专题三,牛顿运动定律

专题三牛顿运动定律

一、知识结构：

（一）牛顿第一定律：

1. 定律内容：一切物体总保持静止或匀速直线运动，直到有外力迫使它改变这种状态为止。

2. 意义：

（1）牛顿第一定律反映了物体不受外力时的运动状态。

（2）牛顿第一定律说明一切物体都有惯性。

（3）牛顿第一定律说明力是改变物体运动状态的原因，即力是产生加速度的原因。

3. 惯性：物体保持原来的静止或匀速直线运动状态的性质叫做惯性。一切物体都有惯性，惯性是物体的固有性质。

质量是惯性大小的唯一量度，质量大的物体惯性大，质量小的物体惯性小。惯性与物体是否受力及受力大小无关，与物体是否运动及速度大小无关。

惯性的表现形式：

（1）物体在不受外力或所受的合外力为零时，惯性表现为使物体保持原来的运动状态不变（静止或匀速直线运动）

（2）物体受到外力时，惯性表现为运动状态改变的难易。惯性大，物体运动状态难以改变；惯性小，物体运动状态容易改变。

当物体不受外力或所受外力的合力为零时，惯性表现为维持原来的静止或匀速直线运动状态不变。当物体受到外力作用而做变速运动时，物体同样表现具有惯性。这种表现可以从两方面说明：第一，物体表现出具有反抗外力的作用而维持其原来运动状态不变的趋向。具体地说，外力要迫使物体改变原来的运动状态，而物体的惯性要反抗外力的作用而力图维持物体原来的运动状态，这一对矛盾斗争的结果表现为物体运动状态改变的快慢——产生大小不同的加速度，在同样大小的力作用下，惯性大的物体运动状态改变较慢（加速度小），惯性小的物体运动状态改变较快（加速度较大）。第二，做变速运动的物体虽然每时每刻速度都在变化，但是每时每刻物体都表现出要维持该时刻速度不变的性质，只是由于外力的存在不断地打破它本身惯性的这种“企求”，致使速度继续变化。如果某一时刻外力突然撤销，物体就立刻“维持住”该时刻的瞬时速度不变而做匀速直线运动，这充分反映了做变速运动的物体仍然具有保持它每时每刻的速度不变的性质——惯性。

有的同学总认为“惯性与物体的运动速度有关，速度大，惯性就大；速度小，惯性就小”。理由是物体运动速度大，不容易停下来；速度小，容易停下来。产生这种错误认识的原因是把“惯性大小表示运动状态改变的难易程度”理解成“惯性大小表示把物体从运动变为静止的难易程度”。事实上，在受到了相同阻力的情况下，速度（大小）不同、质量相同的物体，在相同的时间内速度的减小量是相同的。这就说明质量相同的物体，它们改变运动状态的难易程度是相同的，所以它们的惯性是相同的，与它们的速度无关。

4. 理想实验方法也叫假想实验或思想实验。它是在可靠的实验事实基础上采用科学的抽象思维来展开的实验，是人们在思想中塑造的理想过程。牛顿第一定律即是通过理想实验得出的，它不能由实际的实验来验证。

（二）牛顿第二定律

1. 定律内容：物体的加速度a跟物体所受的外力成正比，跟物体的质量成反比，加速度的方向跟合外力的方向相同。

2. 公式：F合=ma。

关于牛顿第二定律的理解，注意以下几点：

（1）牛顿第二定律反映的是加速度与力和质量的定量关系：

①合外力和质量决定了加速度，加速度不能决定力和质量；

②大小关系：加速度与合外力成正比，与质量成反比；

③方向关系：加速度的方向总跟合外力的方向相同；

④单位关系：应用F＝ma进行计算时，各量必须使用国际单位制中的单位。

特别提示：

力和加速度有瞬时对应关系，和速度没有瞬时对应关系，有力必定同时产生加速度，但不能同时产生速度。力的方向与其产生的加速度方向一定相同，但力的方向和速度的方向没有确定关系。对一定质量的物体，力的大小决定加速度的大小，但力的大小和速度的大小没有确定关系。

（2）牛顿第二定律是力的瞬时规律，它说明力的瞬时作用效果是使物体产生加速度。加速度跟力同时产生、同时变化、同时消失。

（3）根据力的独立作用原理，用牛顿第二定律处理物体在一个平面内运动的问题时，可将物体所受各力正交分解，在正交的方向上分别应用牛顿第二定律的分量形式：F x＝ma x，

F y＝ma y，列方程。

3. 牛顿第二定律的适用范围是：低速（相对于光速）、宏观（相对微观粒子）。用F＝ma列方程时还必须注意其“相对性”和“同一性”。所谓“相对性”是指：在中学阶段利用F＝ma求解问题时，式中的a相对的参考系一定是惯性系，一般以大地为参考系。若取的参考系本身有加速度，那么所得的结论也将是错误的。“同一性”是指式中的F、m、a 三量必须对应同一个物体。譬如图中，在求物体A的加速度时，有些同学总认为B既然

在A上，应该有F－μ1（m A+m B）g－μ2m B g＝（m A+m B）a A。

分析此方程，方程的左边是物体A受的合外力，但方程的右边却是A和B的总质量，显然合力F与m不对应，故此方程是错误的。

（三）牛顿第三定律

1. 定律内容：两个物体之间的作用力和反作用力总是大小相等，方向相反，作用在一条直线上。

2. 关于一对作用力、反作用力的关系，除牛顿第三定律反映的“等大、反向、共线”的关系外，还应注意以下几点：

（1）同性：一对作用力、反作用力必定是同性质的力；

（2）同时：一对作用力、反作用力必定同时存在同时消失；

（3）异物：一对作用力、反作用力分别作用在两个物体上，它们的作用效果也分别体现在不同物体上，不可能相互抵消，这是一对作用力、反作用力和一对平衡力最根本的区别。

（四）牛顿运动定律的适用范围

对于宏观物体低速的运动（运动速度远小于光速的运动），牛顿运动定律是成立的，但对于物体的高速运动（运动速度接近光速）和微观粒子的运动，牛顿运动定律就不适用了，要用相对论观点、量子力学理论处理。

（五）超重和失重

在平衡状态时，物体对水平支持物的压力（或对悬绳的拉力）大小等于物体的重力。当物体在竖直方向上有加速度时，物体对支持物的压力就不等于物体的重力了。当物体的加速度向上时，物体对支持物的压力大于物体的重力，这种现象叫做超重现象。当物体的加速度向下时，物体对支持物的压力小于物体的重力，这种现象叫失重现象。特别的，当物体向下的加速度为g时，物体对支持物的压力变为零，这种状态叫完全失重状态。

对超重和失重的理解应当注意以下几点：

（1）物体处于超重或失重状态时，物体的重力始终存在，大小也没有变化。

（2）发生超重或失重现象与物体的速度无关，只决定于加速度的方向。

（3）在完全失重的状态下，平常一切由重力产生的物理现象都会完全消失，如单摆停摆、天平失效、浸在水中的物体不再受浮力、液体柱不再产生向下的压强等。

（六）连接体问题

在连接体问题中，如果不要求知道各个运动物体之间的相互作用力，并且各个物体具有大小和方向都相同的加速度，就可以把它们看成一个整体（当成一个质点）。分析受到的外力和运动情况，应用牛顿第二定律求出加速度（或其他未知量）；如果需要知道物体之间的相互作用力，就需要把物体从系统中隔离出来，将内力转化为外力，分析物体的受力情况和运动情况，并分别应用牛顿第二定律列出方程。隔离法和整体法是互相依存、互相补充的。两种方法互相配合交替应用，常能更有效地解决有关连接体的问题。

【典型例题】

[例1] 图1所示，质量为m的人站在自动扶梯上，扶梯正以加速度a向上减

速运动，a与水平方向的夹角为θ。求人受的支持力和摩擦力。

解析：利用牛顿定律解题时，基本思路是相同的，即先确定研究对象，再

对其进行受力分析，最后列方程求解。

方法一：以人为研究对象，他站在减速上升的扶梯上，受到竖直向下的重力mg和竖直向上的支持力F N，还受到水平方向的静摩擦力F f由于物体斜向下的加速度有一个水平向左的分量，故可判断静摩擦力的方向水平向左。人受力如图2示，建立如图所示的坐标系，并将加速度分解为水平加速度a x竖直加速度a y，如图3所示，则

a x＝acosθ，a y＝asinθ

由牛顿第二定律得

F f＝ma x，mg－F N＝ma y

求得F f＝macosθ，F N＝m（g－asinθ）。

图2 图3

方法二：以人为研究对象，受力分析如图4所示。因摩擦力F f为待求，且必沿水平方向，设为水平向右。建立图示坐标，并规定正方向。

图4

根据牛顿第二定律得

x方向mgsinθ－F N sinθ－F f cosθ＝ma ①

y方向mgcosθ+F f sinθ－F N cosθ＝0 ②

由①②两式可解得

F N＝m（g－asinθ），F f＝－macosθ。

F f为负值，说明摩擦力的实际方向与假设方向相反，为水平向左。

思考：

（1）扶梯以加速度a加速上升时如何?

（2）请用失重和超重知识定性分析人对扶梯的压力是大于人的重力还是小于人的重力。

说明：

（1）利用正交分解法解决动力学问题建立坐标系时，常使一个坐标轴沿着加速度方向，使另一个坐标轴与加速度方向垂直，从而使物体的合外力沿其中一个轴的方向，另一轴上的合力为零。但有时这种方法并不简便，例如本题。所以要根据具体问题进行具体分析，以解题方便为原则，建立合适的坐标系。

（2）判断静摩擦力的方向、计算静摩擦力的大小是一难点。在物体处于平衡状态时，可根据平衡条件判断静摩擦力的方向，计算静摩擦力的大小；若物体有加速度，则应根据牛顿第二定律判断静摩擦力的方向，计算静摩擦力的大小。

[例2] 如图5所示，ad、bd、cd是竖直面内三根固定的光滑细杆，每根杆上套

着一个小滑环（图中未画出），三个滑环分别从a、b、c处释放（初速为0），

用t1、t2、t3依次表示各滑环到达d所用的时间，则（）

A. t1< t2< t3

B. t1>t2>t3

C. t3>t1>t2

D. t1=t2=t3

解析：小滑环下滑过程中受重力和杆的弹力作用，下滑的加速度可认为是由重力沿斜面方向的分力产生的，设轨迹与竖直方向夹角为θ，由牛顿第二定律知mgcosθ=ma①设圆心为O，半径为R，由几何关系得，滑环由开始运动至d点的位移为x=2Rcosθ②

由运动学公式得x=③

由①②③联立解得t=2

小圆环下滑的时间与细杆的倾斜情况无关，故t1=t2=t3

答案：D

[例3] 一位同学的家在一座25层的高楼内，他每天乘电梯上楼，

经过多次仔细观察和反复测量，他发现电梯启动后的运动速度符合如图6所示的规律，他就根据这一特点在电梯内用台秤、重物和秒表测量这座楼房的高度。他将台秤放在电梯内，将重物放在台秤的托盘上，电梯从第一层开始启动，经过不间断地运行，最后停在最高层。在整个过程中，他记录了台秤在不同时间段内的示数，记录的数据如下表所示。但由于0～3。0 s段的时间太短，他没有来得及将台秤的示数记录下来。

假设在每个时间段内台秤的示数都是稳定的，重力加速度g取10 m／s2。

（1）电梯在0～3.0 s时间段内台秤的示数应该是多少?

（2）根据测量的数据，计算该座楼房每一层的平均高度。

剖析：

（1）由图象知，电梯先匀加速运动，再匀速运动，最后匀减速运动到停止，由表中数据可知，物体的质量为5.0 kg，电梯匀加速运动的时间为3.0 s，匀速运动的时间为10.0 s，匀减速运动的时间为6.0 s，此时台秤对物体的支持力为46 N，由牛顿第二定律可求得电梯

匀减速运动的加速度为a2＝

由于电梯匀加速运动的时间是它匀减速运动时间的一半，而速度变化量相同，故电梯匀加速运动的加速度是它匀减速运动加速度的2倍，即a1＝2a2＝1.6 m／s2由牛顿第二定律得F l－mg＝ma1

F l＝m（g+a l）＝5.0×（10+1.6）N＝58 N

即电梯在0—3.0 s时间段内台秤的示数为5.8 kg。

（2）电梯匀速运动的速度为：

v=a1t l＝1.6×3.0 m／s＝4.8 m／s

则电梯上升的总位移为＝＝69.6m

则每层楼高为h＝m＝2.9m。

说明：本题中电梯加速上升时，物体处于超重状态；电梯减速上升时，物体处于失重状态。物体是处于超重状态还是处于失重状态，与物体的运动速度大小及方向无关，仅与加速度方向有关，当加速度方向向上时，物体处于超重状态；当加速度方向向下时，物体处于失重状态。无论物体处于超重状态还是处于失重状态，其重力都没有变化。

[例4]（临界速度问题）在光滑的水平轨道上有两个半径都是r的小球A和B，质量分别为m和2m，离大于l（l比2r大得多）时，两球之间无相互作用力。当两球心间的距离等于或小于l时，两球之间存在相互作用的恒定斥力F.设A球从远离B球处以速度v0沿两球心连线向原来静止的B球运动。如图7所示。欲使两球不发生接触，v0必须满足什么条件?

图7

解析：两球不相接触的条件是两球心间的距离d>2r。

两球运动分析：当球心距离小于l后，A球受到斥力而做匀减速直线运动，B球受到斥力而做初速为零的匀加速运动，从而产生A追B的情形。开始阶段A球的速度大于B球速度，球间距离在减小，当B球速度大于A球速度时两球间的距离就会增大，所以两球的速度相等时两球间的距离达到最小。不相撞的条件是这个最小距离要大于2r。如图8所示。

图8

两球从相互作用开始，A的位移为x A，B的位移为x B，d=x B+l－x A>2r。

解法1：利用牛顿定律和运动学公式。

分析知，两球间距最小时，有v1=v2

设相互作用过程中，A、B两球的位移分别为x A和x B，则距离关系为l+x B－x A>2r。

由牛顿第二定律得，两球加速度分别为a A=，a B=

由运动公式知，两球速度分别为v A=v0－a A t，v B=a B t

由运动学公式知，两球位移分别为：x A=－，x B=

联立以上各式解得v0<

解法2：利用极值法求解

当A、B间的距离等于l时，开始计时

A球的位移x A=vot－，B球的位移x B=

据牛顿第二定律a A=，a B=

球心间距离d=x B+l－x A= －（v o t－）+l=

当t＝－时，d有最小值，此时a A t+a B t=v0，即a B t=v0－a A t

因为v A＝v0－a A t，v B=a B t，所以v A= v B

d min=

==－

两球不相遇d min>2r，所以－>2r，即v0<

解法3：利用图象法求解。

如图9所示，作出A、B两球的速度图象，交点C处，v A=v B，此时，两球相距最近为d，要求不碰撞，则d=x B+l－x A>2r，有x A－x B

由图象知x A—x B，即Δv0OC的面积，则x A－x B=②

v A=v B，即v0－=③

解①②③，得v0<

点评：解决此题的关键是对题目的物理过程进行分析，找出两球不相撞的条件。此题是动力学的综合题目，从不同的角度、不同的物理观点出发得到几种不同的解法，但各种解法中都应用了追击问题中当物体速度相等时，两物体间距最小这一临界条件。此题中l 比2r大得多，但r不能忽略，即小球不能看成质点。本题考查应用牛顿运动定律与运动学公式进行分析和解决问题的能力，弄清物理过程，找出不接触的条件，v相同，l+x B－x A>2r 是解题的关健。

【模拟试题】（答题时间：60分钟）

1. 理想实验有时更能深刻地反映自然规律。如图1所示，伽利略设想了一个理想实验，其中有一个是经验事实，其余是推论。

①减小第二个斜面的倾角，小球在这一斜面上仍然要达到原来的高度

②两个对接的斜面，让静止的小球沿一个斜面滚下，小球将滚上另一个斜面

③如果没有摩擦，小球将上升到原来释放时的高度

④继续减小第二个斜面的倾角，最后使它成为水平面，小球要沿水平面做持续的匀速运动请将上述理想实验的设想步骤按照正确的顺序排列（只要填写序号即可）。

在上述的设想步骤中，有的属于可靠的事实，有的则是理想化的推论。下列关于事实和推论的分类正确的是（）

A. ①是事实，②③④是推论

B. ②是事实，①③④是推论

C. ③是事实，①②④是推论

D. ④是事实，①②③是推论

2. 质量为m的木块位于粗糙水平桌面上，若用大小为F的水平恒力拉木块，其加速度大小为a。当拉力方向不变，大小变为2F时，木块的加速度大小为，则（）

A. ＝a

B. <2a

C. >2a

D. ＝2a

3. 一向右运动的车厢顶上悬挂两单摆M与N，它们只能在如图2所

示的平面内摆动。某一瞬时出现如图所示情景，由此可知

①车厢做匀速直线运动，M摆动，N静止

②车厢做匀速直线运动，M摆动，N也摆动

③车厢做匀速直线运动，M静止，N摆动

④车厢做匀加速直线运动，M静止，N也静止

车厢的运动及两单摆相对车厢运动的可能情况是（）

A. ①②

B. ③④

C. ①③

D. ②④

4. 如图3所示，底板光滑的小车上用两个量程为20 N、完全相同的弹簧秤甲和乙系住一个质量为1 kg的物块。在水平地面上当小车做匀速直线运动时，两弹簧秤的示数均为10 N。当小车做匀加速直线运动时，弹簧秤甲的示数变为8N。这时小车运动的加速度大小是（）

A. 2 m／s2

B. 4 m／s2

C. 6 m／s2

D. 8 m／s2

5. 如图4所示，一个盛水的容器底部有一小孔。静止时用手指堵住小孔不让它漏水，假设容器在下列几种运动过程中始终保持平动，且忽略空气阻力，则（）

A. 容器自由下落时，小孔向下漏水

B. 将容器竖直向上抛出，容器向上运动时，小孔向下漏水；容器向下运动

时，小孔不向下漏水

C. 将容器水平抛出，容器在运动中小孔向下漏水

D. 将容器斜向上抛出，容器在运动中小孔不向下漏水

6. 一个质量为2kg的物体，在5个共点力作用下保持平衡，现同时撤销大小分别为15 N 和10 N的两个力，其余的力保持不变。此时该物体的加速度大小可能是（）

① 2 m／s2② 3 m／s2③ 12 m／s2④ 15 m／s2

A. ①②

B. ③④

C. ①④

D. ②③

7. 两物体A、B间的质量关系是m A>m B，让它们从同一高度同时开始下落，运动中它们受到的阻力相等，则（）

A. 两物体的加速度不等，同时到达地面

B. 两物体的加速度不等，A先到达地面

C. 两物体的加速度相等，同时到达地面

D. 两物体的加速度相等，A先到达地面

8. 利用传感器和计算机可以测量快速变化的力。如图5所示是用这种方法获得的弹性绳中拉力随时间的变化图线。实验时，把小球举高到绳子的悬点O处，然后让小球自由下落。从此图线所提供的信息，判断以下说法中正确的是（）

A. t l时刻小球速度最大

B. t2时刻绳子最长

C. t3时刻小球动能最小

D. t3与t4时刻绳子最长

图5

9. 如图6所示，质量相同的两物体1、2用轻质弹簧连接后置于光滑的水平面上，开始时弹簧处于自然状态，现用水平恒力拉物体1，则弹簧第一次被拉到最长的过程中（）

A. 1、2的速度相等时，其加速度a l＝a2

B. 1、2的速度相等时，其加速度a1

C. 1、2的加速度相等时，其速度v l＝v2

D. 1、2的加速度相等时，其速度v1

图6

10. 下列哪个说法是正确的（）

A. 体操运动员双手握住单杠吊在空中不动时处于失重状态

B. 蹦床运动员在空中上升和下落过程中都处于失重状态

C. 举重运动员在举起杠铃后不动的那段时间内处于超重状态

D. 游泳运动员仰卧在水面静止不动时处于失重状态

11. 一间新房即将建成时要封顶，考虑到下雨时落至房项的雨滴能尽快地淌离房顶，要设计好房顶的坡度。设雨滴沿房顶下淌时做无初速度、无摩擦的运动，那么，图7中所示的四种情况中符合要求的是（）

图7

12. 如图8所示，在倾角为θ的光滑坡面上放一块上表面粗糙，下表面光滑的木板，木块质量为m l，质量为m2的人在木板上应向以加速度奔跑时，可使木板不动。

图8

13. 物体同时受到F1、F2两个力作用，F1、F2随位移变化的关系如图9所示，如果物体从静止开始运动，当物体具有最大速度时，位移值为 m。

图9

14. 质量为60 kg的人站在升降机中的台秤上，升降机以2 m／s的速度竖直下降，此人突然发现台秤的读数变为630 N，并持续2 s，求升降机在这2 s内下降了多少米?（g取10 m ／s2）

15. 如图10所示，一辆卡车后面用轻绳拖着质量为m的物体A，A与地面的摩擦不计。

（1）当卡车以a1＝g的加速度运动时，绳的拉力为mg，则A对地面的压力多大?

（2）当卡车的加速度a2＝g时，绳的拉力多大?

图10

16. 滑雪运动员依靠手中的撑杆用力往后推地，获得向前的动力。一运动员的质量是60 kg，撑杆对地面向后的平均作用力是300 N，力的持续作用时间是0.4 s，两次用力之间的间隔时间是0.2 s，不计摩擦阻力。若运动员从静止开始做直线运动，求6 s内的位移是多少?

【试题答案】

1. B

2. C

3. A

4. B

5. D

6. D

7. B

8. B

9. B 10. B

11. C 12. 沿斜面向下； 13. 5

14. 3 m 15.（1）mg （2）mg

16. 62 m