向量自回归模型讲义

第8章V AR模型与协整

1980年Sims提出向量自回归模型（vector autoregressive model）。这种模型采用多方程联立的形式，它不以经济理论为基础，在模型的每一个方程中，内生变量对模型的全部内生变量的滞后值进行回归，从而估计全部内生变量的动态关系。

8.1向量自回归（V AR）模型定义

8.1.1 模型定义

V AR模型是自回归模型的联立形式，所以称向量自回归模型。假设y1t，y2t之间存在关系，如果分别建立两个自回归模型

y1, t= f (y1, t-1, y1, t-2, …)

y2, t= f (y2, t-1, y2, t-2, …)

则无法捕捉两个变量之间的关系。如果采用联立的形式，就可以建立起两个变量之间的关系。V AR模型的结构与两个参数有关。一个是所含变量个数N，一个是最大滞后阶数k。

以两个变量y1t，y2t滞后1期的V AR模型为例，

y 1, t = c 1 + π11.1 y 1, t -1 + π12.1 y 2, t -1 + u 1 t y 2, t = c 2 + π21.1 y 1, t -1 + π22.1 y 2, t -1 + u 2 t (8.1)

其中u 1 t , u 2 t ~ IID (0, σ 2), Cov(u 1 t , u 2 t ) = 0。写成矩阵形式是， ??????t t y y 21=12c c ??????+??????1.221

.211.121.11ππππ??????--1,21,1t t y y +??

?

???t t u u 21 (8.2)

设，

Y t =??????t t y y 21, c =12c c ??????

, ∏1 =??????1.221.211.121.11ππππ, u t =???

???t t u u 21,

则， Y t = c + ∏1 Y t -1 + u t (8.3)

那么，含有N 个变量滞后k 期的V AR 模型表示如下：

Y t = c + ∏1 Y t -1 + ∏2 Y t -2 + … + ∏k Y t -k + u t ,

u t ~ IID (0, Ω) (8.4)

其中，

Y t = (y 1, t y 2, t … y N , t )'

c = (c 1 c 2 … c N )' ∏j =

????

??

????????j NN j

N j

N j N j

j j N j

j ..2.1.2.22.21.1.12.11πππππππππΛ

M O M

M ΛΛ, j = 1, 2, …, k

u t = (u 1 t u 2,t … u N t )',

Y t为N?1阶时间序列列向量。C为N?1阶常数项列向量。∏1, … , ∏k均为N?N阶参数矩阵，u t~ IID (0, Ω) 是N?1阶随机误差列向量，其中每一个元素都是非自相关的，但这些元素，即不同方程对应的随机误差项之间可能存在相关。

因V AR模型中每个方程的右侧只含有内生变量的滞后项，他们与u t是渐近不相关的，所以可以用OLS法依次估计每一个方程，得到的参数估计量都具有一致性。

估计V AR的EViews 4.1操作：

打开工作文件，点击Quick键, 选Estimate V AR功能。作相应选项后，即可得到V AR的表格式输出方式。在VAR模型估计结果窗口点击View 选representation功能可得到V AR 的代数式输出结果。

8.1.2 V AR模型的特点是：

（1）不以严格的经济理论为依据。在建模过程中只需明确两件事：①共有哪些变量是相互有关系的，把有关系的变量包括在V AR模型中；②确定滞后期k。使模型能反映出变量间

相互影响的绝大部分。

（2）V AR模型对参数不施加零约束。（对无显着性的参数估计值并不从模型中剔除，不分析回归参数的经济意义。）

（3）V AR模型的解释变量中不包括任何当期变量，所有与联立方程模型有关的问题在V AR模型中都不存在（主要是参数估计量的非一致性问题）。

（4）V AR模型的另一个特点是有相当多的参数需要估计。比如一个V AR模型含有三个变量，最大滞后期k = 3，则有k N2 = 3 32 = 27个参数需要估计。当样本容量较小时，多数参数的估计量误差较大。

（5）无约束V AR模型的应用之一是预测。由于在V AR模型中每个方程的右侧都不含有当期变量，这种模型用于样本外一期预测的优点是不必对解释变量在预测期内的取值做任何预测。

（6）用V AR模型做样本外近期预测非常准确。做样本外长期预测时，则只能预测出变动的趋势，而对短期波动预测不理想。

西姆斯（Sims）认为V AR模型中的全部变

量都是内生变量。近年来也有学者认为具有单向因果关系的变量，也可以作为外生变量加入V AR模型。

附录：（file:B8c1）

VAR模型静态预测的EViews操作：点击Procs选Make Model功能。点击Solve。在出现的对话框的Solution option（求解选择）中选择Static solution（静态解）。

VAR模型动态预测的EViews操作：点击Procs选Make Model功能（工作文件中如果已经有Model，则直接双击Model）。点击Solve。在出现的对话框的Solution option（求解选择）中选择Dynamic solution（静态解）。

注意：Model窗口中的第一行，“ASSIGN @ALL F”表示模拟结果保存在原序列名后加F 的新序列中，以免原序列中的数据被覆盖掉。

静态预测的效果非常好。动态预测的表现是前若干期预测值很接近真值，以后则只能准确预测变化的总趋势，而对动态的变化特征预测效果较差。综上所述，用V AR做样本外动态预测1，2期则预测效果肯定是非常好的。

8.2V AR模型稳定的条件

V AR模型稳定的充分与必要条件是∏1（见(8.3) 式）的所有特征值都要在单位圆以内（在以横轴为实数轴，纵轴为虚数轴的坐标体系中，以原点为圆心，半径为1的圆称为单位圆），或特征值的模都要小于1。

1．先回顾单方程情形。以AR(2)过程

y t = φ1 y t-1 + φ2 y t-2 +u t(8.11)

为例。改写为

(1- φ1 L - φ2 L2) y t = Φ(L) y t =u t(8.12)

y t稳定的条件是Φ(L) = 0 的根必须在单位圆以外。

2．对于V AR模型，也用特征方程判别稳定性。以(8.3) 式，Y t = c + ∏1 Y t-1 + u t，为例，改写为

(I - ∏1 L) Y t = c + u t(8.13)

保持V AR模型稳定的条件是| I - ∏1L | = 0的根都在单位圆以外。| I–∏1L| = 0在此称作相反的特征方程（reverse characteristic function）。（第2章称特征方程）

例8.1 以二变量（N = 2），k = 1的V AR 模型

??????t t y y 21=??

????8/54/12/18/5??????--1,21,1t t y y +??

?

???t t u u 21 (8.14)

其中∏1 =??

?

???8/54/12/18/5为例分析稳定性。相反的特征方程是 | I - ∏1L | =

??

?

???-??????L L L L )8/5()4/1()2/1()8/5(1001=

= (1- (5/8) L )2 - 1/8 L 2

= (1-0.978 L ) (1-0.27 L ) = 0 (8.15)

求解得

L 1 = 1/0.978 = 1.022, L 2 = 1/0.27 = 3.690 因为L 1，L 2都大于1，所以对应的V AR 模型

是稳定的。

3．V AR 模型稳定的另一种判别条件是，特征方程 | ∏1 - λ I | = 0的根都在单位圆以内。特征方程 | ∏1 - λ I | = 0的根就是∏1的特征值。 例8.2 仍以V AR 模型(8.14) 为例，特征方程表达如下：

| ∏1 - λ I | = ??

????-??????λλ008/54/12/18/5=

??

????--λλ

8/54/12/18/5= 0

即

(5/8 - λ)2– 1/8 = (5/8 - λ)2–2)8/1(

= (0.978 - λ) (0.271 - λ) = 0 (8.16)

得λ1 = 0.9786, λ2 = 0.2714。λ1，λ2是特征方程| ∏1 - λI | = 0的根，是参数矩阵∏1的特征值。因为λ1 = 0.978, λ2 = 0.271，都小于1，该V AR 模型是稳定的。

注意：

（1）因为L1=1/0.978 =1/λ1, L2 =1/0.27=1/λ2，所以特征方程与相反的特征方程的根互为倒数，L = 1/λ。

（2）在单方程模型中，通常用相反的特征方程Φ(L) = 0的根描述模型的稳定性，即单变量过程稳定的条件是（相反的）特征方程Φ(L) = 0的根都要在单位圆以外；而在V AR模型中通常用特征方程| ∏1 - λI| = 0的根描述模型的稳定性。V AR模型稳定的条件是，特征方程| ∏1 - λI | = 0的根都要在单位圆以内，或相反的特征方程| I–L ∏1| = 0的根都要在单位圆以外。

4．对于k>1的k阶V AR模型可以通过友矩阵变换（companion form），改写成1阶分块矩阵的V AR模型形式。然后利用其特征方程

的根判别稳定性。具体变换过程如下。 给出k 阶V AR 模型，

Y t = c + ∏1 Y t -1 + ∏2 Y t -2 + … + ∏k Y t-k + u t

(8.17)

再配上如下等式， Y t -1 = Y t -1 Y t -2 = Y t -2 …

Y t -k +1 = Y t - k +1

把以上k 个等式写成分块矩阵形式，

1

121?+---????????????????NK k t t t t Y Y Y Y M =

1

NK ???

??????????????c M 000+

NK NK k k ?-????????????????000

000000I

I I ΠΠΠΠΛΛΛO ΛΛΛΛΛ12

1

1

321?----????????

????????NK k t t t t Y Y Y Y M +

1

?????????

????????NK t 000M u

(8.18)

其中每一个元素都表示一个向量或矩阵。令

Y t = (Y t -1 Y t -2 … Y t-k +1) 'NK ?1 C = (c 0 0 … 0) 'NK ?1 A =

NK

NK k k ?-????????????????00

000000I

I I ΠΠΠΠΛ

ΛΛO ΛΛΛΛΛ12

1

U t = (u t 0 0 … 0) ' NK ?1

上式可写为

Y t = C + A Y t -1 + U t (8.19)

注意，用友矩阵变换的矩阵（向量）用正黑体字母表示。k 阶V AR 模型用友矩阵表示成了1阶分块矩阵的V AR 模型。 例如，2变量2阶V AR 模型的友矩阵变换形式是

??

????-1t t Y Y =0c ??????

+??????0I

21

∏∏??

?

???--2

1t t Y Y +???

???0t

u (8.20) 其中等式的每一个元素（项）都表示一个4?1

阶向量或4?4阶矩阵。 例如，2变量3阶V AR 模型的友矩阵变换形式是

????

??????--21t t t Y Y Y =00c ??

????????

+

????

??????00

00

ΙΙ321

∏∏∏????

??????---321t t t Y Y Y +

????

?

?????00t u (8.21)

其中等式的每一个元素（项）都表示一个6?1

阶向量或6?6阶矩阵。

V AR 模型的稳定性要求A 的全部特征值，即特征方程 | A - λ I | = 0的全部根必须在单位圆以内或者相反的特征方程 | I - L A | = 0的全部根必须在单位圆以外。

注意：特征方程中的A 是Nk ?Nk 阶的。特征方程中的I 也是Nk ?Nk 阶的。

以2阶V AR 模型的友矩阵变换为例，

| I - A L | =

L

??

?

??

?-??????000I I I 21∏∏=

I

I I L L

L ---21∏∏

= | I - ∏1 L - ∏2 L 2 | = 0 (8.22)

的全部根必须在单位圆以外。

以3阶V AR 模型的友矩阵变换为例，

| I - A L | =

L

????

?

?????-??????????00

00000000Ι

ΙI I I 32

1∏∏∏

=

I

I I I I L L L

L L -----00321∏∏∏

= | I - ∏1 L - ∏2 L 2 - ∏3 L 3 | = 0 (8.23)

的全部根必须在单位圆以外。

因此，对于k 阶V AR 模型的友矩阵变换

形式，特征方程是，

| I - ∏1 L - ∏2 L 2 - … - ∏k L k | = 0 (8.24)

附录：

求VAR 模型特征根的EViews 4.1操作：在VAR 模型估计结果窗口点击View 选 Lag

Structrure, AR Roots Table 功能，即可得到VAR模型的全部特征根。若选Lag Structrure, AR Roots Graph 功能，即可得到单位圆曲线以及VAR模型全部特征根的位置图。

Inverse Roots of AR Characteristic Polynomial

1.5

1.0

0.5

0.0

-0.5

-1.0

-1.5

-1.5-1.0-0.50.00.5 1.0 1.5

Inverse Roots of AR Characteristic Polynomial

1.5

1.0

0.5

0.0

-0.5

-1.0

-1.5

-1.5-1.0-0.50.00.5 1.0 1.5

8.3 V AR模型的稳定性（stability）特征现在讨论V AR模型的稳定性特征。稳定性是指当把一个脉动冲击施加在V AR模型中某一个方程的新息（innovation）过程上时，随着时间的推移，这个冲击会逐渐地消失。如果是不消失，则系统是不稳定的。

下面分析一阶V AR模型

Y t = c + ∏1 Y t -1 + u t (8.29)

为例。当t = 1时，有

Y 1 = c + ∏1 Y 0 + u 1 (8.30)

当t = 2时，采用迭代方式计算，

Y 2 = c + ∏1 Y 1 + u 2 = c + ∏1 (c + ∏1 Y 0 + u 1) + u 2 = (I + ∏1) c + ∏12 Y 0 + ∏1 u 1 + u 2 (8.31) 当t = 3时，进一步迭代， Y 3 = c + ∏1 Y 2 + u 3

= c + ∏1 [(I + ∏1) c + ∏12 Y 0 + ∏1 u 1 + u 2] + u 3 = (I +∏1 +∏12) c +∏13 Y 0 +∏12 u 1 +∏1 u 2 +u 3 (8.32)

… …

对于t 期，按上述形式推导

Y t =(I +∏1 +∏12

+…+∏1t -1

)c +∏1t

Y 0+∑-=1

1t i i

Πu t -i

(8.33)

由上式可知，∏10 = I 。通过上述变换，把

Y t 表示成了漂移项向量μ、初始值向量Y 0和新息向量u t 的函数。可见系统是否稳定可以通过观察漂移项向量c 、初始值向量Y 0和新息向量u t 经受冲击后的表现。

假定模型是稳定的，将有如下3个结论。 （1）假设t = 1时，对c 施加一个单位的冲击，那么到t 期的影响是

(I + ∏1 + ∏12 + … + ∏1t -1)

当t →∞ 时，此影响是一个有限值，(I - ∏1) -1。 （2）假设在初始值Y 0上施加一个单位的冲击。到t 期的影响是 ∏1t 。随着t →∞，∏1t → 0，影响消失（因为对于平稳的V AR 模型，∏1中的元素小于1，所以随着t →∞，取t 次方后，∏1t → 0）。

（3）从∑-=1

1t i i

Πu t -i 项可以看出，白噪声中的冲击离t

期越远，影响力就越小。∑-=1

1

t i i

Π= (I - ∏1) -1，

称作长期乘子矩阵，是对∑-=1

1

t i i

Πu t -i 求期望得到

的。

对单一方程的分析知道，含有单位根的自回归过程对新息中的脉动冲击有长久的记忆能力。同理，含有单位根的V AR 模型也是非平稳过程。当新息中存在脉动冲击时，V AR 模型中内生变量的响应不会随时间的推移而消失。 平稳变量构成的一定是稳定（stability ）的模

型，但稳定的模型不一定由平稳变量构成。也可能由非平稳（nonstationary ）变量（存在协整关系）构成。

8.4 V AR 模型滞后期k 的选择

建立V AR 模型除了要满足平稳性条件外，还应该正确确定滞后期k 。如果滞后期太少，误差项的自相关会很严重，并导致参数的非一致性估计。正如在第4章介绍ADF 检验的原理一样，在V AR 模型中适当加大k 值（增加滞后变量个数），可以消除误差项中存在的自相关。但从另一方面看，k 值又不宜过大。k 值过大会导致自由度减小，直接影响模型参数估计量的有效性。下面介绍几种选择k 值的方法。 1)用LR 统计量选择k 值。LR （似然比）统计量定义为，

LR = - 2 (log L (k ) - log L (k +1) ) ~)(22N χ (8.34)

其中log L (k ) 和log L (k +1) 分别是V AR(k ) 和

V AR(k +1) 模型的极大似然估计值。k 表示V AR 模型中滞后变量的最大滞后期。LR 统计

量渐近服从)(22

N χ分布。显然当V AR 模型滞后

期的增加不会给极大似然函数值带来显着性增

大时，即LR 统计量的值小于临界值时，新增加的滞后变量对V AR 模型毫无意义。应该注意，当样本容量与被估参数个数相比不够充分大时，LR 的有限样本分布与LR 渐近分布存在很大差异。

2) 用赤池（Akaike ）信息准则 (AIC ) 选择k 值。

AIC = log

????

? ?

?∑

=T u T

t t 1

2?+T

k 2 (8.34)

其中t

u ?表示残差，T 表示样本容量，k 表示最大滞后期。选择k 值的原则是在增加k 值的过程中使AIC 的值达到最小。 EViews 3.0的计算公式是

AIC = -2??? ??T L log +T

k

2 3)用施瓦茨（Schwartz ）准则 (SC ) 选择k

值。

SC = log

????

? ?

?∑

=T u T

t t 1

2?+T

klogT (8.35)

其中t

u ?表示残差，T 表示样本容量，k 表示最大滞后期。选择最佳k 值的原则是在增加k 值的

过程中使SC 值达到最小。 EViews 3.0的计算公式是

SC =-2??

? ?

?T L log +T T

log k

例8.3 以第8章案例为例，k =1、2、3、4

时的logL 、Akaike AIC 和Schwarz SC 的值见下表。

V AR(1) V AR(2) V AR(3) V AR(4)

logL 184.6 198.9 200.0 207.8 -2 (log L (k ) - log L (k +1) ) 28.6

2.2 15.6 ← χ2(9) =

16.9

Akaike AIC -7.84 -8.27 -8.09 -8.23 Schwarz SC -7.36

-7.41 -6.85 -6.6

建立滞后2期的V AR 模型是可以的。

附录：

考察VAR模型最大滞后期的EViews 4.1操作：在VAR模型估计结果窗口点击View 选Lag Structrure, Lag Lengyh Criteria 功能，即可得到5个评价统计量的值。

8.5 V AR模型的脉冲响应函数

由于V AR模型参数的OLS估计量只具有一致性，单个参数估计值的经济解释是很困难的。要想对一个V AR模型做出分析，通常是观察系统的脉冲响应函数

（1）脉冲响应函数。

脉冲响应函数描述一个内生变量对误差冲击的反应。具体地说，它描述的是在随机误差项上施加一个标准差大小的冲击后对内生变量的当期值和未来值所带来的影响。

对于如下V AR模型，y1, t表示GDP，y2, t表示货币供应量，

y1, t = c1 + π11.1 y1, t-1 + π12.1 y2, t-1 + u1 t

y2, t = c2 + π21.1 y1, t-1 + π22.1 y2, t-1 + u2 t

(8.36)

在模型（8.36）中，如果误差u1t 和u2t不相

关，就很容易解释。u1t是y1, t的误差项；u2t是y2, t的误差项。脉冲响应函数衡量当期u1t 和u2t 一个标准差的冲击分别对GDP和货币存量的当前值和未来值的影响。

对于每一个V AR模型都可以表示成为一个无限阶的向量MA(∞)过程。具体方法是对于任何一个V AR(k)模型都可以通过友矩阵变换改写成一个V AR(1)模型（见8.1.2节）。

Y t = A1 Y t -1 + U t

(I - L A 1) Y t = U t

Y t = (I - L A 1)-1 U t

= U t + A1U t-1 + A12 U t-2 + …+ A1s U t-s + …

这是一个无限阶的向量MA(∞)过程。或写成，Y t+s = U t+s + A1U t+s -1 + A12 U t+s -2 + …+ A1s U t + …

全部的移动平均参数矩阵用改用ψj, (j=1,…s)表示，

Y t+s =U t+s+ψ1U t+s -1 +ψ2U t+s-2 + …+ ψs U t + …

(8.37) 其中

ψ1 = A1, ψ2 = A12, …, ψ s = A1 s,

显然，由(8.37)式有下式成立，