平面向量全章复习

平面向量全章复习

推论及公式：

● 设a =（x ，y ），则a 2=x 2+y 2，即|a |=x 2+y 2． ● 两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）间的距离公式为AB = ()()221212x x y y -+-．

● a =(x 1,y 1)，b = (x 2,y 2)，它们的夹角为θ，则有1212

2222

1122

cos x x y y x y x y θ+==+?+a b a b

●

0⊥?=a b a b 1212x x y y ?+=0．

二．典型例题分析

例1. 在四边形ABCD 中, 已知AD AB AC +=, 试判断四边形ABCD 是什么样的四边形?

例2. 化简：（1）AB BC CD ++=______；（2）AB AD DC --=_____；（3）()()AB CD AC BD ---=_____． 例3. 若AB =3e 1,CD =－5e 1,且|AD |=|BC |，判断四边形ABCD 的形状． 例4. 若1

12()(3)032

x a b c x b --+-+=，则x =__________．

例5. 已知向量a 、b 不共线，实数x 、y 满足向量等式3x a +(10－y )b =2x b +(4y +4)a ,则x =_____________,y =_____________．

例6. 向量(1,1)a =，且与b a 2+的方向相同，则b a

?的取值范围是 ),1(+∞-． 例7. 已知OA =(-1，2)，OB =(3，m )，若OA ⊥OB ，则m 的值为__________．

例8. 已知||1,||2,0,OA OB OA OB ==?=点C 在AOB ∠内，且045AOC ∠=，设OC mOA nOB =+，其中,m n R ∈，则

m

n

等于__________. 例9. 已知向量),2,1(),1,3(-=-=b a 则b a 23--的坐标是_____．

例10. 已知平面内三点AC BA x C B A ⊥满足),7(),3,1(),2,2(，则x 的值为_______．

例11. 设向量)2,1(),1,3(-==OB OA ，向量OC 垂直于向量OB ，向量BC 平行于OA ，试求

OD OC OA OD ,时=+的坐标．

例12. 已知b a b a k b a 3),2,3(),2,1(-+-==与垂直，求实数k 的值．

例13. 已知|p |=22，|q |=3，p 、q 的夹角为45°，求以a =5p +2q ，b =p －3q 为邻边的平行四边形过a 、b 起点的对角线长．

例14. 设平面上有四个互异的点A 、B 、C 、D ，已知（,0)()2=-?-+AC AB DA DC DB 试判断△ABC 的形状．

例15. 已知|a |=3 ，|b |=4， (且a 与b 不共线)， 当且仅当k 为何值时， 向量a +k b 与a －k b 互相垂直?

例16. 已知向量a 、b 满足b b a b a a 求，

5,53=-=+=． 例17. 若向量a ，b 满足12a b ==，

且a 与b 的夹角为3

π

，则a b +=________． 例18. △ABC 中，3||=?→

?AB ，4||=?→

?AC ，5||=?→

?BC ，则=?BC AB ______（答：－9）

例19. 已知点(2,3),(5,4)A B ，(7,10)C ，若()AP AB AC R λλ=+∈，则当λ＝____时，点P 在第一、三象

限的角平分线上（答：

12

）； 例20. 已知(1,1),(4,)a b x ==，2u a b =+，2v a b =+，且//u v ，则x ＝______（答：4）；

例21. 已知△ABC 中，A （2，－1），B （3，2），C （－3，－1），BC 边上的高为AD ，求点D 和向量AD 的坐标．

例22. 已知a 、b 都是非零向量，且a ＋3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直，求a 与b 的夹角． 例23. 设向量a 与b 的夹角为θ，(33)a =，，2(11)b a -=-，，则cos θ=_______．(

31010

)

例24. 设向量(3,1),(1,2O A O B ==-，向量OC 垂直于向量OB ，向量BC 平行于OA ，试求

,OD OA OC OD +=时的坐标．

例25. 已知13(3,1),(,),22

a b =-=若存在不为零的实数k 和角α，使得

()sin 3,sin c a b d ka b αα=+-=-+?，且c d ⊥，试求实数k 的取值范围．

例26. 已知M ＝(1+cos2x ，1)，N ＝(1，3sin2x +a )(x ，a ∈R ，a 是常数)，且y =OM ·ON (O 是坐标原点)⑴求y 关于x 的函数关系式y =f (x )；⑵若x ∈[0，2

π

]，f (x )的最大值为4，求a 的值，并说明此时f (x )的图象可由y =2sin(x +

6

π

)的图象经过怎样的变换而得到． 例27. 已知：a 、b 、c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝（1，2）。 ⑴若|c |52=，且a c //，求c 的坐标；⑵若|b |=

,2

5

且b a 2+与b a 2-垂直，求a 与b 的夹角θ. 例28. 平面内向量)7,1(=OA ，)1,5(=OB ，)1,2(=OP )，点X 为直线OP 上动点.

①当XB XA ?取最小值时，求OX 的向量坐标.②当点X 满足①中条件和结论时，求cos ∠AXB 的值

1.若|a -b|=41-203，|a|=4,|b|=5，则a与b 的数量积为 （ ）

A ．103

B ．－103

C ．102

D ．10 8．已知02

=+?AB BC AB ，则△ABC 一定是

（ ）

A ．锐角三角形

B ．直角三角形

C ．钝角三角形

D ．等腰直角三角形 9．若非零向量a,b 互相垂直，则下列各式中一定成立的是

（ ）

A ．a +b =a -b

B ．|a +b|=|a -b|

C ．(a +b)(a -b)=0

D ．2

(a -b)=0 11.已知平行四边形的3个顶点为A(a,b),B(-b,a),C(0,0)，则它的第4个顶点D 的坐标是

A.(2a,b)

B.(a-b,a+b)

C.(a+b,b-a)

D.(a-b,b-a) 14．已知e 为单位向量，||a =4，e a 与的夹角为π3

2

，则e a 在方向上的投影为 .

15．已知b a b a ,,3||,4||==的夹角为120°，且b a c 2+=，b k a d +=2，当a c ⊥时，k= 16．已知点A （－2，－3），B （－1，－6），C （19，4），则△ABC 的形状是 . 18．平面内有向量OA =(1,7)，OB =(5,1),OP =(2,1)，点M 为直线OP 上一个动点.

（1）当MA , MB 取最小值，求OM 坐标；（2）当点M 满足（1）的条件和结论时，求AMB ∠cos 的值. 19.已知a =（cos α，sin α）,b =（cos β,sin β），a 与b 之间有关系|k a +b |=3|a －k b |， (k>0)

（1）用k 表示a ·b ;（2）求a ·b 的最小值，并求此时a ·b 的夹角的大小。

20.（1）已知a ,b 是两个非零向量，且a +3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直，试求a 与b 的夹角； （2）已知：|a |=2,|b |=3,a 和b 的夹角为45°，求使向量a +λb 与λa +b 的夹角是锐角时λ的取值范围。 21.设a 、b 是两个不共线的非零向量（R t ∈）

（1）记1OA =a,OB =tb,OC =(a +b),3

那么当实数t 为何值时，A 、B 、C 三点共线？ （2）若120且 与夹角为|a|=|b|=1 a b ，那么实数x 为何值时||b x a -的值最小？

数列

3．数列{}n a 的通项公式为 n n a n 2832-=,则数列各项中最小项是( B ) A ．第４项 B ．第５项 C ．第６项 D ．第７项

4．已知数列{}n a 是递增数列，其通项公式为n n a n λ+=2,则实数λ的取值范围是),3(+∞- 5．数列{}n a 的前n 项和142+-=n n S n ,，则??

?≥-=-=2

5

21

2n n n a n 题型 应用??

?

≥-==-)

2()1(1

1

n S S n S a n n n 求数列通项

例．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，求其通项公式.23-=n n S 三、利用递推关系求数列的通项

【例3】根据下列各个数列{}n a 的首项和递推关系，求其通项公式 ⑴1

41

,2

12

11-+

==

+n a a a n n

3设1

212111++++++=n n n a n ，(*

∈N n )，则n n a a 与1+的大小关系是( C ) A ．n n a a >+1 B ．n n a a =+1C ．n n a a <+1 D ．不能确定

5．已知数列{}n a 的前n 项和，

142+-=n n S n 则???≥-=-=)

2(,52)

1(,2n n n a n

7．已知数列{}n a 的通项

99

98--n n （*∈N n ），则数列{}n a 的前30项中最大项和最小项分别是910a a ， 等差数列

3．等差数列{}n a 中，12910S S a =>，，则前10或11项的和最大。

4．已知等差数列{}n a 的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为－110 ６．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知 001213123<>=S S a ，，

①求出公差d 的范围，②指出1221S S S ，，， 中哪一个值最大，并说明理由。 1． 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若=+++=118521221a a a a S ，则

2． 等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，已知50302010==a a ， ①求通项n a ；②若n S =242，求n 10．已知数列{}n a 中，，31=a 前n 和1)1)(1(2

1

-++=

n n a n S ①求证：数列{}n a 是等差数列②求数列{}n a 的通项公式

③设数列?

??

???+11n n a a 的前n 项和为n T ，是否存在实数M ，使得M T n ≤对一切正整数n 都成立？若存在，求M 的最小

值，若不存在，试说明理由。

等比数列

1． 已知数列{}n a 是等比数列，且===m m m S S S 323010，则，70 （问题引入） 例2：⑴在等比数列{}n a 中，143613233+>==+n n a a a a a a ，， ①求n a ，②若n n n T a a a T 求,lg lg lg 21+++= 一、错位相减法求和 例：求和：n n a

n

a a a S ++++= 32321 二、

裂项相消法求和

例2：数列{}n a 满足1a =8，022124=+-=++n n n a a a a ，且 （*

∈N n ）求数列{}n a 的通项公式； 点拨：①若数列{}n a 的通项能转化为)()1(n f n f -+的形式，常采用裂项相消法求和。 ②使用裂项消法求和时，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项。 １．

数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5)

1(1

S n n a n ，则+=

等于（ ）

４．)(x f 的定义域为R ，且)(x f 是以2为周期的周期函数，数列{}n a 是首项为)(*∈N a a ，公差为1的等差数列，

那么)()()(1021a f a f a f +++ 的值为（ C ）

A ．－1

B ．1

C ．0

D ．10a

５．设等比数列{}n a 的公比与前n 项和分别为q 和n S ，且q ≠1，8

1810

20

10=+=q

S S ，则

6．数列{}n a 满足1212

1n n a n n n =

+++

+++，1

2n n n b a a +=又，则数列{}n b 的前n 项和为18+n n １． 已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，2

)1(4

1

+n n a S 与是的等比中项，

①求证：数列{}n a 是等差数列； ②若n

n

n a b 2=

，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T ③在②的条件下，是否存在常数λ，使得数列?

??

???++2n n a T λ为等比数列？若存在，试求出λ；

２．

已知在正项数列{}n a 中，1a =2，且），1(+n n n a a A 在双曲线12

2

=-x y 上，

数列{}n b 中，点（n b ，n T ）在直线12

1

+-

=x y 上，其中n T 是数列{}n b 的前n 项和，①求数列{}n a 的通项公式；②求证：数列{}n b 是等比数列。③若n n n n n C C b a C

22.（2009全国卷Ⅰ理）在数列{}n a 中，

1111

1,(1)2n n n

n a a a n ++==++ （I ）设n

n a b n =

，求数列{}n b 的通项公式（II ）求数列{}n a 的前n 项和n S

《不等式》

1、 利用不等式的性质求取值范围 例4 如果3042x <<,1624y <<,则

(1) x y +的取值范围是 , (2) 2x y -的取值范围是 ,(3) xy 的取值范围是 (4)

x

y

的取值范围是 例5已知函数2()f x ax c =-,满足4(1)1f -≤≤-,1(2)5f -≤≤,那么(3)f 的取值范围是 . [思维拓展]已知15a b -≤+≤，13a b -≤-≤，求32a b -的取值范围。（[-2，0]）

2、 解一元二次不等式 例6 解不等式：（1）22740x x ++>；（2）2

830x x -+-> 例7已知关于x 的方程(k-1)x 2

+(k+1)x+k+1=0有两个相异实根，求实数k 的取值范围 利用基本不等式求最值 例9若x>0,y>0,且

28

1x y

+=,求xy 的最小值 [思维拓展] 求9

()45

f x x x =+

-(x>5)的最小值.