浅谈数学教育学

浅谈数学教育学

（山坡高中吕定忠）

绪论

[目标]

1、了解数学教育学的研究对象和特点

2、了解数学教育学的研究方法

数学教育学是在中学数学教材教法的基础上发展起来的，在这个过程中又受到了一般教学论的制约，它的研究范围一直局限在中学数学的教学目的、内容；中学数学教学的原则、方法；中学数学教学的过程；以及中学数学教学效果的检查等方面。其中的教学目的、内容又是被教学大纲和教材确定下来的，教学原则、方法、过程多数又是从一般教学论中移植过来的，至于教学效果的检查又以是否通过考试作为衡量的唯一标准。这种被“确定下来”和“移植过来”的做法严重地阻碍了数学教育学的发展。因此，必须明确数学教育学的研究对象和方法。

1 数学教育学的诞生与现状

数学教育学的主要理论基础是数学教育哲学和数学教育心理学，本节将简要介绍它们的形成、现状与发展。在源源流长的历史长河中，人类的数学教育实践，积累了丰富的数学教育经验；同时人们在实践中又不断地探索和研究，极大丰富了数学教育宝库。这些都是数学教育理论得以形成与发展的社会源泉。

另一方面，经济的变革，社会的进步，科学技术的发展，推动了数学教育不断地改革，促使数学教育与社会、经济、科技发展的需要相适应。近30年来，由于科学技术飞速发展，加速了学科之间相互渗透、相互融合、相互为用的进程。数学教育在其发展过程中，不断吸纳了相关学科的成果，它既有哲学思想的更新，又有教育学和心理学新成果的注入，还有思维科学、脑科学，以及数学科学自身发展的新内容的充实，更有信息论、控制论、系统论等三论的科学方法作指导。这些学科理论的渗透、充实，丰富了数学教育理论，为数学教育科学奠定了坚实的理论基础。

2 数学教育学的研究对象

数学教育学是建立在数学和教育学的基础上，综合运用心理学、认知科学、思维科学、逻辑学等相关学科的成果于数学教育、教学的实践而形成的一门综合性的交叉学科。它要解决的主要问题是：为什么教（学）数学（教学目的）？教（学）什么样的数学（课程内容）？怎样学数学（学生）？怎样教数学（教师）？以及如何评价教与学的效果（评价）？

如何解决上面问题，下面做出探讨。

（1）、数学课程目标的研究

随着时代的进步，社会对学校教育培养的人才规格会不断提出新的要求。从工业革命时代进入信息革命时代，使知识的有序性向信息的无序性转变，对人的素质的要求越来越高。那么，数学素养应当包括哪些成分？对中学生的数学素养要求到什么程度？确定中学数学课程目标的依据是什么？影响中学数学课程的因素有哪些？数学课程标准中提出的“人人学有价值的数学”，“人人都能获得必要的数学”，“不同的人在数学上得到不同的发展”，其中什么是有价值的数学？什么是必要的数学？如何理解不同的人在数学上得到不同的发展？如此等等，都应当展开深入地研究。

（2）、数学课程内容的研究

如果说中学数学课程目标是在观念上体现中学数学教育所要达到的结果的话，那么数学课程内容则是实现目标的载体。对中学数学课程内容的研究就是如何把数学的科学形态转化成数学的教育形态。作为教育的数学，它的内容比形式更重要；它的思考过程至少和结果同等重要；这样就会涉及到对课程内容的选取加工编排等一系列问题。把观念上的目标变成在教学中可操作的具体目标。举个例子来说，在数学课程标准中的总体目标中提出了创新精神和实践能力的培养，从课程内容的整体上就必须考虑到问题解决、课题学习、数学探究、数学建模等内容，同时，在局部内容的设计上也要考虑到创新精神和实践能力的培养。例如“连续3个奇数的和是177，求这3个数”的问题，如果只要求会列方程17742=++++x x x ，求出x=57，于是这3个连续奇数是57，59，61。这样就没有体现创新精神和实践能力的培养。如果在课程内容的设计上，让学生通过实验的方法猜一猜：x x+2 x+4 和

41 43 45 129

51 53 55 159

55 57 59 171

57 59 61 177

或者在课程内容的设计中提出“3个连续奇数与它们的和之间具有什么关系？”的问题，让学生在自主探索、合作交流中去发现；就有利于创新精神和实践能力的培养。学生能够从若干组具体的3个连续奇数与它们的和之间找出规律性：

;53)621(;33)615(;13)69(21975157539531=÷-=÷-=÷-=++=++=++；；；

）。个奇数（第）（57136177=÷-这样处理就有利于创新精神的培养。

此外，在中学数学课程内容的研究中，如何处理好课程内容和现代社会科技发展的关系？课程内容与学生心理发展的关系？课程内容与文化传统的关系？各国数学课程内容的比较研究；计算机技术和数学课程内容整合的研究；新课程、新教材的实验研究等等，都是值得研究的课题。

（3）、数学教学的研究

学生的学习活动是在教师的组织、引导、参与下进行的，教师的教学活动必须以学生的学习活动为前提。围绕“学”与“教”的双边活动开展的数学教学设计的研究；特别是新一轮课程标准中提出的自主探究、合作交流的教学模式的研究；问题解决、课题学习、培养学生创新精神、实践能力的教学模式的研究；各种教学方法的优化组合的研究，都是摆在我们面前的研究课题。

(4)、数学教育评价的研究

教与学的效果怎样评价？评价的原则和方法是什么？怎样评价才能实现促进学生的发展？怎样实现对学生数学学习过程的评价？怎样对学生发现问题、解决问题能力的评价？怎样实现评价主体和方式的多样化？等等，都值得进行深入地研究。

3 数学教育学研究的特点

学习和研究一门学科必须掌握它的特点。由于数学教育学研究的对象十分复杂，它的理论还未达到精确化，人们对这一学科及其特点还没有统一的看法。下面着重介绍几个比较显著的基本特点:

1、综合性

所谓综合性是指数学教育学是一门与数学、哲学、教育学、心理学、逻辑学等学科相关

联的综合性学科。但数学教育学不是这些学科的随意拼凑与组合,而是从数学与数学教育的特点出发运用这些学科的原理、结论、思想、观点和方法,来解决数学教育本身的问题。

研究数学教育、教学必须要有一定的数学修养,而且数学的造诣越高,越能把握数学内部的精髓,正是从这个意义上说,研究数学教育一刻也不能离开数学。但值得指出的是,数学教育不是数学的自然结果，因为数学教育有其自身的规律性。

数学学习是一个特殊的认识过程,它当然要受制于一般的认识规律。但是数学学习的对象有其自身的特点（如抽象性、概括性较强,基本上是演绎的体系,知识的前因后果联系比较紧密等）,这样,数学学习又有其特殊性。数学教育学研究的综合性就是这种一般性与特殊性的高度统一。这种统一不是简单地把特殊性作为一般性的肯定例证，换句话说，不是一般性结论加数学教学方面的例子,而是在一般性理论(教育学、心理学等)指导下,从数学教育的特殊性出发引出适合于数学教育的必要的一些结论,从而充实、丰富一般性结论。

数学教育学的综合性特点要求我们：要注意与数学教育学密切相关的学科的发展。例如,形式逻辑已较普遍地吸取了数理逻辑的一些研究方法和成果；认知心理学派提出关于数学认知结构的观点；教学论里吸收了许多系统论、信息论与控制论的观点等等,都要引起我们的注意与研究。特别要防止已被其它学科抛弃的旧思想、旧观点、旧方法仍被我们奉若神明,这样,数学教育学就显示不出时代特点了。

2、实践性

数学教育学的实践性表现在以下三个方面:

第一，数学教育学要以广泛的实践经验为其背景。实践始终是数学教育学的源泉,离开了实践,数学教育就成为无源之水、无本之木。例如,在概念的教学中,教师总结出许多方法,如揭示概念本质特征的对比、类比及正反例论证的方法；在体系中掌握概念的知识结构与内在联系的方法等等。这些都是我们研究概念教学与学习的丰富背景。离开这些背景,只是从理论到理论的论述,是不能解决教学实际问题的。

但是,任何实践经验,都缺乏一定的概括,都带有一定的局限性,它一般是与当时特定的情景、条件联系在一起的,因此,有必要加以提炼、概括，把它们上升为适用范围较广的理论,而这正是数学教育学研究的任务之一。

第二，数学教育学所研究的问题来自于实践。以数学学习和教学为例来说,就有许多悬而未决的问题需要去研究。如数学学习具有怎样的心理规律？数学问题解决的心理机制是什么?如何通过数学教学培养学生的创新意识和实践能力？现代化教学手段对教学内容的选择、教学材料的组织、教学进度的影响，以及对学生学习态度、学习方法的影响等问题,都是当前亟待解决的问题,也是数学教育学应该研究的问题。

第三，数学教育学的理论要能指导数学教与学实践,并通过实践检验其理论。由于数学教育学是对中学生学习数学知识、发展数学思维的规律以及数学教学规律的研究,其理论必将对中学教师的教学实践提供依据，指导教师的教学实践，并受中学数学教学实践的检验。

3、理论性

数学教育学的理论性体现在，数学教育学的理论要符合数学学习、数学教学的一般规律,符合事物发展的趋势,符合其它学科的一般规律,符合实际。要根据数学教育过程的固有特性和本质规律来揭示数学教育的特点，对数学学习、数学教学等方面的问题给予系统的回答。数学教育学的实践性并不是脱离理论指导的盲目实践。因此，这门学科，不仅具有很强的实践性，同时又是一门理论。

4、发展性

数学教育学的发展性体现在数学教育学要跟上时代发展的步伐。由于社会的不断发展，社会对基础教育不断提出新的要求，数学教育的目标、内容以及教学方法也要不断的改进。例如,由于科学技术的发展,劳动的性质越来越具有智力的成份,再加上科学发展之迅速,不

可能使学生在学校学到一辈子受用的知识,更多的知识靠他在毕业后自身去获取知识,于是发展智力、培养自主学习能力的问题就提出来了。时代的发展对数学教育提出了新的要求,这样,一些旧的教育思想就不太适应了,需要加以革新,使之符合数学教育发展的趋势。又由于科学技术的进步和数学教育研究不断取得新的成果以及教学经验的积累，也会使得数学教育学的理论更加丰富。

事实上，数学教育学的四个特点有其各自的作用。综合性是数学教育学理论研究的依托,实践性是数学教育学的出发点与归宿,理论性是数学教育学的基本要求,发展性是使数学教育学丰富的源泉。四个特点本身也是相关的,没有实践性与发展性就谈不上理论性。因此,我们应该在数学教育的整体下,统一地来考虑这四个特点。

4 数学教育学的价值

所谓数学教育的价值,即数学教育对人的发展的价值。如何认识数学教育的价值,这是数学教育的一个基本理论问题,也是数学教育工作者为了卓有成效地进行数学教育而必须具备的一种数学教育理论修养。古往今来,大凡受过适度教育的人,都要接受不同程度的数学教育。那么,为什么要进行数学教育？为什么把数学设为学校的主课？要回答这个问题,有赖于对数学教育价值的理解。下面从数学的实践价值、认识价值、德育价值和美育价值等方面来阐述数学教育的价值。

一、数学的实践价值

所谓数学的实践价值,是指数学对于认识客观世界、改造客观世界的实践活动所具有的教育作用和意义。任何一门科学其教育价值都是建立在它的实践价值基础之上的，如果一门科学不具备任何方面的实践价值，这种知识对教育来说可以认为是没有多大价值和意义的。正如数学家拉普拉斯所说:“数学是一种手段,而不是目的,是人们为解决科学问题而必须精通的一种工具。”这种工具的作用主要表现在:

1、数学是科学的语言。任何科学都有自己的语言,这种语言能高度准确地描述科学所固有的特性。不难想见，化学反应方程式的语言何等清晰洗练。它使化学家们不仅能记下化学过程的进行情况，而且能预见到可能产生的结果。尽管这种语言如此重要，但充其量最多也只不过用来解决化学自身中的问题，却不可能将它用到其他方面的知识领域中去。在这方面，数学语言则有不可比拟的优越性，从一定意义来讲,数学是适合于描述不同质的过程的万能语言。在初中代数中指出,用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子,叫代数式。用代数式总能表达一个意思。因此,代数式是数学语言中的词汇或短句。而列方程就是把日常生活语言翻译成代数语言。要想掌握代数这个工具,就要学会认读代数式,会翻译其含义,并且会由代数式展开推理。这是学好代数,以致于学好数学的基本功。

数学语言由于其本质上包含着思维的经济性,使得我们可用少量的语言和公式来描述不

同质的过程。例如,二次函数221ax y =

既可描述自由落体运动(22

1gt s =),又可描述物体运动的动能(221mv E =),也可表示半径为r 的半圆形铁板的面积(221r S π=)等等。好的数学语言本身还可成为数学发现的有力工具。譬如,

abc x bc ac ab x c b a x c x b x a x -+++++-=---)()())()((23

的符号记法能使你发现即使几十个数值例子都不大可能发现的东西:三次方程根与系数的关系。实际上,对于各行各业的技术术语而言,同样都要训练有素才能灵活运用。但是,不能认

为这些术语和符号的引入,增加了这些理论的难度。相反地,这些术语或符号的引入,往往是为了理论的易于表述和解决问题。特别是在数学中,只要细加分析,即可发现符号化给数学理论的表述和论证带来极大的方便,甚至是必不可少的。可见,学好数学语言正是为今后到科学技术领域“留学、工作”的必要条件。

2、数学是计算的工具。数值计算是数学的基本功用之一。一门学科从定性的描述到定量的分析,是这门学科达到成熟阶段的重要标志。因此,数学科学的实践价值的一个方面就在于它是计算的工具。天体力学理论依据数学计算和推导，正确地预言了海王星的存在；生物遗传学中的基因理论就是从两两具有不同性状的个体杂交实验中获得了大量实验数据，进行大量计算，并经过数理统计推断分析才提出来的。

现在，数值计算都可以使用计算器甚至用计算机,还学数学做什么？“实际上,数学是一门艺术,是一门通过发展概念和技巧以使人们更为轻快地前进，从而避免靠蛮力计算的艺术。”比如，计算：

132

111019017215614213012011216121++++++++++ 靠蛮力计算甚至用计算器都可求得结果,然而观察分母特点,进行拆分,

原式=+-+-)3121()211( (12)

111211)121111()111101(=-=-+-+，省时省力又准确。可见,数学教给人们的是计算的艺术。

3、数学是科学抽象的工具。运用数学的抽象,数学模型的方法，在理想状态下分析最纯粹的过程，是科学研究的重要手段。数学作为科学抽象的工具，在科学史上可以找到无数的事例。著名的“七桥问题”，在一般市民走来走去找不到出路的时候，数学家欧拉把问题抽象为“一笔画”问题,一举证明所要求的走法不存在。牛顿研究天体力学，中心的物理概念是引力。而引力的作用是完全不能用物理的术语解释。牛顿不给解释，只给出一个显明而有用的数量公式，表明引力是怎样作用的。这就是为什么牛顿在《自然哲学的数学原理》的开端处说：因此，我计划在这里只给出这些力的数学概念，不考虑它们的物理原因的根底。虽然牛顿放弃物理的机械解释而改用数学的描写，甚至使杰出的科学家也感到震惊，曾遭到过惠更斯、莱布尼兹等人的非议。“但是，只有依靠数学的描写（即使完全缺乏物理的了解时也依靠它）才使得牛顿的惊人的贡献成为可能，更不用说后来的发展了。”近、现代的科学成就，如相对论、量子力学、信息论、控制论等，都是因为有了相应的数学为之提供了科学抽象的工具，才使得它们成为了现代科学发展的里程碑。通过数学学科教育，可以使人们熟练地掌握打开科学大门的钥匙。

二、数学的认识价值

所谓数学的认识价值,是指学习和掌握数学科学知识及其过程在发展人的认识能力上所具有的教育作用和意义。认识价值是评价一门科学是否具有教育价值的最根本的标准和出发点.数学科学的认识价值表现为:

1、数学是锻炼思维的体操，启迪智慧的钥匙。每个正常人的思维能力的先天素质可能 差别不大。但是,思维能力作为一种潜能,必须通过刻苦地训练才能显现出来,才能转化为一种认识能力,而数学在这种能力的训练中具有不可缺少的突出作用。然而,善于推理的能力不是天生就有的。只有通过教育,才能使人在这方面的潜能得到发展。人类的推理能力在于,在完全相信可以进行推理之前,可以用其他的方法来确证推理要素的真与假以及推理是否完善。因为有如下一些特点,因此可以确认数学是最适合进行推理的科学:一是任何术语都被清楚地解释；二是证明过程都严格地合乎逻辑而不含糊,不受任何权威意见之制约与限制；三是任何悖于常理的概念与理论,只要它能对数学的发展有促进作用，就不会长期为人们所拒

绝。在数学中人类的理性可以最大限度地发挥出来，并以此来促进人类理性的发展。

这表明：首先，逻辑思维能力是思维能力的核心,数学是培养学生逻辑思维能力最好的、最经济的材料。因此,加里宁说:“数学是锻炼思维的体操。”化学家罗蒙诺索夫说:“至于数学,即使是只不过使人们的思维有条理,也应该学习。”这些话都是至理名言。其次,数学训练思维能力的价值不仅在于严格的逻辑推理,同时数学也是学习合情推理的理想的课堂，学习发现问题、提出问题、分析问题、解决问题思维程序，培养探索解决问题能力的最经济的场地。最后，数学方法的思维功能是数学教育功能最突出的体现。在数学的具有价值的内容体系中，数学方法是核心内容，因为数学思维从宏观上看是一种观念形态的策略创造，数学教学的重点就在于培养学生如何用数学的眼光、数学的方法去透视事物；提出数学概念；解决数学问题，而数学方法就是数学思维策略创造的结晶。要学会创造就要从数学思想方法的学习与应用开始。

2、数学是辨证的辅助工具和表现方式。数学抽象思维除了它的抽象概括性、简明性和严谨性之外，还有辨证性。数学概念的形成，数学思想的更新，数学方法的演进，处处充满了辨证的逻辑。抽象与具体，理论与实际，量与质，数与形，正与负，常量与变量，连续与离散，有限与无限，精确与模糊等等对立的数学概念，在一定条件下实现相互转化，这表明数学中充满了辨证法。人们要认识世界只有形式逻辑思维方式远远不够，还必须用辨证唯物的观点看世界。正象R·E·莫里兹所说：“数学使思维产生活力，并使思维不受偏见、轻信与迷信的影响与干扰。”足见数学对于提高人才素质有重大的教育价值和意义。

4 数学教育学的现实与课堂结合性

《标准》仍然认为，基础知识与基本技能是学生数学学习的重点，但需要重新思考的是，在当今社会，什么是学生应当花费时间和精力去牢固掌握的基础知识与基本技能？过去认为形式化、规范的概念与定理（法则）的表述和运用，快速、准确地从事复杂的数值计算与代数运算技能，多种类型、多种套路的解题技巧等等是这样的知识与技能。《标准》则认为，随着社会的进步，特别是科学技术和数学的飞速发展，对基础知识与基本技能的认识应当与时俱进，一些多年以前被看重的“基础知识”和“基本技能”已不再成为今天或者未来学生数学学习的重点。例如，某些复杂的、远超出学生认识水平和理解能力的运算技巧和证明技巧，那些人为编造、只和考试关联的“题型”等。相反，一些以往未受关注的知识、技能或数学思想方法却应当成为学生必须掌握的“基础知识”和“基本技能”。

例如，结合实际背景选择合适算法的能力，使用计算器处理数据的能力，读懂数据的能力，处理数据并根据所得结果作推断的能力，对变化过程中变量之间变化规律的把握与运用的意识等等，都是一个公民应具备的基本数学素养，是必须掌握的基础知识和基本技能。

值得注意的是，知识与技能目标中首次出现了过程性目标——如，经历将一些实际问题抽象为数与代数问题的过程，经历探究物体与图形的形状、大小、位置关系和变换的过程，经历提出问题、收集和处理数据、作出决策和预测的过程，等等。

作为一个学习课题，这中间似乎并不含有多少“确定性”的知识，然而，对它做探讨的过程确实可以使学生学到许多有价值的数学。

学生首先需要讨论的问题是用什么指标来刻画课外活动的情况——采用课外活动的时间、最喜欢的课外活动，还是选择其他指标？也许可以选择多个指标。这一过程可以使学生意识到：指标的确定应源于研究的需要。随后，学生需要讨论如何调查和收集数据——调查全校所有学生，还是只要调查一部分学生，即体验：可以用样本来推断总体。接下来的问题是，可以调查哪些人？——调查本班的同学，调查在操场上打球的学生，在校门口随便找一些同学，每个年级的男生、女生按比例各抽几个人，按各班名册随便点几个人等等。它可以使学生认识到：不同的样本得到的结果可能不一样。以后的活动还可以包括：从这些数据中

能作出什么推断？能想办法证实或反驳由这些数据得来的结论吗？——发展学生的推理能力。事实上，活动过程本身也就是一个锻炼克服困难的意志、建立自信心的过程，即它是实现数学思考、解决问题、情感与态度等目标的一个重要途径。

“知识与技能”这一目标对于不同学段的学生而言，具有不同的要求：

对初中学生而言，“数与代数”知识学习的重点是了解相关概念的由来，理解相应运算的算理并能够熟练地进行运算，同时能够从事探索数量关系和变化规律的活动，并能够掌握有关的数学模型（代数式、方程、函数等）；“空间与图形”知识学习的重点则是学习用不同的方法（操作、变换、作图、论证等）研究与表达几何体（图形）的有关性质和基本关系，掌握用平面直角坐标系表述物体位置关系的方法；“统计概率”知识学习的重点是完整地经历数据的处理过程——收集、整理和分析数据，并根据分析结果作出推断，学会计算一些事件发生的概率的方法。

作为组成这个目标的两大方面——思考数学与进行数学的思考，其含义是：一方面，它的实现是在学习数学知识、解决数学问题的过程中进行的（我们不需要、也不可能开设专门的“数学思考”课），但另一方面，它的实现却不是以是否知道了某个概念、定理，是否会用某些公式或法则为标志的。

而且，这个目标的实现也不能仅仅通过研究“纯粹”的数学现象来进行，而应当在研究多种现象与问题（数学的、非数学的）的过程中逐步完成。具体说来，这些目标的含义及其实现应当注意以下一些问题。

第一，经历运用数学符号和困形描述现实世界的过程，建立初步的数感和符号感，发展抽象思维。

这一目标的含义主要在于能够用数学的语言去刻画现实世界，去发现隐藏在具体事物背后的一般性规律。对于第初中学生来说，除了在较复杂的层面上能够完成前面的任务以外，重点应当是能够用各种数学关系（方程、不等式、函数等）去刻画具体问题，建立合适的数学模型。

第二，丰富对现实空间及图形的认识，建立初步的空间观念，发展形象思维。

这一目标的主要含义在于让学生建立初步的空间观念，能够借助图形去进行思维，这也是学生学习“空间与图形”的首要目标。对于初中学生来说，重要的工作应当是能够用多种方式（包括操作、图形变换、图案设计等），去构建几何空间，并尝试用图形去从事推理活动。

第三，经历运用数据描述信息、作出推断的过程，发展统计观念。

《标准》明确指出，统计的意识和方法应当为每一个未来公民所必备，这一个目标所关注的正是这一点。而且目标的阐述也明确表明，目标的实现是学生在一系列活动过程中实现的。对于初中学生来说，需要他们能够在现实情境中，根据需要收集、处理一些有用的信息，并根据对信息的处理结果，作出合理的推断。这时，需要让学生经历一个较为完整的统计活动过程：制定收集数据的指标、收集与表达数据、对数据做数学处理、根据处理结果作出统计推断。

第四，经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点。

作为一个受过系统教育的理性公民，一个重要的标志就是能够通过推理去作出合理的判断与选择，能够在与他人交流过程中清楚地表达自己的观点。就演绎推理能力的发展而言，它是伴随着学生逻辑思维水平的发展而逐步进行的，所以目标的实现过程也就存在着明显的阶段性。对于初中学生来说，应当让他们尝试通过不同的方式去检验一个猜想的可信性，通过不同类型的推理活动形成一个合乎情理的猜想，并能够用比较规范的逻辑推理形式表达自

己的演绎推理过程。

其次，在具体内涵方面，《标准》的要求是多方面的，包括初步学会从数学的角度提出问题、理解问题，井能综合应用所学的知识和技能解决问题。

第一，初步学会从数学的角度提出问题、理解问题。

它首先要求学生尝试在面对不同的现象（包括数学的和非数学的）时“从数学的角度提出问题”，换言之，初步具备一种数学的眼光，能够识别存在于数学现象或者日常的、非数学的现象与问题中的数学问题或者数学关系，并将它们提出来，然后，才是应用知识与技能解决问题。事实上。学生以往较为习惯的是在面对一个确定的问题时，思考解题方法，即提出问题是教材或教师的职责、解题才是学生的任务。在这一点上，《标准》可谓开了先河。为此，我们的教科书应当向学生提供观察、思考与猜测的机会，我们的教学更应当多问学生诸如“你发现了什么？”这样的问题。

第二，形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神。

对学生的发展而言，解决问题活动的价值不只是获得具体的结论，或者主要价值不在于此。它的意义更多是使学生在解决问题的过程中体会到解决问题是可以有不同策略的，每一个人都应当有自己对问题的理解，并在此基础上形成自己解决问题的基本策略。在这种鼓励个性发挥的意义之下，创新精神的培养才成为可能。为了实现这一目标，每一学段的教科书都应当给学生提供思考与交流的机会，所有的教学活动也都应当允许学生表达自己对问题的理解，采取自己认为合适的解决问题策略。

此外，发展实践能力与创新精神也是一个重要目标。个体的创新是建立在自己独立思考基础之上的，创新精神的一个基本要素是思维活动的非模仿性和独特性；实践能力不是“听”出来的，也不是“看”出来的，它是在自主活动过程中逐渐形成的。如果学生在数学学习过程中有足够的思维时间和空间、有自由表达自己解决问题思路的宽松氛围，有与同伴交流的机会……那么他们就是从事一种“开窍”的活动，这将有助于发展其创新精神；相反，如果学生的数学学习过程中充满了“模仿、记忆、识别、练习”等“对号入座”式的机械性学习活动，那么他们就是从事一种“闭窍”的活动，而这将逐渐消退每一个学生的天性中所包含的创新意识。因此，让学生寻求自己对知识和方法的理解是值得提倡的。在解决问题的过程中，让所有的学生都能够获得成功的体验，又都面临不同层次的挑战。问题的求解没有现成的公式或题型可以直接套用，要给学生留出足够的思考时间和空间，以及与同伴交流的机会。而“题型十题海”式的教学策略则必须得到有力的控制。

第三，学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果。

与他人交流是未来每一个公民都必须掌握的基本技能。我们不能片面地认为，请教别人就是一种思维上的“懒惰”。确切地说，我们应当鼓励学生在独立思考的基础之上与他人交流——交流各自对问题的理解、解决问题的思路与方法、所获得的结果等。这样，便能在解决问题活动的过程中发展“思考与交流”的能力。

（3）关于情感与态度

这一目标关系到对数学课堂中的素质教育的认识。《标准》认为，数学课堂就是素质教育课堂。合格公民的许多基本素质，诸如对自然与社会现象的好奇心、求知欲，实事求是的态度、理性精神，独立思考与合作交流的能力，克服困难的自信心、意志力，创新精神与实践能力等，是可以通过数学教学活动来培养的。

第一，能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心与求知欲。

孩子对自然与社会现象的好奇心、求知欲是一种重要的素质，它可以使一个人不断地学习、不断地得到发展，还可能使一个人走进科学的殿堂；反之，则会使一个人不求上进，终身碌碌无为。义务教育阶段的数学教育虽然不以培养数学家为使命，不企求所有的学生都热

爱数学、为学习数学贡献大量的时间和精力，但是，它应当使学生对数学有一个较为全面、客观的认识，愿意亲近数学、了解数学、谈论数学，对数学现象保持一定的好奇心。这一切实际上也是发展学生对自然与社会现象保持好奇心的一个途径。

第二，在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。

在以往的数学教学实践中，我们更多地强调“失败是成功之母”，强调数学学习的艰苦性，认为在数学学习过程中惟有给学生制造困难与障碍才能培养他们克服困难的自信心、意志力。理论与实践表明，对处于义务教育阶段的学生而言，这是一种片面的理解。许多学生在这样的学习过程中所形成的反馈是：数学学习对我来说是“失败、失败、再失败，直至彻底失败”。因而对数学学习甚至对其他课程的学习都丧失了信心，更谈不上具备克服学习过程中所遇到的困难的意志力。《标准》强调，在培养学生“克服困难的自信心、意志力”方面，我们应当关注两件事：①向学生提供具有挑战性的问题，使他们有机会经历克服困难的活动；②让他们在从事这些活动的过程中获得成功的体验，或是解决了相关的问题，或是找到了解决问题的有效思路，或是解决了部分问题，或是得到了对问题的进一步理解……为此，教科书（或教师的教学）在介绍新的数学知识与设计应用所学知识解决问题的情境时，应当尽可能提供一种“阶梯”式的问题申，使每一个学生都能够在活动中既有成功的体验，也有面临挑战的机会和经历，从而锻炼其克服困难的意志，建立学好数学的自信心。

第三，初步认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。

在人类的发展史上，有很多事例反映了数学所产生的巨大推动作用，了解这一点，有助于学生对数学的价值有较为全面的认识，有时。也会激发学生学习数学的欲望。为此，教科书与教师应适时向学生介绍有关的数学史实，如著名数学家事迹、经典案例、数学名著等。具体内容设计应考虑到学生的年龄特征与知识背景，分别选取数学人物介绍、数学故事、数学应用介绍、数学问题求解等形式。

第四，形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯。

基本的思维能力、科学态度、理性精神是未来公民生存与发展所需要的最基本也是最重要的素质。数学教育无疑对学生这些素质的发展负有重要的责任。但是，这并不意味着我们在数学教学中要划出特定的课时去专门讲授它们，或者说时时地提及它们：这就是思维能力、这就是科学态度、这就是理性精神……事实上，只要我们头脑里有这样的观念，就可以在数学教学中创造很多机会以促进这一目标的实现。例如，当学生学习一个新的数学知识时，鼓励他们采用探索的方法，经历由已知出发、经过自己的努力或与同伴合作获得对新知识的理解，而不是采用“告诉”的方式；当学生面临困难时，引导他们寻找解决问题的思路，并在解决问题的过程中总结所获得的经验，而不是直接给出解决问题的方案；当学生对自己或同伴所得到的“数学猜想”没有把握时，要求并帮助他们为“猜想”寻求证据，根据实际情况修正猜想，而不是直接肯定或否定他们的猜想；当学生对他人（包括教科书、教师）的思路、方法有疑问时，鼓励他们为自己的怀疑寻求证据，以否定或修正他人的结论作为思维的目标从事研究性活动，即使学生的怀疑被否定，也应当首先对其尊重事实、敢于挑战“权威”的意识给予充分的肯定。

5 数学教育学的目标

从现代数学学科的发展特点和高师院校人才培养目标出发，整体规划《数学

教育学》的建设与发展。实现以下主要目标：

（1）通过调研分析，从新课程改革需要的背景出发，继续探讨高师院校数学本科生的培养目标、人才规格，探索适应当前基础教育课程改革的数学教师的基本素质、数学基础、数学教育教学能力。

（2）构建适应当前基础教育课程改革与发展的高师院校《数学教育学》课程内容新体系。

（3）进行数学教学新方法体系的研究，探索研究性学习、探究性学习、课题研究性学习新方式，加强实践性教学和反思性学习，推出典型的个案学习案例教学。

（4）进行数学教学评价体系的研究，探索质性评价、教学实践、课题研究活动新的综合评价方式，推进考试与命题改革，增强考试与命题的科学性、规范化建设，建立试题库建设。

（5）进一步加强网络和多媒体课程建设，推出精品课程教学案例和精品课件，完善课程建设和教材资源网络化、电子化、个性化。

（6）优化课程资源，增加投入，购买和自编教学资料，特别是增加可供教师、学生直接阅读和参考的材料。

（7）进一步加强教学研究，在条件允许下争取出版有价值的教学研究成果。

5 结后语

当代教育的改革和发展已经聚焦在变革学校课程、教与学的层面，当前我国进行的基础教育课程改革回应了我国教育所面临的挑战和现实问题。课程改革是教育改革和发展的关键。新课程的实施，既强烈冲击着现有的师范教育体系，又对广大教育工作者提出了更高更新的要求。教师发展是课程改革的中心，课程与教学的变革和发展需要教师的积极参与，教师的理论素养和实践能力是决定课程与教学改革成败的关键。新课程要求师范校在现有的教师培养过程中融入新课程理念，使未来的教师能够了解新课程、理解新课程、更新教育观念，改进旧的教学方法、教学行为和教学手段等。

数学教育学还有很多方面等待我们去探索和发现，前人的贡献功不可没，后来者更应再接再厉。

参考文献

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