三重积分练习题
三重积分练习题
1． 计算cos()I y x z dxdydz Ω
=
+???，Ω由抛物柱面y =，平面0,0,2
y z x z π
==+=
所围区域。（
28
16
π-）
2． 计算I z dxdydz Ω
=???
，Ω由z =与22
3x y z +=围成。（134
π
）
3． 计算I Ω
=
???，Ω为由2221x y z ++≤和z ≥区域。（
20
π） 4． 已知()f x 连续，222()[()]F t z f x y dxdydz Ω
=++???，222:0,z h x y t Ω≤≤+≤，求：
()F t '和2
0()
lim t F t t
+
→。 5． 设Ω为平面1(0,0,0)x y z
a b c a b c
++=>>>与三个坐标平面围成的四面体区域，求
(,,)I a b c z dxdydz Ω
=???；
若又设a b c h ++=为定值，问,,a b c 怎样取值时，(,,)I a b c 最大，并求此最大值。（24
,241536
a b c h ） 6． 将22()I f x y dxdydz Ω
=
+???
化为球坐标下的三次积分，其中222:1,x y z Ω++≤
0,0x y ≥≥。
7． 设()f u 具有连续导数，求2222
4
01lim
t x y z t f dxdydz t π→++≤???
。
（(0)f '，若(0)0f =；∞，若(0)0f ≠）
8． 计算22
()I x y dxdydz Ω
=+???，其中Ω为平面曲线
{
2
20
y z x ==绕z 轴旋转一周形成的曲面与平面8z =所围成的区域。（10243
π
）
9． 计算I Ω
=
???，其中Ω为22,1,1y x z y =+==之间。 10．设222
{(,,)|1,0}x y z x y z x y z Ω=++≤++≥，计算三重积分：
（1）22233323x y z I dxdydz x y z Ω+-=++???； （2）333
333
6233x y z I dxdydz x y z Ω
+++=+++??? 11．求2
22(),,0I x y z dv x
y z z h Ω
=
++Ω+≤≤≤???由所围立体。
12．计算下列三重积分
（1）222222
ln(1)
1z x y z I dxdydz x y z Ω
+++=+++???，其中2221x y z Ω++≤为。 （2）2
22()
222(),4,0,0,0x
y z I x z e dv x y z x y z -++Ω
=+Ω≤++≤≥≥≥???由1所围
（3）222
,:1x
I e dv x y z Ω
=Ω++≤???。
10．解：分析 本题中被积函数比较复杂，而积分区域具有关于,,x y z 轮换不变性，所以可以利用积分值与积分变量名称无关这一特点进行计算。
（1） 因为222
333333333
x y z dV dV dV x y z x y z x y z ΩΩΩ
==++++++????????? 所以
原式=222
333333333
230x y z dV dV dV x y z x y z x y z ΩΩΩ
+-=++++++????????? （2） 因为333
333333333
111333x y z dV dV dV x y z x y z x y z
ΩΩΩ+++==+++++++++????????? 所以
原式=333
333333333
11123333x y z dV dV dV x y z x y z x y z
ΩΩΩ++++++++++++++????????? =333333333333
1112[]333x y z dV dV dV x y z x y z x y z ΩΩΩ++++++++++++++????????? =333333
(1)(1)(1)42233x y z dV V x y z πΩ
+++++==+++??? 12．解：
（1）22
2
cos ln (1)sin 1r r I r drd d r
??θ?Ω
+=
+???
=
322120
0ln (1)
sin cos 0(sin cos 0)1r r d d dr d r
πππ???θ???+==+?
??
? （2）
2
2
2222
233
3
1
(sin cos cos )sin (sin cos sin cos )(25)4r r I r e
r drd d d d e r dr e e
π
π
?θ???θ
π
?θ?θ??-Ω
-=+?=+?=
-??????
（3）由对称性，知 2
22221
cos 20
1
(0)
2
2sin 2z
r x y z z I e dv d d e r dr π
π??θ?π++≤≥===-?????
?
高等数学定积分应用习题答案
第六章 定积分的应用 习题 6-2 (A) 1． 求下列函数与 x 轴所围部分的面积： ] 3,0[,86)1(2+-=x x y ] 3,0[, 2)2(2x x y -= 2． 求下列各图中阴影部分的面积： 1. 图 6-1 3．求由下列各曲线围成的图形的面积： ; 1,)1(===-x e y e y x x 与 ; )0(ln ,ln ,0ln )2(>>====a b b y a y x x y 与 ;0,2)3(2==-=y x y x x y 与 ; )1(,2)4(22--==x y x y ;0,2)1(4)5(2=-=-=y x y x y 与 ; 2,)6(2x y x y x y ===与 ; )0(2sin ,sin 2)7(π≤≤==x x y x y ; 8,2 )8(222 （两部分都要计算）=+=y x x y
4．的图形的面积。 所围成与直线求由曲线e x e x y x y ====-,,0ln 1 5．的面积。处的切线所围成的图形和及其在点求抛物线)0,3()3,0(342--+-=x x y 6．的面积。处的法线所围成的图形及其在点求抛物线),2 (22p p px y = 7．形的面积。与两坐标轴所围成的图求曲线a y x =+ 8．所围图形的面积。求椭圆 12 2 2 2 =+ b y a x 9．。与横轴所围图形的面积（的一拱求由摆线)20)cos 1(),sin (π≤≤-=-=t t a y t t a x 10．轴之间的图形的面积。的切线的左方及下方与由该曲线过原点求位于曲线x e y x = 11．求由下列各方程表示的曲线围成的图形的面积： ;)0(sin 2)1(>=a a θρ ; )0()cos 2(2)2(>+=a a θρ ; 2cos 2)3(2（双纽线）θρ= 抛物体的体积。 轴旋转，计算所得旋转 所围成的图形绕及直线把抛物线x x x x ax y )0(4.12002>== 体的体积。 旋转轴旋转，计算所得两个轴及所围成的图形，分别绕由y x y x x y 0,2,.133=== 14．求下列已知曲线所围成的图形，按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积： ;,0,,0)1(轴绕与x y a x x a x ch a y ==== ;,2sin )2(轴绕与x x y x y π = = ; ,)2 0(cos sin )3(轴绕与x x x y x y π ≤≤== ; 0,2,ln )4(轴绕与y y x x y === ;0,2)5(2轴绕与y y x y x x y ==-= ; , 16)5()6(22轴绕y y x =+- 。产生的旋转体的体积旋转 轴绕轴所围的图形处的切线和及其在求由抛物线x x x y )2,0()1(4.152-= 积。轴旋转所得旋转体的体所围图形绕求x y x y x 2223,4.16≥ ≤+ 求其体积。 ， 图面都是等边三角形为底，垂直于长轴的截一立体以椭圆)26(125 100.1722 -≤+y x
2018版毛概重点章节课后思考题及答案
5.1理论形成的社会历史条件 1、和平与发展成为时代主题是理论形成的时代背景 2、社会主义建设的经验教训是理论形成的历史根据 3、改革开放和现代化建设的实践是理论形成的现实依据 5.2如何把握理论的主要容 1、解放思想、实事的思想路线 2、社会主义初级阶段理论 3、党的基本路线 4、社会主义根本任务的理论 5、三步走战略 6、改革开放理论 7、社会主义市场经济理论 8、“两手抓，两手都要硬”： 物质文明和精神文明建设都要抓是我国社会主义现代化建设的基本方针 9、一国两制 10、中国问题的关键在于党 5.3如何认识理论的历史地位 1、马克思列宁主义、思想继承和发展 2、中国特色社会主义理论体系的开篇之作 3、改革开放和社会主义现代化建设的科学指南 8.1如何理解我国社会主要矛盾发生的变化 对社会主义矛盾的科学判断，是制定党的路线方针的基本依据。党对我国社会主要矛盾认识根据社会发展变化而不断调整和深化。 1、1956年社会主义改造基本完成后，党的八大指“出我国的主要矛盾已经是人民对于经济文化迅速发展的需求同当前经济不能满足人民需要的状况之间的矛盾” 2、1981年十一届六中全会通过《历史决议》对我国社会主
要矛盾作了科学表述“我国需要解决的矛盾，已经是人民日益增长的物质文化需要同落后的社会之间产生的矛盾” 3、党的十九大明确指出，我国社会主要矛盾已经转化为人民日益增长的美好生活需要同不平衡不充分的发展之间的矛盾。主要依据有下面三个方面： ①经改革开放四十年的发展，我国社会生产水平总体上显著提高，很多方面进入世界前列。 ②人民的生活水平显著提高，对美好生活的向往更加强烈。 ③影响满足人们美好生活需要的因素很多，但主要是发展不平衡不充分的问题。 8.2如何认识中国特色社会主义进入新时代 1、新时代的涵： ○1新时代是承前启后、继往开来，在新的历史条件下继续夺取中国特色注意伟大胜利的时代。 ○2新时代是决胜全面建成小康社会、进而全面建设社会主义文化强国的时代。 ○3新时代是全国各族人民团结奋斗、不断创造美好生活、逐步实现全体人民共同富裕的时代。 ○4新时代是全体中华儿女戮力同心、奋力实现中华民族伟大复兴中国梦的时代。 ○5新时代是我国日益走近世界舞台中央、不断为人类作出更大贡献的时代。 2、新时代的意义 ○1从中华民族伟大复兴的历史进程来看，中国特色社会主义进入新时代，意味着中华民族迎来了从站起来、富起来到强起来的伟大飞跃，迎来了实现中华民族伟大复兴的光明前景。○2从科学社会主义发展进程来看，中国特色社会主义进入新时代，在社会上高高举起了中国特色社会主义伟大旗帜。○3从人类文明进程来看，中国特色社会主义进入新时代，拓展了发展中国家走向现代化的途径，为解决人类问题贡献了中国智慧和中国方案。
定积分的证明题44题word文档良心出品
题目1证明题 容易 d x 证明丄 f (X _t) f Tt)dt = f(X)_ f (a)。 dx 'a 题目2证明题 容易 题目3证明题 一般 b 设函数 f(x)在［a,b ］内可导，且 f(a)=0,［ f(x)dx = 0 证明：在［a,b ］内至少存在一点E 使f(E )=0。 题目4证明题 一般 设f(X)= f(X +a). na 证明：当n 为正整数时 L f(x)dx= nj0f(x)dx 。 利用积分中值定理证明 :lim f 4 sin n xdx = 0。 」0
1 1 证明：x m (1-x)n dx = Lx n (1 —x)m dx 。 题目6证明题 一般 设f (x)在［a,b ］上有定义,且对［a,b ］上任意两点x, y, x — y |.则f (x)在［a,b ］上可积，且 1 2 题目7证明题 一般 设f(X)在［a,b ］上的连续,在(a,b)内可导,且f(a) = f (b) =0. 证明：4a|f(x)|dx (a,b)内至少存在一点匕，设f (x)在［a,b］上正值，连续，则在 ￡ b 1 b 使J a f (x)dx = J E f (x)dx = —J a f (x)dx。 ■* 2 题目9证明题一般 丑丑 证明：0＜FsinXxdxc『sin n xdx。 题目10证明题一般 1/ dx 兀 求证:一＜〔＜-。 20 2,3 6 2V4 —X +x 6 题目11证明题一般 设f(x)在区间(a,b)上连续，且在(a,b)内任一闭区间上积分为零，证明f(x)在(a,b)内恒等于零。 题目12证明题一般 若函数f(x)在［0,1］上连续， a 3 2 1 a2 (a A O)。 证明:J0x f(x )dx=5 J o xf (x)dx 题目13证明题一般 设函数f(x)和g(x)在［a,b］上连续， b 2 b 2 b 2 证明:［f f(x)g(x)dx］< f f (x)dx 订g (x)dx。 a a a 题目14证明题一般 第一部分 定积分的计算 一、定积分的计算 例1 用定积分定义求极限. )0(21lim 1>++++∞→a n n a a a a n . 解 原式=?∑=??? ? ??=∞→1011lim a a n i n x n n i dx = a a x a += ++11 11 1. 例2 求极限 ? +∞→10 2 1lim x x n n dx . 解法1 由10≤≤x ，知n n x x x ≤+≤ 2 10，于是? +≤1 2 10x x n ?≤1 n x dx dx . 而?1 0n x ()∞→→+=+= +n n n x dx n 01111 01，由夹逼准则得?+∞→1021lim x x n n dx =0. 解法2 利用广义积分中值定理 ()()x g x f b a ? ()()?=b a x g f dx ξdx （其中()x g 在区间[]b a ,上不变号） ， ().101111 2 1 02 ≤≤+= +? ? n n n n dx x dx x x ξξ 由于11102≤+≤ n ξ ，即 211n ξ +有界， ()∞→→+=?n n dx x n 0111 0，故?+∞→1021lim x x n n dx =0. 注 （1）当被积函数为( )22,x a x R +或() 22,a x x R -型可作相应变换. 如对积分() ?++3 1 2 2 112x x dx ，可设t x tan =； 对积分 ()0220 2>-? a dx x ax x a ，由于 () 2 222a x a x ax --=-，可设 t a a x s i n =-. 对积分dx e x ? --2 ln 0 21，可设.sin t e x =- （2）()0,cos sin cos sin 2 ≠++=?d c dt t d t c t b t a I π 的积分一般方法如下： 第4章不定积分 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 53 2 2 23x dx x C -- ==-+? ★(2)dx ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)2 2x x dx +? （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)422 331 1 x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项， 分别积分。 解：4223 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 2 1x dx x +? 思路:注意到22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式， 通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ? 34134 （- +-）2 思路:分项积分。 解：3411 342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134（- +-）2 223134 ln ||.423 x x x x C --=--++ ★ (8)23( 1dx x -+? 思路:分项积分。 解 ：2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++? ? ★★ (9) 思路 =？ 111 7248 8 x x ++==，直接积分。 解 ： 715 8 88 .15x dx x C ==+? ★★(10) 221 (1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 解： 222222 111111 ()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)21 1 x x e dx e --? 解：21(1)(1) (1).11 x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--??? ★★(12)3x x e dx ? 生物化学各章练习题及答案 生化练习题 一、填空题： 1、加入高浓度的中性盐，当达到一定的盐饱和度时，可使蛋白质的溶解度__________并__________,这种现象称为 __________。 2、核酸的基本结构单位是_____________。 3、____RNA 分子指导蛋白质合成，_____RNA 分子用作蛋白质合成中活化氨基酸的载体。 4、根据维生素的溶解性质，可将维生素分为两类，即 ____________和____________。 5、___________是碳水化合物在植物体内运输的主要方式。 6、糖酵解在细胞的_____________中进行 7、糖类除了作为能源之外，它还与生物大分子间识别有关，也是合成__________，___________，_____________等的碳骨架的共体。 8、脂肪是动物和许多植物主要的能源贮存形式，是由甘油与3分子_____________酯化而成的。 9、基因有两条链，作为模板指导转录的那条链称 _____________链。 10、以RNA 为模板合成DNA 称_____________。 二、名词解释 1、蛋白质的一级结构： 2、糖的有氧氧化： 3、必需脂肪酸： 4、半保留复制： 三、问答题 1、蛋白质有哪些重要功能？ 1、蛋白质的一级结构：指蛋白质多肽链中氨基酸的排列顺序，以及二硫键的位置。 2、糖的有氧氧化：糖的有氧氧化指葡萄糖或糖原在有氧条件下氧化成水和二氧化碳的过程。是糖氧化的主要方式。 3、必需脂肪酸：为人体生长所必需但有不能自身合成，必须从事物中摄取的脂肪酸。在脂肪中有三种脂肪酸是人体所必需的，即亚油酸，亚麻酸，花生四烯酸。 4、半保留复制：双链DNA 的复制方式，其中亲代链分离，每一子代DNA 分子由一条亲代链和一条新合成的链组成。 三、问答题 2、DNA 分子二级结构有哪些特点？ 答：按Watson-Crick 模型，DNA 的结构特点有：两条反相平行的多核苷酸链围绕同一中心轴互绕；碱基位于结构的内侧，而亲水的糖磷酸主链位于螺旋的外侧，通过磷酸二酯键相连，形成核酸的骨架；碱基平面与轴垂直，糖环平面则与轴平行。两条链皆为右手螺旋；双螺旋的直径为2nm，碱基堆积距离为0.34nm，两核酸之间的夹角是36°，每对螺旋由10 对碱基组成；碱基按A=T，G=C 配对互补，彼此以氢键相连系。维持DNA 结构稳定的力量主要是碱基堆积力；双螺旋结构表面有两条螺形凹沟，一大一小。 3、怎样证明酶是蛋白质？ 答：（1）酶能被酸、碱及蛋白酶水解，水解的最终产物都是氨基酸，证明酶是由氨基酸组成的。 （2）酶具有蛋白质所具有的颜色反应，如双缩脲反应、茚三酮反应、米伦反应、乙醛酸反应。 （3）一切能使蛋白质变性的因素，如热、酸碱、紫外线等，同样可以使酶变性失活。 题目1证明题 容易 。证明 )()()()(a f x f dt t f t x dx d x a -='-? 解答_ 。 )()()()()()()()()()()()() ()()()( a f x f x f a f dt t f t x dx d dt t f a f x a dt t f a x t f t x t df t x dt t f t x x a x a x a x a x a -=+-='-=∴ +-=+-=-='-????? 题目2证明题 容易 。 利用积分中值定理证明 0sin lim :40 0=?→dx x n n π 解答_ 。 使 上存在点在由积分中值定理 0sin lim 0 sin lim 1sin 0sin lim 4 ]4 [0, ( )04( sin lim sin lim ,]4 ,0[, 40 00 40 =∴=∴< 第四节 三重积分及其计算和多重积分 在第三节中我们讨论了二重积分，本节将之推广到一般的n 维空间中去. 类似于第三节,我们先定义一个R 3中集合的可求体积性. 同样可以给出一列类似的结论. 读者自己推广. 这里将不再赘述. 一、 引例 设一个物体在空间R 3中占领了一个有界可求体积的区域V ，它的点密度为()z y x f ,,，现在要求这个物体的质量．假设密度函数是有界的连续函数，可以将区域V 分割为若干个可求体积的小区域n V V V ,...,,21，其体积分别是n V V V ???,...,,21，直径分别是n d d d ,...,,21，即},||sup{|i i V Q W WQ d ∈=, (i =1,2,…,n ）, |WQ|表示W, Q 两点的距离．设 },...,,m ax {21n d d d =λ，则当λ很小时，()z y x f ,,在i V 上的变化也很小．可以用这个小 区域上的任意一点()i i i z y x ,,的密度()i i i z y x f ,,来近似整个小区域上的密度，这样我们可以求得这个小的立体的质量近似为()i i i i V z y x f ?,,，所有这样的小的立体的质量之和即为这个物体的质量的一个近似值．即 ()i i i i n i V z y x f M ?≈∑=,,1 ． 当0→λ时，这个和式的极限存在，就是物体的质量．即 ()i i i i n i V z y x f M ?=∑=→,,lim 1 λ． 从上面的讨论可以看出，整个求质量的过程和求曲顶柱体的体积是类似的，都是先分割，再求和，最后取极限．所以我们也可以得到下面一类积分． 二、 三重积分的定义 设()z y x f ,,是空间3 R 中的一个有界可求体积的闭区域V 上的有界函数，将V 任意分割 为若干个可求体积的小闭区域n V V V ,...,,21，这个分割也称为V 的分划，记为P : n V V V ,...,,21. Φ=?o o j i V V (空, j i ≠), 其体积分别是n V V V ???,...,,21，直径分别是n d d d ,...,,21．设 },...,,m ax {21n d d d =λ,或记为||P ||. 在每个小区域中任意取一点()i i i i V z y x ∈,,，作和 ()i i i i n i V z y x f ?∑=,,1 (称为Riemann 和)，若当0→λ时，这个和式的极限存在，则称其极 第六章 定积分的应用 （A ） 1、求由下列各曲线所围成的图形的面积 1）2 2 1x y =与822=+y x （两部分都要计算） 2）x y 1 =与直线x y =及2=x 3）x e y =，x e y -=与直线1=x 4）θρcos 2a = 5）t a x 3 cos =，t a y 3 sin = １、求由摆线()t t a x sin -=，()t a y cos 1-=的一拱()π20≤≤t 与横轴所围成的图形的 面积 ２、求对数螺线θ ρae =()πθπ≤≤-及射线πθ=所围成的图形的面积 ３、求由曲线x y sin =和它在2 π= x 处的切线以及直线π=x 所围成的图形的面积和它绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积 ４、由3 x y =，2=x ，0=y 所围成的图形，分别绕x 轴及y 轴旋转，计算所得两旋转体 的体积 ５、计算底面是半径为R 的圆，而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的 立体体积 ６、计算曲线()x y -=33 3 上对应于31≤≤x 的一段弧的长度 ７、计算星形线t a x 3 cos =，t a y 3 sin =的全长 ８、由实验知道，弹簧在拉伸过程中，需要的力→ F （单位：N ）与伸长量S （单位：cm ）成 正比，即：kS =→ F （k 是比例常数），如果把弹簧内原长拉伸6cm ， 计算所作的功 ９、一物体按规律3 ct x =作直线运动，介质的阻力与速度的平方成正比，计算物体由0 =x 移到a x =时，克服介质阻力所作的功 １０、 设一锥形储水池，深15m ，口径20m ，盛满水，将水吸尽，问要作多少功？ １１、 有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长10cm 和6cm ，高为20cm ，较长的底边与水 面相齐，计算闸门的一侧所受的水压力 １２、 设有一长度为λ，线密度为u 的均匀的直棒，在与棒的一端垂直距离为a 单位处 有一质量为m 的质点M ，试求这细棒对质点M 的引力 (B) 1、设由抛物线()022 >=p px y 与直线p y x 2 3 = + 所围成的平面图形为D 1） 求D 的面积S ;2）将D 绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积 第三章思考题 刚体一般是由n （n 是一个很大得数目）个质点组成。为什么刚体的独立变量却不是3n 而是6或者更少 何谓物体的重心他和重心是不是 总是重合在一起的 试讨论图形的几何中心，质心和重心重合在一起的条件。 简化中心改变时，主矢和主矩是不是也随着改变如果要改变，会不会影响刚体的运动 已知一匀质棒，当它绕过其一端并垂直于棒的轴转动时，转动惯量为23 1 ml ，m 为棒的质量，l 为棒长。 问此棒绕通过离棒端为l 41且与上述轴线平行的另一轴线转动时，转动惯量是不是等于2 24131?? ? ??+l m ml 为什么 如果两条平行线中没有一条是通过质心的，那么平行轴定理式（3.5.12）能否应用如不能，可否加以修改后再用 在平面平行运动中，基点既然可以任意选择，你觉得选择那些特殊点作为基点比较好好处在哪里又在（3.7.1）及（）两式中，哪些量与基点有关哪些量与基点无关 转动瞬心在无穷远处，意味着什么 刚体做平面平行运动时，能否对转动瞬心应用动量矩定理写出它的动力学方程为什么 当圆柱体以匀加速度自斜面滚下时，为什么用机械能守恒定律不能求出圆柱体和斜面之间的反作用力此时摩擦阻力所做的功为什么不列入是不是我们必须假定没有摩擦力没有摩擦力，圆柱体能不能滚 圆柱体沿斜面无滑动滚下时，它的线加速度与圆柱体的转动惯量有关，这是为什么但圆柱体沿斜面既滚且滑向下运动时，它的线加速度则与转动惯量无关这又是为什么 刚体做怎样的运动时，刚体内任一点的线速度才可以写为r ω?这时r 是不是等于该质点到转动轴的垂直距离为什么 刚体绕固定点转动时，r ω ?dt d 为什么叫转动加速度而不叫切向加速度又()r ωω??为什么叫向轴加速度而不叫向心加速度 在欧勒动力学方程中，既然坐标轴是固定在刚体上，随着刚体一起转动，为什么我们还可以用这种坐标系来研究刚体的运动 欧勒动力学方程中的第二项()21I I -y x ωω等是怎样产生的它的物理意义又是什么 第三章思考题解答 答：确定一质点在空间中得位置需要3个独立变量，只要确定了不共线三点的位置刚体的位置也就确定了，故须九个独立变量，但刚体不变形，此三点中人二点的连线长度不变，即有三个约束方程，所以 第五章 定积分 (A) 1．利用定积分定义计算由抛物线12 +=x y ，两直线)(,a b b x a x >==及横轴所 围成的图形的面积。 2．利用定积分的几何意义，证明下列等式： ? =1 12)1xdx 4 1) 21 2π = -? dx x ?- =π π0sin ) 3xdx ?? - =2 2 20 cos 2cos )4π ππ xdx xdx 3．估计下列各积分的值 ? 33 1arctan ) 1xdx x dx e x x ?-0 2 2)2 4．根据定积分的性质比较下列各对积分值的大小 ?2 1 ln )1xdx 与dx x ?2 1 2)(ln dx e x ?10)2与?+1 )1(dx x 5．计算下列各导数 dt t dx d x ?+20 2 1)1 ?+32 41)2x x t dt dx d ?x x dt t dx d cos sin 2)cos()3π 6．计算下列极限 x dt t x x ?→0 20 cos lim )1 x dt t x x cos 1)sin 1ln(lim )20 -+?→ 2 2 20 )1(lim )3x x t x xe dt e t ? +→ 7．当x 为何值时，函数? -=x t dt te x I 0 2 )(有极值？ 8．计算下列各积分 dx x x )1 ()12 1 42? + dx x x )1()294+? ? --212 12) 1()3x dx ? +a x a dx 30 2 2) 4 ?---+2 11)5e x dx ?π20sin )6dx x dx x x ? -π 3sin sin )7 ? 2 )()8dx x f ，其中??? ??+=22 11)(x x x f 1 1>≤x x 9.设k ，l 为正整数，且l k ≠，试证下列各题： ?- =π π 0cos )1kxdx πππ =?-kxdx 2cos )2 ?- =?π π 0sin cos )3lxdx kx ?-=π π 0sin sin )4lxdx kx 定积分的证明题https://www.360docs.net/doc/6310609086.html,work Information Technology Company.2020YEAR 题目1证明题 容易 。证明 )()()()(a f x f dt t f t x dx d x a -='-? 解答_ 。 )()()()()()()()()()()()() ()()()( a f x f x f a f dt t f t x dx d dt t f a f x a dt t f a x t f t x t df t x dt t f t x x a x a x a x a x a -=+-='-=∴ +-=+-=-='-????? 题目2证明题 容易 。 利用积分中值定理证明 0sin lim :400=?→dx x n n π 解答_ 。 使 上存在点在由积分中值定理 0sin lim 0 sin lim 1sin 0sin lim 4 ]4 [0, ( )04( sin lim sin lim ,]4 ,0[, 40 00 40 =∴=∴< 定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·宁夏银川一中月考)求曲线y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝??01(x2－x)dx B ．S ＝??01(x －x2)dx C ．S ＝??01(y2－y)dy D ．S ＝??01(y －y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x≥x2，故函数y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝??0 1(x －x2)dx. 2．(2010·山东日照模考)a ＝??02xdx ，b ＝??02exdx ，c ＝??02sinxdx ，则a 、b 、c 的大小关系 是( ) A ．a 第一章误差与数据处理 1-1 下列说法中，哪些是正确的？ （1）做平行测定的目的是减小系统误差对测定结果的影响。 （2）随机误差影响精密度，对准确度无影响。 （3）测定结果精密度高，准确度不一定高。 （4）只要多做几次平行测定，就可避免随机误差对测定结果的影响。 1-2 下列情况，将造成哪类误差？如何改进？ （1）天平两臂不等长（2）测定天然水硬度时，所用蒸馏水中含Ca2+。 1-3填空 （1）若只作两次平行测定，则精密度应用表示。 （2）对照试验的目的是，空白试验的目的是。 （3）F检验的目的是。 （4）为检验测定结果与标准值间是否存在显著性差异，应用检验。 （5）对一样品做六次平行测定，已知d1~d5分别为0、+0.0003、－0.0002、－0.0001、+0.0002，则d6为。 1-4用氧化还原滴定法测定纯品FeSO4·7H2O中铁的质量分数，4次平行测定结果分别为20.10%，20.03%，20.04%，20.05%。计算测定结果的平均值、绝对误差、相对误差、平均偏差、相对平均偏差、标准偏差及变异系数。 1-5有一铜矿样品，w(Cu) 经过两次平行测定，分别为24.87%和24.93%，而实际w(Cu)为25.05%，计算分析结果的相对误差和相对相差。 1-6某试样5次测定结果为：12.42%，12.34%，12.38%，12.33%，12.47%。用Q值检验法和4d检验法分别判断数据12.47%是否应舍弃？（P = 0.95） 1-7某分析人员测定试样中Cl的质量分数，结果如下：21.64%，21.62%，21.66%，21.58%。已知标准值为21.42%，问置信度为0.95时，分析结果中是否存在系统误差？ 1-8 在不同温度下测定某试样的结果如下： 10℃：:96.5%，95.8%，97.1%，96.0% 37℃：94.2%，93.0%，95.0%，93.0%，94.5% 试比较两组数据是否有显著性差异？（P = 0.95）温度对测定是否有影响？ 定积分及其应用 题一 题面： 求由曲线2(2)y x =+与x 轴，直线4y x =-所围成的平面图形的面积． 答案：323 ． 变式训练一 题面： 函数f (x )＝???? ? x ＋2(－2≤x <0)，2cos x ? ? ???0≤x ≤π2的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积 为( ) A.5 2 B ．2 C ．3 D ．4 答案：D. 详解： 画出分段函数的图象，如图所示，则该图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为12×2×2＋∫π 202cos x d x ＝2＋2sin x |π20＝4. 变式训练二 题面： 由直线y ＝2x 及曲线y ＝3－x 2围成的封闭图形的面积为( ) A ．2 3 B ．9－2 3 C.353 D.323 答案： 详解： 注意到直线y ＝2x 与曲线y ＝3－x 2的交点A ，B 的坐标分别是(－3，－6)，(1,2)，因此结合图形可知，由直线y ＝2x 与曲线y ＝3－x 2围成的封闭图形的面积为??－3 1 (3－x 2－2x )d x ＝? ????3x －13x 3－x 2??? 1 －3 ＝3×1－13×13－12－ ? ?? 3× －3 －13× －3 3 ]－ －3 2 ＝323，选D. 题二 题面： 如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为( )． A ．1 B ．1 C ．1 D ．17 变式训练一 题面： 函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的导函数y ＝f ′(x )的部分图象如图所示，其中，P 为图象与y 轴的交点，A ，C 为图象与x 轴的两个交点，B 为图象的最低点． 定积分典型例题 例1 求21lim n n →∞L ． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?=，然后把2111n n n =?的一个因子1 n 乘 入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 21lim n n →∞L =1lim n n →∞+L =34 =?． 例2 0 ? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，0 ?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故0 ? = 2 π ． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t π π - ≤≤ ），则 ? =2 2 tdt ππ- ? =2tdt =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 比较1 2 x e dx ?，2 1 2 x e dx ?，1 2 (1)x dx +?． 分析 对于定积分的大小比较，可以先算出定积分的值再比较大小，而在无法求出积分值时则只能利用定积分的性质通过比较被积函数之间的大小来确定积分值的大小． 解法1 在[1,2]上，有2 x x e e ≤．而令()(1)x f x e x =-+，则()1x f x e '=-．当0x >时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增，从而()(0)f x f >，可知在[1,2]上，有1x e x >+．又 1 22 1 ()()f x dx f x dx =-? ?，从而有2 111 2 2 2 (1)x x x dx e dx e dx +>>???． 解法2 在[1,2]上，有2 x x e e ≤．由泰勒中值定理2 12! x e e x x ξ=++得1x e x >+．注意到 1 2 2 1 ()()f x dx f x dx =-? ?．因此 2 1 11 2 2 2 (1)x x x dx e dx e dx +>>? ??． 例4 估计定积分2 2x x e dx -?的值． 分析 要估计定积分的值, 关键在于确定被积函数在积分区间上的最大值与最小值． 第五章 定积分 (A 层次 ) 1． 2 sin x cos 3 xdx ； 2 ． x 2 a 2 x 2 dx ； 3 ． 3 dx ； a 1 x 2 1 x 2 1 4． 1 xdx ； 4 5． 5 4x 1 dx ； 1 dx ； x 1 6． 3 1 x 1 4 e 2 7． 1 dx ； dx ； 9 ． 1 cos2xdx ； 8 ． x 2 2x 2 x 1 ln x 2 10． x 4 sin xdx ； 11 ． 2 4 cos 4 xdx ； 12 ． 3 sin 2 x dx ； 5 x 2 5 x 4 2x 2 1 13． 3 x dx ； 14 ． 4 ln x dx ； 15 ． 1 xarctgxdx ； 2 1 4 sin x x 16． 2 e 2x cosxdx ； 17 x sin x 2 dx ； 18 e ． 0 ． 1 sin ln x dx ； 0 19． 2 cos x cos 3 xdx ； 20 ． 4 sin x dx ； 21 ． x sin x dx ； 4 0 1 sin x 0 1 cos 2 x 1 1 x 1 x 2 2 x ln dx ； 23 ． 24 ． 2 ln sin xdx ； 22． 0 1 x 1 x 4 dx ； 0 25． dx dx 0 。 1 x 2 1 x (B 层次 ) y t x 所决定的隐函数 对 的导数 dy 。 1．求由 cos 0 y x e dt tdt dx 2．当 x 为何值时，函数 I x x te t 2 dt 有极值？ 3． d cos x 2 dt 。 cos t dx sin x 4．设 f x x 1, x 1 2 ，求 f x dx 。 1 2 , x 1 0 2 x x arctgt 2 5． lim 0 dt 。 x 2 x 1 第二章财政收支概述 第一部分财政收入 一、填空题 1、政府收费主要是，是政府模拟私人物品的定价方式收取的公共物品的价格。 2、1997年以后，我国财政统计中国家财政分项目收入包含的项目有税收、企业亏损补贴（抵减收入）、和其他收入。 3、将财政收入分为工业部门收入和农业部门收入是按财政收入来源中的为标准的。 4、1997年以后，预算外资金项目包括、、、和其他收入。 5.按财政资金的管理方分类，可分为两大类。 6、按财政收入形式分类，是财政收入的主要来源。 7. 对财政收入规模起决定性作用。 二、判断题 1、财政收入按收入形式分类可分为税收、收费、债务收入、铸币收入、通货膨胀收入、经常性收入和临时性收入。 2、预算外收入不体现在财政预算报告中。 3、预算外收入的形式都是收费。 4、如果一项收入可以采取税收形式也可以采取收费形式，一般应采用税收形式。 5、改革开放后，我国财政收入的发展变化趋势和财政支出一样，都经历了一个先降后升的过程。 6、1996年以来，我国预算外资金相当于预算内财政收入的比例处于持续增长中。 7、由于存在通货膨胀税效应，通货膨胀必然使财政收入实际上升。 8、农业部门以间接形式上缴的收入比直接上缴的收入多得多。 9、自1994年工商税制改革以后，增值税和营业税的作用增强了，其中商业部门提供的财政收入迅速增长，占财政收入的比重已逐渐超过工业部门。 10、我国企业收入曾经是财政收入的主要来源。 三、不定项选择 1、关于税费改革下列说法正确的是：（） A、所谓税费改革，就是将可以改为税收形式的收费改为规范化的税收，对应当保留的收费加以规范并加强管理，坚决取缔乱收费、乱罚款、乱摊派 B、税费改革是治理整顿预算外资金、规范政府收入机制的一种有效措施 C、税费改革是当前提高财政收入（指预算内）占GDP比重的重要途径 D、税费改革的最终目标是以税收代替收费 2、1996年以来，我国关于加强预算外资金管理的新举措包括：（） A、计划管理，财政审批，专户储存，银行监督 B、提出最重要将预算外资金全部纳入预算内管理 C、要求参照预算内资金管理模式，建立预算外资金的预决算制度 D、提出建立社会保障预算，将社会保障基金纳入预算内收入 3、收费的特点主要体现在：（） A、与政府提供的特定商品和服务有直接联系，专项收入，专项使用 B、往往是作为部门和地方特定用途的筹资手段 C、可完全由部门和地方自收自支 D、法治性和规范性相对较差 4、影响财政收入规模水平的主要经济因素有：（） A、经济发展水平 B、生产技术水平 C、分配制度 D、所有制结构 ５、价格对财政收入的影响体现在：（） Ａ、征收通货膨胀税Ｂ、税收的档次爬升效应Ｃ、造成财政收入虚增Ｄ、使财政收入数据失去信度 二、三重积分的计算技巧 重积分的计算中，对积分区域的熟悉非常重要，以下关于重积分的几种计算技巧均是基于积分区域的特点分析归纳得出。 一、积分区域为圆（二重积分）或球（三重积分） 1、 在闭区域D 为2 2 2 a y x ≤+的圆，区域关于原点，坐标轴均对称，则有 （1） dxdy y dxdy x a y x a y x ????≤+≤+= 2 222222 2 （2）若n m ,中有一个为奇数有 .02 22=??≤+dxdy y x a y x m n 例1．求 dxdy y x a y x ?? ≤++2 22)3(2 2 解：根据对称性， 原式=dxdy y x a y x ??≤++2 22)(2 2 2 =.24 200 3a dr r d a πθπ =?? 例2．求 dxdy y x a y x 2 2 22)3(??≤++ 解：原式= .2 5)(5)69(4 2 22 22 22222a dxdy y x dxdy xy y x a y x a y x π=+=++?? ?? ≤+≤+ 例3．求 .)53(2 2222 dxdydz z y x a z y x ??? ≤++++（积分区域为球） 解：原式= .)10306259(2 222222dxdydz xz yz xy z y x a z y x ??? ≤+++++++ = .32854.335.)(335552222 22 2a a dxdydz z y x a z y x ππ==++???≤++ 2、 在闭区域D 为2 2 2 )(a y a x ≤+-的圆上 例4．求 dxdy x a y a x ??≤+-2 22)( 解：原式= .)(3 2 )(2 22a dxdy a a x a y a x π=+-??≤+-二重积分及三重积分的计算
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