平方式降次是化简的重要手段之一。

【例3】（1）确定lg （cos6－sin6）的符号；

（2）若α

α

2cos 1sin -+ααcos sin 12-=0，判断cos （sin α）?sin （cos α）的符号。

解：（1）∵6是第四象限的角，∴cos6＞0，sin6＜0，故cos6－sin6＞0；

∵（cos6－sin6）2=1-2sin6cos6＞1，∴cos6－sin6＞1，∴lg （cos6－sin6）＞0 （2）由题意可得

α

αααcos |

cos ||sin |sin +=0，∴sin α?cos α＜0，故α在第二或第四象限。

① 若α在第二象限，则0＜sin α＜1，-1＜cos α＜0，∴cos （sin α）＞0， sin （cos α）＜0；∴原式＜0。

② 若α在第四象限，则-1＜sin α＜0，0＜cos α＜1，∴cos （sin α）＞0， sin （cos α）＞0；∴原式＞0。

◆思路方法:判断角所在的象限是解决此类问题的关键。对于用弧度制表示的角不好判定所在象限时，可转化成角度来表示。

【例4】时钟上自7点整到分针与 时针第一次重合,求分针转过的弧度数.如果分针长11cm,求分针转过扇形的面积.

解:设分针转过的弧度数的绝对值为x,则时针转过的角的弧度数的绝对值为76

x π

-,由分针、时针转过的时间相等得：

30360

7()6

x

x πππ=-

（分钟）14

11x π?=。

分针转过扇形的面积 2

221114||1177()2211

S x r cm ππ=?=?

?= 答：分针转过14

11

π-，转过扇形的面积为77πcm 2.

【研讨.欣赏】证明：(1)

()α

α

ααααααcos 1sin sin 1cos cos sin 1sin cos 2+-+=++-

(2) 若sin α=msin β,tan α=ntan β,且α,β为锐角,

则cos α=证明(1)法一：右边=()()22cos cos sin sin 1sin 1cos αααα

αα+--++

()()()()

cos sin 1sin cos 1sin 1cos αααααα-++=

++

()()

()

2cos sin 1sin cos 21sin cos sin cos αααααααα-++=

+++

()()

222cos sin 1sin cos 1sin cos 2sin 2cos 2sin cos αααααααααα

-++=+++++ ()()

()

=++++-=

2

cos sin 1cos sin 1sin cos 2αααααα左边

法二：要证等式即证()2cos sin cos sin 1sin cos 1sin 1cos αααα

αααα

-=-++++

()()()()

cos sin 1sin cos 1sin 1cos αααααα-++=

++ 只需证()()()2

cos sin 1cos 1sin 12αααα++=++ 即证

2

2

22sin 2cos 2sin cos 1sin cos 2sin 2cos 2sin cos αααα

αααααα

+++=+++++

即αα2

2

cos sin 1+=显然成立,所以原等式成立。 (2)(注意结论,应消去β)

由tan tan sin cos cos sin m n αβαβαβ==得 ① 由sin α=msin β ② 得sin sin m

α

β=

,代入①得ncos α=mcos β与②平方相加得(n 2-1)cos 2α=m 2-1. ∵α是锐角,

∴cos α=

◆思维点拨：１．证等式常用方法：从一边推另一边；化繁为简；左右归一；变形论证；综合法；比较

法等.

２．常用变形技巧：切割化弦，化异为同，凑分母，“１”的代换．

五．提炼总结以为师

1.任意角、弧度制、与角度制的互化，弧长、扇形面积公式；任意角的三角函数概念.

2.在已知一个角的三角函数值，求这个角的其他三角函数值时，要注意题设中角的范围，并就不同的象限正确确定三角函数值的符号,求出相应的值.

3.弦切互化、三角代换、消元是三角变换的重要方法，要注意公式的变形使用，要尽量减少开方运算，慎重确定符号.,并注意“1”的灵活代换:

如1=sin 2α+cos 2α=sec 2α－tan 2α=csc 2α－cot 2α=tan α·cot α.

4.应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断，一般常用“奇变偶不变，符号看象限”的口诀.

5.θθcos sin +，θθcos sin ，θθcos sin -三个式子中，已知其中一个式子的值，求出其余两个式子的值。

同步练习

4.1 三角函数的概念与基本公式

【选择题】

1.（2004. 辽宁卷）若θθθ则角且,02sin ,0cos <>的终边所在象限是( ) A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

2.（2005山东）函数?????≥<<-π=-0

,0

1),sin()(12

x e x x x f x ，若2)()1(=+a f f ，则a 的所有可能值为

（ ）

（A ）1 （B ）22,1-

（C ）22- （D ）2

2,1 3.设α、β是第二象限的角，且sin α＜sin β，则下列不等式能成立的是 ( )

A.cos α＜cos β

B.tan α＜tan β

C.cot α＞cot β

D.sec α＜sec β

【填空题】

4.化简8sin 1-=_________.

5.已知sin α+cos α=5

1

，那么角α是第_______象限的角. 6.已知扇形的周长为20，当扇形的半径r=_____时，扇形的面积最大，面积的最大值等于________；

练习简答：1-3.DBA;

3.A 与D 互斥，B 与C 等价，则只要判断A 与D 对错即可.利用单位圆或特殊值法，易知选A.

4.8sin 1-=2

4cos 4sin ）（-=|sin4－cos4|=sin4－cos4.

5.两边平方得1+2sin αcos α=

251，∴sin αcos α=－25

12

＜0.∴α是第二或第四象限角. 6.当5=r 时面积最大，最大值为25

【解答题】 7.已知3

4π

βαπ<

+<，3πβαπ-<-<-，求βα-2的范围。

解：设2α-β=A （α+β）+B （α-β），（A ，B 为待定系数），则2α-β=（A+B ）α+（A-B ）β。比较两边的系数得A=

21，B=23；∴2α-β=21（α+β）+2

3

（α-β），从而可求得－π＜2α－β＜π／6。

思维点拨:解决此类问题要用待定系数法，千万不能先由条件得出α、β的范围，再求2α－β的范围比实

际范围要大。

8.已知2tan =α，求

（1）ααααcos 3sin 5cos 2sin 4+-的值；

（2）2cos sin 3sin 52-+ααα的值。

解：（1）法一：由已知sin α=2cos α，∴原式=

13

6； 法二：∵2tan =α，∴cos α≠0，∴原式=3tan 52tan 4+-αα=13

6

。

（2）2cos sin 3sin 52

-+ααα=α

ααααα2222cos sin cos 2cos sin 3sin 3+-+=

1

tan 2tan 3tan 32

2+-+ααα=516

提炼方法：关于ααcos ,sin 的齐次式的一般处理方法。

９.(1)已知()πθθθ,0,5

1

cos sin ∈=+，求θcot 的值。 （2）()z n n n ∈??

?

??-++???

??--απαπ414cos 414sin 化简

解：(1)由已知51cos sin =

+θθ得25

12

cos sin -=θθ，所以θθcos ,sin 是方程 02512512=--x x 的两根，5

3,5421-==x x

而()4

3

cot ,53cos ,54sin ,,0-=∴-==∴∈θθθπθ

思维点拨：常用关系t =+θθcos sin ，则2

1

cos sin 2-=t θθ在解题中的作用。

(2)原式=???

??

???? ??-++?????????

??+-αππαππ4cos 4sin n n 当n 为奇数时，设()z k k n ∈+=12，

则原式=???

??

???? ??-+++?????????

??+-+απππαπππ42cos 42sin k k =04cos 4cos 4cos 4sin =??

?

??--??? ??-=??? ??--???

??+απαπαπαπ。 当n 为偶数时，设()z k k n ∈=2，同理可得原式=0。 1０. 求证：

α

αα

αααααsin tan sin tan sin tan sin tan +=-

证明：左边=α

α

ααααcos 1sin cos sin sin sin 2-=-

右边=

()()()αα

ααααααα

αααcos 1sin cos 1sin cos 1cos 1sin cos 1sin cos sin sin 2-=

--+=+=+ 所以原等式成立

１１．（1）已知())(5

cos N n n n f ∈=π

，求(1)(2)(2004)f f f +++ 的值。 （2）已知θ∈(0,π),且sinθ,cosθ是关于x 的方程 5x 2-x+m=0的根,求sin 3θ+cos 3θ和tanθ的值.

解：（1）条件中的

5

π

n 表示10条不同终边的角，这10条终边分成5组，每组互为反向延长线，余弦值的和为零.

∴f （1）+f （2）+…+f （2004）

= f （1）+f （2）+…+f （4）+f(5)+f(6)+ … f(2004) =f(1)+f(2)+f(3)+f(4)

234cos

cos

cos cos

5555

22cos cos cos cos 0

5555π

πππππππ=+++=+--=

（2）由韦达定理得:1sin cos 5

sin cos 5m θθθθ?

+=????=

??

①

由(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ得

1212

12555

m m =+?=- ∴

12

sin cos 5

θθ=-, Sin 3θ+xos 3θ=(sinθ+cosθ)(sin 2θ-sinθcosθ+cos 2θ) =(sinθ+cosθ)(1-sinθcosθ) =13737

525125

?

=

又0<θ<π,sinθcosθ<0,

∴sinθ>0,cosθ<0 sinθ-

7

5

==.

【探索题】是否存在α、β，α∈（－

2

π

，

2

π

），β∈（0，π）使等式sin（3π－α）=2cos（

2

π－β），3cos（－α）=－2cos（π+β）同时成立?若存在，求出α、β的值；若不存在，请说明理由.

解：由条件得

sinαβ

αβ

?=

?

=.

，①

②

①2+②2得sin2α+3cos2α=2，∴cos2α=

2

1

.

∵α∈（－

2

π

，

2

π

），∴α=

4

π

或α=－

4

π

.

将α=

4

π

代入②得cosβ=

2

3

.又β∈（0，π），

∴β=

6

π

，代入①可知，符合.

将α=－

4

π

代入②得β=

6

π

，代入①可知，不符合.

综上可知α=

4

π

，β=

6

π

.

备选题:

已知sinα是方程5x2+7x-6=0的根,且(0,)

2

π

α∈,求

222

15

sin[(2)]cos()cot()

222

k

π

πααπα

+-+-+-的值.

解:解方程5x2+7x-6=0得,x1=-2(舍),x1=

3

sin

5

α

=.

1

sin[(2)]sin()

22

5

cos()cos()

22

cot()tan

2

k

π

παα

π

απα

π

αα

+-=-

-=-

-=

∴所求式=1+tan 2α=

2

21125

3cos 161()5

α==-